Chủ đề: Hệ toạ độ trong không gian (Hình học 12 - Chương III)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG III PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONG KHÔNG GIAN

§ 1 Hệ toạ độ trong không gian

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chơng III

phơng pháp tọa độ trong không gian

chủ đề 1 H ệ tọa độ trong không gian

A Tóm tắt lí thuyết

1 Hệ tọa độ trong không gian

Định nghĩa 1

Hệ gồm ba trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc đợc

gọi là hệ trục tọa độ trong không gian.

Kí hiệu Oxyz hoặc (O, i, j, k) với i, j, k là các

vectơ đơn vị lần lợt nằm trên ba trục đó

 Điểm O đợc gọi là gốc tọa độ.

 Trục Ox đợc gọi là trục hoành, trục Oy đợc gọi là trục tung, trục Oz đợc gọi là trục cao.

Gọi A1, A2, A3, A' theo thứ tự là hình chiếu

vuông góc của A lên các trục Ox, Oy, Oz và mặt

A

A'

A3

4 liên hệ giữa Tọa độ của vectơ và tọa độ hai điểm mút

Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(xA; yA; zA) và B(xB; yB; zB) ta có các kếtquả sau:

a Vectơ v , v1 2

  vuông góc với hai vectơ v1 và v2, tức là:

 .v2 = 0

ng dụng của của tích có h ớng

Diện tích hình bình hành: Diện tích của hình bình hành ABCD đợc cho bởicông thức:

SABCD = AB, AD

 

= AB .AD .sin(AB, AD  ),

Nhận xét: Nh vậy để tính đợc diện tích hình bình hành ABCD chúng ta chỉ cần

biết tọa độ của ba trong bốn đỉnh của hình bình hành đó

Diện tích tam giác: Diện tích của ABC đợc cho bởi công thức:

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định lí: Điều kiện cần và đủ để ba vectơ v1, v2 và v3 đồng phẳng là:

Nh vậy, với v1(x1; y1; z1), v2(x2; y2; z2) và v3(x3; y3; z3) thì v1, v2 và v3 đồngphẳng khi và chỉ khi:

Phơng trình (1) gọi là phơng trình chính tắc của mặt cầu.

Vậy, ta đợc:

(S): Tâm I(a;b;c)Bán kính R

kính R = 2 2 2

a b c  d

Phơng trình (2) gọi là phơng trình tổng quát của mặt cầu.

B phơng pháp giải toán

Vấn đề 1: Tọa độ của điểm, vectơ và các yếu tố liên quan

Sử dụng các kết quả trong phần:

Tọa độ của vectơ

Tọa độ của điểm

Ví dụ 1: (Bài 5/tr 81  Sgk): Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm

c Tìm toạ độ các điểm đối xứng với M qua các mặt phẳng toạ độ,

các trục toạ độ và qua điểm O.

a Hình chiếu vuông góc của M trên:

 Mặt phẳng (Oxy) là điểm M1(a; b; 0)

 Mặt phẳng (Oyz) là điểm M2(0; b; c)

 Mặt phẳng (Oxz) là điểm M3(a; 0; c)

 Trục Ox là điểm M4(a; 0; 0)

c Điểm đối xứng với M qua:

 Mặt phẳng (Oxy) là điểm M1' nhận điểm M1(a; b; 0) làm trung điểm nên

M1’(a; b; c)

 Mặt phẳng (Oyz) là điểm M2' nhận điểm M2(0; b; c) làm trung điểm nên

M2’(a; b; c)

 Mặt phẳng (Oxz) là điểm M3' nhận điểm M3(a; 0; c) làm trung điểm nên

M3’(a; b; c)

 Trục Ox là điểm M4' nhận điểm M4(a; 0; 0) làm trung điểm nên M4’(a; b; c)

 Trục Oy là điểm M5' nhận điểm M5(0; b; 0) làm trung điểm nên M5’(a; b; c)

 Trục Oz là điểm M6' nhận điểm M6(0; 0; c) làm trung điểm nên M6’(a; b; c)

 Gốc O là điểm M7 nhận gốc làm trung điểm nên M7(a; b; c)

