Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu, kém toán trường THPT nông cống i trong việc học phần nguyên hàm tích phân

Do đó việc nghiên cứu phân dạng bài tập là rất cần thiết, giúp học sinh dễ nhớ và dễ vận dụng.. Đã có một số đề tài nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học tích cực hoặc xác định nhữ

1 Mở đầu 1.1 Lí do chọn đề tài

Trong những năm qua, nhiều nhà khoa học, nhà giáo dục và giáo viên

đã quan tâm đến việc dạy học cho học sinh khá giỏi, góp phần quan trọng vào việc bồi dưỡng nhân tài cho đất nước Tuy nhiên, việc nghiên cứu vấn đề dạy học cho học sinh yếu kém lại chưa được nghiên cứu, chú trọng đúng mức để đảm bảo việc đào tạo nhân lực, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục Ở trường THPT, đa số học sinh đã học yếu kém về một chủ đề kiến thức nào đó thì sẽ mặc cảm, tự ti, bỏ qua phần kiến thức này Do đó việc nghiên cứu phân dạng bài tập là rất cần thiết, giúp học sinh dễ nhớ và dễ vận dụng Từ đó thúc đẩy hoạt động, phát huy tính tự giác, tính tích cực, chủ động của học sinh

Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng chiếm vai trò quan trọng trong chương trình Toán THPT Nội dung về Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng được trình bày trong toàn bộ chương 3 giải tích 12 Qua nhiều lần thay sách với nhiều thay đổi song Nguyên hàm – Tích phân và ứng dụng là nội dung bắt buộc trong các đề thi Tốt nghiệp THPT, ĐH-CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia Đây là một chủ đề có nhiều khó khăn trong việc dạy và học Ngoài

ra, việc trình bày các kiến thức ở SGK, SBT cũng như các sách tham khảo, hệ thống các bài tập còn dàn trải và học sinh thường mất thời gian khi giải bài tập phần này Đã có một số đề tài nghiên cứu vận dụng các phương pháp dạy học tích cực hoặc xác định những sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Nguyên hàm – Tích phân nhằm nâng cao chất lượng dạy học chủ đề này Tuy nhiên chưa có đề tài nào quan tâm nghiên cứu việc phân dạng bài tập phù hợp để giúp đỡ đối tượng học sinh yếu kém học tốt môn toán hơn

Xuất phát từ những lý do trên, từ kinh nghiệm bản thân trong các năm giảng dạy cũng như sự tìm tòi, tham khảo và tổng hợp ở các tài liệu Toán và

trên internet, tôi lựa chọn đề tài: “Phân dạng bài tập giúp đỡ học sinh yếu kém toán Trường THPT Nông Cống 1 trong việc học phần Nguyên hàm –

1.2 Mục đích nghiên cứu.

- Giúp học sinh yếu kém dễ nhớ, dễ vận dụng;

- Tạo cho học sinh sự say mê, hứng thú trong môn học;

- Giúp học sinh nâng cao được tư duy, kĩ năng tính toán Từ đó bổ sung vào

hành trang kiến thức cho HS để bước vào kì thi THPT Quốc gia;

- Giúp cho bản thân và đồng nghiệp có thêm tư liệu để ôn tập cho học sinh

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài sẽ nghiên cứu phân dạng các bài toán Nguyên hàm – Tích phân

để giải quyết các bài toán liên quan

1.4 Phương pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu tài liệu Toán lớp 11 và lớp 12;

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết;

- Phương pháp phân tích tổng kết kinh nghiệm

2 Nội dung 2.1 Cơ sở lí luận.

2.1.1 Nguyên hàm

Định nghĩa: Cho hàm số f x( )xác định trên K Hàm số F x( ) được gọi là nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K nếu F x'( ) f x( ) với mọi x K

Định lí 1: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số G x( ) F x( ) C cũng là một nguyên hàm của f x( ) trên

K.

Định lí 2: Nếu F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trên K thì mọi

nguyên hàm của f x( ) trên K đều có dạng F x( ) C , với C là một hằng số.

