Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy

Chỉ sau khi các kĩ thuật bẫy các nguyên tử bằng các chùm laser hoặc bằng từ trường được hoàn thiện, cũng như khi các kĩ thuật làm lạnh như làm lạnh bằng chùm laser, làm lạnh bằng bốc hơi

BỘ GIÁO DỤC VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

-

Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên

TÊN ĐỀ TÀI:HIỆN TƯỢNG NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA

KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán

Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : GS TS NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội 04- 2019

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hướng dẫn của giáo viên hướng dẫn Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình nghiên cứu của người khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chưa được ai công bố dưới bất

kỳ hình thức nào Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trước nhà trường về sự cam đoan này

Hà Nội, 04- 2019 Học viên

Vũ Thị Kim Liên

Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành các thủ tục bảo vệ luận văn

Cuối cùng, tôi xin được dành tất cả những thành quả trong học tập của mình dâng tặng những người thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng bước chân tôi

Hà Nội, 04- 2019 Học viên

Vũ Thị Kim Liên

Danh mục các hình vẽ, đồ thị

Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC………3 Hình 1.2: Thang nhiệt độ……… 6 Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi………17 Hình 2.1: Hình tứ diện chứa các điểm có năng lƣợng nhỏ hơn …….…… .28

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2.Đối tượng nghiên cứu 2

3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu của đề tài 2

4 Cấu trúc luận văn 2

CHƯƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA 3 1.1.SƠĐỒĐIỂNHÌNHCỦATHÍNGHIỆMVỀBẪYVÀLÀMLẠNHKHÍ NGUYÊNTỬKIMLOẠIKIỀM 3

1.2.NHIỆTĐỘVÀNHIỆTĐỘNGHỌCTRONGLÀMLẠNHBẰNG LASER[6,7] 4

1.3.BẪYTỪ[6] 6

1.4.BẪYQUANGHỌC[8] 9

1.5.MẠNGQUANGHỌC[8,9,10] 15

1.6.LÀMLẠNHBẰNGLASERVÀLÀMLẠNHBẰNGBỐCHƠI 16

CHƯƠNG 2: NGƯNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY 18

2.1.MỘTSỐĐẶCĐIỂMKHINGHIÊNCỨUBECTRONGCÁCBẪY 18

2.2.NGƯNGTỤBOSE-EINSTEINTRONGHỆBOSONLÝTƯỞNG 21

2.3.NGƯNGTỤBOSE–EINSTEINCỦANGUYÊNTỬTRUNGHÒA KHÔNGTƯƠNGTÁCTRONGBẪYDẠNGTHẾDAOĐỘNGTỬĐIỀU HÒA.[12,13,15,16] 25

2.4.BECTRONGCÁCBẪYTHẤPCHIỀU.[19] 29

2.5.GẦNĐÚNGBÁNCỔĐIỂNTHOMAS-FERMI.[12,13] 31

CHƯƠNG 3: NGƯNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ TRONG MẠNG QUANG HỌC 36

3.1.MÔHÌNHBOSE–HUBBARD 36

3.2.DỊCHCHUYỂNBOGOLIUBOV[12,13,18,19] 37

3.3.GẦNĐÚNGBOGOLIUBOV 39

KẾT LUẬN 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Việc phát hiện ra hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (BEC) trong khí loãng các nguyên tử siêu lạnh vào năm 1995 của các nhà khoa học E.A Corvell, C.E.Wieman, W.Keterle (giải thưởng Nobel về vật lý năm 2001)[1, 2] đã mở ra một kỉ nguyên mới trong vật lý hệ nhiều hạt, trong vật lý quang học, nguyên tử và phân tử Tuy hiệu ứng BEC đã được S Bose và A Einstein tiên đoán bằng lý thuyết từ năm 1924 [3, 4, 5] Nhưng phải sau hơn 70 năm điều này mới được khẳng định bằng thực nghiệm Nguyên nhân cơ bản là phải làm sao đạt được nhiệt độ siêu thấp ( cỡ nK ) cho các hệ nguyên tử trung hòa Chỉ sau khi các kĩ thuật bẫy các nguyên tử bằng các chùm laser hoặc bằng từ trường được hoàn thiện, cũng như khi các kĩ thuật làm lạnh như làm lạnh bằng chùm laser, làm lạnh bằng bốc hơi nhiều bước tập hợp các nguyên

