ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN 2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn TOÁN Khối D

ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 LẦN 2 THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu Môn TOÁN Khối D

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 ­ LẦN 2 

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu      Môn: TOÁN; Khối: D 

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề  PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) 

Câu I (2,0 điểm). Cho hàm số  y = x4- 2 mx2+ 2 m 2 -  4 ( C   (m là tham số thực) m ) 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với  m  =  1

2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số  ( C m )  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác cân có  góc ở đỉnh của tam giác đó bằng a với 

2 

2 

1 

2  tan a =

. 

Câu II (2,0 điểm) 

1. Giải phương trình  2 

2cos x+2 3sin cosx x+ =1 3(sinx+  3cos )  x . 

2. Giải hệ phương trình 

ï

í

ï

( ,x yΠR ) . 

Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân = ò - + + +

1 

1  ) 

1 

( 

dx 

e 

x 

e 

x 

x 

. 

Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có  ·  0 

AB=a BC= a ABC =  , hình chiếu vuông góc 

của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng  (ABC) bằng 60 0 . Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt  phẳng (A’BC). 

Câu V (1,0 điểm) Cho bất phương trình  m( x2 -2x+2+1)+x(2-x )³ 0 

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x éÎ 0;1+ 3 ù

ë û . 

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B) 

A.  Theo chương trình Chuẩn 

Câu VI.a (2.0 điểm) 

1.  Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng D:x-2y + =  và đường tròn 5 0  ( ) :C x2+y2 -2x+4y - = 5 0 có 

tâm I. Qua điểm M  thuộc D, kẻ tiếp tuyến MA đến (C) (A là tiếp điểm) sao cho  AM =  10   Tìm tọa độ điểm M 

và lập phương trình đường tròn ngoại tiếp  MAI D   

2.  Trong không gian  Oxyz , cho hai đường thẳng ( ) 1 ( ) 2 

phẳng ( ) P : x+y-2z+3= 0  Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) cắt ( ) ( ) d , d 1 2 

lần lượt tại  A,  B sao cho AB  = 3 3 . 

Câu VII.a (1.0 điểm) Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn  z2+z 2 =  và 6  z- +1 i = z- 2  i

B. Theo chương trình Nâng cao 

Câu VI.b (2.0 điểm) 

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A,  BC : 2 x  - y - 7 = 0 , đường thẳng AC đi qua điểm 

), 

1 

; 

1 

(- 

M  điểm A nằm trên đường thẳng  D : x - 4 y + 6 = 0 . Lập phương trình các cạnh còn lại của tam giác  ABC  biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. 

2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; -1; 0), B(2; 1; -2), C(1; 2; 2) và mặt cầu 

( ) :S x +y +z -2x-4y-6z -67=   Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với BC và tiếp  0 

xúc mặt cầu (S). 

Câu VII.b (1.0 điểm) Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  z - 2 - 4 i = z - 2 i  Tìm số phức z có mô đun  nhỏ nhất. 

­­­­­­­­­­­­­­­­­ Hết ­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 

Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ trang http://boxmath.vn ) chia sẻ tới www.laisac.page.tl

SỞ GD & ĐT ĐỒNG THÁP  ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 

THPT Chuyên Nguyễn Quang Diêu  ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013 ­ LẦN 2 

Môn: TOÁN; Khối: D  (Đáp án – thang điểm gồm 06 trang) 

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM 

Cho hàm số  y = x4- 2 mx2+ 2 m 2 -  4 ( C   (m là tham số thực) m ) 

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với  m  =  1

Với  m 1   =  Þ y=x4-2x 2 - 2 

TXĐ:  D= ¡ 

3 

' 4 4 

y = x -  x .  Cho  y’=  ta được:  x0 =  hoặc 0 x = ±  1 

0.25 

Sự biến thiên: 

­ Hàm số đồng biến trên các khoảng ( - 1; 0 ) và  (1;+¥  ; )

­ Hàm số nghịch biến trên các khoảng  (-¥ -  và ; 1) ( ) 0;1  

­ Hàm số đạt cực đại tại x=0,y cd = -   Hàm số đạt cực tiểu tại 2  x= ±1,y ct = -   3 

­ Giới hạn: 

xl im y ; x l im y

®-¥ = +¥ ®+¥ = +¥ 

0.25 

Bảng biến thiên:

x -¥  ­1      0       1 +¥ 

y 

0.25 

Đồ thị 

­ Đồ thị cắt Ox tại hai điểm  (± 1+  3 ; 0)

cắt Oy tại (0; ­2) 

­ Đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng 

0.25 

2. Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số  (C m )  có 3 điểm cực trị tạo thành một tam  giác cân có góc ở đỉnh của tam giác đó bằng a với 

2 

2 

1 

2  tan a =

. 

