ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN VI NĂM 2012 MÔN TOÁN TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
Trang 1TRƯỜNG THPT LÊ LỢI ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012
T.P ĐÔNG HÀ - QUẢNG TRỊ Môn: TOÁN KHỐI A-B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số: y 2 x3 3 mx2 1 (1)
1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 1
2 Tìm tất cả các giá trị m để khoảng đồng biến của hàm số (1) là ( ;x x1 2)đồng thời x2x1 1
Câu II (2,0 điểm)
1 Giải phương trình:
4
1
1 cos
x
2 Giải bất phương trình: x 3 2 x 1 0
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân: 2
2
4 1
3 4 2
x dx I
x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC , đáy ABC là tam giác cân ABAC2a 3, góc BAC 120o Mặt bên (SBC)
vuông góc với đáy và hai mặt bên còn lại tạo với mặt đáy một góc Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a và
Câu V (1,0 điểm)
Tìm tất cả các giá trị của a để phương trình sau có nghiệm thực:
3 x 2 x 3 a x 1 x 1
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) Thí sinh chỉ chọn một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, biết toạ độ trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
lần lượt là H(2;2), I(1;2); và trung điểm 5 5
( ; )
2 2
M của cạnh BC Hãy tìm toạ độ các đỉnh A, B, C biết
B C
x x (xB, xC lần lượt hoành độ điểm B và C)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi A, B, C lần lượt giao điểm của mặt phẳng (P):
6 x 2 y 3 z 6 0 với Ox, Oy, Oz Lập phương trình đường thẳng d đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC đồng thời vuông góc với mặt phẳng (P)
Câu VII.a (1,0 điểm)
Giải bất phương trình: 1
log 4x 4 x log 2x 3
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho đường tròn (C): x2y26x2y 6 0; và điểm (3;3)
A Lập phương trình đường thẳng l qua A cắt (C) tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm
đó bằng độ dài cạnh hình vuông nội tiếp đường tròn (C)
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi là giao tuyến của hai mặt phẳng (P):
2xy z 1 0 và (Q): xy2z7 0 Tìm điểm I thuộc sao cho: IEIF lớn nhất với
E(2;1;5), F(4;3;9)
Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải bất phương trình: 1
log 3x 1 log 3x 3 6
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Người ra đề: Lê Đình Thành
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2012
Môn: Toán khối A-B
Câu I.1
(1,0 đ) Khi m = 1 ta có hàm số
3 2
Tập xác định D =
Giới hạn:
lim
nên đồ thị không có tiệm cận Chiều biến thiên
2
y x x; y ' 0 x 0 x 1
y x x y x
Suy ra hàm số đồng biến 0;1, nghịch biến ;0 , 1; ;CĐ (1;0) ; CT(0;-1)
Bảng biến thiên:
x 0 1
'
y 0 + 0
y 0
- 1
Đồ thị
điểm đặc biệt CĐ (1;0) ; CT(0;-1)
Giao với Ox tại (1;0) và 1
( , 0) 2
Giao với Oy tại (0;-1)
điểm uốn 1 1
;
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu I.2
(1,0 đ)
Tập xác định D =
2
y x mx, y ' 0 x 0 x m
Nếu m = 0 y 0 x hàm số nghịch biến trên không thoả mãn yêu cầu
bài toán Nếu m 0để khoảng đồng biến của hàm số là x x1; 2 đồng thời x2 - x1 = 1
Khi và chỉ khi 0 1
1
m
m m
0,25 0,25 0,25 0,25
Câu II.1
(1,0 đ) Đk: c os x 1
1
1 cos
x
sin 2x cos2x cosx 2 sinx 1 cosx
2
0,25
0,25
0,25
Trang 3sin 0 cos 1 (loai)
2
x
x
So sánh điều kiện có nghiệm x 2 k và 2
2
x k , k
0,25
Câu II.2
(1,0 đ) Giải bất phương trình: x 3 2 x 1 0
Điều kiện : 3
2
x
Đặt
2 3
3 2 0
2
t
t x x Khi đó bất phương trình trở thành : t3 3 t 2 0 t 1 2 t 2 0 t 2, t 1
So sánh đ/k ta có : 0 t 2 nên 1 3
Vậy nghiệm bất phương trình 1 3
;
2 2
S
0,25
0,25 0,25 0,25
Câu III
(1,0 đ)
