PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH đa THỨC THÀNH NHÂN tử TRONG bồi DƯỠNG học SINH môn TOÁN 8

Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị tríquan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng toán như: Phân tích đa thứcthành nhân tử, rút gọn phân

PHÒNG GD & ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS HỒNG CHÂU

-o0o -CHUYÊN ĐỀ

“PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH MÔN TOÁN 8 ”

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Huệ.

Người viết: Phùng Thị Vũ Thư

Tổ chuyên môn: KHTN

Trường THCS Hồng Châu

Huyện Yên Lạc - Tỉnh Vĩnh Phúc.

Tháng 3/ 2018

PHẦN I ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lí do chọn chuyên đề.

Bồi dưỡng HSG môn Toán để học sinh đạt giải (đặc biệt là giải cao) trong các

kỳ thi học sinh giỏi cấp huyện là một việc làm rất khó khăn, vất vả và tốn nhiều côngsức của cả thầy và trò Việc tìm ra phương pháp bồi dưỡng hiệu quả là rất cần thiết vìkhông những giúp học sinh học tập dễ dàng mà còn rèn cho các em bản lĩnh kiêncường, tự tin khi bước vào mỗi kỳ thi

Phân tích đa thức thành nhân tử là một chuyên đề khó và rộng, chiếm một vị tríquan trọng trong chương trình bồi dưỡng với các dạng toán như: Phân tích đa thứcthành nhân tử, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trịlớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyên của phương trình, giải phương trình, chứngminh chia hết,…Do đó việc tìm ra các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tửnhanh chóng, thông minh, chính xác là rất cần thiết đối với cả giáo viên và học sinh

Vì vậy việc chọn chuyên đề: “Phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi

dưỡng học sinh khá giỏi toán 8” ở trường THCS Hồng Châu là rất thiết thực, giúp

giáo viên nắm vững nội dung và xác định được phương pháp giảng dạy phần này đạthiệu quả, giúp học sinh có một kiến thức cơ bản khi lựa chọn phương pháp giải bàitoán liên quan, góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng họcsinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trường THCS

2 Mục đích nghiên cứu.

+ Nghiên cứu về “Phân tích đa thức thành nhân tử trong bồi dưỡng học sinh

khá giỏi toán 8” giúp giáo viên nâng cao năng lực tự nghiên cứu, đồng thời vận dụng

tổng hợp các tri thức đã học, mở rộng, đào sâu và hoàn thiện hiểu biết Từ đó cóphương pháp giảng dạy phần này có hiệu quả

+ Nghiên cứu vấn đề này để nắm được những thuận lợi, khó khăn khi dạy học

phần “Phân tích đa thức thành nhân tử” trong bồi dưỡng học sinh khá giỏi, từ đó

định hướng nâng cao chất lượng dạy và học môn toán

3 Nhiệm vụ nghiên cứu.

+ Nghiên cứu về tình hình dạy và học về vấn đề này ở nhà trường

+ Hệ thống hoá một số phương pháp “Phân tích đa thức thành nhân tử”

+ Tìm hiểu mức độ và kết quả đạt được khi triển khai đề tài

+ Phân tích rút ra bài học kinh nghiệm

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu.

4.1) Đối tượng nghiên cứu:

5 Phương pháp nghiên cứu.

+ Phương pháp nghiên cứu tài liệu

+ Phương pháp điều tra, khảo sát.

+ Phương pháp thử nghiệm

+ Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

6 Giả thuyết khoa học.

Nâng cao chất lượng dạy và học trong và sau khi nghiên cứu áp dụng chuyên đề,giúp cho giáo viên giảng dạy có hiệu quả cao hơn, học sinh ham thích học dạng toánnày hơn và nâng cao chất lượng mũi nhọn ở trường THCS Hồng Châu đặc biệt ở bộmôn Toán

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÝ LUẬN.

