ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG LUYỆN THI ĐẠI HỌC LẦN 1 - NĂM HỌC 2012-2013 Môn TOÁN TRƯỜNG THPT THUẬN THÀNH SÔ 1
Trang 1LẦN 1 - NĂM HỌC 2012-2013
Thời gian làm bài : 180 phút
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
3
4 ) 3
3
x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m 0
2) Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0:+ )
Câu II (2 điểm)
4 2 sin 2 1 3 cos
x x
x
2) Giải phương trình sau :5x x2 6x1 x2 2x713(2x1) ( x R)
Câu III (1 điểm) Tính tích phân
dx x
x x
10
1 2
Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A,AC=a, BC =2a Mặt phẳng
(SAC) tạo với mặt đáy (ABC) góc 600 Hình chiếu H của S trên mf(ABC) là trung điểm cạnh BC.Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng HA và SB theo a
Câu V (1 điểm) Cho các số thực dương a, b, c Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
3
PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A) Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2 điểm)
1) Trong mặt phẳng Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có diện tích bằng 12 và tâm I là giao điểm của hai đường thẳng d1:xy 3 0;d2:x y6 Trung điểm của AD là giao điểm của d0 1 và trục Ox Tìm tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật ABCD
2) Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hình chóp tam giác đều S.ABC có điểm A(5;3;-1), B(2;3;-4), C(1;2;0), cạnh bên có độ dài 7 Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC biết S có tung độ <2
Câu VII.a (1 điểm) Chọn ngẫu nhiên 1 số từ tập các số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau và khác 0 Tính xác
suất để số được chọn là số chia hết cho 3
B) Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1)Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có B(1;5) và đường cao AH có phương
trình x y2 20,với H thuộc BC; đường phân giác trong của góc ACB có phương trình là
0
1
y
x Tìm toạ độ các đỉnh A, C, D
2) Trong không gian Oxyz cho điểm A(3; -2; -2) và mặt phẳng P :xy z 1 0 Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua A, vuông góc với mặt phẳng (P) biết rằng mặt phẳng (Q) cắt hai trục
Oy, Oz lần lượt tại điểm phân biệt M và N sao cho OM = ON
Câu VII.b (1 điểm) Giải phương trình: log x 3 log x 3 2x
3
Cảm ơn cô Thúy ( thuy79@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐIỂM
Khảo sát sự biến thiên, vẽ đồ thị hàm số yx3 3x2 4 1,0
- TXĐ : R
2
x
x
- Hàm số đông biến trên mỗi khoảng (; 0);(2; )
- Hàm số ngịch biến trên khoảng (0; 2)
0,25
- Cực trị : Hàm số đạt CĐ tại x1 0;y CD 4, hàm số đạt CT tại x2 2;y CT 0
- Giới hạn : lim ( 3 3 2 2) ; lim ( 3 3 2 2) ;
- Hàm số không có tiệm cận
0,25
- BBT :
y’ + 0 0 +
y
4
0
0,25
1
- Đồ thị
6
4
2
-2
-4
0,25
Tìm các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ) 1,0
Câu I
2
y’= 3x2- 2(3-m)x+
3
4
m Hàm số đồng biến trên khoảng (0;+ ) khi y'0,x0 y’ là tam thức bậc 2 có hệ số a > 0, ' m2-10m +9 y'0,x0có 2 trường hợp 0,25