Ta có: y'=4x3 - 4  mx . 

2 

x 0 

y ' 0 

x m

=

é

= Û ê =

ë 

0.25 

I

(2,0 

điểm) 

­3 

4 

2 

­2 

­4 

y 

x  O

Khi đó các điểm cực trị của đồ thị là: A(0; 2m -  4) , B( m m - ; 4) , C(- m m ; -   4) 

Ta thấy B, C đối xứng nhau qua trục  Oy và  A Oy Π nên tam giác ABC cân tại A. 

Phương trình cạnh BC: y-m 2 + =   4 0 

Gọi H là chân đường cao từ đỉnh A của tam giác ABC, ta có: 

2 

( , ) 

AH =d A BC = m ,  BH =  m

0.25 

Tam giác ABH vuông tại H nên  2 

2 

tan 

m 

m 

AH 

BH

=

=

2 

1 

2 2 

m 

m

(thỏa mãn *). 

Vậy m =  2  là giá trị cần tìm. 

0.25 

1. Giải phương trình  2cos2 x+2 3sin cosx x+ =1 3(sinx+  3cos )  x . 

2 

2cos x+2 3 sin cosx x+ =1 3(sinx+  3 cos )  x

2 

(sinx 3 cos )x 3(sinx 3 cos )x 0 

0.25 

sinx 3 cosx 0 sinx 3 cosx 3 

Phương trình  sinx+ 3 cosx =  vô nghiệm vì 3  1 2 + (  3 ) 2 < 3 2  0.25  Nên (1)  tan 3 

3 

p

Û = - Û = - +  ( k Î ¢ ) 

Vậy, phương trình có nghiệm là: 

3 

p

= - +  ( k Î ¢ ). 

0.25 

2. Giải hệ phương trình 

ï

í

ï

( ,x yΠR ) . 

Phương trình thứ (2)Û y2 +(2-x y) -3x - = 3 0 được xem là phương trình bậc hai theo ẩn y có 

2 

(x 4) 

D = + 

Phương trình có hai nghiệm: 

3 

2 

1 

2 

y 

- - -

é

ê

ê

- + +

ê

0.25 

Thay  y = ­3 vào pt thứ nhất ta được pt vô nghiệm 

Thay y  = x + 1 vào pt thứ nhất ta được:  x2 -5x- +2 6 x2 -5x +5= 0  (3) 

0.25 

Giải (3): đặt  x2 -5x + 5  =  t , điều kiện t ³ 0

7  ( ) 

t t 

=

é

= -

ë 

0.25 

II 

(2,0 

điểm) 

Với t=1 Û  2 

5 5 

x - x +  =1 Û  1 2 

= Þ =

é

ê = Þ =

ë 

( thỏa mãn)  Vậy, hệ phương trình có 2 nghiệm là: ( 1 ; 2 ) và (4;5) 

0.25 

Tính tích phân = ò - + + +

1 

1  ) 

1 

( 

dx 

e 

x 

e 

x 

x 

. 

2 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

x 

1 

0 

1 

2  ) 

1  ( 

e 

1 

2  ) 

1  (  ) 

1  ( 

e 

1 

1 

I 

I 

dx 

e 

e 

dx 

x 

dx 

e 

e 

e 

x 

dx 

x 

e 

xe 

x 

x 

x 

x 

x 

x

-

= +

- +

= +

- + + +

= +

+ +

-

III 

(1,0 

điểm) 

Tính 

2 

3 

2  ) 

1 

2 

1 

ø

ö

ç

è

æ +

= +

= ò x  dx  x  x 

2 

1 

ln  ) 

1  ln( 

1 

) 

1  ( 

1 

0 

1 

0 

2

+

= +

= +

+

= +

e 

e 

d 

dx 

e 

e 

x 

x 

x 

0.25 

Vậy  3 2 ln  1 

e 

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có  ·  0 

AB=a BC= a ABC =  , hình chiếu vuông góc của A’  trên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và góc giữa AA’ tạo với mặt phẳng  (ABC) bằng 60 0  Tính thể tích khối chóp A’.ABC và khoảng cách từ G đến mặt  phẳng (A’BC). 

Từ A '  G  ^ ( ABC ) Þ AG là hình chiếu của AA  ' lên ( ABC ) 

Gọi M là trung điểm BC. Từ giả thiết ta có: 

a 

' an60 

3 

a 

A G AG t

0.25 

Vì AC 2 = AB 2 + BC 2 - 2 . AB . BC . cos 60 0 = 3 a 2 Þ AC = a  3 

Mặt khác  AB 2 + AC 2 = a 2 + 3 a 2 = 4 a 2 = BC 2 Þ D ABC vuông tại A 

Và A '  G ^ ( ABC ) nên  A ' G  là chiều cao của khối chóp  A  ' ABC 

Thể tích của khối chóp  A  ' ABC được tính bởi: 

/ 

3   

A ABC 

0.25 

Kẻ AK ^ BC tại K và GI ^ BC tại I Þ GI // AK 

. 

