Một số định hướng giúp học sinh khá giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên

Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến bài toán giải phương trình nghiệm nguyên đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức. Chính vì vậy chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển tư duy cho học sinh, giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo. Do đó việc dạy toán ở trường phổ thông bên cạnh truyền thụ những tri thức khoa học cơ bản cần phải dạy cho học sinh suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh. Trong chương trình toán THCS không đề cập đến phương trình nghiệm nguyên. Tuy nhiên, trong các kì thi học sinh giải các cấp và đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên toán cấp trung học phổ thông. Chính vì vậy, học sinh thường gặp khó khăn khi tiếp cận dạng toán này. Trong quá trình tham khảo các tài liệu dạy học tôi thấy có nhiều tài liệu đề cập đến phương trình nghiệm nguyên. Tuy nhiên, chưa có tài liệu nào đề cập đến việc hỗ trợ, định hướng học sinh giải các phương trình nghiệm nguyên phù hợp với học sinh vùng cao Hướng Hóa. Nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu làm quen với phương trình nghiệm nguyên đồng thời định hướng cho việc học sinh tự học, tự nghiên cứu để chuẩn bị tốt cho các kì thi vì vậy tôi chọn đề tài “Một số định hướng giúp học sinh khágiỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên”

TRƯỜNG THCS TÂN LIÊN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

MỘT SỐ ĐỊNH HƯỚNG GIÚP HỌC SINH KHÁ-GIỎI CẤP THCS TIẾP CẬN PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

Tên tác giả: TRẦN XUÂN LINH Chức vụ: Phó Hiệu trưởng Đơn vị công tác: Trường THCS Tân Liên

NĂM HỌC: 2015 – 2016

MỤC LỤC

Mục lục 1

A PHẦN MỞ ĐẦU 2

1 Lý do chọn đề tài 2

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Đối tượng nghiên cứu 2

4 Đối tượng khảo sát, thực nghiêm 3

5 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu 3

6 Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu 3

B PHẦN NỘI DUNG 4

I Cơ sở lí luận 4

II Lịch sử vấn đề nghiên cứu 4

III Thực trạng tình hình 4

IV Một số định hướng khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên 6

1 Dạng phương trình axybxcy d 0 , , , (a b c d ) 6

2 Dạng phương trình 2 2 0 ( , , , , , ) ax by cxydxey g a b c d e g 9

3 Một số dạng phương trình thường gặp khác 14

V Giải pháp nhằm nâng cao hiệu quả công tác bồi dưỡng HSG với chủ đề nghiệm nguyên 15

C KIẾN NGHỊ ĐỀ XUẤT 18

* Kết luận 18

* Kiến nghị 18

Tài liệu tham khảo 19

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Đất nước ta đang trên đường đổi mới, cần có những con người phát triển toàn diện năng động và sáng tạo Muốn vậy phải bắt đầu từ sự nghiệp giáo dục

và đào tạo, đòi hỏi sự nghiệp giáo dục và đào tạo phải đổi mới về mọi mặt như: Mục tiêu, chương trình, nội dung, phương pháp và tổ chức quản lý Điều này đã được khẳng định trong nghị quyết hội nghị lần thứ tư Ban chấp hành trung ương Đảng cộng sản Việt Nam khoá VII "Đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp, các bậc học, áp dụng những phương pháp giáo dục hiện đại để bồi dưỡng tư duy sáng tạo, năng lực giải quyết vấn đề" Với mục tiêu đó hoạt động dạy học không chỉ dừng lại ở việc truyền thụ cho HS những kiến thức, kỹ năng

cơ bản mà còn đặc biệt quan tâm đến việc hình thành và phát triển tư duy sáng tạo cho HS một cách hiệu quả

Việc giải quyết những vấn đề liên quan đến bài toán giải phương trình nghiệm nguyên đòi hỏi vận dụng nhiều kiến thức Chính vì vậy chứa đựng nhiều tiềm năng phát triển tư duy cho học sinh, giúp học sinh rèn luyện cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo Do đó việc dạy toán ở trường phổ thông bên cạnh truyền thụ những tri thức khoa học cơ bản cần phải dạy cho học sinh suy nghĩ cách phát hiện và giải quyết vấn đề, phát triển tư duy sáng tạo cho học sinh Trong chương trình toán THCS không đề cập đến phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên, trong các kì thi học sinh giải các cấp và đặc biệt trong các kì thi tuyển sinh vào các lớp chuyên toán cấp trung học phổ thông Chính vì vậy, học sinh thường gặp khó khăn khi tiếp cận dạng toán này

