KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1 ĐỀ THI MÔN TOÁN KHỐI D SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ KSCL THI ĐẠI HỌC NĂM HỌC 20122013 LẦN 1
ĐỀ THI MÔN: TOÁN KHỐI D Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I ( 2,0 điểm). Cho hàm số y= -x4+2mx 2 - có đồ thị 4 ( ) C ( m là tham số thực) m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m =2.
2. Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị ( ) C m nằm trên các trục tọa độ.
Câu II (2,0 điểm).
1. Giải phương trình: sin tan 2x x+ 3 sin( x- 3 tan 2x ) = 3 3 .
2. Giải bất phương trình: 1
3
3
<
-
+
+
x
x
Câu III (1,0 điểm). Giải hệ phương trình:
ï
í
ï
Câu IV (1,0 điểm). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có đoạn thẳng nối hai tâm của hai mặt bên kề
nhau có độ dài bằng a. Tính theo a thể tích khối lập phương ABCD.A'B'C'D' và khoảng cách giữa hai
đường thẳng AC' và B'D'.
Câu V (1,0 điểm). Cho ba số thực dương , , x y z thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
.
II.PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A.Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
0
x - y = và điểm M(2;1). Lập phương trình đường thẳng ( ) D cắt trục hoành tại A, cắt đường thẳng (d)
tại B sao cho tam giác AMB vuông cân tại M.
Câu VII.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C 1 ) có phương trình
2 2
25
x +y = , điểm M(1; 2). Đường tròn (C 2 ) có bán kính bằng 2 10 . Tìm tọa độ tâm của (C 2 ) sao cho (C 2 ) cắt (C 1 ) theo một dây cung qua M có độ dài nhỏ nhất.
Câu VIII.a (1,0 điểm). Giải bất phương trình: 12 3 3 2 1 2 2 81.
2
*
xÎ N )
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm P(7;8) và hai đường
thẳng( ) d1 : 2x+5y + = 3 0, ( ) d2 : 5x-2y -7= 0 cắt nhau tại A. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua
P và tạo với ( ),(d1 d 2 ) một tam giác cân tại A và có diện tích bằng 29
2 .
Câu VII.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho đường thẳng (d) có phương trình
2 0
x+y + = và đường tròn (C 1 ) có phương trình: x2+ y2 -4x+2y +4= Đường tròn (C 0 2 ) có tâm thuộc (d), (C 2 ) tiếp xúc ngoài với (C 1 ) và có bán kính gấp đôi bán kính của (C 1 ). Viết phương trình của đường tròn (C 2 ).
Câu VIII.b (1,0 điểm). Cho hàm số
2
3
1
x mx
y
x
+ +
= + .Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số có cực đại,
cực tiểu đồng thời hai điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị nằm về hai phía của đường thẳng (d): 2x+y1=0.
Hết
Cảm ơn thầy Nguyễn Duy Liên (lientoancvp@vinhphuc.edu.vn )đã gửi tới
www.laisac.page.tl
Trang 2MÔN TOÁN KHỐI D
( Đáp án có 06 trang: từ trang 1 đến trang 6 )
Với m = 2, hàm số trở thành: 4 2
y = - x + 4x - 4
* Sự biến thiên của hàm số:
Giới hạn vô cực và các đường tiệm cận: lim ; lim
Bảng biến thiên:
+ Ta có: = - + = Û ê é =
= ±
ë
2
x
x + Bảng biến thiên:
y’ + 0 0 + 0
y
0
¥
0
Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -¥; - 2 ) và ( 0; 2 )
Hàm số nghịch biến trên khoảng ( - 2; 0 ) và ( 2; +¥ )
Điểm cực đại của đồ thị là ( - 2; 0 ) , ( 2; 0 ) điểm cực tiểu của đồ thị B(0;4)
* Đồ thị:
+ Đồ thị cắt trục tung tại ( 0; 4 - ) và cắt trục hoành tại điểm ( - 2; 0 ) và ( 2; 0 )
+ Nhận xét: Đồ thị (C) nhận trục tung làm trục đối xứng.
2
2
4
6
8
f x ( ) = x ( 4 +4×x 2 ) 4
0,25
0,25
2 Tìm m để tất cả các cực trị của hàm số ( ) C m nằm trên các trục tọa độ. 1,00
I
2
0
x m
=
é
=
ë Nếu m £ 0 thì ( ) C m chỉ có một điểm cực trị và đó là điểm cực đại nằm trên trục
tung.
Nếu m > 0 thì ( ) C m có 3 điểm cực trị . Một cực tiểu nằm trên trục tung và hai
điểm cực đại có tọa độ 2
(- m m ; - 4) , 2
( m m - ; 4) .
Để hai điểm này nằm trên trục hoành thì
2
m - = Ûm = ± . Vì m > 0 nên chọn m = 2.
0,25
0,25 0,25
Trang 3Vậy m Î -¥( ; 0]È { } 2 là những giá trị cần tìm thỏa mãn yêu cầu bài toán. 0,25
Đk. cos 2x 0 x m , m Z.