Ví dụ 2: (Bài 6/tr 81  Sgk): Cho hai điểm A(x A; yA; zA) và B(xB; yB; zB) Tìm

toạ độ điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k (tức là MA

= kMB ),trong đó k  1

1 k

y kyy

1 k

z kzz

Chú ý: Để chứng minh ba vectơ a, b, c đồng phẳng, ta đi chứng minh tồn

tại cặp số thực , , sao cho:

Ví dụ 3: Cho tứ diện OABC và vectơ v = 5OA + 10OB 15OC Ba điểm

M, N, P trong không gian thoả mãn:



= 1

5(OM + ON + OP ),suy ra:

v



= (3OM + 2ON + 2OP ) +

+ (2OM + 2ON 3OP )3(OM + ON + OP ) = 4OM + ON 4OP

Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(5; 3; 1), B(2; 3; 4),

Giả sử trái lại, tức là ba vectơ DA , DB , DC đồng phẳng, khi đó sẽ tồn tạicặp số thức b, c sao cho:

Vậy, hình chóp D.ABC là hình chóp đều.

2 Từ kết quả 1.c), ta suy ra chân đờng cao H của hình chóp D.ABC chính làtrọng tâm của ABC, do đó H 8 8; ; 5

Tính tích vô hớng và chứng minh đẳng thức về tích vô hớng

Điều kiện để hai vectơ vuông góc với nhau

Tính khoảng cách giữa hai điểm, góc giữa hai vectơ

Ví dụ 1: Cho tam giác ABC có các cạnh bằng a, b, c

a Tính AB .AC theo a, b, c, từ đó suy ra giá trị của biểu thức AB .

BC



+ BC .CA + CA AB

b Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm ABC, tính độ dài AM

từ đó suy ra độ dài AG và cosin góc nhọn tạo bởi AG và BC.



+ BC + CA = 0 (2)Bình phơng hai vế của (2), ta đợc:

2 2 22c 2b  a = 1

3

2 2 22c 2b  a

c Gọi  là góc nhọn tạo bởi AG và BC, khi đó:

|AG BC | = |AG |.|BC |.cos  cos = | AG.BC |

Thay (5) vào (4), ta đợc:

12c 2b a a3

p.q  = (ku 17v)  (3u v) = 3k 2

u  17 2

v

 + (51  k)u.v = 3ku2  17v2 + (51  k)u.|v.cos(u, v)

b Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; 3; 5) và C(sin5t; cos3t; sin3t) Tìm

t để AB vuông góc với OC (O là gốc tọa độ).

 AB.OC  0  (2; 3; 1) (sin5t; cos3t; sin3t) = 0

 2sin5t + 3cos3t + sin3t = 0  sin5t =  3

24 42

Tìm tọa độ của điểm, vectơ

Chứng minh ba vectơ đồng phẳng, không đồng phẳng

Chứng minh đẳng thức về tích có hớng

Tính diện tích các hình phẳng (từ đó suy ra khoảng cách từ một

điểm đến một đờng thẳng) và thể tích các khối đa diện (từ đó suy

ra khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng)

Ví dụ 1: Cho hai vectơ u(1; 2; 3) và v(1; 0; 2)

a Tính u, v 

b Tìm vectơ n vuông góc với cả hai vectơ u, v và có độ dài

5 thoả mãn điều kiện đầu bài

Ví dụ 3: Trong không gian Oxyz, cho các vectơ:

7 c



Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A(2; 3; 1), B(4; 1; 2), C(6; 3; 7),

Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 0), B(0; 0; 1), C(2; 1; 1).

a Chứng minh A, B, C là ba đỉnh của một tam giác.

b Tính chu vi, diện tích của ABC.

c Tìm toạ độ điểm D để ABCD là hình bình hành và tính côsin góc

giữa hai vectơ AC

và BD

d Tính độ dài đờng cao hA của ABC kẻ từ A.

e Tính các góc của ABC.

f Xác định toạ độ trực tâm H của ABC.

g Xác định toạ độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC.

a Ta có AB (1; 0; 1) và AC (1; 1; 1)  AB và AC không cùng phơng.Vậy, ba điểm A, B, C không thẳng hàng

c Giả sử D(x; y; z), để ABCD là hình bình hành điều kiện là:

25

f Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Giả sử H(x; y; z) là trực tâm ABC, ta có điều kiện:

Vậy, ta đợc trực tâm H(1; 0; 0).