Để việc bồi dưỡng đạt kết quả thì giáo viên phải hiểu sâu rộng vấn đề cầntruyền đạt, kết hợp tốt phương pháp truyền thống và phương pháp hiện đại; lấy họcsinh làm trung tâm của quá trình dạy và học; phát huy khả năng tự học, tính tích cực,sáng tạo và tự giác của học sinh

Muốn phân tích đa thức thành nhân tử một cách thành thạo và nhanh chóng thìtrước tiên phải hiểu phân tích đa thức thành nhân tử là phân tích đa thức đó cho thànhtích của những đa thức, sau đó nắm chắc những phương pháp cơ bản và các phươngpháp nâng cao để phân tích, đó là:

1) Phương pháp đặt nhân tử nhân tử chung: A.B + A.C = A ( B + C)

+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ở từng nhóm

+ Nhóm rồi áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức

+ Đặt nhân tử chung cho toàn số thực

4) Phối hợp phương pháp cơ bản: Vận dụng và phát triển kĩ năng là sự kết hợpnhuần nhuyễn các phương pháp cơ bản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

5) Phương pháp tìm nghiệm của đa thức: Cần sử dụng định lí bổ sung sau:

+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng p/q trong đó p là ước của hệ số tự do, q làước dương của hệ số cao nhất

Sử dụng cho các bài tậpkhông thể áp dụng ngay được ba phương pháp cơ bản đãhọc để giải.

để giải toán như thế nào? Có những phương pháp nào?

Các bài toán về ứng dụng của “Phân tích đa thức thành nhân tử” là một dạng

toán hay và khó, được vận dung rất nhiều trong bài toán rút gọn phân thức, quy đồngmẫu phân thức, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức, tìm nghiệm nguyêncủa phương trình, giải phương trình, chứng minh chia hết,…có nhiều trong các đề thihọc sinh giỏi các cấp, thi vào lớp 10 THPT Tuy nhiên, các tài liệu viết về vấn đề nàyrất hạn chế hoặc chưa hệ thống thành các phương pháp nhất định gây nhiều khó khăntrong việc học tập của học sinh, cũng như trong công tác tự bồi dưỡng của giáo viên

Vì vậy việc nghiên cứu các phương pháp giải bài toán có ứng dụng “Phân tích

đa thức thành nhân tử” là rất thiết thực, giúp giáo viên nắm vững nội dung và xác

định được phương pháp giảng dạy phần này đạt hiệu quả, góp phần nâng cao chấtlượng dạy và học, đặc biệt là chất lượng học sinh giỏi và giáo viên giỏi ở các trườngTHCS

3 THỰC TRẠNG HIỆN NAY.

a) Thuận lợi:

- Là giáo viên trực tiếp đứng lớp giảng dạy môn Toán

- Chúng tôi được các đồng nghiệp góp ý kiến trong giảng dạy

- Đa số học sinh khá, giỏi đều mong muốn được nâng cao kiến thức

b) Khó khăn:

- Học sinh chưa hiểu sâu rộng các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử đặc biệt

là các bài toán khó, do các em chưa có điều kiện đọc nhiều sách tham khảo

- Khi gặp một số bài toán học sinh không biết làm gì? Không biết đi theo hướng nào ?Không biết liên hệ những gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học

- Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương pháp vào từng dạng toán khác nhau

- Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

- Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường học vẹt, hoặc máy móc thiếu sángtạo khi gặp bài toán khó

4) CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN CHUYÊN ĐỀ:

* Quy trình và cách thức:

- Xây dựng kế hoạch thực hiện ngay từ đầu năm học

- Tổ chức thi tuyển chọn các em có năng khiếu về bộ môn Đặc biệt là phải học được môn Toán

- Tổ chức cho học ôn luyện theo chuyên đề, trao đổi trực tiếp Sau mỗi chuyên

đề ra một bài kiểm tra kiến thức của học sinh ( Đề ra dạng như đề thi để học sinh làm quen dần )