2.1.2 Tính chất của nguyên hàm

TC1: f x dx'( ) f x( ) C

TC2: kf x dx k f x dx( )   ( )

TC3:   f x( ) g x dx( ) f x dx( ) g x dx( )

2.1.3 Bảng nguyên hàm từ định nghĩa:

Bảng nguyên hàm:

0dx C (0 1)

ln

x

x a

a



1dx x C 

1

( 1) 1

x













1 ln

1

tan cos x dx x C



x x

e dx e C

1

cot sin x dx x C



2.1.4 Bảng nguyên hàm bổ sung:

Định lí: Nếu f u du F u( )  ( ) C và u u x ( ) là hàm số có đạo hàm liên

Hệ quả: Với u = ax + b (a0) ta có: f ax b dx( ) 1F ax b( ) C

a



Ví dụ:

a) cos(2 ) 1sin(2 )

x dx x C

c) 2

1

2cot 2 sin

2

x



Từ đó ta có bảng nguyên hàm bổ sung:

1

1 ( )

1

ax b

a













ln

ax b a  

1

ax b ax b

a

tan( ) cos (ax b )dxa ax b C



( 0,0 1) ln

mx n

mx n a

m a





cot( ) sin (ax b )dx a ax b C



Chú ý: Vi phân: u  ( )x  du  '( )x dx

Ví dụ:

a)2u2  3x 4udu 3dx c) u x  1 u2   x 1 2udu dx

1 tan

2

x

x

2.1.5 Tích phân và tính chất

Định nghĩa: Cho f x( ) là hàm số liên tục trên đoạn a b;  Giả sử F x( )là một nguyên hàm của f x( ) trên đoạn a b;  Hiệu số F b( )  F a( ) được gọi là

tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn a b;  của hàm số f x( )

kf x dx k f x dx

TC2:  ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx f x dx g x dx

f x dx f x dx f x dx

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong các kỳ thi tốt nghiệp, ĐH- CĐ và hiện nay là thi THPT Quốc gia chuyển từ hình thức tự luận sang trắc nghiệm các bài toán nguyên hàm, tích phân luôn xuất hiện, chiếm khoảng 10% trong đề thi và chủ yếu là những câu thuộc mức độ nhận biết, thông hiểu Đối với đa số học sinh hiện nay nếu học yếu môn toán gần như học sinh mất nhiều thời gian trong việc định hướng cách làm hoặc trong quá trình làm thường mắc sai sót Đặc biệt hiện nay thi trắc nghiệm có các phương án nhiễu học sinh càng dễ mắc sai lầm

2.3 Giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

- Tổ chức cho học sinh hình thành kỹ năng giải toán thông qua một (hay nhiều) buổi học có sự hướng dẫn của giáo viên

- Tổ chức rèn luyện khả năng định hướng giải toán của học sinh Trong

đó yêu cầu khả năng lựa chọn lời giải ngắn gọn trên cơ sở phân dạng bài toán Nguyên hàm – Tích phân

- Tổ chức kiểm tra để thu thập thông tin về khả năng nắm vững kiến thức của học sinh

- Trong mỗi bài toán yêu cầu học sinh thực hiện phân tích bản chất cũng như đưa ra các hướng khai thác mở rộng cho bài toán

- Cung cấp hệ thống các bài tập mở rộng để học sinh tự rèn luyện

* Cụ thể: Chia thành các dạng nguyên hàm như sau:

2.3.1 Tìm nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến số

Trong sách giáo viên (Ban cơ bản, trang 114) có nêu bảng nguyên hàm

ở dạng hàm số hợp f(u) với u = u(x) Tuy nhiên, qua thực tế cho thấy học sinh

khó nhớ được và khi vận dụng vào bài tập, không phải bài nào cũng có dạng giống như công thức mà còn xuất hiện thêm các hệ số  mà học sinh không vận dụng được công thức

Ví dụ: Từ công thức    

1

( )

1

u x















Nếu học sinh gặp bài toán (2x2  1) 4 3 xdx, học sinh có thể nhận thấy

(2x2+1)’=4x, đối với những học sinh học trung bình – khá trở lên thì có thể áp

dụng được công thức Nhưng khi gặp bài toán (2x2  1) 8 3 xdx thì các em

không thể vận dụng

Từ những lý do trên, để tạo điều kiện cho học sinh làm bài tập có hiệu quả, tôi nêu lên đây một số trường hợp đổi biến thông dụng trong bài toán tính nguyên hàm bằng phương pháp đổi biến

2.3.1.1.Một số trường hợp đổi biến thông dụng:

Hàm số có chứa căn u là toàn bộ căn

Hàm số có chứa lũy thừa u là lượng trong lũy thừa

 ( ) '( )

f  x  x dx

2

( )

f x

dx

x

Đặt u = x

2 2

f a  x dx

x a t    t 

2 2

f a x dx

 hoặc f a( 2x dx2) tan ( )

x a t    t 

2.3.1.2.Các ví dụ cụ thể cho mỗi dấu hiệu:

Ở mỗi ví dụ ta có thể cho bài tập từ đơn giản đến phức tạp

2.3.1.2.1 Hàm số có chứa mẫu:



2

3

1

x

x





 Đặt u = 1–x3  du=-3x2dx  x2dx= 1

3

 du Suy ra

1

3

u

 



3

2

1

x

x





 Đặt u = 1+x2  x2 = u-1  2xdx=du  xdx=12du

u



 sin

tan

cos

x

x

  Đặt u=cosx  du=-sinxdx  sinxdx = -du Suy ra

1

u

 

2 3

x





 

 Đặt u=x2+2x+3  du=2(x+1)dx  (x+1)dx=1

2du Suy ra

1

2

u



2.3.1.2.2 Hàm số có chứa căn:

A x 1dx Đặt u = x 1  u2=x+1 2udu=dx Suy ra 2

2

Au du



3

2

4

x

x





4 x  u2 =4-x2

 x2=4-u2

 xdx=-udu

Suy ra B (4 u udu2) (u2 4)du

u

Cx15 3 1 3  x dx8 x x8 7 3 1 3  x dx8 Đặt u=31 3x 8  u3=1+3x8

 x8 = 3 1

3

u  

x7dx= 2

8

u

du

C  du u  u du

sin cot

 Đặt u= cot x  u2=cotx  -2udu= 12

sin xdx Suy ra

2

2

u

u

   

2.3.1.2.3 Hàm số có chứa lũy thừa:

Ax x(4 2 5)100dx Đặt u = 4x2-5  du=8xdx  xdx=1

8du Suy ra

100

1

8

A u du

Bsin5xcosxdx Đặt u = sinx  du =cosxdx Suy ra Bu du5

Cx2009(1 x2010 2) dx Đặt u=1+x2010  du=2010x2009dx  x2009dx = 1

2010du

Suy ra 1 2

2010

C u du



4

ln x

x

 Đặt u=lnx  du=1

xdx Suy ra Du du4

2.3.1.2.4.f u x u x dx ( ) '( ) :

Ae3sinxcosxdx Đặt u = 3sinx  1

3du=cosxdx Suy ra 1

3

u

A e du

cos (ln )

 Đặt u = lnx  du =1

xdx Suy ra 12

cos

u



 sin cos2 2 sin 2

2 cos 2 cos sin

x



Đặt u= cos 2x  u2 =cos2x  2udu=-2sin2xdx sin2xdx=-udu Suy ra

u

u

   

 1 3ln x

x



 Đặt u=1+3lnx  1

3du=1

xdx Suy ra 1

3

D udu

2.3.1.2.5. f x( )2 dx

x

A

  Đặt u = x 2 1  u2 =x2 -1 x2=u2+1 xdx= udu

1

u

2

  Đặt u = 1 x 2  u2 =x2 +1 udu =xdx Suy

ra 2 2

1

u

u







2.3.1.2.6. 2 2

f a  x dx

A 4  x dx2 Đặt x =2sint ( 2  t 2)  dx =2costdt

Suy ra A 4 4sin 2cos  2t tdt4cos 2tdt

2

x





 Đặt x = 2tant (

2 t 2

   ) dx= 22

cos t dt

Suy ra 1 2 . 22 1

2(1 tan ) cos 2



2.3.2 Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ:

Nguyên hàm của hàm số hữu tỉ rất phức tạp, nếu nghiên cứu sâu vào hàm số này thì không phù hợp với yêu cầu của sách giáo khoa, do đó tôi chỉ nghiên cứu hàm số hữu tỉ có dạng 2

( )

P x

ax bx c với P(x) là một đa thức.

2.3.2.1.Hằng đẳng thức: 1 1 1 1

AB A B B A

  (*)

Ví dụ: a) 2

x  x  x x  x  x

(x  2)(x  1) 3 x  1 x  2

2.3.2.2.Nguyên hàm của hàm số 2

( )

P x

ax bx c

2.3.2.2.1.P(x)=A (hằng số):

a)  0: Đưa về dạng 2 2

'

u

u k (k là hằng số) b)=0 : Đưa về dạng u2'

u

c) >0 : Đưa về dạng 2 2

'

u

k  u (k là hằng số) hoặc đưa về dạng

1 2

h

x x x x  và

áp dụng hằng đẳng thức (*)

Ví dụ: Tính:

2 2

A

x x

x

 

Đặt x+1

2= 3

2 tant dx= 3

2 2

1

cos t dt

2

.

(1 tan ) 2

t t



 2

1 2

x

C x







2.3.2.2.2.P(x)=Ax+B: Ta biến đổi về dạng k(ax22 bx c) ' 2 h

ax bx c ax bx c

 



Ví dụ: Tính

Để tính A1 ta đặt u=x2+x+1 và tính A2 thực hiện như phần 2.1

Để tính B1 ta đặt u=2x2-x-1 và tính B2 thực hiện như phần 2.1

2.3.2.2.3 P(x) có bậc lớn hơn 1: Ta chia P(x) cho ax2+bx+c để đưa về các trường hợp nêu trên

x

3 2

2

2.3.3 Nguyên hàm của hàm số lượng giác:

Nói chung hàm số dưới dấu tích phân là hàm số lượng giác, ta cần biến đổi để đưa về một trong các dạng đã nêu ở phần 2.3.2 Tuy nhiên đối với dạng này, nhiều bài cũng rất phức tạp, đòi hỏi học sinh phải rèn luyện nhiều Do vậy, tôi cũng chỉ đưa ra vài dạng mà tôi nghĩ học sinh thường hay gặp

2.3.3.1 Dạng R(sin ,cos )dx x x :

Phương pháp: Đặt t=tan

2

x

và biến đổi đưa về tích phân hàm số hữu tỉ theo t

Chú ý: Đặt t=tan

2

x

 dt= 2

1 2cos 2

x dx=1

2(1+tan2

2

x

)dx  dx= 2

2 1

dt t

 và sinx= 2

2 1

t t



, cosx=1 22

1

t

t



 , tanx= 2

2 1

t t



Ví dụ: Tính

a)

2sin cos

dx A







Đặt t=tan

2

x

 dx= 2

2 1

dt t

 Suy ra

tan 2 5

2

x

x

 

 

 

b)

1 cos 2 2sin cos 4sin cos 1 cos 2 2sin 2 3 cos 2 4sin 2

2

B

x



Đặt t=tanx  dx= 2

1

dt t



Suy ra

2

1 1

t

 

2.3.3.2 Dạng sinm cosn

x xdx

Phương pháp: Xét các trường hợp:

Nếu m lẻ (hoặc n lẻ): Đặt u=cosx (hoặc u=sinx)

Nếu m và n đều chẵn và có ít nhất một trong hai số là số âm: Đặt t=tanx

Nếu m và n đều là số dương chẵn: Dùng công thức hạ bậc

Ví dụ: Tính:

a) Asin 3 xcos 2 xdx(1 cos ) cos  2 x 2xsinxdx

Đặt u=cosx du=-sinxdx  sinxdx=-du

A  u u du u  u du  C   C

sin 1 cos

B



Đặt u=cosx -du=sinxdx

sin cos sin 2 ( ) (1 cos 4 )(1 cos 2 )

x

= 1 (1 1cos 2 cos 4 1cos 6 ) 1 1 sin 2 1 sin 6

tan

x

Đặt u=tanx  du= 2

1 cos x dx Suy ra 4 5 tan5

Du du C C

2.3.3.3.Dạng sinaxcosbxdx, sin axsinbxdx, cos axcosbxdx :

Phương pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng

Ví dụ: Tính

a) sin 2 cos3x xdx b) sin 3 sinx xdx c) cos 2 cosx xdx

2.3.4 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần:

Nếu u= u(x), v=v(x) là các hàm số xác định có đạo hàm liên tục trên K thì

udv uv  vdu

Trong thực tế, việc vận dụng phương pháp tính nguyên hàm từng phần phải linh hoạt Đôi khi phải có dự đoán khác thường Do đó, tôi chỉ nêu ra hai dạng mà học sinh thường gặp

2.3.4.1.Dạng 1: Gọi P(x) là một đa thức.