Cách 2: Vì ABC vuông tại A nên trực tâm H  A, tức là H(1; 0; 0).

g Ta có thể lựa chọn một trong hai cách sau:

Giáo án điện tử của bài giảng này giá: 2.100.000đ.

1 Liên hệ thầy LÊ HỒNG ĐỨC qua điện thoại 0936546689

2 Bạn gửi tiền về:

LÊ HỒNG ĐỨC

Số tài khoản: 1506205006941 Chi nhánh NHN0 & PTNT Tây Hồ

3 3 ngày sau bạn sẽ nhận được Giáo án điện tử qua email.

LUÔN LÀ NHỮNG GAĐT

ĐỂ BẠN SÁNG TẠO TRONG TIẾT DẠY

Cách 1: Giả sử I(x; y; z) là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC, ta có:

Cách 2: Vì ABC vuông tại A nên tâm I của đờng tròn ngoại tiếp ABC chính là

trung điểm của BC, tức là I 1;1; 1

Với phơng trình cho dới dạng tổng quát ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chuyển phơng trình ban đầu về dạng:

Ví dụ 1:Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào là phơng trình của mặt

cầu, khi đó chỉ rõ tạo độ tâm và bán kính của nó, biết:

a (x + 2)2 + (y  1)2 + (z  4)2 = 11

hiện phép nhẩm để xác định tọa độ tâm của mặt cầu.

b Viết lại phơng trình dới dạng:

Ví dụ 2:Trong các phơng trình sau đây, phơng trình nào là phơng trình của mặt

cầu, khi đó chỉ rõ tạo độ tâm và bán kính của nó, biết:

sẽ luôn là phơng trình của một mặt cầu khi d < 0

b Viết lại phơng trình dới dạng:

Nhận xét: Nh vậy các em học sinh cần hiểu rằng trong phơng trình tổng quát

của mặt cầu hệ số của x2, y2 và z2 luôn phải bằng nhau vàbằng 1

c Ta có hệ số của z2 khác với hệ số của x2 và y2, do đó phơng trình đã cho khôngphải là phơng trình của mặt cầu

Ví dụ 3: Cho họ mặt cong (Sm) có phơng trình:

(Sm): x2 + y2 + z24mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0

a Tìm điều kiện của m để (Sm) là một họ mặt cầu.

b Tìm mặt cầu có bán kính nhỏ nhất trong họ (Sm)

Vậy, trong họ (Sm) mặt cầu (S1/2) có bán kính nhỏ nhất bằng 3

Ví dụ 4: Cho họ mặt cong (S) có phơng trình:

(S): x2 + y2 + z22xsin2ycos3 = 0

a Tìm điều kiện của  để (S) là một họ mặt cầu.

b Chứng minh rằng tâm của họ (S) luôn chạy trên một đờng tròn (C) cố định trong mặt phẳng Oxy khi  thay đổi.

c Trong mặt phẳng Oxy, (C) cắt Oy tại A và B Đờng thẳng y = m (1 < m < 1, m  0) cắt (C) tại T và S, đờng thẳng qua A, T cắt đ-

ờng thẳng qua B, S tại P Tìm tập hợp các điểm P khi m thay đổi.

a Để (S) là một họ mặt cầu điều kiện cần và đủ là:

a2 + b2 + c2d  0  sin2 + cos2 + 3 > 0  4 > 0 luôn đúngVậy (S) luôn là phơng trình của mặt cầu với mọi , có:

x

Ay

) 1 , 0 ( A qua

(

n ny x ) 1 m

.(2)

Thay (2) vào (1) ta đợc phơng trình quĩ tích P là x2y2 = 1

Vậy, tập hợp điểm P thuộc Hypebol (H): x2y2 = 1



Nhận xét: Thông qua ví dụ trên, các em học sinh đã thấy đợc mối liên hệ giữa

hình học giải tích trong mặt phẳng với hình học giải tích trongkhông gian

 Muốn có phơng trình dạng chính tắc, ta lập hệ 4 phơng trình vớibốn ẩn a, b, c, R, điều kiện R > 0

b Đờng kính AB với A(1; 2; 3), B(1; 6; 5).