- Giáo viên say mê, tích cực, giảng dạy và tự học; tìm tòi nhiều dạng bài tập phong phú cho học sinh luyện tập không chỉ trên lớp mà cả ở nhà

- Thổi vào học sinh sự tự tin, niềm tin chiến thắng, ý chí kiên cường và quyếttâm thi đạt giải cao trong kỳ thi chọn học sinh giỏi Động viên, khích lệ học sinhthường xuyên và liên tục Đồng thời kết hợp tốt với việc uốn nắn hướng dẫn cụ thể họcsinh trong từng buổi học

- Mỗi dạng toán cần hướng dẫn học sinh phương pháp giải một cách tỉ mỉ, khai thác triệt để phương pháp giải và cho các em luyện tập ít nhất là 2 lần bằng những bài toán tương tự trên lớp Sau mỗi buổi học Giáo viên giao bài tập về nhà cho các em luyện tập để các em được khắc sâu hơn về các dạng toán đã được ôn tập

Trong việc giảng dạy bộ môn toán giáo viên cần phải rèn luyện cho học sinh tính

tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linh hoạt, tự mình tìm tòi ra kiến thức mới, raphương pháp làm toán ở dạng cơ bản như các phương pháp thông thường mà còn phảidùng một số phương pháp khó hơn đó là phải có thủ thuật riêng đặc trưng, từ đó giúpcác em có hứng thú học tập, ham mê học toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặpcác dạng toán khó

Người thầy giáo trong khi giảng dạy cần rèn luyện cho học sinh của mình vớikhả năng sáng tạo, ham thích học bộ môn toán và giải được các dạng bài tập mà cầnphải thông qua phân tích đa thức thành nhân tử, nâng cao chất lượng học tập, đạt kết

quả tốt trong các kỳ thi Từ đó tôi mạnh dạn chọn chuyên đề " Phương pháp phân

tích đa thức thành nhân tử" nhằm giúp giúp học sinh của mình nắm vững các phương

pháp phân tích đa thức thành phân tử, giúp học sinh phát hiện phương pháp giải phùhợp với từng bài cụ thể ở các dạng khác nhau

* Khảo sát thực tiễn

Khi chưa thực hiện đề tài này, thì hầu hết các em làm bài tập rất lung tung, thời gian làm mất nhiều, thậm chí không tìm ra cách giải Để thực hiện đề tài này tôi đã tiếnhành khảo sát năng lực của học sinh thông qua một số bài kiểm tra kết quả như sau:Tổng số HS

Xếp loạiGiỏi Khá Trung bình Yếu

Thông qua kết quả khảo sát tôi đã suy nghĩ cần phải có biện pháp thích hợp để giảng dạy, truyền đạt cho học sinh nắm vững những yêu cầu trong quá trình giải những bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử Tôi mạnh dạn nêu ra một số biện pháp dưới đây:

5 NỘI DUNG CHUYÊN ĐỀ.

+ Các quy tắc đổi dấu đa thức

+ Vận dụng thành thạo các hằng đẳng thức đáng nhớ

II Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.

1) Các phương pháp thông thường.

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử

Trong thực hành giải toán thường phải phối hợp cả ba phương pháp kể trên để

có thể phân tích đa thước thành nhân tử

Để phối hợp nhiều phương pháp trên để phân tích đa thức thành nhân tử cần chú

ý các bước sau đây:

+ Đặt nhân tử chung cho cả đa thức nếu có thể từ đó làm đơn giản đathức

+ Xét xem đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không ?

