ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, B TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013 Môn: TOÁN; Khối A, B TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

SỞ GD&ĐT THANH HĨA

TRƯỜNG THPT BA ĐÌNH

ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013

Mơn: TỐN; Khối A, B

Thời gian làm bài: 180 phút

PhÇn chung cho tÊt c¶ thÝ sinh (7,0 điểm)

C©u I (2,0 điểm) Cho hàm số 2 1

1

x y x

+

=

− cĩ đồ thị là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm các giá trị m để đường thẳng y= − +3x m cắt (C) tại A và B sao cho trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng x−2y− =2 0 (O là gốc tọa độ)

Câu II ( 2,0 ®iĨm)

1 Giải bất phương trình 3 2

2 Giải phương trình cos cos 3 1 2 sin 2

4

C©u III (1,0 ®iĨm) Tính tích phân

2

2

0

1 3 sin 2x 2 cos xdx

π

∫

C©u IV (1,0 ®iĨm) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a AD , = 2 2 a

Hình chiếu vuơng gĩc của điểm S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm tam giác BCD Đường thẳng SA tạo với mặt phẳng (ABCD) một gĩc 450 Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và

khoảng cách giữa hai đường thẳng AC và SD theo a

C©u V (1,0 ®iĨm) Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh bất đẳng thức

1

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)

A Theo chương trình chuẩn

C©u VI.a (2,0 ®iĨm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+ + =y 5 0, d2: 3x+ + =y 1 0 và điểm (1; 2)I −

Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB=2 2

2 Trong khơng gian Oxyz, cho hai điểm A(-1; -1 ;2), B(-2; -2; 1) và mặt phẳng (P) cĩ phương trình

x+ y− + =z Viết phương trình mặt phẳng (Q) là mặt phẳng trung trực của đoạn AB Gọi ∆

là giao tuyến của (P) và (Q) Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )− i z là số thực và z− +2 5i =1

B Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao

C©u VI.b (2,0 ®iĨm)

1 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1: 3x+ + =y 5 0, d2: x−3y+ =5 0 và điểm (1; 2)I − Gọi A là giao điểm của d1 và d2 Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại B

và C sao cho 12 12

AB + AC đạt giá trị nhỏ nhất

2 Trong khơng gian Oxyz, cho A(1;1;0), B(0;1;1) và C(2;2;1) và mặt phẳng (P): x + 3y – z + 2 = 0 Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2 đạt giá trị nhỏ nhất

2







-HÕt -

C m ơn (trongxuanhp@gmail.com) đã g i t i www.laisac.page.tl

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 1

1

x y x

+

=

−

1,00

TXĐ : ℝ\ 1{ } ' 3 2 0, 1

( 1)

x

−

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (−∞;1) và (1;+∞)

1

x

x x

→±∞ + = ⇒

0,25

Lập BBT

x −∞ 1 +∞

y

2

−∞

+∞

2

0,25

1

Đồ thị

6

5

4

3

2

1

-1

-2

0,25

trọng tâm của tam giác OAB thuộc đường thẳng x−2y− =2 0 (d) 1,00

Pt hoành độ giao điểm: 2 1 3

1

x

2

PT⇔2x+ = − − +1 (x 1)( 3x m)⇔3x − +(1 m x) + + =m 1 0 (1)

0,25

D cắt (C) tại A và B ⇔ Pt (1) có 2 nghiệm khác 1

2

11

1

m

m

>

< −



0,25

I

2

Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của (1) Khi đó A x( ; 31 − x1+m B x), ( ; 32 − x2+m)

⇒ = = = − + = 0,25

Gọi G là trọng tâm tam giác OAB 2 1 ; 1

m m

 

11 5

m= − 0,25

Giải bất phöông trình 3 2

Điều kiện : x≥ −1 Đặt 1 2 0

1

y

≥



= +

 Bpt trở thành x3+(3x2−4y2)y≤0

0,25

TH 1 y= ⇔ = −0 x 1 Thỏa mãn BPT

TH 2 y> ⇔ > −0 x 1 Chia hai vế cho 3

y ta được

   

   

x t y

= và giải BPT ta được t≤1

0,25

2

0

1 0

x x

x

y

− ≤ <





≥





0,25

1

1

2

x x

x x

− ≤ <







 ≤ ≤





Kết hợp x> −1 ta được

1

2

− < ≤ Vậy tập nghiệm của BPT là S = 1;1 5

2

− + 

0,25

Giải phöông trình cos cos 3 1 2 sin 2

4

⇔2 cos2x cosx 1 sin 2x cos2x= + + 0,25

⇔cos2x(2 cosx 1) 1 2sin x cos x − = +

⇔(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin x) 2 − 2 − = + 2

⇔



(cosx sin x)(2 cosx 1) cosx sin x (2)