1 2
I I
với I1=
2 4 1
3
2 x dx
2
2
1 1
2 x dx 2 x 16
1
4 2
x
x
đặt x2 sintdx2 costdt, đổi cận 1 ; 2
Nên
3 2 6
cot
t
2
4 1
3 4 2
x dx I
x
= 1 7 2 3
16
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu IV
(1,0 đ)
Gọi I là hình chiếu vuông góc của S trên BC , do (SBC)(ABC)nên SI vgóc với mp(ABC) Gọi H, K lần lượt hình chiếu vuông góc của I trên AB và AC, suy ra
;
AB SH AC SK(định lý 3đvg) SHI SKIIH IKI thuộc đường phân giác trong góc A của tam giác ABC nên I trung điểm BC
Ta có :
3 2
a
Trong tam giác vuông SHI ta có
SI = IH.tan=3
2
a
tan
2
ABC
SABC ABC
V SI S a (đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu V
Tìm tất cả các giá trị a để pt : 2 2
3 x 2 x 3 a x 1 x 1 có nghiệm thực
S
A
I
Trang 4Pt viết lại 2 2 2
2( x 1) ( x 1) a x 1 x 1
TXĐ x R Chia 2 vế cho x 2 1 >0 ta được
2
2
a
Đặt
; t 0x1
x 1
'
t + 0
t 2
1
từ đó ta có t 1; 2
khi đó pt viết lại : 2 2
t
(do t =0 không là nghiệm pt) 22
t
t - 1 0 2 '
g 0
g -3
Từ đó suy ra pt có nghiệm thực khi a 3 ;a2 2
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
AVI.a1
(1,0 đ)
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có : GH 2 GI
gọi G(x ;y) khi đó :
4
( ; 2) 3
2
G
y
Mặt khác gọi A(x ;y) , vì GA 2GM
nên
2( )
1
( 1;1) 1
5
2 2( 2) 2
x
x
A y
y
Đường thẳng BC đi qua điểm 5 5
( ; )
2 2
M nhận AH (3;1)
làm véctơ pháp tuyến Nên có pt : 3 x y 10 0 Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì (C) : có
tâm I( 1;2) và bán kính R 4 1 5.Do đó pt (C) : x12y22 5
Khi đó toạ độ B ;C là nghiệm hệ : 12 22 5 2 3
Do giả thiết x B x C Nên B(3;1) ; C(2;4)
Vậy : A(-1;1); B(3;1) ; C(2;4)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
AVIa.2
(1,0 đ)
Pt mp (P) viết lại : 1
1 3 2
, do đó ( ) P Ox A (1;0;0); ( ) P Oy B (0;3; 0);( ) P Oz C (0;0; 2)
Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC, theo cách xác định tâm : thì I thuộc đường thẳng vuông góc với (OAB) tại trung điểm M của AB đồng thời thuộc mặt phẳng trung trực OC do
đó 1 3
( ; ;1)
2 2
I Gọi J tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC thì IJ vuông góc với mp(ABC) ,
0,25
0,25
0,25
Trang 5nên d chính là đt IJ d là đt qua I nhận n(6; 2;3)
pháp tuyến của (P) làm véc tơ chỉ phương
Vậy pt d :
1 6 2 3 2 2
( t )
0,25
Câu
AVII
(1,0 đ)
Bất phương trình : 1
log 4x 4 xlog 2x 3
1
1
2
3 2 2
x
3
2
x
log23 2
2 x Vậy nghiệm bài toán 2
3 log ; 2 2
0,25 0,25 0,25
0,25
Câu
B.VIb.1
(1,0 đ)
Pt đường tròn (C) viết lại : x 3 2 y 1 2 16 , có tâm I(3 ; - 1) ; R = 4
Ta thấy A(3 ;3) thuộc (C) Pt l có dạng : a x ( 3) b y ( 3) 0, a2 b2 0 hay
ax by a b Giả sử l qua A cắt (C) tại B khác A; theo gt ta có AB = 4 2
Gọi hình vuông ABCD tâm I ta có
d I l AD AB
2 2
2 2
, chọn b = 1thì a = 1 hoặc a = -1
Vậy ta có 2 đt thoả mãn đề bài là x +y - 6 = 0 và x - y = 0
0,25 0,25
0,25
0,25
Câu
B.VI.2
(1,0 đ)
Chọn M(0 ;5 ;6) ; N(1 ;0 ;3) MN(1; 5; 3)
là một véctơ chỉ phương của
đường thẳng pt tham số đt :
1 5
3 3
Pt tham số đt EF là đt qua E(2;1;5) nhận1
2 EF
làm véc tơ chỉ phương
2 1
5 2
x t
y t t
Xét hệ
0
1
t t
t
t t
t
suy ra EF cắt tại A(1;0;3) (trùng với N)
Trong mp( ,EF) mọi điểm I ta có IEIF EF(hiệu 2cạnh trong 1tam giác nhỏ hơn
cạnh thứ 3) dấu bằng xẩy ra khi và chỉ khi I, E, F thẳng hàng, từ đó suy ra I trùng A Vậy
điểm I(1;0;3)
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu
B.VII
(1,0 đ)
Giải bất phương trình: 1
log 3x 1 log 3x 3 6
Đk: 3x 1 0 x 0 (*)
Pt tương đương với
log 3 1 log 3 3 1 6 log 3 1 1 log 3 1 6 3 log 3 1 2 28
log log 10 27
x
Đối chiếu điều kiện: (*) có nghiệm 328 3
log ; log 10 27
0,25
0,25 0,25
0,25