+ Nếu không có nhân tử chung, hoặc không có hằng đẳng thức thì phải nhómcác hạng tử vào từng nhóm thoả mãn điều kiện mỗi nhóm có nhân tử chung, làm xuấthiện nhân tử chung của các

nhóm hoặc xuất hiện hằng đẳng thức Cụ thể các ví dụ sau:

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

M3 = 5a2 + 3(a + b)2 - 5b2

Ta thấy M3 không có dạng hằng đẳng thức, các hạng tử cũng không có nhân tử chung,vậy làm gì để phân tích được Quan sát kỹ ta thấy hai hạng tử 5a2 - 5b2 có nhân tử chung Vìvậy ta dùng phương pháp nhóm các hạng tử đầu tiên:

Như vậy M3 đã được phân tích thành tích của hai nhân tử (a + b) và (8a - 2b)

Ví dụ 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

M4 = 3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6xy2z - 3xyz2 + 3xy

Trước hết hãy xác định xem dùng phương pháp nào trước ?

Ta thấy các hạng tử đều chứa nhân tử chung 3xy

+ Đặt nhân tử chung

M4 = 3xy (x2 - 2x - y2 - 2yz - z2 + 1)Trong ngoặc có 6 hạng tử hãy xét xem có hằng đẳng thức nào không?

Khi phân tích đa thức thành nhân tử ta cần chú ý quan sát đa thức, linh hoạt phối hợp

sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đã học để các bước phân tíchđược rõ ràng, mạch lạc và triệt để (đa thức không thể phân tích được nữa)

2) Một số phương pháp phân tích đa thức khác.

Giáo viên trước hết cần cho học sinh sử dụng thành thạo các phương pháp phântích thành nhân tử thông thường (đã học trong SGK) và kết hợp các phương pháp sau

Ví dụ 7: Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x2 – 5x – 24

Lời giải: -24 = (-8) 3

x2 – 5x – 24 = x2 – 8x + 3x – 24

= (x2 – 8x) + (3x – 24) = x(x – 8) + 3( x – 8)

= ( x – 8) ( x + 3)

b) Một số ví dụ khai thác.

Ví dụ 8 Phân tích thành nhân tử đa thức sau: x4 – 5x2 – 36

Trong ví dụ này là đa thức bậc 4 tuy nhiên lại khuyết các hạng tử bậc lẻ nên đathức trên là trùng phương Chúng ta giải như với đa thức bậc hai ở hai ví dụ trước

x2 + 14xy + 48y2 = x2 + 6xy + 8xy + 48y2

= (x2 + 6xy) + (8xy + 48y2)

= x (x + 6y) + 8y(x + 6y)

c) Phương pháp tổng quát phân tích đa thức dạng: ax2 + bx + c

gồm các bước như sau:

+ Tách hệ số b = m +n sao cho m n = a.c+ Dùng phương pháp nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

* Ngoài ra một bài toán không chỉ tách hạng tử thứ hai mà chúng ta có thể táchcác hạng tử thứ nhất và hạng tử tự do.

Ví dụ 11: Phân tích thành nhân tử đa thức sau:

N = a2 - 6a + 8

Cách 1: -6 = (-2) + (-4) và (-2).(-4) = 1.8

Lời giải: a2 - 4a - 2a + 8 = (a2 - 4a) - (2a - 8)

= a (a - 4) - 2 (a - 4) = (a - 4) (a - 2) Ngoài ra ta có thể tách hạng tử tự do tạo thành một đa thức mới có nhiều hạng tử trong

đó có thể kết hợp làm xuất hiện hằng đẳng thức hoặc nhân tử chung với các hạng tửcòn lại

- Phương pháp tách 2: Tách hạng tử bậc nhất thành 2 hạng tử rồi dùng phươngpháp nhóm hạng tử và đặt nhân tử chung làm xuất hiện nhân tử chung mới (cách 1)

* Dạng 2: Đa thức bậc ba.

a) Ví dụ cơ bản:

Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x3 – 19x +30Lời giải: Ta có x3 - 19x +30 = x3 - 4x - 15x +30

= (x3 - 4x) - ( 15x - 30)

= x(x2 - 4) – 15(x - 2) = x(x - 2)(x + 2) - 15(x - 2)

= (x - 2) [x(x + 2) – 15]

= (x - 2) (x2 + 2x - 15)

= (x - 2) (x - 3) (x + 5) Trong ví dụ trên ta đã tách 19 = 15 +4 = 15 + 22 và 15 2 = 1.30 = 30

Sau đó chúng ta nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

Đa thức x2 + 2x – 15 được phân tích tiếp theo dạng 1.