Trong quá trình tham khảo các tài liệu dạy học tôi thấy có nhiều tài liệu đề cập đến phương trình nghiệm nguyên Tuy nhiên, chưa có tài liệu nào đề cập đến việc hỗ trợ, định hướng học sinh giải các phương trình nghiệm nguyên phù hợp với học sinh vùng cao Hướng Hóa

Nhằm mục đích giúp học sinh bước đầu làm quen với phương trình nghiệm nguyên đồng thời định hướng cho việc học sinh tự học, tự nghiên cứu để chuẩn

bị tốt cho các kì thi vì vậy tôi chọn đề tài “Một số định hướng giúp học sinh

khá-giỏi cấp THCS tiếp cận phương trình nghiệm nguyên”

2 Mục đích nghiên cứu

Từ một số dạng phương trình nghiệm nguyên, cách giải thông dụng và điển hình, trình bày theo dạng để phù họp với việc bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6,7,8,9 để rút ra các định hướng cho quá trình dạy học bồi dưỡng HSG phù hợp với nhiều lớp khác nhau Nhằm nâng cao chất lượng bồi dưỡng HSG

3 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, 9 trường THCS Tân Liên

Các định hướng giải phương trình nghiệm nguyên phù hợp với các HSG đang trực tiếp giảng dạy

4 Đối tượng khảo sát, thực nghiêm

Học sinh tham gia bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 6, 7, 8, 9 trường THCS Tân

Liên

5 Nhiệm vụ và phương pháp nghiên cứu

Nhiệm vụ tổng quát: Tổng hợp các dạng phương trình nghiệm nguyên và

phương pháp giải

Nhiệm vụ cụ thể:

Tìm hiểu thực trạng

Đề xuất các dạng và phương pháp giải

Đề xuất các định hướng cho học sinh ở các khối khác nhau

Quan sát chuyển biến của học sinh sau khi học

Đề xuất các giải pháp trong dạy chủ đề nghiệm nguyên trong bồi dưỡng học sinh giỏi

Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp nghiên cứu tài liệu

Phương pháp nghiên cứu sản phẩm (bài làm học sinh)

6 Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu

Nội dung chương trình môn toán cấp THCS

Các dạng phương trình nghiệm nguyên, phương pháp giải và các định hướng cho những học sinh lớp dưới có thể giải được

Trong sáng kiến kinh nghiệm này tôi chỉ tập trung nghiện cứu một số dạng

cơ bản và phù hợp đối tượng là học sinh giỏi đang bồi dưỡng tại trường, chuẩn

bị thi học sinh giỏi các cấp và thi vào các trường chuyên lớp chọn trên địa bàn tỉnh Quảng trị

Thời gian từ tháng 9/2014 đến 3/2016

B PHẦN NỘI DUNG

I Cơ sở lí luận

Dạng toán giải phương trình nghiệm nguyên thuộc phân môn số học là một trong những dạng khó trong các dạng bồi dưỡng học sinh giỏi cấp THCS, việc giải phương trình nghiệm nguyên đòi hỏi học sinh có khả năng huy động nhiều kiến thức về số học cũng như đại số để giải quyết Tuy nhiên, những kiến thức

đó được trình bày không liên tục trong chương trình của môn học mà được trình bày rải rác từ lớp 6 đến lớp 9

II Lịch sử vấn đề nghiên cứu

Phương trình nghiệm nguyên là một nội dung nhỏ trong phân môn số học ở cấp trung học, tuy không trình bày một cách tường minh nhưng với những kiến thức từ lớp 6 chương trình hiện hành học sinh có thể bắt đầu làm quen qua bài tập 146 sách bài tập toán 6 như sau: “Tìm các số tự nhiên x sao cho a 6 (x 1) ;

b 14 (2.x 3).” Và một số kiến thức khác được đưa vào trong chương trình toán THCS đều có thể giúp học sinh có thể giải được phương trình nghiệm nguyên Chính vì vậy nhiều nhà giáo hàng đầu đã biên soạn nhiều tài liệu giúp học sinh làm quen với dạng này

