Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

MỞ ĐẦU.1.1.LÝ DO CHỌN Đ Ề TÀI : Trong quá trình giải các bài toán hình không gian ta gặp rất nhiều bài toán mà khi giải các bài toán đó ta cần tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng.

HƯỚNG DẪN HỌC SINH TÌM HÌNH CHIẾU CỦA ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG

Người thực hiện: Đỗ Thị Dịu

Chức vụ:Tổ phó.

SKKN thuộc lĩnh vực môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2019

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Mục lục

Trang

I MỞ ĐẦU

II NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.3 Giải quyết vấn đề

2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiên 5

2.4.1 Bài toán 1: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)

2.4.2 Bài toán 2: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)

2.4.3 Bài toán 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)

Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB 9 2.4.4 Bài toán 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P)

Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi

qua A sao cho MAd

11

3.KẾT LUẬN

1 MỞ ĐẦU.

1.1.LÝ DO CHỌN Đ Ề TÀI :

Trong quá trình giải các bài toán hình không gian ta gặp rất nhiều bài toán

mà khi giải các bài toán đó ta cần tìm hình chiếu của một điểm trên mặt phẳng Chẳng hạn, khi tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng, tính góc tạo bởi một đường thẳng với mặt phẳng, xác định số đo góc phẳng của nhị diện,… Việc xác định được chân đường vuông góc của điểm trên mắt phẳng có vai trò quan trọng trong việc tìm ra lời giải của các bài toán đó, đặc biệt trong các bài toán trắc nghiệm có liên quan thì việc xác định nhanh hình chiếu sẽ giúp học sinh có được sự lựa chọn đáp án nhanh và chính xác Trong thực tế của việc dạy học tôi nhận thấy bài toán về hình chiếu của điểm về lý thuyết cũng như cách giải khá tổng quan, chưa rõ ràng, chi tiết nên học sinh khó tiếp thu, có rất nhiều

em còn lúng túng, bối rối trước vấn đề này Chính vì vậy, tôi chọn viết đề tài :

“Hướng dẫn học sinh tìm hình chiếu của điểm trên mặt phẳng ”.

1.2.MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

Mục đích của việc nghiên cứu và viết đề tài này nhằm giúp học sinh nắm vững phương pháp và dễ dàng hơn trong việc tìm được hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

1.3 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU.

Đề tài này nghiêm cứu, tổng kết về hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng chủ yếu ở một số loại hình chóp trong hình học không gian lớp 11

1.4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Để thực hiện đề tài này phương pháp chủ yếu của tác giả là : Nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết, xây dựng thuật toán, học hỏi, tìm tòi, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng giảng dạy ở nhiều năm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1.C Ơ SỞ LÍ LUẬN

* Định nghĩa ( Phép chiếu vuông góc):

Phép chiếu song song lên mặt phẳng (P) theo phương l vuông góc với mặt phẳng

(P) gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng (P) [1].

*Từ điểm M nằm ngoài mặt phẳng (P), hạ MH P tại H thì H là hình chiếu vuông góc của M trên (P)

2.2.Thực trạng của vấn đề

Với định hướng về việc đổi mới phương pháp dạy học và những phương pháp dạy học tích cực của Bộ GD&ĐT đã và đang diễn ra sâu rộng ở tất cả các bậc học Từ đó đặt ra nhiệm vụ cho người thầy là phải rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh

Trong dạy học ở trường THPT, môn Toán được coi là một trong những môn học giúp phát triển trí tuệ và tư duy lôgic, hoạt động giải Toán là hoạt động tạo cơ hội tốt để học sinh bộc lộ, phát triển tư duy sáng tạo qua quá trình đem những tri thức toán học đã được trang bị vào giải quyết những vấn đề trong toán học cũng như trong thực tiễn

Trong quá trình tìm tòi lời giải học sinh có thể mắc một số sai lầm và lúng túng không biết sai từ đâu, sai ở đâu khi chưa được giáo viên nhấn mạnh đến những sai lầm, chưa rèn luyện kỹ năng giải cho học sinh Vì vậy, đối với mỗi dạng toán, mỗi loại bài toán người giáo viên phải biết tạo điều kiện cho học sinh

có cơ hội rèn luyện các kỹ năng giải

Trên thực tế giảng dạy bộ môn Toán, các bài toán thuộc bộ môn hình học không gian thông thường học sinh luôn cảm thấy khó khăn và không có hứng thú học tập vì có tư tưởng đã ăn sâu là “sợ hình” Đồng thời, phần hình học không gian ở lớp 11thì hình chiếu vuông góc chỉ được nêu một khái niệm chung