Ví dụ 13: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x3 – (a2 + b)x - ab

Chúng ta làm tương tự với bài toán: x3 – (a2 - b)x – ab

Ví dụ 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

x3 – 28x – 48Lời giải: 48 = 6.8 và 62 - 8 = 28

+ Tách m = a2 + b ( hoặc a2 – b) sao cho n = a.b

+ Dùng phương pháp nhóm hạng tử làm xuất hiện nhân tử chung

c Khai thác bài toán

Ví dụ 17: Phân tích đa thức 4x4 + 81 thành nhân tử

Lời giải: 4x4 + 81 = (2x)2 + 92 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2

= (2x2 + 9)2 – 36x2

Ví dụ 16: Phân tích đa thức thành nhân tử: x4 + 64y4

Lời giải: x4 + 64y4 = (x2)2 + (8y2)2

= (x2)2 + 2x2 8y2 + (8y2)2 – 16x2y2

= ( x2 +8y2 )2 – (4xy)2

= ( x2 +8y2 – 4xy) (x2 +8y2 +4xy) Như vây việc thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức rất tiện lợi,song ta cần xem xét thêm, bớt hạng tử nào? để xuất hiện hằng đẳng thức nào? bìnhphương của 1 tổng hay hiệu hai bình phương thì mới phân tích triệt để được

2 Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung và sử dụng hằng đẳng thức.

Ví dụ 17: Phân tích đa thức thành nhân tử:

Ví dụ 18: Phân tích đa thức x7 + x5 + 1 thành nhân tử:

D = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 (nhóm - làm xuất hiện nhân tử chung)

Ta thấy 2 hạng tử đầu có nhân tử chung là (x2+ x), ta có thể đặt

y = x2+ x = x(x + 1) (đổi biến) Khi đó ta có:

D1 = y2 + 4y - 12

Ta có thể dùng phương pháp tách hoặc thêm bớt

D1 = (y2 - 2y) + (6y - 12) (Tách 4y = 6y - 2y)

D1 = y (y - 2) + 6(y - 2) (đặt nhân tử chung)

D1 = (y – 2)(y + 6) (đặt nhân tử chung)

Hay D = (x2 + x - 2) (x2 + x + 6) thay lại biến x

D đã phân tích thành 2 nhân tử (x2 + x- 2) và (x2 + x+ 6)

Việc phân tích tiếp các nhân tử cho triệt để có thể dựa vào các phương pháp

đã nêu ở trên Chú ý có những tam thức không thể phân tích tiếp được như :

x2 + x + 6 = (x +

2

1)2 + 54

3 Do vậy không phân tích tiếp được nữaCòn x2 + x - 2 = (x2 - 1) + (x - 1) = (x - 1) (x + 2)

Khi đó D = (x2+ x + 6) (x - 1) (x + 2)

2.4 Phương pháp tìm nghiệm của đa thức.

Nguyên tắc: Nếu đa thức ax3 + bx2 + cx+ d (1) có nghiệm thì theo định lý Bơ du

ta có: Nếu m là nghiệm của (1) thì m chứa nhân tử (x - m), khi đó dùng phép chia đathức ta có:

ax3 + bx2 + cx + d = (x - m) (a'x2 + b'x + c'), nhân tử bậc hai có thể phân tích tiếpđược dựa vào các phương pháp nêu ở trên

Các phương pháp tìm nghiệm của đa thức bậc 3:

+ Nếu tổng các hệ số: a + b + c + d = 0 đa thức có nghiệm x = 1

 đa thức chứa nhân tử chung (x - 1)

+ Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng hệ số bậc lẻ tức là a - c = b +d đa thức có x = -1  đa thức chứa nhân tử chung (x + 1)