0,25

II

2

 π



⇔ − − = ⇔  +π= ⇔ + = ± + ππ π

2 (2) 2 cosx(cosx sin x 1) 0

2 cos x 1

4

4 4 Vậy pt có nghiệm là x= − + ππ k

4 ,

π

= + π

2 , x k2= π

0,25

1 3 sin 2x 2 cos xdx

π

∫

1,00

2 2 2

3

2

  nên x 3

π

0

3

π

0

3

(sinx 3 cos )x dx (sinx 3 cos )x dx

π

0

3

π

0,25

Tính thể tích của khối chóp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng

AC và SD theo a.

1,00

Gọi H là trọng tâm tam giác BCD Theo GT SH ⊥(ABCD)

SA tạo với đáy góc 450 suy ra SAH =450⇒SH =AH =2a

0,25

Gọi V là thể tích khối chóp S.ABCD thì

3

Gọi M là trung điểm của SB Mặt phẳng (ACM) chứa AC và // SD

Do đó (d SD AC; )=d SD ACM( ; ( ))=d D ACM( ; ( ))

Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ Khi đó

(0; 0; 0), ( ; 0; 0), (0; 2 2 ; 0), ; ; 2 , ( ; 2 2 ; 0)

0,25

IV

( ; 2 2 ; 0)





 

Mặt phẳng (ACM) đi qua điểm

A và có vtpt

phương trình là

0,25

M

H O

B

D

C

A

S

2 2 2 2

+ +

Chứng minh

1

1,00

Ta có (y+ zx+z)2 =( y y+ x z+ z z)2 ≤ + +(y x z y)( + +z z)

2 2

+ + + Tương tự, cộng lại ta được

VT (1) 2 2 2 1

0,25

V

(x+ +y z) ≥3(xy+yz+zx) Suy ra VT (1) ≥ − =2 1 1

Viết ptđt đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại A và B sao cho AB=2 2 1,00

A∈d ⇒A a − −a B∈d ⇒B b − −b

IA= − − − ≠a a IB= − − +b b

IB k IA



− + = − −



Nếu a=1⇒b=1⇒ AB=4 (không TM)

1

b

a

−

−

0,25

2

2

5

t

t

= −





= −



0,25

1

t= − ⇒b− = −a ⇒b= a= ⇒∆ x+ − =y

Tìm điểm M thuộc ∆ sao cho đoạn thẳng OM nhỏ nhất 1,00

VI.a

2

Gọi I là trung điểm của AB 3; 3 3; ( 1; 1; 1)



2

x+ + + =y z

0,25

Đường thẳng ∆ đi qua điểm 7; 0;1

−

  và có vtcp u=(2; 1; 1)− −

Pt tham số của ∆ là

7 2 4

1 4



= − +





= −





 = −



0,25

2

Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )− i z là số thực và z− +2 5i =1 1,00

Giả sử z= +x yi, khi đó (1 3 )− i z= −(1 3 )(i a bi+ )= + + −a 3b (b 3 )a i 0,25

VII.a







0,25

Viết phương trình đường thẳng đi qua I và cắt d1, d2 lần lượt tại B và C sao

cho 12 12

AB + AC đạt giá trị nhỏ nhất

1,00

Gọi H là hình chiếu của A trên BC

∆ABC vuông tại A nên 12 12 12

AH

1

Khi đó ∆ qua I và có vtpt n=AI = − −( 1; 1)

Tìm M thuộc (P) sao cho MA2 + MB2 + MC2

đạt giá trị nhỏ nhất 1,00

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Chứng minh được MA2 + MB2 + MC2 = 3MG2 + GA2 + GB2 + GC2 0,25

MA2 + MB2 + MC2 nhỏ nhất MG nhỏ nhất ⇔M là hình chiếu của G trên

VI.b

2

Tìm được tọa độ

4 2 1; ;

3 3

Tìm được 22 61; ; 17

−

2







1,00

Đk Giải hệ phương trình 1 1 0 0 1

⇔

≠ + > − < ≠ −

(1)⇔2 log−x(1−x) y+ +2 2 log +y 1− =x 6

2 2 log−x y 2 2 log +y 1 x 6

Đặt t=log1−x(y+2) ta được 2 2t 2 6 2t2 4t 2 0 t 1

t

VII.b

y+ = −x Thế vào (2) ta được

x

x

 = −

= +



Vậy x= −2 6,y= − −1 6

0,25

www.MATHVN.com