KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI A, A1 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 LẦN 1 

ĐỀ THI MÔN: TOÁN ­ KHỐI A, A1  Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề 

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số  3 2 

2 

x 

y 

x

-

=

-  , có đồ thị là  ( )  C   

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho. 

b) Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C), biết tiếp tuyến d tạo với trục Ox một góc a  sao  cho cos  1 

17

a =  . 

Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình: sin 2 cos 2 5sin cos 3  0 

2 cos 3 

x

=

Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: 

2 2 

( 1) 3 

x y xy y 

x y x y

ì

í

î 

Câu 4 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình: mx - x-3 =m +  có hai nghiệm 1 

thực phân biệt. 

Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hình chiếu vuông 

góc  của  S  lên  mặt  phẳng  (ABCD)  trùng  với  trọng  tâm  tam  giác  ABD.  Cạnh  SD  tạo  với  đáy  (ABCD) một góc bằng  60  o   Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A tới mặt phẳng 

(SBC) theo a. 

Câu 6 (1,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của m để với mọi x thuộc  0; 

2

p

ta đều có 

tan x+cot x³m+ 64 cos 2  x . 

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B) 

A. Theo chương trình Chuẩn 

Câu  7.a  (1,0  điểm)  Cho  đường  tròn ( ) :C x2+y2 -4x+6y -12= 0  và  điểm  M  (2; 4 3) .  Viết 

phương trình đường thẳng d cắt đường tròn (C) tại hai điểm A, B sao cho tam giác MAB đều.  Câu 8.a (1,0 điểm) Tìm hệ số của  x  trong khai triển thành đa thức của biểu thức:  4  (1+ + x 4x 2 10 )  . 

Câu 9.a (1,0 điểm) Giải phương trình: ( ) ( ) 

2 

2 

x x 

x + x x+ x + +

B. Theo chương trình Nâng cao 

Câu 7.b (1,0 điểm) Cho elíp 

2 2 

9 4 

x y 

E + =  và điểm  (1; 1)  I   Viết phương trình đường thẳng d 

qua I cắt (E) tại hai điểm M, N sao cho I là trung điểm của MN. 

Câu 8.b (1,0 điểm) Tính giới hạn: 

3 

1 

lim 

1 

x 

x

®

Câu 9.b (1,0 điểm) Có tất cả bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau mà trong mỗi số đó 

luôn có mặt hai chữ số lẻ và ba chữ số chẵn. 

­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­ 

Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn )đã gửi tới 

www.laisac.page.tl

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC  KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012­2013 

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN ­ KHỐI A, A1 

——————————— 

I. LƯU Ý CHUNG: 

­ Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh  làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. 

­ Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. 

­ Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. 

II. ĐÁP ÁN: 

1  a  1,0 điểm 

TXĐ: D = ¡  \ {2}. 

Giới hạn, tiệm cận: 

4 

2 

x

®+¥ ®+¥

-

4 

2 

x

®-¥ ®-¥

-

4  lim lim 3 

2 

y 

x

-

4  lim lim 3 

2 

y 

x

-

Đồ thị có TCĐ: x =  2 ; TCN: y =    3 

0.25 

Sự biến thiên:  ' 4  2  0 2 

( 2) 

x

= - < " ¹

-  , suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng  ( -¥ ;2) & (2; +¥  )

0.25 

BBT

y 

0.25 

Đồ thị: 

Giao với Oy tại:  (0; 1) ,  giao với 

Ox tại:  2 ; 0 

3

Đồ  thị  nhận  giao  điểm  của  hai 

b  1,0 điểm 

17

0.5

Vì y x '( ) < 0, " ¹  x 2 suy ra hệ số góc của d bằng  4 -   

Giả  sử  d  tiếp  xúc  với  (C)  tại  điểm  M x( ;0 y0),x ¹ 0  2. 

0 

0 

0 

1 

4 

3. 