Kẻ GH ^ A’I tại H  (1) 

' 

BC GI 

BC GH 

BC A G

^ ü

ý

^ þ  . Từ (1) và (2) Þ  GH ^ (A’BC) Þ  [ , ( 'd G A BC )]  =  GH

0.25 

IV 

(1,0 

điểm) 

Ta có D A ' GI  vuông tại  G  có  GH  là đường cao nên : 

[ , ( ' )] 

d G A BC = GH

. 

51 

51 

a a 

+

+ 

0.25 

Cho bất phương trình  m( x2 -2x+2+1)+x(2-x )³ 0 

Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x éÎ 0;1+ 3 ù

ë û . 

V 

(1,0 

điểm) 

Xét bất phương trình:  m( x2 -2x+2+1)+x(2-x )³ 0  (1) 

Điều kiện:  2 

2 2 0 

x - x+ ³ ÛxΠ  Theo đề bài ta xét R x éÎë0;1+ 3 ù û 

Đặt t=t x( )= x2 -2x +  , ta có: 2 

2 

1 

2 2 

x 

x x

-

- + Π[ 0 + ; 1  3 ] 

0.25 

N 

I 

C' 

B' 

M 

A 

B 

C  A' 

G 

K  H

2  ) 

0 

( = 

t  , t  ( = 1 )  1 , t ( 1 +  3 ) = 2 

Suy ra: xÎéë0;1+ 3ù û Û Î t [ ] 1; 2 

Do t= x2 -2x+2 Ûx(2-x)=2 - t 2  nên bất phương trình đã cho trở thành: 

2 

1 

t 

t

-

0.25 

Xét hàm số 

( ) 

1 

t 

f t 

t

-

= +  với t Π[ ] 1; 2 , ta có:

( )

2 

2 

2 2 

1 

t t 

t

+ +

= > " Î + 

Suy ra:

1;2 

1  min ( ) 1 

2 

t  f t f

1;2 

2  max ( ) 2 

3 

t  f t f

0.25 

Bất phương trình (1) nghiệm đúng " Îx éë0;1+ 3 ù û

Û  Bất phương trình (2) nghiệm đúng " Î t [ ] 1; 2 

Û  m ³

[ ]  1;2 

max ( ) 

t  f t

Î

3 

m ³ 

Vậy, giá trị m thỏa đề bài là:  2 

3 

m ³   

0.25 

1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng D:x-2y + =  và đường tròn 5 0 

( ) :C x +y -2x+4y - = 5 0  có tâm I. Qua điểm M  thuộc D, kẻ tiếp tuyến MA đến (C) (A là tiếp 

điểm) sao cho AM =  10   Tìm tọa độ điểm M  và lập phương trình đường tròn ngoại tiếp  MAI D  . 

M 

M Î D Þ M(2m - 5; m); 

(C) có tâm I(1; -2), bán kính R =  10 

0.25 

2 5 

IM

Þ = Û (2m-6)2+(m+2)2   =20Ûm2 -4m+ =4 0Ûm = 2  Þ M (- 1 ; 2 )  0.25 

Đường tròn ngoại tiếp  AMI D  có tâm là trung điểm  MI , bán kính  5 

2 =

=  MI 

R 

5  : 

)  (  2 + 2 =

Þ  C  x  y 

0.25 

2. Trong không gian  Oxyz , cho hai đường thẳng ( ) 1 ( ) 2 

mặt phẳng ( ) P : x+y-2z+3=   Lập phương trình đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) 0 cắt ( ) ( ) d , d 1 2  lần lượt tại  A,  B sao cho AB  = 3 3 . 

Đặt A 1( +2a; 1 a; a , B 1 b; 2- + ) ( + + 2b; b ) , ta có

AB= b-2a;3+2b-a; b- a

VI.a 

(2,0 

điểm) 

Do AB song song với (P) nên: ABuuur^nuur P =( 1;1; 2- ) Ûb=a- 3

0.25 

A 

Suy ra: ABuuur = - -( a 3;a-3; 3 - ) 

Do đó: ( ) ( 2 ) ( ) 2 2 

AB= a+3 + a-3 + -3 =3 3Û a= 0

b 3

Þ = - 

0.25 

Suy  ra: A ( 1; 1; 0 -  ) , uuur AB = - - - ( 3; 3; 3 ) 