về phép chiếu vuông góc ( Định nghĩa 2 trang 100 sách giáo khoa hình học nâng cao 11; trang 102 sách giáo khoa hình học 11) còn các cách xác định hình chiếu của điểm, của một hình trên mặt phẳng không được đề cập tới Vì vậy, hầu hết giáo viên chỉ nhắc qua cho học sinh cách xác định khi gặp những bài toán cụ thể

có liên quan mà không xây dựng cở sở lý thuyết hay thuật toán cụ thể Tuy nhiên, nếu chỉ dừng lại ở đó thì phần lớn học sinh , đặc biệt là đối tượng học sinh thuộc ban cơ bản sẽ mơ hồ, lúng túng không thể tự giải quyết được các loại bài tập có liên quan đến việc xác định chân đường vuông góc Là một giáo viên dạy toán tôi luôn trăn trở tìm cách khắc phục thực trạng trên bằng cách tìm tòi các phương pháp tiếp cận mới,cách cụ thể hóa phương pháp giải, cách phân nhỏ

H P

bài toán lớn thành các bài toán nhỏ…để rèn luyện cho học sinh dần thoải mái hơn, hứng thú hơn đối với việc học hình

Trong bài viết này tôi xin phân nhỏ bài toán tìm hình chiếu của một điểm trên một mặt phẳng thành 4 bài toán sau để rèn luyện cho học sinh lớp 11 đặc biệt là đối tượng thuộc ban cơ bản dễ dàng tiếp thu và áp dụng :

Bài toán 1: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)

 (Q) chứa M

Bài toán 2: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)

 d nào đó

Bài toán 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)

chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB

Bài toán 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P)

chứa chứa điểm A và đường thăng d không đi qua A sao cho MAd

2.3 Giải quyết vấn đề.

2.3.1 Các giải pháp thực hiện.

1 Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng thông qua một hay nhiều buổi học với sự hướng dẫn của giáo viên

2 Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải.Trong đó yêu cầu khả năng phân tích các bài toán liên quan đến xác định hình chiếu của điểm trên mặt phẳng

2.3.2 Các biện pháp tổ chức thực hiện.

Nội dung này được triển khai thông qua 2 tiết học:

Tiết 1: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 1+2 Tiết 2: Tổ chức hình thành phương pháp và rèn luyện kỹ năng giải bài toán 3+4

2.4 Nội dung thực hiện

2.4.1.BÀI TOÁN 1: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trêm mặt phẳng (P), biết M thuộc mặt phẳng (Q) vuông góc với (P).

Cách xác định:

 Bước 1: Xác định giao tuyến a của (P) và (Q)

 Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ đường thẳng ba tại H

Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD.

Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh SA trên mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn: Dựa vào đề đã cho, hãy tìm mặt phẳng vuông góc với (SBC).

Giải:Tacó:

( ) ( ) ( )









Mà hai mặt phẳng (SAB), (SBC) cắt

nhau theo giao tuyến SB Nên trong

mặt phẳng (SAB) từ M hạ MH vuông

góc với SB tại H

Khi đó, H chính là hình chiếu của M

trên mặt phẳng (SBC) vì:

   









 



Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD Cạnh

bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy Gọi (P) là mặt phẳng đi qua giao điểm O của hai đường chéo AC, BD đồng thời song song với BC,

P

Q

a H

M

b

S

H M

B A

Xác định hình chiếu vuông góc của điểm S trên mặt phẳng (P).

Hướng dẫn:Tìm mặt phẳng vuông góc với (P) ( chú ý: (P) // BC ).

Giải:

Ta có BC AB BC (SAB)





 







Mà (P) //BC    P  SAB;

S SABdo đó hình chiếu vuông

góc của S trên (P) nằm trên giao

tuyến của mặt phẳng (P) và (SAB)

Gọi MN là giao tuyến của (P) và

(SAB) Trong mặt phẳng (SAB) từ

S hạ SH MN H chính là hình

chiếu của S trên (P)

2.4.2.BÀI TOÁN 2: Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết tồn tại một đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P).