Trong số đó cần phải kể đến Hoàng Chúng với “Số học - Bà chúa của toán

học” Vũ Hữu Bình với “Phương trình nghiệm nguyên và kinh nghiệm giải”

Nguyễn Vũ Lương và các cộng sự với “Các bài giảng về số học đồng dư,

phương trình nghiệm nguyên, hàm số học” Phạm Minh Phương và các cộng sự

với “Các chuyên đề số học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học cơ sở”

III Thực trạng tình hình

Nội dung phương trình nghiệm nguyên không được trình bày cụ thể trong chương trình môn toán ở cấp THCS, những kiến thức liên quan đến dạng toán này được trình rời rạc, không tập trung, về tính chất chia hết và các dấu hiệu chia hết, ước và bội của các số nguyên… được trình bày lớp 6, những tính chất

cơ bản của lũy thừa, nghiệm của đa thức… được trình bày lớp 7, những kiến thức về hằng đẳng thức đáng nhớ, phân tích đa thức thành nhân tử, phép chia đa thức một biến và phương trình… được trình bày lớp 8

Khi giải các phương trình nghiệm nguyên thì tập nghiệm S là tập hợp con của tập số nguyên , việc hạn chế tập nghiệm S đủ nhỏ để quá trình thử nghiệm gặp khó khăn học sinh thường chọn theo cảm tính

Ví dụ: Khi gặp bài toán “Tìm số tự nhiên x, y sao cho (x – 1)y = 15” thì

học sinh chỉ thử lần lượt rồi kết luận số tự nhiên x, y thỏa mãn Tuy nhiên nếu nhận thấy được y U (15)1;3;5;15 từ đó tổ chức bảng để giải thì quá trình tìm nghiệm nhanh hơn Với những phương trình nhiều trường hợp của biến thì học sinh không biết xét các trường hợp và không hết các trường hợp khi xét

Việc huy động các kiến thức về bất đằng thức để hạn chế tập hợp nghiệm gặp nhiều khó khăn

Ví dụ: Khi gặp bài toán “Tìm tất cả các bộ ba số nguyên (x,y,z) thỏa mãn

2

2

xy z







 - Đề thi HSG Tỉnh Quảng Trị bảng A năm 2011, năm 2012” Việc huy động các kiến thức về số học như số nguyên tố, về phân tích thành nhân tử hay điều kiện của biến để giá trị của biểu thức là nguyên của biểu thức nghiệm gặp nhiều khó khăn

Ví dụ: Khi gặp bài toán “Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 3xy + x +15y –

44 = 0 - Đề thi HSG Huyện Hướng Hóa năm 2011”

Kết quả học sinh giỏi những năm học 2013 – 2014 trở về trước

Năm học Giải cấp huyện Giải cấp tỉnh

2011 – 2012 3 giải ba với số điểm 5,5; 5,5; 5,0

2012 – 2013 1 giải nhì (6,5 điểm), 1 giải ba (6,0 điểm) 2 HS tham gia

IV Một số định hướng khi hướng dẫn học sinh giải phương trình nghiệm nguyên

Trong phần này, tôi trình bày theo các dạng, trong một ví dụ ở mỗi dạng tôi

đã đưa ra các định hướng nhằm hướng dẫn cho học sinh ở các lớp khác nhau có thể giải được các phương trình nghiệm nguyên

1 Dạng phương trình axybxcy d 0 , , , (a b c d )

Ví dụ 1: Giải phương trình nghiệm nguyên sau: xy   x y 2

Lời giải Ta có xy   x y 2

1 3

xy x y

Vậy nghiệm (x,y) là (4,2),(2,4),(0, 2),( 2,0) 

Nhận xét: Nếu nhận thấy xy   đối xứng đối với x, y lúc đó giải x y 2

sử x y nên x   thì giảm các trường hợp thử còn lại là 2 trường hợp 1 y 1 sau:

1 3, 1 1

    