c Tâm I(1; 2; 1) và đi qua điểm A(1; 2; 3).

a Cã t©m I(1; 2; 3) vµ tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (Oyz).

b Cã b¸n kÝnh b»ng 2, tiÕp xóc víi mÆt ph¼ng (Oyz) vµ cã t©m

Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

b Giả sử mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và bán kính R

Từ giả thiết suy ra R = 2, ngoài ra:

 (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oyz) điều kiện là:

d(I, (Oyz)) = R  a = 2

 Tâm nằm trên tia Ox điều kiện là b = c = 0

Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

Ví dụ 3:Trong mỗi trờng hợp sau, viết phơng trình mặt cầu:

a Đi qua điểm hai điểm A(3; 0; 0), B(6; 0; 3) và tâm I thuộc

trục Ox.

b (Bài 13.a/tr 82): Đi qua ba điểm A(0; 8; 0), B(4; 6; 2), C(0; 12; 4)

và có tâm nằm trên mặt phẳng (Oyz).

a Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Ox suy ra I(a; 0; 0) nên nó có dạng:

(S): x2 + y2 + z2 + 27 = 0

Cách 3: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc trục Ox suy ra I(a; 0; 0).

Với các điểm A, B thuộc (S), ta có điều kiện là:

Chú ý: Ngoài ba cách giải trên, để lập phơng trình mặt cầu đi qua hai điểm

A, B và có tâm thuộc đờng thẳng (d) chúng ta còn có thể thựchiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Mặt cầu (S) đi qua hai điểm A, B suy ra tâm I thuộc mặt

phẳng (P) là mặt phẳng trung trực của AB Ta có:

(P): Qua E là trung điểm của ABvtpt AB

b Ta có thể trình bày theo các cách sau:

Cách 1: Mặt cầu (S) có tâm I thuộc mặt phẳng (Oyz) suy ra I(0; b; c).

Với các điểm A, B, C thuộc (S), ta có điều kiện là:

(S): x2 + y2 + z2  2ax  2by  2cz + d = 0, với a 2 + b2 + c2  d > 0

Vì tâm I(a; b; c) thuộc mặt phẳng (Oyz) nên a = 0 (1)Với các điểm A, B, C thuộc (S), ta có hệ phơng trình:

cụ thể:

Bớc 1: Ta có:

Nếu ABC đều thì tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

là trọng tâm H của ABC

Nếu ABC vuông tại A thì tâm đờng tròn ngoại tiếp

ABC là trung điểm H của BC

Bớc 2: Lập phơng trình đờng thẳng (d) qua H và vuông góc với

Ví dụ 4: Viết phơng trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với A(1; 1; 1),

Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

Chú ý: Ngoài hai cách giải trên, để lập phơng trình mặt cầu đi qua bốn điểm

không đồng phẳng A, B, C, D (ngoại tiếp tứ diện ABCD) chúng tacòn có thể tận dụng đợc tính chất của tứ diện ABCD để nhận đợclời giải đơn giản hơn, cụ thể:

Trờng hợp 1: Nếu DA = DB = DC thì:

Bớc 1: Xác định tâm I bằng cách:

 Dựng đờng cao DH(ABC)

 Dựng mặt phẳng trung trực (P) của DA

 Khi đó {I} = (DH)  (P)

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

 Gọi K là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

 Dựng đờng thẳng (d) qua K và song song với DA(hoặc (d)  (ABC)

 Dựng mặt phẳng trung trực (P) của DA

 Khi đó {I} = (d)  (P)

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

DABC có tâm I là trung điểm AB và bán kính R = AB

 Khi đó, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm

I  EF (thỏa mãn phơng trình tham số của EF)

 Từ điều kiện IA2 = IC2 = R2 suy ra giá trị tham số

t, từ đó nhận đợc tọa độ tâm I

Bớc 2: Vậy, phơng trình mặt cầu (S) đợc cho bởi:

(S): Tâm IBán kính R IA

Vấn đề 6: Phơng pháp tọa độ hóa

Ta thực hiện theo các bớc sau:

Bớc 1: Thiết lập hệ trục toạ độ thích hợp, từ đó suy ra toạ độ của

các điểm cần thiết

Bớc 2: Thiết lập biểu thức giải tích, cụ thể:

Với bài toán định lợng: Là giá trị cần xác định, thông ờng bao gồm:

th- Độ dài đoạn thẳng

 Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

 Khoảng cách từ điểm đến đờng thẳng

 Khoảng cách giữa hai đờng thẳng

 Góc giữa hai đờng thẳng

 Góc giữa đờng thẳng và mặt phẳng

 Góc giữa hai mặt phẳng

 Thể tích khối đa diện

 Diện tích thiết diện

Với bài toán định tính: Là biểu thức điều kiện, từ đó suy

ra kết quả cần chứng minh, bao gồm:

1 Để chứng minh một biểu thức vectơ, ta cần xác địnhtoạ độ của các vectơ trong biểu thức đó, từ đó thayvào biểu thức để đa ra kết luận

2 Chứng minh mối liên hệ đại số

Ví dụ 1: (ĐHGTVT  2001): Cho ABC vuông cân có AB = AC = a, M là

trung điểm cạnh BC Trên các nửa đờng thẳng AA1, MM1 vuông

góc với mặt phẳng (ABC) về cùng một phía, lấy tơng ứng các điểm

N, I sao cho 2MI = NA = a Gọi H là chân đờng vuông góc hạ từ A

xuống NB Chứng minh rằng AH vuông góc với NI.

Ví dụ 2: (Bài 12/tr 82): Cho hình chóp S.ABC có đờng cao SA = h, đáy là

tam giác ABC vuông tại C, AC = b, BC = a Gọi M là trung điểm

của AC và N là điểm sao cho SN 1SB

N

C

z

x y

H

M I

z

A

S

M N

 Giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với A, Ox là tia

AC, Oz là tia AS

C(a; 2a; 0), D(0; 2a; 0),

A1(0; 0; a), B1(a; 0; a),

C1(2a; a; a) , D1(0; 2a; a),

3

Ví dụ 4: (ĐHSP I Khối B 2001): Cho hình hộp chữ nhật

ABCDA1B1C1D1 có AB = a, AD = 2a, AA1 = a 2 Trên cạnh AD

lấy điểm M, gọi K là trung điểm B1M

1 Đặt AM = m (0  m < 2a) Tính thể tích khối tứ diện A1KID

theo và m, trong đó I là tâm hình hộp Tìm vị trí của điểm M để thể tích đó đạt giá trị lớn nhất.

D1

B A

x y

M

2 Khi M là trung điểm AD:

a Hỏi thiết diện của hình hộp cắt bởi mặt phẳng (B1CK) là

hình gì ? Tính diện tích thiết diện đó theo a.

b Chứng minh rằng đờng thẳng B1M tiếp xúc với mặt cầu

đ-ờng kính AA1

Chọn hệ trục toạ độ Axyz với DAx, BAy và A1Az, khi đó:

A(0; 0; 0), B(0; a; 0), C(2a; a; 0), D(2a; 0; 0),

1 Tính thể tích khối tứ diện A1KID đợc cho bởi:

V = 1

6|D(A K, A I, A D  1 1 1

)| = a2 224(2am)

Khi đó:

MaxV = a3 2

12, đạt đợc khi m = 0  M  A

2 Khi M là trung điểm AD thì m = a suy ra

M(a ; 0; 0), K(a

2; a

2; a 22)

a Vì (BCC1B1)//(ADD1A1) nên:

(B1CK)(ADD1A1) = MN//B1C//A1D

nên N là trung điểm AA1, do đó N(0; 0; a 2

2) và thiết diện B1CMN là hình thangcân Ta có:

b Để chứng minh đờng thẳng B1M tiếp xúc với mặt cầu đờng kính AA1 ta đichứng minh d(N, B1M) = AA1

2 Thật vậy:

= AA1

2

Vấn đề 7: một số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 Cho ba điểm M(2; 0; 0), N(0; 3; 0), P(0; 0; 4) Nếu MNPQ là hình

x y

K M I