4 2
p p
Ta có: sin tan 2x x+ 3(sinx- 3 tan 2 )x = 3 3
(sin tan 2 3 sin ) (3 tan 2 3 3) 0
sin (tan 2x x 3) 3(tan 2x 3) 0 (tan 2x 3)(sinx 3) 0
k
p
Vậy pt có một họ nghiệm : ,
= -p + p Î
0,25
0,25 0,25 0,25
II
+ Đk: x ³ 0; x ¹ 3
Bất phương trình x 1 3 x
3 x
+
Û < -
-
2
2
2x
0
3 x
x 0
-
ì
>
ï -
ï
Û < Û í <
ï ³
ï
î
2
x (3; )
x 10x 9 0
Î +¥
ì
Û í
- + <
î
x (3; )
x (3;9)
x (1;9)
Î +¥
ì
Î
î
(Thỏa mãn điều kiện) Vậy tập nghiệm của bpt là : (3;9)
0,25
0,25
0,25 0,25
III
+ Điều kiện: x2+3y³0,y2 +8x ³ 0
u= x + y v= y + x u v ³
2
2 1
3
( )
5
= -
ì
ï
=
ï ë
î
v u
v
+ Khi đó
2
2
2
2
2
4
3
4
8 9
3
=
ï
æ - ö + =
ï
ï è ø
î
x
y
x
y x
0,25
0,25
0,25
Trang 44 2
4
3
=
ï
Û í
î
x
y
2
2
2
1
4
4
1
3
3
x
x
y
x
y
y
éì =
=
=
ê
=
ê
= -
Kết hợp với điều kiện ban đầu ta thu được tập hợp nghiệm của hệ phương trình
là: S ={ (1;1), ( 5; 7) - - }
0,25
IV B C
A D
M K
N
I
A' D'
+ Gọi M,N lần lượt là 2 tâm của 2 hình vuông ABB'A'; ADD'A'
1
MN B ' D ' B ' D ' 2a A 'B ' a 2
2
' ' ' ' '
' ' ' B C D '. A B C D
2
2
2
+ Gọi I là giao của B'D' và A'C'
Trong (AA'C') kẻ IK ^ AC ' ; K Î AC '
' ' ' '
' '
'
D
B
IK
D
B
C
AA
D
B
C
A
D
B
AA
^
Þ
^
Þ
þ
ý
ü
^
^
Vậy: d ( AC ' , B ' D ' ) = IK
IK
C'
D đồng dạng với D C ' AA ' .
IK C 'I AA '.C 'I a 2.a a
IK
AA ' C ' A C ' A a 2 3 3
Kết luận: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AC’ và B’D’ bằng
3
a
.
0,25
0,25
0,25
0,25
V
Ta có:
xyz
z
y
x
z
y
x
P
2
2
2
3
3
3
2
3
+ + +
÷
ø
ö
ç
è
=
Áp dụng bđt: a 2 + b 2 ³ 2 ab , " a , b Þ x 2 + y 2 + z 2 ³ xy + yz + zx .
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ + +
÷
ø
ö
ç
è
æ +
³
Þ + + +
+ +
³
Þ
z
z
y
y
x
x
P xyz
zx
yz
xy
z
y
x
3
2
3
2
3
2
3
3
3
3
3
3
3
0,25
Trang 5+ Xét hàm số
t
t
t
3 ) (
3
+
= với t > 0 ;
2
4
2
) (
'
t
t
t
t
t
f = - = - ; f ' ( t ) = 0 Û t = 4 2
+ BBT
( )
/
( )
f t
4
8
3 2
Vậy P ³ 4 4 8 Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 4 2 . Hay P min = 4 4 8
0,25
0,25
0,25
Chương trình chuẩn
VI
AÎ ÞA a BÎdÞ B b b , M(2;1)ÞMA=(a-2; 1),- MB=(b-2;b - 1)
.
Tam giác ABM vuông cân tại M nên:
( 2)( 2) ( 1) 0
MA MB
ì
Û
uuuuruuur
Nhận xét b=2 không thỏa mãn hệ phương trình này.
1
2
1
2
1
2
-
ì
- =
-
Û
-
-
î
b
a
b
b
b
b
2
2
1
2
1
2
éì =
-
ì
ê
ïéë - + - ù û ê - ú = ê í
a
b
a
b
b
a
Với 2
1
a
b
=
ì
í
=
î đường thẳng Dqua A,B có phương trình x+ - = y 2 0
Với 4
3
a
b
=
ì
í
=
î đường thẳng Dqua A,B có phương trình 3x+y -12= 0
Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x+ - = y 2 0 và 3x+y -12= 0 .
0,25
0,25
0,25 0,25
VII
(C1) A (C2)
O M I
B +(C1) có tâm O(0;0), bán kính R=5
( - ) Þ OM = Þ OM < R Þ
OM 1 ; 2 5 M nằm trong đường tròn (C1)
+ Giả sử (C2) cắt (C1) tại A và B. Gọi H là trung điểm đoạn AB.