      

Khi kết luận thì lấy tất cả các hoán vị của các bộ (x,y) tìm được

Cách giải trên dành cho học sinh lớp 9, đối với các lớp 6,7,8 có cách trình bày khác giúp các em có thể tiếp cận được

Định hướng: Đối với lớp 6 ta có thể thay đổi như sau:

Tìm số tự nhiên x, y thảo mãn xy   x y 2

Lời giải:

2

xy   x y

.1 2

x y     Để có thừa số chung y – 1 (vì y là số nào đó) ta y

cộng hai vế của 1 đẳng thức với cùng 1 số là 1

(y1)(x  1) 3 Tính chất phân phối, đặt thừa số chung

Đến đây chúng ta biểu diễn số 3 dướ dạng tích, vì 3 là số nguyên tố nên

3 = 3.1 = 1.3

Xét hai trường hợp sau:

+ y   và 1 3 x   nên x=0; y=4 1 1

+ y  1 1 và x   nên x=4; y=0 1 3

Vậy có 2 kết quả x,y là x = 0, y = 4 và x = 4, y = 0

Nhận xét: Như vậy nếu có cách hướng dẫn hợp lý HS khá giỏi lớp 6 có thể

giải được Ngoài ra, ta có thể mở rộng ra tìm x, y nguyên để đúng với tính chất của bài toán ban đâu

Đối với lớp 8 việc giải bài này sẽ dễ hơn HS lớp 6,7 vì đã học được phân tích đa thức thành nhân tử

Định hướng: Đối cách giải trên ta đưa vế trái về dạng tích rồi phân tích số

ở vế trái ra thứa số nguyên tố Tuy nhiên, vận dụng tính chia hết, ước và bội cũng có thể giải được cụ thể như sau:

- Biểu diễn biến x theo biến y (hoặc y theo x) x được biểu diễn dưới dạng phân số (phân thức)

- Tách phần nguyên rồi sử dụng tính chia hết, ước để tìm y từ đó có x tương ứng

Ta có cách giải khác

2

xy   x y

1

y x



3 1

1

x

y

  



Vì x nguyên nên y  là ước của 3 nên tập nghiệm 1

       

 4,2 ; 2,4 ; 2,0 ; 0, 2 

Ví dụ 2: Tìm các số nguyên x,y thỏa mãn 3xy + x +15y – 44 = 0

(Đề thi HSG Huyện Hướng Hóa năm 2011)

Lời giải 3 xy x 15 – 44 0y 

Từ đó ta có bảng sau:

Vậy cặp (x,y) thỏa mãn là (2,2)

Nhận xét: Ta thấy x, y dương nên x  > 5, 35 y  >3 thì chỉ có một trường 1 hợp là

Nhận xét: Trong khi giải phương trình nghiệm nguyên nhiều trường hợp

thì việc tổ chức theo bảng dễ quan sát hơn so với các trình bày ở ví dụ 1.1

Định hướng: Bài tập trên việc phân tích thành tích khó thực hiện hơn, chỉ

nên dạy học lớp 7 trở lên

Định hướng: Việc hướng dẫn tìm cặp giá trị (x;y) theo dạng bảng ở ví dụ

giúp HS

Định hướng: Bài tập trên cũng giải được bằng phương pháp tách phần

nguyên

Ví dụ 3: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

2x5y3xy 8

Lời giải 2 x5y3xy 8 x(2 3 ) y  8 5y

15 10 34

y y

x



2 3

x

y



23y nguyên suy ra 2 3 yU(34)

Từ đó ta có bảng sau

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu là (-2,-12),(-13,-1),(-1,5),(4,0)

2 Dạng phương trình 2 2

ax by cxydxey g a b c d e g

Ví dụ 4: Tìm nghiệm nguyên của phương trình

x xy y  x y (1)

Lời giải:

x xy y  x y

- Nếu x  thì (32 x x 2)2.4 loại 8

- Nếu x   thì (31 x x 2) ( 1).( 5)  loại 5

- Nếu x  thay vào (2) ta được phương trình 0 y2 3y  ta có2 0 y  1 ; 2

y  

- Nếu x  thay vào (2) ta được phương trình 1 y2 2y  ta có1 0 y   1 Vậy nghiệm của phương trình là0; 1 , 0; 2 , 1; 1       