tử được phát hiện [6, 7, 8] thì điều kiện cần thiết để xảy ra BEC mới được bảo đảm và hiệu ứng BEC mới được phát hiện bằng thực nghiệm Hơn thế nữa, các nhà khoa học đã tạo nên các mạng quang học, đồng thời nghiên cứu BEC

và các hiện tượng vật lý thú vị khác xảy ra trên mạng quang học [9, 10, 11]

Về mặt lý thuyết những tính toán đầu tiên về BEC áp dụng cho hệ boson lý tưởng được thực hiện từ lâu và được trình bày trong các giáo trình và tài liệu tổng quan, hoặc các cuốn sách chuyên khảo [3, 5, 12, 13] Đó là các kết quả giải tích, cho chúng ta sự phụ thuộc tường minh của nhiệt độ chuyển pha vào nồng độ và khối lượng nguyên tử, cũng như mối liên hệ của số hạt trong ngưng tụ, các đại lượng nhiệt động học phụ thuộc nhiệt độ Khi chú ý đến tương tác giữa các hạt thì không thể nhận được các kết quả giải tích chính xác trong trường hợp tổng quát mà phải dùng các gần đúng khác nhau [12, 13, 14] Khi nguyên tử ở trong bẫy thì vấn đề lại phức tạp hơn vì sự có mặt của thế năng giam cầm các nguyên tử [15], vì vậy cũng có nhiều cách tiếp cận khác nhau về mặt lý thuyết hiệu ứng BEC trong các bẫy [16, 17]

Với mong muốn tìm hiểu, cập nhập một số vấn đề trong hướng nghiên

cứu rất thú vị và thời sự này, tôi chọn đề tài của luận văn cao học là: “ Hiện

tượng ngưng tụ Bose –Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy ”

2.Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng tìm hiểu trong luận văn này là hiệu ứng BEC trong các bẫy,

cụ thể là tìm hiểu về nguyên lý hoạt động của hai loại bẫy thông dụng nhất: bẫy từ và bẫy quang cũng như hai cơ chế làm lạnh:bằng chùm laser và bằng bốc hơi

3.Mục đích và phương pháp nghiên cứu của đề tài

Mục đích của luận văn là tổng quan một số vấn đề về lý thuyết BEC hệ nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong các bẫy

Phương pháp nghiên cứu là tìm, đọc tài liệu, sử dụng kiến thức được các thầy trang bị, cụ thể là phương pháp lý thuyếttrường lượng tử để thu lại một

số kết quả của các tác giả khác đã công bố

4 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu,kết luận và tài liệu tham khảo,cấu trúc luận văn như sau:

Chương 1:Bẫy và làm lạnh các nguyên tử trung hòa

Chương 2: Ngưng tụ Bose -Einstein trong các bẫy

Chương 3: Ngưng tụ Bose -Einstein của các nguyên tử trong mạng quang học

CHƯƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA

Sự phát triển của công nghệ laser mở ra một giai đoạn mới với những phương pháp rất hiệu quả và tiên tiến để tạo ra và điều khiển các nguyên tử siêu lạnh Một trong những kết quả rực rỡ của hướng phát triển này là sự phát hiện hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein (BEC – Bose Einstein Condensation) trong khí nguyên tử loãng [3, 4, 5] và chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott [11] Trong chương này chúng ta sẽ tìm hiểu những nguyên lý chung về bẫy

và làm lạnh các nguyên tử trung hòa

1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH KHÍ NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM

Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC được cho trên hình 1.1:

Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC [13]