Trang 30,25
TH2: Tam thức có hai nghiệm phân biệt x1 < x2 0
0
0 3
0 9 10
0 0
m m
m m
P
9
m
0,25
Từ 2 trường hợp trên ta có m ;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán
Chú ý : Học sinh có thể sử dụng hàm số để gải bài toán trên
x
x x
m
0 ),
( 2
3
18 9
2
0
2
0,25
4 2 sin 2 1 3 cos
x x
Ta có: x x x 2cosxcos2x 1 sin2x cos2x
4 2 sin 2 1 3 cos
0 2 cos cos 2 cos sin 2 cos
0,25
cos sin (cos sin ) 0 cos (cos sin )(1 sin cos ) 0 cos
2
1 4 cos
1 tan 2
1 sin cos
0 sin cos
0 cos
x x
k x
x x
x x
x
0,25
1
Z k k
x
k x
k x
2 4 2
0,25
Giải phương trình : 5(x x2 6(x1) x2 2x7)13(2x1) ( x R) 1,0
2 1
1 2
7 2
6
2 2
2 2
2
2
v u u
v x
u v x x
x v
x u
0,25
Ta có: Pt (1) thành:
) ( 0 5 ) ( 26 ) ( 5
) ( )
)(
( 26 1 )
( 5
) (
13 1
2
1 5
2
1 5
2 2
2 2 2
2 2
2
b v
u v
u
a v u u
v v u u
v u v
u v v u
v u u v
0,25
Câu II
2
0,25
Trang 4
2
1 7
2 6
)
a
Xét (b)
5 1
5
v u
v u
Nhưng ta có: u+v = x2 6 x2 2x7 5, dáu bằng xảy ra
khi x =
2
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x=
2
1
Tính tích phân :
dx x
x x
10
1 2
1,0
1
, đổi cận : : 5 10
: 2 3
x u
Ta có :
2
3
Câu
III
3
3 2 2
u
I
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ B tới mặt phẳng (SAC) theo a 1,0
-
- ABCvuông tại A có BC = 2a; AC = a khi đó
- Góc B = 300, C = 600 Gọi N là hình chiếu của H trên AC thì N cũng là trung điểm Của AC Khi đó ta có AC vuông góc với (SNH)
nên góc giữa (SAC) và (ABC) là góc SNH = 600
Trong tam giác vuông SHN ta tính được HN =
2
3
a
Và SH là
2
3a
-
0,25
- Diện tích tam giác ABC là S =
2
3 2
ABAC
- Thể tích khối chóp S.ABC là V =
4
3
3
S
SH
0,25
Câu IV
Qua B kẻ đường thẳng a song song với AH, gọi M là hình chiếu của H trên a và K là hình chiếu của H trên SM Ta có AH //(SBM) và K là hình chiếu của H trên (SBM) Nên khoảng cách giữa SB và AH bằng độ dài đoạn HK
0,25
H
C
A
B
S
M
N
Trang 5Ta có tam giác ACH đều nên góc HBM bằng 600
2 60 sin 0
HB
Trong tam giác vuông SHM có:
4
3 9
16 9
4 3
4 1
1 1
2 2 2 2 2
2
a HK a
a a HS HM
Vậy khoảng cách gữa hai đường thẳng AH và SB là
4
3a
0,25
3
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a 4b 16c
0,25
Suy ra
P
Đặt t a b c, t 0 Khi đó ta có:
P
Xét hàm số f t 3 3
với t 0 ta có f ' t 3 32
2t 2t t
f ' t 0 3 32 0 t 1
2t 2t t
Đặt Bảng biến thiên
t 0 1
f ' t 0 +
f t
0
3
2
Do đó ta có
t 0
3 min f t
2
khi và chỉ khi t 1
0,25
Câu V
đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
16 a 21
b
1 c 21
Trang 6Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 3
2
khi và chỉ khi a, b, c 16 4 , , 1
21 21 21
Tọa độ ( ; )9 3
2 2
I ,M là trung điểm AD thì M(3; 0)
2
Vì S ABCD AB AD 12 AD2 2
0,25
AD đi qua M(3; 0)và vuông góc với IM nên có phương trình x y 3 0
Gọi A x( ; x 3)ta có MA 2 2 (2;1)
4 (4; 1)
0,25
- Với A(2;1)ta có D(4; 1); (7; 2); (5; 4) C B
- Với A(4; 1) ta có D(2;1)và B(7; 2); (5; 4)C 0,25
1
Vậy A(2;1);B(5; 4);C(7; 2); D(4; 1) hoặc (4; 1)A ; (7; 2); (5; 4)B C ;D(2;1) 0,25