Ví dụ 5: Giải phương trình nghiệm nguyên sau:

Nhận xét: Khi xem 2 2

x  y  xy x  là phương trình bậc hai y

Có  (3y2)2 4(2y2   y 6) y2 8y28 nếu đánh giá   sẽ 0 không giúp cho chúng ta giới hạn được tập hợp nghiệm

Định hướng: Ta chuyên phương trình trên về dạng tích bằng cách phân

tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp thêm bớt

Lời giải

( 2 3 ) (xy 2 y 3 ) ( 2 3) 6 3

    

Ta có bảng

1

Từ đó ta có kết quả ( , )x y    6,6 , 0,2 ,   4,2 , 10,6 

Nhận xét: Khi giải phương trình nghiệm nguyên dạng này mà điều kiên

0

  không giới hạn được tập nghiệm thì tìm điều kiện của biến thứ hai để 

là số chính phương, từ đó có định hướng sau

Định hướng: Từ nhận xét trên, ta có thể sử dụng tính chất Phương trình

bậc hai dạng 2

0 ,

x bx c b c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi  là số chính phương

Ví dụ 6: Tìm cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn đẳng thức sau

Lời giải

Có  (3y 1) 24(2y2  y 3) y2 2y 11

Phương trình (2) có nghiệm nguyên khi và chỉ khi  là số chính phương, vì

Ta có (y    1 n) (y 1 n)2 y 2 chẵn nên y 1 n   và y 1 n  cùng tính chẵn lẻ

Hơn thế, y     nên ta có bảng 1 n y 1 n

- Với y = 5, thay vào (2) ta được phương trình x2 14x48 0

Ta có x=-8; x=-6

- Với y = -3, thay vào (2) ta được phương trình x2 10x24 0

Ta có x=4; x=6

Vậy cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn là (-8;5), (-6;5), (4;-3), (6;-3)

Nhận xét: Thường trong đáp án trong một số đề thi, lời giải ở một số sách

tham khảo khi giải chỉ phân tích thành nhân tử mà không có định hướng nên HS gặp nhiều khó khăn trong việc tự học Chính vì vậy, trong quá trình dạy HS GV cần phải định hướng cho HS

Định hướng: Sử dụng nghiệm của phương trình bậc hai để phân tích thành

nhân tử Lúc đó, để biểu diễn nghiệm không có phép khai phương (căn thức) ta phần thêm bớt đề  là một số chính phương

x  y  xy x  y x  y x y y   a a

nghiệm

x   y x   y

x y 1x 2y 3 3

Từ đó ta có kết quả ( , )x y    6,6 , 0,2 ,   4,2 , 10,6 

Nhận xét

1 Nếu phương trình có bậc tối đa của ẩn là 2 thì ta có thể xem đó là phương bậc hai và sử dụng phân tích sau để giải:

2

0

ax bx  có hai nghiệm c x1m x, 2 n thì ax2 bx  c 0

a x n x m

Sau đó chuyển phương trình ban đầu về dạng tích

2 Cách giải trên chỉ phù hợp với những HS đã được học về phương trình bậc hai, chúng ta có thể sử dụng hằng đẳng thức bậc hai để giải

Định hướng: Phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng hẳng đẳng thức

A2-B2 Cách giải này phù hợp với HS lớp 8

bình phương

để xuất hiện dạng

A2±2AB lưu ý không thể nhân 2

8y 4y để

(3y 2)

để có được dạng

A2±2AB+B2

Nhận xét: 3 Ta thấy 2 2

(2x3y2)  (y 4)  là dạng toàn phương [1], 12

để đưa một đa thức về dạng toàn phương ta sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc một hiệu Trước hết ta chọn một biến để đưa về hằng đẳng thức chứa biến đó, phần còn lại của đa thức ta làm như vậy với biến thứ hai

(đối với đa thức hai biến)

4 Với cách vận dụng linh hoạt hằng đẳng thức ta đưa phương trình bậc hai

0

ax by cxydxey  về dạng toàn phương f

A (x, y)B (x, y)  để giải bài toán m 0