ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013 Môn Toán khối D TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP
Trang 1SỞ GD & ĐT HÀ TỈNH
TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Toán, khối D
Thời gian làm bài: 150 phút( không kể thời gian giao đề)
A.
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH ( 8,0 điểm )
Câu I : ( 3,0 điểm ) Cho hàm số : y 2x 1
x 1
−
= + có đồ thị là ( )C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
2) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C Tìm trên đồ thị ( )C điểm M có hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( )C cắt hai đường tiệm cận tại A và B thoả mãn : IA2 +IB2 = 40
Câu II : ( 2,0 điểm )
1) Giải phương trình : sin 2x+cos 2x+sinx+cosx+ =1 0
2) Giải hệ phương trình: ( )
2
2
1 0
x y x y
Câu III : ( 1,0 điểm ).Tính tích phân: I =
1
0 1
x −x dx
∫
Câu IV : ( 1,0 điểm ) Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
bằng 45 Tính thể tích khối chóp 0
Câu V : ( 1,0 điểm ).Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc.
Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2
B.
PHẦN TỰ CHỌN: ( 2,0 điểm ).( Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 phần,phần A hoặc phần B)
A.Theo chương trình chuẩn:
Câu VIa : (1 điểm).
Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K( 3 ; 2 ) và đường tròn (C) :x2 +y2 − 2x− 4y+ 1 = 0 với tâm là I.
Tìm tọa độ điểm M∈(C) sao cho ∠IMK = 60 0
Câu VII a.(1,0 điểm): Giải phương trình : ( 3 ) ( )2 ( )
B.Theo chương trình nâng cao
Câu VIb: ( 1,0 điểm )
Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 và tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
Câu VII b.( 1,0 điểm ) Giải bất phương trình sau : 8.3x+ x +9 x+ 1 ≥9x
.Hết
Trang 2SỞ GD & ĐT HÀ TỈNH
TRƯỜNG THPT HÀ HUY TẬP ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2012-2013
Môn thi: Toán, khối D
I 1 Cho hàm số : 2x 1
y
x 1
−
= + có đồ thị là ( )C 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (C)
3,0
Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số : y 2x 1
x 1
−
= +
+Tập xác định D=¡ \{ }−1
+Sự biến thiên
• -Chiều biến thiên: ( )2
3 '
1
y x
= + >0 ∀ ≠ −x 1.
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞ −; 1)và (− +∞1; )
• Cực trị : Hàm số không có cực trị
• Giới hạn tại vô cực và tiệm cận:
lim lim 2 1 2
1
x y
x
−
+ ,đường thẳng y=2 là tiệm cận ngang
lim ; lim
+ + , đường thẳng x= −1 là tiệm cận đứng
• Bảng biến thiên :
x - ∞ - 1 +∞
y' + || +
y +∞ 2
||
2 −∞
+Đồ thị:Đồ thị hàm số cắt
trục Ox tại điểm 1;0
2
điểm B(0; 1− )
của 2 tiệm cận là I(−1; 2)
2,0
0,25
0,5
0,5
8
6
4
2
-2
-4
-6
Trang 32) Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của ( )C Tìm trên đồ thị ( )C điểm M có
hoành độ dương sao cho tiếp tuyến tại M với đồ thị ( )C cắt hai đường tiệm cận tại A và B
thoả mãn :IA2 +IB2 = 40
0,5
1,0
TCĐ ( )d :1 x= −1,TCN ( )d2 :y=2 ⇒ −I( 1; 2).Gọi 0
0 0
2 1
; 1
x
M x
x
∈( ) (C , x0 >0)
Phương trình tiếp tuyến với ( )C tại ( )
0 0
2 1 3
: :
1 1
x
x x
−
+ +
0
2 4
1
x
x
+
0 2
0
0 0
36
1 40
0 0
x
x x
>
0 2
x
⇔ = (y0 =1) ⇒M( )2;1
0,25 0,25 0,25
0,25
1 Giải phương trình :sin 2x+cos 2x+sinx+cosx+ =1 0 1,00
sin 2 cos 2 sin cos 1 0
sin cos cos sin sin cos 0 sin cos 2cos 1 0
sin cos 0
cos
2 2
3
k Z x
−
0,5 0,5
2
Giải hệ phương trình: ( )
2
2
1 0
x y x y
1,00
Trang 4( )
2
0
y= không thỏa mãn nên:
0
y≠ ( ) (2 ⇔ x y x y+ ) ( + − + = ⇔ + =2) 1 0 x y 1
Khi đó hệ trở thành
1, 2 1
x y
+ = = − =
Vậy hệ phương trình có nghiệm (0;1) , (-1;2)
0,5 0,5
III
Tính tích phân: I =
1
0 1
x −x dx
∫
1,00
I =∫x −x dx=∫x −x x dx
3
t = −x ⇒ = − ⇒t x tdt= − x dx⇒ − tdt=x dx
Khi 0 1;
= ⇒ =
= ⇒ =
Vậy tai có :
1
0
0,5
0,5
IV Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh bên bằng a , góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy
bằng 45 Tính thể tích khối chóp 0 1,00
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC ta có
( )
SG⊥ ABC
Gọi I là trung điểm cạnh BC ta có
(gt) suy ra ∠SIG=450 Gọi cạnh của tam giác đều ABC là 2x x( >0)
Ta có AI =x 3 , 3
3
IG x= và
0
(1)
SI = = = x ⇒SI = x
Lại có : SI2 =a2−x2 (2)
Từ (1) và (2) ta có 2 2 2 2 5 2 3 2 3
3x =a −x ⇔ x = a ⇔ =x a 5
Vậy ta có : 1 3 2 0 3 3 2
ABC
a
SG IG a= = = (Do tam giác ABC vuông cân )
Vậy thể tích khối chóp là :
3 2
V = SG S∆ = a = (đvtt)
0,25
0,25
0,25
0,25
V Cho a,b,c dương thỏa mãn : ab + bc + ca = 2abc 1,00
Trang 5Chứng minh rằng: 1 2 1 2 1 2 1
(2 1) (2 1) (2 1) 2
Từ giả thiết suy ra 1 1 1 2
a b c+ + = Đặt : 1 ; y = ; z = 1 1
x a
= Suy ra x,y,z > 0 và x+y+z=2
Ta có:
P
Áp dụng bđt Cô-si:
3 2
3
x y z y z x
y z
+
3
2
3
y x z x z y
x z
+
3
2
3
z y x y x z
y x
+
Do đó: 1( ) 1
P≥ x y z+ + = ( Đpcm)
0,25 0,25 0,25
0,25
PHẦN RIÊNG THEO TỪNG BAN
VI a 1 Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho điểm K(3 ; 2) và đường tròn
0 1 4 2 :
) (C x2 +y2 − x− y+ = với tâm là I Tìm tọa độ điểm M∈(C) sao cho
0
60
=
1,0
1,00
+) Ta có (C) : (x− 1 ) 2 + (y− 2 ) 2 = 4 Suy ra tâm I(1 ; 2) và bán kính R = 2.
Nhận thấy IK = 2 Suy ra K∈(C).
Do M∈(C) và ∠IMK = 60 0 Suy ra IMK∆ đều Do đó yêu cầu bài toán ⇔ Tìm
)
(C
M∈ sao cho KM = R = 2.
+) Giả sử M(x0, y0) ∈ (C) ( 1 ) ( 2 ) 2 4
0
2
Ta có 2 ( 3 ) ( 2 ) 2 4
0
2
⇔
Từ (1) và (2) suy ra
−
+
) 3 2
; 2 (
) 3 2
; 2 (
M M
0,25 0,25 0,25 0,25
Giải phương trình : ( 3 ) ( )2 ( )
ĐK :
1 1 2
x x
> −
≠
0,25
0,25
0,25
Trang 6( ) ( )
3
3
3
2
2 2
(1) 2log 1 2log 2 1 2log 1
log 1 log 2 1 1
1 2 1 1
2
1 1 2
x
= −
⇔ − + = − ⇔ =
− + = − =
Vậy nghiệm phương trình là : x=1 ;x=2
0,25
VI b.1)Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy) Lập phương trình đường thẳng qua M( )2;1 và
tạo với các trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
1,0
Gọi d là ĐT cần tìm và A a( ) ( );0 ,B 0;b là giao điểm của d với Ox,
Oy, suy ra: :d x y 1
a b+ = Theo giả thiết, ta có: 2 1 1,ab 8
Khi ab=8 thì 2b a+ =8 Nên: b=2;a= ⇒4 d x1: +2y− =4 0
Khi ab= −8 thì 2b a+ = −8 Ta có:
2 4 4 0 2 2 2
b + b− = ⇔ = − ±b
Với b= − +2 2 2⇒d2: 1( − 2) (x+2 1+ 2) y− =4 0
Với b= − −2 2 2⇒d3: 1( + 2) (x+2 1− 2) y− =4 0
0,25 0,25
0,25 0,25
VII b Giải bất phương trình sau : 1
ĐK : x≥0
1
2 2
x x
x x
x x
x x
+
−
−
−
−
Đặt t=3 x x− >0.Khi đó ta có :( ) 2 ( )
1
9
t
≤ −
⇔ + − ≥ ⇔ ≥
0,25
0,25
0,25
Trang 7Với
2
2
1
9
2
5 4 0
x x
x
x
x
≤ ≤
≥
− + ≤
Vậy nghiệm BPT là x∈[ ]0; 4
0,25