ĐỀ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC VIỆN TOÁN THÁNG 9 – 2012 Môn: Đại số

ĐỀ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC VIỆN TOÁN THÁNG 9 – 2012 Môn: Đại số

http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi cao học môn toán

Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380

ĐỀ TUYỂN SINH SAU ĐẠI HỌC VIỆN TOÁN THÁNG 9 – 2012

Môn: Đại số Câu 1 Trong không gian R3 cho hệ vecto S x1(1; ;5),k x2 (2; 1; ), k z(3; 1;3) 

1 Xét tính độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ trên theo tham số k

2 Cho k = 1 Hãy xét xem vecto b (2;3; 4) có thuộc không gian con sinh bởi hệ S không?

Câu 2 Cho ánh xạ tuyến tính f :X Y

1 CMR: ảnh của 1 hệ phụ thuộc tuyến tính thì phụ thuộc tuyến tính Kết luận tương tự độc lập tuyến tính có đúng không? Giải thích?

2 Nếu X, Y là những không gian vecto có cùng số chiều hữu hạn thì f là đơn cấu khi và chỉ khi nó là toàn cấu

Câu 3 Cho X là 1 nhóm xyclic hữu hạn cấp n

1 CMR mọi nhóm con của X đều là xyclic

2 CMR X đẳng cấu với nhóm cộng Zn

Câu 4 Xét tập X ab 3 | ,a bZ

1 Chứng tỏ rằng X là miền nguyên với các phép cộng và nhân thông thường

2 Chứng tỏ rằng 1 3;1 3, 2 là những phần tử bất khả quy của X Từ đó suy ra X không là vành chính

Câu 5 Xét vành đa thức Q[x] với Q là trường số hữu tỷ

1 CMR các đa thức bậc 3 trong Q[x] là bất khả quy khi và chỉ khi chúng không có nghiệm thuộc Q

2 Xét tính bất khả quy của các đa thức sau trong Q[x]:

f x  x  x  x và g x( )x4x32x 1

http://baigiangtoanhoc.com Tuyển tập đề thi cao học môn toán

Trung tâm gia sư VIP – hotline: 0989189380

Môn: Giải tích Câu 1 Chứng minh

2011

1

n

k k k



Có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn [- ; ],n  là 1 số nguyên dương

Câu 2 Tìm cực trị của hàm số

2 2

ax ( , )

1

f x y



theo a, b, c Biết rằng c  0

Câu 3 Xét sự hội tụ đều của chuỗi hàm

n

nx



 trong miền [0; ], >0 

Câu 4 Cho ( ,X d1), ( ,Y d2) là các không gian metric, A là 1 tập hợp hoàn toàn bị chặn trong X CMR: nếu ánh xạ f :X Y liên tục đều trên X thì f(A) là tập hợp bị chặn trong Y

Câu 5 Giả sử A là 1 toán tử tuyến tính giới nội từ không gian tuyến tính định chuẩn X vào không gian

tuyến tính định chuẩn Y và A* là toán tử liên hợp của nó CMR:

1 Nếu A* là 1 toàn ánh thì A là 1 đơn ánh

2 Nếu A* là 1 đơn ánh thì A(X) là 1 tập trù mật trong Y

Câu 6 Giả sử  e n là 1 cơ sở trực chuẩn trong không gian Hilbert H, Y là 1 không gian Bannach, :

A H Y là 1 toán tử tuyến tính giới nội và chuỗi 2

1

n n

Ae





 hội tụ CMR: A là 1 toán tử compact