Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 10 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

Cho tam giác ABC đều cạnh 3a.. Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với PN.. Tính độ dài PN theo a.. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác.. Cho tam giác ABC gọi I là

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số 1 2

1 1 2

x

  Câu 2 (2,0 điểm) Cho hàm số y x22mx3m và hàm số y  2x 3 Tìm m để hai đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB  4 5

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình 2x2 2xm x có nghiệm 1

Câu 4 (2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1

x





   có tập nghiệm là  Câu 5 (2,0 điểm) Giải phương trình 2x26x 1 4x 5

Câu 6 (2,0 điểm) Giải hệ phương trình 2 2

3





Câu 7 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh

BC, CA sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho AM vuông góc với

PN Tính độ dài PN theo a

Câu 8 (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có BC 2AB, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là  d :xy2 Biết 0  0

120

ABC  và

3;1

A Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Câu 9 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp  ABC, biết IGIC

3

a b

 (Với ABc BC, a CA,  ) b

Câu 10 (2,0 điểm) Cho các số thực a b c  , , 0 thỏa mãn 3

2

a    b c Tìm giá trị nhỏ nhất

-Hết -

Thí sinh không được sử dụng tài liệu.Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………

I LƯU Ý CHUNG:

- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa

- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn

II ĐÁP ÁN:

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 10

ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019

1 (2,0 điểm) Tìm tập xác định của hàm số 2

1

1 1 2

x

  Hàm số có xác định khi và chỉ khi

2

x

   



6

x

x x

x

 



     

0,5

1

6

x

x x

x

 





     



0,5

2 (2,0 điểm) Cho hàm số

2

yx  mx m và hàm số y  2x 3 Tìm m để hai

đồ thị đã cho cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB  4 5

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: x22mx3m 2x 3

2

Hai đồ thị cắt nhau tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi (*) có hai nghiệm phân biệt

' 0

4

m m

 





 

 Gọi A x 1; 2 x13 ; B x2; 2 x23 với x x là nghiệm phương trình (*) 1; 2

0,5

Theo Vi-et ta có:  

1 2







Ta có: AB 5x1x22  5x1x2220 x x1 2  20m1260m1

0,5

    So sánh với điều kiện ta được m=0 và m=-5

0,5

3 (2,0 điểm) Tìm m để phương trình 2

2x 2xm x1 có nghiệm

x

 





0,5

(Đáp án có 05 trang)

   

Ta có bảng biến thiên hàm số yx24x là:

0,5

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi (*) phải có nghiệm x1hay

0,5

4

(2,0 điểm) Tìm tham số m để bất phương trình 2 1 1

x





   có tập nghiệm là 

Để bất phương trình có tập nghiệm  ta cần có mx24x m   với x3 0   

( m =0 không thỏa mãn)

2

0

m

m



0,5

Với m   Khi đó ta có 1 mx24x m   với x3 0   

Bpt   x 1 mx24x m  3 mx25x m   (1) 4 0

(1)

4 41 2

0 4 16 25 0

4 41 2

m

m













2

m  m 

0,5

Với m 4 Khi đó ta có mx24x m   với x3 0   

Bpt   x 1 mx24x m  3 mx25x m   (2) 4 0

( 2)

4 41 2

0 4 16 25 0

4 41 2

m

m













2

0,5

2

2

5 (2,0 điểm) Giải phương trình 2x26x 1 4x5

y -3

-4

+ ∞

Điều kiện: 4

5

x  

Đặt t 4x   5 t 0

0,5

Ta có

2

5 4

t

 thay vào ta được phương trình sau:

0,5

1

3

4

1 2 2

1 2 3

t

t

t



  



  



  



x x

  



   

3





Đặt a 4x10 ;y b 2x2y a b , 0

Khi đó hệ trở thành 2 2

2 2

4

4

24

a b

a b

  



0,5

, 0 2

4

144

a b

b

a b



    

 

0,5



Giải hệ trên ta được 8; 16

7

(2,0 điểm) Cho tam giác ABC đều cạnh 3a Lấy các điểm M, N lần lượt trên các cạnh BC, CA sao cho BM =a, CN=2a Gọi P là điểm nằm trên cạnh AB sao cho

AM vuông góc với PN Tính độ dài PN theo a.

Đặt APx ABx0

Ta có: AM AB BM  AB13BC AB13ACAB 23AB13AC

         

0,5

A

M P

N

1

3

PN PA AN  x AB AC

    

AM PN   AM PN   2 1 1 0

3AB 3AC x AB 3AC

   

cos 60

2

a

 

2

               

0,5

Khi đó

2 2

PN   AB ACPN   AB AC

    

2

a

0,5

21 15

PN

8

(2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có

2

BC  AB, phương trình đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh B là

 d :xy2 Biết 0  0

120

ABC  và A3;1 Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của tam giác

Đặt ABa a 0

Ta có: AC  AB2AC2 2AB ACco s1200 a 7

0,5

Ta có

Suy ra tam giác ABM vuông tại B

0,5

Khi đó phương trình AB: xy20

2

Gọi M m ; 2m 6 2 3

M là trung điểm AC nên C2 3; 4 3 hoặc C2 3; 4 3

0,5

9

(2,0 điểm) Cho tam giác ABC gọi I là tâm đường tròn nội tiếp  ABC, biết

IGIC Chứng minh rằng 2

3

a b

 (Với ABc BC, a CA,  ).b

B

M

Ta chứng minh a IAb IBc IC0

 

        

0,5

0,5

Khi đó 2a b c CA   2b a c CB aCA bCB 0

    

ab CA CB  b2a b c a2b a c 0

         

Do abCA CB ababcosCab1 cos C0

 

0,5

Nên ta có: b2a b ca2b a c0

3

 



0,5

10

(2,0 điểm) Cho các số thực a b c  , , 0 thỏa mãn 3

2

a    b c Tìm giá trị nhỏ

Ta thấy

0,5

1

0,5

17

17

2

2

3

2

2

0,5

G C

I

M N