Cách xác định:

 Bước 1: Gọi (Q) là mặt phẳng

chứa M và đường thẳng d Xác

định giao tuyến a của (P) và (Q)

 Bước 2: Trong mp(Q) qua M kẻ

đường thẳng // d và cắt giao

tuyến a tại H

Bước 3: Kết luận H là điểm cần tìm

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, Bên trong tam giác SAB lấy

điểm M Xác định hình chiếu vuông góc của M trên mặt phẳng (ABCD)

Hướng dẫn giải: Tìm đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy ABCD (sử dụng giả thiết cho hình chóp đều)

S

H N M

O

B A

d H M Q

Giải:Gọi O là giao của hai đường

chéo AC, BD Khi đó tao có, SO

(ABCD)

Trong mặt phẳng (SAB) kẻ SM cắt

AB tai N Mặt phẳng (SNO) chứa M

và SO cắt mặt phẳng (ABCD) theo

giao tuyến là NO

Trong mặt phẳng (SNO), từ M kẻ

MH //SO Khi đó, MH  (ABCD)

nên H là hình chiếu vuông góc của

M trên mặt phẳng (ABCD)

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại C và cạnh SA

vuông góc với đáy Xác định hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc cạnh AB xuống mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn giải: - Hãy tìm một đường thẳng a vuông góc với mp(SBC), chú ý

tới các yếu tố vuông góc mà giả thuyết đã cho đó là SA(ABC); BCAC

- Trong mp chứa a và M , kẻ qua M đường thẳng // a

Giải:

Trong tam giác SAC,hạ đường cao AK

Theo giả thiết , ta có:

( )









Khi đó, AK(SBC) và mặt phẳng đi

qua M, chứa AK chính là (ABK) cắt

mặt phẳng (SBC) theo giao tuyến là

BK Trong mặt phẳng (ABK), qua M

kẻ đường thẳng song song với AK cắt

BK tại H Vậy, H chính là hình chiếu

vuông góc của M trên (SBC) vì MH//

AK(SBC)

S

A

H

M

O

C

D

B N

S

K H M

C B A

2.4.3 BÀI TOÁN 3: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa hai điểm A, B sao cho MA = MB.

Cách xác định:

* Bước 1:Trong mặt phẳng (P) kẻ

đường trung trực d của AB

* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M

và d dựng MH  d

* Bước 3: Kết luận H là điểm cần

tìm

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC là tam giác cân tại A và

Hướng dẫn giải:

Tìm trên mặt phẳng (ABC) hai điểm mà cách đều S (sử dụng giả thuyết cho

AB = AC, SABSAC)

Giải :

Theo giả thuyết, ta có SABSAC

(c.g.c) Suy ra, SB = SC

Trên mặt phẳng (ABC) kẻ đường trung

trực của BC chính là đường cao AI ( I

là trung điểm của BC vì ABC cân tại

A)

Trong SAI kẻ đường cao SH xuống

cạnh AI ( H thuộc AI)

Khi đó, H chính là hình chiếu của S

trên (ABC) vì SH AI SH (ABC)





 





M

A

B

H

d P

S

A

B

C I H

Ví dụ 6: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD Một mặt phẳng () đi qua AB

và cắt các cạnh SC, SD lần lượt tại M, N Xác định hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng ()

Hướng dẫn giải:

Trên mặt phẳng ( ) tìm hai điểm cách đều S Nên chọn các điểm đã cho trong đề ví dụ như A, M,N chẳng hạn

Mà AB// CD nên suy ra MN // CD

//AB

Trong mp() có A, B thỏa mãn đk SA

= SB Nên trong hình thang ABMN ta

kẻ đường trung trực EF của hai cạnh

đáy AB, MN Trong tam giác SEF hạ

đường cao SH xuống cạnh EF

Khi đó H chính là hình chiếu vuông

góc của S trên ( )

Vì AB SE AB SH SH ( )









2.4.4 BÀI TOÁN 4: Tìm hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) Biết mặt phẳng (P) chứa chứa điểm A và đường thẳng d không đi qua A sao cho MAd.

Phương pháp: Ta tiến hành theo các bước như sau:

* Bước 1: Trong mặt phẳng (P), kẻ

đường thẳng d’ đi qua A và vuông góc

với d

* Bước 2: Trong mặt phẳng chứa M và

đường thẳng d’, kẻ MH d’

* Bước 3: Kết luận, H chính là hình

chiếu của M trên (P)

S

F

E

B A

H

H A

d’

P

d M

Ví dụ 7: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC Xác định hình chiếu vuông góc

của A trên mặt phẳng (SBC)

Hướng dẫn: Gọi M là trung điểm của BC Ta có AMBC, và BC  (SBC)

Giải: Gọi M là trung điểm của BC.

Hình chóp S.ABC là hình chóp đều

nên hình chiếu vuông góc cúa đỉnh S

trên mặt đáy (ABC) là trọng tâm G của

tam giác ABC Từ đó ta suy ra, trên

mp(SBC) có BC  SA khi đó BC 

SM Trong tam giác SAM hạ đường

cao AH xuống SM Khi đó H chính là

hình chiếu vuông góc của A trên

(SBC)

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông Cạnh SA vuông góc

với mặt phẳng đáy Xác định hình chiếu vuông góc của C trên mặt phẳng (SBD)

Hướng dẫn giải: Ta cần tìm trên mp(SBD) một đường thẳng d và một điểm M

sao ch CM d ( nên để ý đến các đường thẳng, điểm có sẵn)

Giải: Theo giả thuyết, ta có:

D ( )





 







Từ đó suy ra BDSC.Gọi O là giao

của AC và BD Khi đó, ta có BDSO

.Trong tam giác SOC kẻ đường cao

CH xuống cạnh SO H chính là hình

chiếu của C trên mặt phẳng (SBD) vì

( )





 







3 KẾT LUẬN

A

C

H

M

S

B

C

S

B A

D

O H

3.1.Kết quả thực nghiệm.

Liên tục trong các năm học từ 2011-2012 đến 2017- 2018, tôi đã tiến hành thực nghiệm sáng kiến này vào các buổi sinh hoạt chuyên đề hay các tiết dạy tự chọn, cụ thể:

Lớp 11A5 và 11A8 năm học 2011-2012

Lớp 11A1và 11A9 năm học 2013-2014

Lớp12A3; 11A3 và 11A2 năm học 2014-2015

Lớp 11A1 ; 11A7 và 12A8 năm học 2015-2016

Lớp 11A1 và 11A5 năm học 2017-2018

* Trước khi dạy sáng kiếm kinh nghiệm này, với các bài tập kiểm tra như sau:

Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có SA = SC, SB = SD và đáy ABCD là hình

thoi

a) Xác định chân đường vuông góc hạ từ giao điểm hai đường chéo của đáy xuống mặt bên (SAB)

b) Xác định chân đường vuông góc hạ từ A xuông mặt bên (SBC)

Bài 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh AB = AD và

A AB A AD

  Tìm hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng (ABCD)

Bài 3: Cho ba tia Ox, Oy, Oz không đồng phẳng và thỏa mãn điều kiện

  Tìm hình chiếu vuông góc của điểm M thuộc Ox xuống mặt phẳng ( yOz)

Đã thu được kết quả như sau:

Tỉ lệ học sinh giải đúng

cả 3 bài

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít

nhất 1 bài

Tỉ lệ học sinh không làm được bài

* Sau khi đã rèn luyện cho học sinh các bài toán trên thì với 3 bài tập tương tự đó kết quả đã thay đổi rõ rệt như sau:

Tỉ lệ học sinh giải đúng

cả 3 bài

Tỉ lệ học sinh giải đúng ít

nhất 1bài

Tỉ lệ học sinh không làm được bài

3.2 Bài học kinh nghiệm

Do kiến thức về phần hình chiếu vuông góc này chỉ được lồng ghép trong bài “ Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng” mà thời lượng của bài này trong phân phối chương trình của cả hai ban nâng cao và cơ bản đều hạn hẹp( 2 tiết),

vì vậy để áp dụng được sáng kiến kinh nghiệm này thì thời gian chủ yếu là bố trí vào các tiết tự chọn đối với học sinh lớp 11, đối với lớp 12 thì được bố trí dạy vào các buổi ôn tập

Đ ề xuất

Mặc dù đề tài này tôi nghiền ngẫm, đúc rút kinh nghiệm và vận dụng trong giảng dạy ở nhiều năm, cũng đã giúp được những điều bổ ích cho học sinh học tập tốt hơn Xong chắc chắn còn phải tiếp tục được hoàn thiện, bổ xung thêm mới đạt được độ hoàn chỉnh cao Vậy tôi rất mong được sự góp ý chân tình của các em học sinh và các bạn đồng nghiệp

Xác nhận của đơn vị Thọ Xuân, tháng 2 năm 2019

Tôi xin cam đoan SKKN này là do mình viết, không sao chép ở bất cứ tài liệu nào

Người viết:

Đỗ Thị Dịu

DANH MỤC

CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ

CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN

Họ và tên tác giả: Đỗ Thị Dịu

Chức vụ và đơn vị công tác:Tổ phó tổ chuyên môn- Trường THPT Lê Hoàn

TT Tên đề tài SKKN

Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh )

Kết quả đánh giá xếp loại (A, B, hoặc C)

Năm học đánh giá xếp loại

1. Một số ứng dụng của tích vô

hướng

Sở GD&

ĐT Thanh Hóa

C 2011-2012

2

Rèn luyện kỹ năng xác định

góc giữa hai mặt phẳng thông

qua hoạt động giải một số bài

toán

Sở GD&

ĐT Thanh Hóa

C 2014-2015