Vậy, phương trình đường thẳng (d) là: x 1 y 1 z 

0.25 

Tìm mô đun của số phức z thỏa mãn  z2+z 2 =  và 6  z- +1 i = z- 2  i

VII.a 

(1,0 

điểm)  Giả sử z=x+yi, ( ,x y Î ¡   Ta có: ) 

+  z2+z2=6Û(x+yi)2+(x-yi)2 =6Ûx2-y 2 =  3 

0.25 

+  (x-1)+(y+1)i = x+(y- 2)  i

(x 1) (y 1) x (y 2) 

Û - + + = + -  Ûx-3y + =  1 0 

0.25 

Giải hệ phương trình: 

2 

2, 1 

3 1 

3 

, 

x y 

x y 

x y 

é

= -

ê = - = -

. 

0.25 

4 4 

z= +i z= - -  i . Suy ra 

4 

2 

5  , 

5 =

=  z 

Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A,  BC : 2 x  - y - 7 = 0 , đường thẳng AC đi 

qua điểm M  (- 1 ; 1 ), điểm A nằm trên đường thẳng  D : x - 4 y + 6 = 0 . Lập phương trình các cạnh còn 

lại của tam giác ABC  biết rằng đỉnh A có hoành độ dương. 

Vì A  ΠD : x - 4 y + 6 = 0 Þ A ( 4 a - 6 ; a ) Þ MA ( 4 a - 5 ; a - 1 ). 

0.25 

Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên ·  0 

45   ACB = 

Do đó 

2 

1 

5    ) 

1  (  ) 

5 

4  ( 

) 

1  ( 

2  ) 

5 

4  ( 

2 

1  )  ,  cos( 

2 

- +

-

- +

-

Û

= 

a 

a 

a 

a 

u 

MA  BC 

0.25

ê

ê

ê

ë

é

÷

ø

ö

ç

è

æ

-

Þ

=

Þ

=

Û

= +

-

Û 

)  ( 

3 

16 

; 

3 

14 

13 

16 

) 

2 

; 

2  ( 

2 

0 

32 

42 

13  2 

ktm 

A 

a 

A 

a 

a 

a 

0.25 

Vậy A  ( 2 ; 2 ). Suy ra AC : x  - 3 y + 4 = 0 , AB : 3 x + y - 8 = 0 .  0.25 

2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(13; -1; 0), B(2; 1; -2), C(1; 2; 2) và mặt cầu 

( ) :S x +y +z -2x-4y-6z -67=   Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với  0 

BC và tiếp xúc mặt cầu (S). 

(S) có tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 9 

nr = A B C A +B +C ¹ (P) // BC nên nr^BCuuur= -( 1;1; 4)Þn BCr.uuur =0Û A=B+4CÞnr =(B+ 4 ; ; )  C B C

(P) đi qua A(13; -1; 0) Þ phương trình (P):  (B+4 )C x+By+Cz-12B-52C =  0 

0.25 

VI.b 

(2,0 

điểm) 

(P) tiếp xúc (S) 

( 4 ) 

d I P R 

4 0 

B C 

B C

+ =

é

ë 

0.25 

A 

B 

) 

1 

; 

1 

(- 

M 

2x-y - 7 = 0 

Với B + 2C = 0 chọn  2 

1 

B 

C

=

ì

í

= -

î 

, ta được phương trình (P): -2x + 2y - z + 28 = 0  0.25 

Với B - 4C = 0 chọn  4 

1 

B 

C

=

ì

í

=

î  , ta được phương trình (P): 8x + 4y + z -100 = 0 

Vậy (P): -2x + 2y - z + 28 = 0 , (P): 8x + 4y + z -100 = 0 

0.25 

Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện  z - 2 - 4 i = z - 2 i . Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất. 

Giả sử số phức z cần tìm có dạng z = x + yi   (x,y Î R). Ta có 

i 

y 

x 

i 

y 

x - 2 + (  - 4 )  = + (  - 2 )  (1)  2  2  2  2 

) 

2  (  ) 

4  (  ) 

2  ( - + - = + -

0.25 

4 +

-

=

Û  y  x   Do đó tập hợp các điểm M biểu diễn cho các số phức z thỏa mãn (1) là 

đường thẳng  x + y = 4. Mặt khác  z  =  x 2 + y 2  = x 2 + x 2 - 8 x + 16 = 2 x 2 - 8 x + 16 

0.25 

VII.b 

(1,0 

điểm) 

Do đó Min  z  = 2 2 Û x = 2 Þ y = 2 . Vậy  z  = 2 + 2 i  0.25 

­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­Hết­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­ 

Cảm ơn thầy Huỳnh Chí Hào ( chủ trang http://boxmath.vn ) chia sẻ tới www.laisac.page.tl