( ). mx

P x a dx

 : Đặt u=P(x), dv=a mx dx

( )sin

P x axdx

( ) cos

P x axdx

2.3.4.2 Dạng 2:

( ) loga

P x xdx

 : Đặt u=log a x, dv=P(x)dx

Qua hai dạng trên ta chú ý cho học sinh chỉ cần nhớ cách đặt của dạng

2 còn dạng 1 thì ngược lại

Ví dụ: Tính

a) Ax2 lnxdx

1 ln

3

du dx

v















A x  x dx x C

b) B(x 1)3x dx

ln 3

x x

du dx

u x





 





ln 3 ln 3 ln 3 ln 3

c) Excos3xdx

3

du dx

u x









Suy ra 1 sin 3 1sin 3 1 sin 3 1cos3

E x x  xdx x x x C

d) De xsinxdx

Đặt



Suy ra xcos xcos

De xe xdx

Lại đặt



Suy ra e xcosxdx e xsinx e xsinxdx

Do đó, De xcosx e xsinx D  2D=ex(sinx-cosx)  (sin cos )

2

x

e

D x x C

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Đối với bản thân, sáng kiến kinh nghiệm này là cơ hội để tôi tiếp tục hoàn thiện mình hơn nữa, làm cơ sở cho quá trình đổi mới phương pháp giảng dạy nhằm đem lại hiệu quả cao nhất cho học sinh

Thông qua việc áp dụng sáng kiến kinh nghiệm vào giảng dạy học sinh đã hứng thú hơn trong học tập môn toán, các em đã bước đầu biết gắn các bài học lý thuyết với thực tế, các em rất chủ động, linh hoạt, sáng tạo không còn

bị động, các em đã cởi bỏ được tâm lý e ngại, lười hoạt động Từ đó nâng cao được chất lượng giáo dục trong nhà trường Đây là tiền đề để phụ huynh học sinh cũng như chính quyền địa phương yên tâm gửi gắm con em mình vào

nhà trường

Trong năm học 2018 – 2019 tôi đã áp dụng sáng kiến kinh nghiệm cho lớp 12A3, không áp dụng cho lớp 12A7 Sau khi kết thúc kỳ thi thử THPT Quốc gia do Sở GD&ĐT Thanh Hóa tổ chức kết quả làm bài cho thấy tại lớp 12A3 có 85% học sinh giải được các bài toán liên quan đến Nguyên hàm, tích phân trong khi lớp 12A7 chỉ có 31,33%

3 Kết luận – Kiến nghị.

3.1 Kết luận

Sau một thời gian giảng dạy thực tế nhiều năm, thông qua các tài liệu tham khảo cũng như học hỏi ở các đồng nghiệp; tôi đã hệ thống, phân dạng lại các bài toán Nguyên hàm, tích phân và các ví dụ, cụ thể:

 Bảng nguyên hàm mở rộng

 Một số công thức đổi biến số thường gặp

 Nguyên hàm, tích phân của hàm số hữu tỉ

 Nguyên hàm, tích phân của hàm số lượng giác

 Phương pháp nguyên hàm từng phần và cách vận dụng

Từ việc phân dạng bài tập như trên chúng ta còn phải chú ý đối với học sinh yếu kém, giáo viên nên coi trọng tính vững chắc của kiến thức, kĩ năng hơn là chạy theo mục tiêu đề cao, mở rộng kiến thức Do đó việc luyện tập cần được đặc biệt chú ý Khoảng cách giữa các bài tập liên tiếp không nên quá xa, quá cao Cần cho học sinh bước theo những bậc thang vừa với sức mình, học sinh yếu kém sẽ đỡ bị hẫng, bị hụt, bị ngã, có nhiều khả năng leo hết các nấc thang dành cho họ để chiếm lĩnh được kiến thức, kĩ năng mà chương trình yêu cầu Những nấc thang đầu dù có thấp, những bước chuyển bậc dù có ngắn nhưng khi học sinh thành công sẽ tạo nên một yếu tố tâm lí cực kì quan trọng: các em sẽ tin vào bản thân, tin vào sức mình, từ đó có đủ nghị lực và quyết tâm vượt qua tình trạng yếu kém

Thông qua sáng kiến kinh nghiệm này tôi mong muốn được đóng góp một phần công sức nhỏ bé của mình trong việc hướng dẫn học sinh yếu kém

dễ nhớ, dễ vận dụng các bài toán nguyên hàm tích phân cơ bản Đồng thời hình thành khả năng tư duy, sáng tạo, kỹ năng giải nhanh toán, từ đó tạo hứng thú cho các em khi học toán Tuy nhiên, do kinh nghiệm giảng dạy chưa