( 2) 

x 

y x 

x 

x

=

é

=

- ë  Với x0 = Þ1 y 0 = -  ; với 1  x0= Þ3 y 0 = 7 

0.25 

Vậy có hai phương trình tiếp tuyến d thỏa mãn là:  y= -4x +  và 3  y= -4x + 19 .  0.25 

sin 2 cos 2 5sin cos 3 

0 (1) 

2 cos 3 

x

=

3 

x¹ Ûx¹ ±p +k k Î ¢

(1)Ûsin 2x+cos 2x+5sinx-cosx - = 3 0 

2  cos (2 sinx x 1) (2 sin x 5sinx 2) 0 

(2 sinx 1)(cosx sinx 2) 0 

2 

sin 

5 

2 

2 

6 

x 

é

= +

ê

ê = +

ê ë

p

p

p

p 

0.25 

Kết hợp điều kiện suy ra phương trình có nghiệm  5  2 ( ) 

6 

p

2 

2 

( ) 

I 

ï

Û í

Đặt  x y a 

xy x b

+ =

ì

Þ

í

- =

î 

hệ (I) có dạng: 

2 

2 

3 

a a b 

a b

ï

í

- =

ï

2 ( 2  2) 8 

a a a

Û + + + =  Û(a+2)(a2 - +a 4)=0Ûa= - Þ2 b = 1 

0.25 

Với 

2 

2 

x y 

+ = -

3 5 

2 

1 5 

2 

3 5 

2 

1 5 

2 

x 

y 

x 

y

éì - +

=

êï ï

ê í

ê ï - -

=

ê ï î

ê

Û

ê ì - -

ê ï =

ê í

ï

ê =

ï

êî

ë 

0.25 

Vậy hệ phương trình có nghiệm  3 5; 1 5 ; 3 5;  1 5 

Đk: x ³  3 

1 

x 

x

- +

- 

0.25 

1 

x 

f x 

x

- +

=

-  với  x ³  3  Khi đó: 

2 

f x 

0    7 2 3 

x 

0.25

f(x)  1 

2 

1 3 

4 + 

0 

0.25 

Từ  bảng  biến  thiên  suy  ra,  để  phương  trình  có  hai  nghiệm  thực  phân  biệt  thì 

+

£ <  . 

(Có thể đặt t = x - 3, t ³  0 ) 

0.25 

Gọi H là trọng tâm của tam giác ABD, I là trung điểm của AB. 

tan 

3 

a 

3 

2   

Từ  H  kẻ  đường  thẳng  vuông  góc  với  BC  và  cắt  BC  tại  E. Trong  tam  giác  SHE  kẻ 

đường cao HK. Do  SH ^(ABCD)ÞSH ^BCÞBC^ (SHE ) 

0.25 

a 

HE= AB =  1 2 12 1 2 32 9 2 

57 

a 

HK

( ;( )) ( ; ( )) 

d A SBC d H SBC 

0.25 

Bất đẳng thức tương đương với

Xét  các  hàm  số ( )  4 4 

tan cot 8 cos 2 

tan cot 8 cos 2 

trên  0; 

2

p

. 

0.25

E

I

K

S

O

D

C

B

A H

* Ta có

( )

2 

Suy ra f x  đồng biến trên  0; ( ) 

2

p

è ø . Lại có

( ) 

với  0; 

2 

x æ p ö

" Î ç ÷

nên g x  đồng ( ) 

biến trên  0; 

2

p

0.25 

* Với  0; 

4 

x æ pù

" Î ç ú

ta có ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( )  0 

f x fæp ö g x gæp ö f x g x

4 2 

x ép p ö

" Î ê ÷

ta có ( ) 0, ( ) 0 ( ) ( )  0 

f x fæp ö g x gæp ö f x g x

0.25 

2 

x æ p ö

" Î ç ÷

è ø ta  đều có f x g x ³  , dấu bằng  xảy ra  khi ( ) ( )  0 

4 

=  nên để  bất 

phương trình đúng  0; 

2 

x æ p ö

" Î ç ÷

thì m- £2 0Ûm £ 2 . 