2
2
2
25
2
2
M.
0,25
Trang 6+ Phương trình của AB: x – 2y – 5 = 0 Tọa độ của A,B là nghiệm hệ:
î
í
ì
= +
=
-
-
25
0
5
2
2
2
y
x
y
x
. Giải hệ được hai nghiệm(5;0);(3;4).
+ Giả sử A(5;0); B(3;4). Phương trình của OM: 2x + y = 0.
Gọi I là tâm của (C2); Do I Î OM Þ I ( t ; - 2 t ) .
Mà IA = 2 10 => ( 5 - t ) 2 + 4 t 2 = 40 .Giải ra: t = 1 hoặc t = 3.
t = - Þ 1 I( 1, 2) - ; t = 3 Þ I ( 3 , - 6 )
Vậy tâm của (C2) có tọa độ (1 ; 2) hoặc (3, 6).
0,25
0,25
0,25
VIII + Đk : x Î N ; ³ x 3
81 )!
2
2 (
)!
2 (
2
1 )!
2 (
!
3 )!
3 (
3
!
12
-
-
³
-
-
-
Û
x
x
x
x
x
x
x bpt
5
3
17
0
85
2
3
81 )
1
2 ( )
1 (
3 )
1 )(
2 (
2
2
£
£
-
Û
£
- +
Û
-
-
³
-
-
-
-
Û
x
x
x
x
x
x
x
x
x
+ Kết hợp điều kiện ta được x Î { 3 ; 4 ; 5 }
Vậy tập nghiệm của pt là { 3 ; 4 ; 5 }
0,25
0,25 0,25
0,25
Chương trình nâng cao
VI
d1
d d2
B
A
P
Ta có A=d1Çd 2 Þtọa độ của A là nghiệm của hệ
( )
1; 1
A
Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi d d 1, 2 là
( ) D1 : 7x+3y-4=0,( ) D2 : 3x-7y -10= 0 .
Vì d tạo với d d 1, 2 một tam giác cân tại A nên
Þ
d x y C . Mặt khác ( 7;8) ( ) P - Î d nên C1= 77, C 2 = 25
Suy ra: :3 7 77 0
:7 3 25 0
é
ë Gọi B=d1Çd C , =d2 Ç d . Thấy (d )1 ^ (d ) 2 Þ tam giác ABC vuông cân tại A
ABC
SD = AB AC= AB = Þ AB = và BC=AB 2 = 58
Suy ra:
29
2
2
58
ABC
S
AH
BC
D
0,25
0,25
0,25
Trang 7Với d: 3x-7y +77= 0 , ta có
( ; )
2
58
3 ( 7)
d A d = - - + = ¹AH =
+ -
(loại)
Với d: 7x+3y +25= 0 ta có
2 2
7.1 3( 1) 25 29 58 ( ; )
2
58
7 3
+
(t/mãn).
Vậy d: 7x+3y +25= 0
0,25
VII
(C1) có tâm I(2 ;1); bán kính R1 = 1.Vậy (C2) có bán kính R2 = 2
Gọi J là tâm của (C2). Do J Î d Þ J ( t ; - - t 2 )
(C1) tiếp xúc ngoài với (C2) nên IJ = R1 + R2 = 3 hay IJ 2 = 9
ë
é
-
=
=
Û
=
-
-
Û
=
-
- +
-
Û
1
2
0
2
9
1 )
2
t
t
t
t
t
t
+ t = - 1 Þ J ( - 1 ; - 1 ) Þ ( C 2 ) : ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4
+ t = 2 Þ J ( 2 ; - 4 ) Þ ( C 2 ) : ( x - 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4
Vậy có 2 đường tròn (C 2 ) thỏa mãn là: ( x + 1 ) 2 + ( y + 1 ) 2 = 4
và ( x - 2 ) 2 + ( y + 4 ) 2 = 4
0,25 0,25 0,25
0,25
VIII
Ta có
( )
2
2
'
1
y
x
=
+
Hàm số có CĐ, CT khi pt y'=0 có 2 nghiệm phân biệt khác 1.
Û + + - = có hai nghiệm phân biệt khác – 1
4
4 0
m
m
m
D = - >
ì
- ¹
î
Giả sử đồ thị có điểm CĐ,CT là A x y( 1; 1) ( ,B x y 2; 2 ) Khi đó pt đường thẳng đi
qua 2 điểm CĐ,CT là y = 2x+m. Suy ra y1=2x1+m y; 2=2 x2 + m .
Hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng (d) khi
( )( ) ( )
2
Theo định lý Viet 1 2
1 2
2
3
x x
x x m
+ = -
ì
í
= -
î
. Thay vào bpt trên, ta được:
2 +6 -39<0Û - -3 4 3< < - + 3 4 3
Vậy - -3 4 3<m < - + 3 4 3
0,25
0,25
0,25
0,25