3
5
; 3
8
; 3
8
G là trọng tâm của tam giác ABC.Do S.ABC đều nên G
là hình chiếu của S trên mf(ABC) AG = 2, SG = 2 2 3
AG
SA
0,25
AB,AC3;15;3 nên SG có véc tơ chỉ phương là u(1;5;1 khi đó SG có phương
trình:
t z
t y
t x
3 5
5 3 8 3 8
3
5
; 5 3
8
; 3
8
Từ SG =
3
1
3 t , vì S có tung độ
lớn hơn 2 nên S(3;1;-2)
0,25
Phương trình mặt phẳng trung trực của SA là (P): 4x + 4y +2z – 21 =0, Tâm I của mặt
cầu là giao của (P) và SG Tìm được I
2
3
; 2
7
; 2
Câu
VI.a
2
Bán kính R = IS Tìm được phương trình mặt cầu:
4
27 2
3 2
7 2
Tính xác suất
Kí hiệu: A1,2 ,9, mỗi số có 3 chữ số khác nhau và khác 0 tương ứng với một chỉnh
hợp chập 3 của 9 phần tử trong A Vậy không gian mẫu có số phần tử là: A93 504 0,25
Câu
VII.a
Kí hiệu A1 = 3,6,9, A2 = 1,4,7, A3 = 2,5,8
Số lập được chia hết cho 3 nên tổng các chữ số của số đó chia hết cho 3
TH1: Cả 3 chữ số đều chia hết cho 3, mỗi số lập được ứng với 1 hoán vị của 3 phần tử
thuộc A1 nên có 3! Số
TH2: Cả 3 chữ số đều chia 3 dư 1 tương tự ta có 3! Số
0,25
AA
BD
BB
CC MM
III
Trang 7TH4: Có 1 chữ số chia hết cho 3 (có 3 cách chọn), 1 chữ số chia 3 dư 1(có 3 cách chọn),
1chữ số chia 3 dư 2 (có 3 cách chon) Theo quy tắc nhân có 27 bộ số rồi mỗi bộ số lập
được 3! Số
Từ 4 trường hợp trên ta có 30x 3! = 180 số
0,25
M : ‘ Số được chọn là số chia hết cho3 có 3 chữ số khác nhau và khác 0’
Xác suất của biến cố M là : P =
14
5 504
180
BC đi qua B(1;5) và vuông góc AH nên BC có pt - 2x + y – 3 = 0
Toạ độ C là nghiệm của hpt ( 4; 5)
0 1
0 3 2
C y
x
y x
0,25
Gọi A’ là điểm đối xứng B qua đường phân giác x y10(d),BAd K
Đường thẳng KB đi qua B và vuông góc d nên KB có pt: x + y – 6 = 0
2
5
; 2
7 ( 0 1
0 6
K y
x
y x
Suy ra A’ (6;0) , 0,25
Pt A’C :x – 2y – 6 = 0
Do ACA' AH nên toạ độ A là nhgiêm của hpt (4; 1)
0 2 2
0 6 2
A y
x
y
1
Trung điểm I của AC có toạ độ là I(0;-3) đồng thời I là trung điêm BD nên D(-1;-11) 0,25
1,0
Giả sử nrQ là một vecto pháp tuyến của (Q) Khi đó nuurQnuurP1; 1; 1
Mặt phẳng (Q) cắt hai trục Oy và Oz tại M0; ;0 ,a N0; 0;b phân biệt sao cho
0
a b
a b
a b
0,25
Nếu a = b thì MNuuuur0;a a; //ur0; 1;1 và nuurQ ur nên n Q u n, P2;1;1
uur r uur
Khi đó mặt phẳng (Q):2xy z 2 0 và Q cắt Oy, Oz tại M0; 2; 0 và
0; 0; 2
0,25
Nếu a = - b thì MNuuuur0; a; a//ur0;1;1 và nuurQ ur nên n Q u n, P0;1; 1
uur r uur
Khi đó mặt phẳng (Q):y z 0
0,25
Câu
VI.b
2
Q cắt Oy, Oz tại M0; 0; 0 và N0; 0;0 (loại) Vậy Q : 2x y z 2 0 0,25
Giải phương trình: log x 3 log x 3 2x
3
Câu
VII.b
Điều kiện : x > 0
- Ta có phương trinhg tương đương với: 3 3
3
log x log x
log x 2
3
Trang 8-
log x log x
Đặt
3
log x
10 1 t
3
(t > 0) Phương trình trỏ thành:
2
1 2
t 3
1 10 t
3
1 10 t
3
( loại)
0,5
Với t = 1 10
3
ta giải được x = 3 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =3
- Chú ý : HS làm cách khác, đúng giáo viên chấm vẫn cho điểm bình thường
Cảm ơn cô Thúy ( thuy79@gmail.com ) gửi tới www.laisac.page.tl