0.25 

7.a  1,0 điểm 

Phương trình đường thẳng MI:  x = Þ  phương trình AB:  y 2  = m 0.25  Hoành độ của A, B là nghiệm của phương trình  x2-4x+m2 +6m -12= 0 (1) 

2 

D = - - + > Û - < < 

( ; ); ( ; ) 

A x m B x m

Þ  với x x  là hai nghiệm của phương trình (1). 1,  2 

0.25 

Gọi H là trung điểm của AB Þ H(2;m ) ; 

2 64 4 2  24 

Để tam giác MAB đều thì: 

4 

0 

4 3 9 

2 

m 

m

=

é

ê

ê =

ê

Vậy có hai đường thẳng d  thỏa mãn ycbt là:  y =  và  0  4 3 9 

2 

y =  -  

0.25 

H 

B 

A 

I  M

8.a  1,0 điểm 

10 

0 

k 

=

10 

10 20 2 

10 

0 0 

4 

k 

k 

k i 

C C - x - +

= =

Cho  20 2- k+ =i 4Û2k- =i 16 (0£ £i k £  10) 

0.25 

Vậy hệ số của  4 

x  trong khai triển trên là: 4 2C C108 80+4.C C109 92+C C 1010 10 4  = 2370.  0.25  9.a  1,0 điểm 

Chia hai vế cho ( )  2  2  2 

x + x

ta được 

4 

2 

0.25 

Đặt 

2 

2 

, 0 

2 

x x 

+

æ + ö

Giải ra 

2 

2 

2 

2 

t 

t

-

ê

ê

ë 

0.25 

Suy ra 

2 

2 

2 2 (vo nghiem) 

ê + = -

ê

0.25  7.b  1,0 điểm 

Xét  phép  đối  xứng  tâm  (1; 1)  I  :  ĐI biến  điểm  O  thành  điểm  K  (2; 2)  ,  biến  elíp  (E) 

thành elíp có phương trình 

E - + - =  và biến điểm M thành điểm 

N, N thành M. 

0.5 

Do vậy M, N là  giao điểm của hai elíp (E) và (E’) suy ra tọa độ hai điểm M, N thỏa 

0.25

1 

9 4 

1 

x y 

ì

ï

í

ï Trừ  vế  cho  vế  ta  được  4x+9y -13= 0.  Vậy  phương  trình  đường  thẳng  MN  là 

4x+9y -13=  0. 

mãn  ycbt.  Gọi Dlà  đường  thẳng  qua  I  có  hệ  số  góc  k.  Suy  ra  phương  trình  của 

: y k x ( 1) 1 

D = - +  . M, N là giao điểm của D và (E), từ điều kiện I là trung điểm 

MN suy ra  4 

9 

k = -  , vậy phương trình D  : 4x+9y -13= 0. 

0.25 

8.b  1,0 điểm 

Đặt  f x( )= 3 2x- -1 3x-2Þ f (1)= 0 

( 3  ) 2 

2 3 2 

x 

x

-

- 

0.5 

Ta có: 

1 

( ) (1)  '(1) lim 

1 

x 

f x f 

f 

x

®

-

- 

3 

1 

lim 

x 

x

®

= -

Vậy 

3 

1 

x 

x

®

= -

- 

Cách khác: Có thể thêm, bớt 1 vào tử số, tách thành hai giới hạn rồi nhân với biểu 

thức liên hợp của tử số. 

0.25 

9.b  1,0 điểm 

Giả sử số viết được là abcde với a b c d e Π , , , , { 0,1, 2,3, 4,5, 6, 7,8,9  } và a ¹  0. 

Trước hết ta đếm các số dạng abcde có 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt tính 

cả trường hợp a = 0. 

0.25 

Khi đó ta chọn ra 3 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt rồi hoán vị các chữ số đó, ta 

có  3 2 

5 5 .5! 

Tiếp theo ta xét các số có dạng 0bcde với 2 chữ số chẵn và 2 chữ số lẻ phân biệt. 

Khi đó ta chọn ra 2 chữ số chẵn (khác 0) và 2 chữ số lẻ rồi hoán vị vào các vị trí b, c, 

d, e Ta có  C C 42 5 2 .4! 

0.25 

Từ đó ta có số các số cần tìm là:  3 2 2 2 

5 5.5! 4 5 .4! 10560 

­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­