Đầu tiên ở trong lò tạo nhiệt độ 600K để một chùm nguyên tử kim loại kiềm bắn ra với vận tốc quãng 800 m/s Sau đó chùm khí nguyên tử đi vào buồng làm chậm Zeeman để vận tốc giảm xuống còn 30m/s tương ứng với nhiệt độ 1K(trong phần 1.2 ta sẽ nói kĩ về khái niệm nhiệt độ trong khí loãng) Vận tốc của nguyên tử giảm là do trong buồng Zeeman người ta chiếu một chùm laser ngược với hướng của chùm nguyên tử Lực bức xạ do sự hấp thụ photon sẽ làm chậm lại chuyển động của nguyên tử Sự hấp thụ photon chỉ xảy ra khi tần số sóng laser trùng với tần số sóng chuyển mức trong nguyên

tử Tuy nhiên, do hiệu ứng Doppler nên tần số chuyển mức này sẽ phụ thuộc vào vận tốc của nguyên tử mà vận tốc này thay đổi nên tần số cũng thay đổi

Để duy trì tần số chuyển mức không đổi người ta áp dụng từ trường không đồng nhất để hiệu ứng Zeeman sẽ bù trừ hiệu ứng Doppler Sau đó, từ buồng

làm chậm Zeeman thì nguyên tử được đưa vào bẫy từ quang (MOT) để làm lạnh tiếp tới 100µK do tương tác với ánh sáng laser Sau khi một số lớn nguyên tử bị bẫy vào MOT ( ) người ta tắt chùm laser và chỉ dùng từ trường để bẫy Cuối cùng người ta tiếp tục làm lạnh tới nK bằng cách cho khí nguyên tử bốc hơi để nghiên cứu hiệu ứng BEC Như vậy về cơ bản

sẽ có hai dạng bẫy:bẫy bằng từ trường và bẫy quang học và hai kĩ thuật làm lạnh:làm lạnh bằng laser và làm lạnh bằng bốc hơi

1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG

LASER[6, 7]

Trong nhiệt động học, khái niệm nhiệt độ được định nghĩa như là một tham số của một hệ kín cân bằng nhiệt với môi trường Điều này mặc định là có một tiếp xúc nhiệt để thực hiện trao đổi nhiệt Khi bị bẫy và làm lạnh bằng laser thì hệ nguyên tử thường xuyên hấp thụ và tán xạ ánh sáng và về cơ bản không

có trao đổi nhiệt (ánh sáng không được coi là nhiệt, cho dù nó có năng lượng) Như vậy hệ nguyên tử trong bẫy có thể coi là trạng thái dừng (steady state) nhưng không phải là ở trạng thái cân bằng nhiệt

Thông thường, người ta liên hệ giữa nhiệt độ và động năng trung bình , thí dụ cho chuyển động một chiều;

Tuy nhiên cần rất cẩn thận trong khi áp dụng công thức trên vì trong hệ nguyên tử trong trường laser có nhiều cấp độ năng lượng với hàm phân bố năng lượng khác hẳn nhau nhưng có thể cho cùng một giá trị trung bình (3.1)

Vì vậy khái niệm nhiệt độ ở đây xác định cho từng cấp độ năng lượng Cấp độ năng lượng cao nhất là gắn với năng lượng dịch chuyển Doppler

Nếu độ rộng vạch tự nhiên của nguyên tử là Khối lượng của nguyên tử là

M thì năng lượng gắn với hiệu ứng Doppler [6]

(1.2)

Với k là số bước sóng photon Độ lớn của nhiệt độ này cỡ vài mK

Cấp độ tiếp theo của nhiệt độ liên quan tới năng lượng gắn với độ rộng vạch

năng lượng này cỡ một vài µK

Bài toán đặt ra cho công nghệ làm lạnh là phải làm sao vượt qua các giới hạn này và ta không đi sâu vào các phươngpháp cụ thể Trong hình 1.2 là một thang nhiệt độ tương ứng với các kĩ thuật làm lạnh:

Va chạm

He lỏng

Lạnh quang học Giới hạn Doppler

Giới hạn giật Quá trình

= ( ⃗ ⃗ , (1.5)

trong đó là các thông số Lander

Tương tác giữa các spin của electron với từ trường hiệu dụng của hạt nhân dẫn tới số hạng tương tác spin-quỹ đạo để tạo thành momen góc toàn phần ⃗ Lúc đó là một số lượng tử tốt của hệ điện tử trong nguyên tử nên (1.5) viết thành :

a) Từ trường nhỏ:Là khi mức tách do từ trường ⃗ nhỏ hơn so với do tương tác siêu tinh tế Khi đó, liên kết là mạnh hơn với từ

trường và ta có với độ lớn của và hình chiếu là các

số lượng tử tốt Năng lượng lúc đó có dạng (giả thiết ⃗ // oz ):

= A[F(F + 1) – I(I + 1) – J(J + 1)] + (1.8)

b)Từ trường cao:ở giới hạn ngược lại thì và liên kết mạnh hơn với từ trường so với giữa chúng với nhau Vì vậy, các số lượng tử sẽ là và Ta có:

Từ (1.10) suy ra khi > 0 thì nguyên tử bị bẫy vào nơi từ trường thấp (low –field seeking states) Cho87 Rb ở trạng thái cơ bản = và = nên từ trường bẫy được các nguyên tử ở trạng thái với:| 〉= | 〉;

| 〉 | 〉 Sau khi nguyên tử bị bẫy thì người ta có thể làm lạnh bằng cách

sử dụng sóng điện từ để được các nguyên tử năng lượng cao sang các trạng thái không bị bắt giữ

Bẫy từ thì có ba ưu điểm chính Một là, có thể là một bẫy sâu(thành bẫy cao)

cỡ 100µK do sử dụng từ trường cao(nhưng vẫn thỏa mãn là nhỏ so với tương tác siêu tinh tế) Hai là, thời gian sống của bẫy lớn (vì tác nhân bẫy là từ trường giữ không đổi theo thời gian, nên thời gian sống chỉ phụ thuộc vào va chạm nội tại trong khí nguyên tử) Ba là, do bẫy sâu nên có thể làm lạnh tiếp bằng bốc hơi một cách chọn lọc với các trạng thái với F và khác nhau 1.4 BẪY QUANG HỌC [8]

Bẫy quang học dựa vào tương tác lưỡng cực điện của nguyên tử với điện trường của sóng điện từ.Ởtrạng thái cơ bản, nguyên tử kim loại kiềm có đối xứng cầu và momen lưỡng cực điện bằng không Khi đặt trong trường laser, do điện trường của chùm laser mà xuất hiện lưỡng cực điện cảm ứng Lưỡng cực điện cảm ứng này lại tác dụng với trường điện từ của laser Giả sử nguyên tử đặt trong trường laser với điện trường là:

Điện trường (1.12) do cảm ứng sẽ gây ra momen lưỡng cực điện của nguyên tử:

̂ ̃ (1.13) ⃗ ( )= ̂ ̃ (1.12)

Trong đó ̂ là vectơ đơn vị Biên độ momen lưỡng cực từ liên hệ với biên độ điện trường qua hàm phân cực phức , phụ thuộc tần số góc của điện trường:

Chính lực thế này là lực bẫy nguyên tử, là tác nhân tích cực cho mục đích bẫy nguyên tử trung hòa Tuy nhiên trường laser có gây lên một tác động tiêu cực với quá trình bẫy nguyên tử, đó là sự tán xạ của các photon lên nguyên tử mà thực chất là quá trình nguyên tử hấp thụ photon và sau đó tái bức xạ tự phát Bức xạ tự phát với bản chất là ngẫu nhiên (random) làm cho các nguyên tử nóng lên và một số bay ra khỏi bẫy Công suất hấp thụ tính bằng công thức:

Ta hình dung nguyên tử khi chưa có trường ngoài như quả cầu, xung quanh là đám mây electron, ở tâm là hạt nhân Khi có trường ngoài, do cảm ứng tâm hạt nhân và tâm khối của đám mây không trùng nhau và tạo thành lưỡng cực điện, được hình dung như một dao động tử điều hòa, trong đó khối tâm đám mây electron dao động xung quanh hạt nhân với tần số riêng và hệ số tắt dần (Vì khối lượng hạt nhân lớn hơn nhiều khối lượng đám mây điện tử nên có thể coi hạt nhân là đứng yên Do trường laser nên đám mây electron dao động cưỡng bức và thỏa mãn phương trình:

Để tính hệ số tắt dần cổ điển ta giả sử electron chuyển động trên hình tròn và

áp dụng công thức Larmor về công suất phát xạ của điện tích chuyển động có gia tốc và ta thu đƣợc:

(1.15) và (1.18) ta đưa vào khái niệm điều chỉnh (detuning) là sự khác biệt của tần số laser so với tần số dao động riêng của hệ:

Ta nhận xét nếu điều chỉnh gần cộng hưởng thì Re và như vậy Vì vậy trong các thí nghiệm người ta điều chỉnh xa (far – detuning) sao cho | |

Nếu thì giới hạn gọi là điều chỉnh đỏ, ngược lại thì gọi là điều chỉnh xanh Trong chế độ điều chỉnh xa ta có từ (1.15) và (1.18):

Lúc đó có thể bỏ qua số hạng thức2 vế phải trong biểu thức (1.24) và (1.25)

và đặt (gọi là gần đúng sóng quay) Khi đó từ (1.24) và (1.25) ta có:

, I(

Công thức (1.28) cho ta hai hệ quả quan trọng trong kĩ thuật bẫy quang học Một là, do , Γ đều là dương nên dấu của thế giam cầm nguyên tử phụ thuộc vào dấu của Nếu là điều chỉnh đỏ thì và là thế hút, vì vậy các nguyên tử sẽ khư trú tại các điểm mà cường độ trường laser I ( là cực đại, còn nếu điều chỉnh xanh thì nguyên tử ở vùng cường độ trường laser I ( cực tiểu vì thế là đẩy Hai là, để hạn chế ảnh hưởng tiêu cực của tán xạ tự phát thì cần điều chỉnh xa(nhưng vẫn cần thỏa mãn | | để áp dụng gần đúng sóng quay để thu các công thức (1.26); (1.27)

Dạng hình học của thế giam cầm được xác định bởi phân bố trường laser Chẳng hạn nếu là chùm loại Gauss với công suất P truyền dọc hướng z:

( )

với √

Trong đó là các tham số Vì nên ta thấy độ sâu của thế bẫy ̂ | | Nếu năng lượng nhiệt của nguyên tử là nhỏ hơn nhiều ̂thì thế bẫy có thể coi gần đúng là thế dao động tử điều hòa đối xứng trục [8, 9]:

sử dụng linh hoạt và dễ dàng các nguồn laser nên có thể tạo nên các phân bố

đa dạng về mặt hình học của nhiều bẫy đồng thời Một trong số đó là mạng quang học

Ta xét thí dụ mạng một chiều Theo công thức (1.15) thế bẫy nguyên tử phụ thuộc cường độ laser I, và I lại phụ thuộc vào bình phương modul của vectơ cường độ điện trường ⃗ Xét trường hợp đơn giản một chiều gồm hai sóng đơn sắc tần số , vectơ sóng k, biên độ theo phương x hướng vào nhau Biên độ điện trường tổng hợp có dạng:

| | =

Trong đó là hiệu hai pha các sóng Ta chọn điều chỉnh đỏ để thế là hút, các nguyên tử tập chung ở vùng cực đại của thế, ta có:

1.6 LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI

Như trên đã điểm qua, làm lạnh bằnglaser là dùng chùm tia laser để làm chậm chuyển động của các nguyên tử Lực của chùm photon trong laser tác dụng lên nguyên tử phụ thuộc vào tần sóng laser Tuy nhiên do hiệu ứng Doppler nên tần số sóng laser mà nguyên tử “cảm nhận” phụ thuộc vận tốc chuyển động của nguyên tử Khi bị tác dụng và lạnh dần thì vận tốc nguyên tử giảm dần, Vì vậy do ảnh hưởng của hiệu ứng Doppler lực mà photon tác dụng lên nguyên tử cũng thay đổi Để giữ cho lực này không đổi, người ta dùng lực Zeeman của một từ trường ngoài bù trừ cho hiệu ứng Doppler Vì vậy làm lạnh bằng laser còn gọi là làm lạnh bằng Doppler Làm lạnh bằng Dopper có thể hạ nhiệt độ tới vài mK Tuy nhiên nhiệt độ này chưa đủ nhỏ để làm các thí nghiệm về BEC Người ta có thể đạt nhiệt độ thấp hơn bằng phương pháp bốc hơi Ý tưởng chính của phương pháp này là trong số các nguyên tử bị bẫy hãy

để cho các nguyên tử có năng lượng cao nhất đi ra khỏi bẫy bằng cách hạ thấp dần bờ cao của giếng thế giam cầm (xem hình 1.3)

E cut

Tuy nhiên ta cũng không thể đạt được nhiệt độ thấp tùy ý vì khi hố thế quá nông thì số hạt bị giam cầm quá nhỏ, chưa kể là khi hố thế nông, lực giam cầm nhỏ không thắng được trọng lực và các nguyên tử bị rơi xuống Nhiệt độ sau khi làm lạnh bằng bốc hơi có thể xuống nK

CHƯƠNG 2: NGƯNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY

Các nguyên tử trong các bẫy chịu tác dụng của các thế giam cầm, vì vậy chỉ chuyển động trong không gian hẹp Do sự có mặt của các thế giam cầm và sự giới hạn của không gian nên hệ boson không đồng nhất Điều này dẫn đến các tính chất vật lý mới thú vị và đòi hỏi những phương pháp tiếp cận khác Trong chương này chúng ta sẽ xem xét một số phương pháp nghiên cứu

lý thuyết các hệ boson không đồng nhất Để tiện so sánh chúng ta cũng sẽ xét

hệ boson tự do, hay còn gọi là hệ boson lý tưởng

2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY

Hệ nguyên tử trong các bẫy khác với hệ tự do là chúng bị tác động bởi thế giam cầm Vì vậy đây là một hệ không đồng nhất nên trạng thái lượng tử của hạt không còn được mô tả bằng momen xung lượng ⃗ mà có thể bẫy một

bộ số lượng tử Khi số hạt ở trạng thái (kí hiệu là là một đại lượng vĩ mô ( thì ta nói rằng hệ ngưng tụ ở trạng thái lượng tử Nói một chính xác ta phải xét ở giới hạn nhiệt động học :

Trạng thái được gọi là được chiếm một cách vĩ mô khi:

Điều kiện (2.2) đƣợc gọi là tiêu chuẩn Einstein cho hiện tƣợng ngƣng tụ BEC Tuy nhiên, cho các nguyên tử trong các bẫy thể tích V có thể không xác định

Vì vậy ta cần định nghĩa giới hạn nhiệt động học theo cách khác [18 ]

Giả sử là một đại lƣợng quảng giao (extensive) quan sát đƣợc, lúc đó giới hạn nhiệt động học hiệu dụng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

∫ d = ( ) (2.6)

Dựa vào (2.10) đƣa vào khái niệm tham số trật tự tầm xa không chéo diagonallong - range order) và cho rằng để có BEC cần tồn tại trật tự tầm xa không chéo:

| ⃗ ⃗ | = > 0 (2.11)

Tiêu chuẩn (2.11) được sử dụng nhiều cho các hệ đồng nhất khi có thể coi

2.2.NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƯỞNG

Hiện tượng ngưng tụ Bose-Einstein bắt nguồn từ tính đối xứng của hàm sóng hệ nhiều hạt với phép hoán vị hai hạt boson đồng nhất Từ tính đối xứng này suy ra hàm phân bố boson ở nhiệt độ T trong trạng thái lượng tử ν là: