Chủ đề: Mặt trụ, hình trụ và khối trụ (Hình học 12 - Chương II)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

§2 Mặt trụ, hình trụ và khối trụ

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 2 M ặt trụ, hình trụ và khối trụ

A Tóm tắt lí thuyết

1 Định nghĩa mặt trụ

Cho đờng thẳng () Xét đờng thẳng (l) song song với

(), cách () một khoảng R

Định nghĩa

Mặt tròn xoay sinh bởi đờng thẳng (l) nh trên khi

quay quanh () đợc gọi là mặt trụ tròn xoay (hay

đơn giản là mặt trụ).

Khi đó:

 () gọi là trục của mặt trụ.

 (l) gọi là đờng sinh của mặt trụ.

 R gọi là bán kính của mặt trụ.

Nh vậy, mặt trụ đợc hoàn toàn xác định khi biết trục () và bán kính R của

nó Ta kí hiệu mặt trụ đó là T(; R)

2 Hình trụ và khối trụ

Cắt mặt trụ T(; R) bởi hai mặt phẳng phân biệt (P),

(P') cùng vuông góc với (), ta đợc hai đờng tròn (C), (C')

Hai đờng tròn đó xác định hai hình tròn (C), (C')

Định nghĩa

Phần mặt trụ nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hai hình tròn

(C) và (C’) đợc gọi là hình trụ.

Khi đó:

 Hai hình tròn(C) và (C') gọi là hai mặt đáy của hình trụ, bán kính R của chúng gọi là bán kính của hình trụ.

 Khoảng cách giữa hai mặt đáy gọi là chiều cao của hình trụ.

 Phần mặt trụ nằm giữa hai đáy gọi là mặt xung quanh của hình trụ.

 Với mỗi điểm M (C) có một điểm M'(C') sao cho MM'//OO' Suy ra MM' nằm trên mặt xung quanh của hình trụ và có độ dài bằng chiều cao hình trụ

Các đoạn thẳng nh vậy gọi là đờng sinh của hình trụ.

Chú ý: Các thiết diện qua trục của một hình trụ là các hình chữ nhật bằng nhau.

Định nghĩa

Hình trụ cùng với phần bên trong của nó đợc gọi là khối trụ xác định bởi

hình trụ đó.

3 Diện tích hình trụ  Thể tích khối trụ

Định nghĩa

Một lăng trụ gọi là nội tiếp một hình trụ nếu hai đáy của

hình lăng trụ nội tiếp hai đáy của hình trụ

Khi đó ta cũng nói hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ.

2

A

B 1

B

A 1

C1 C

()

M' O'

O M

(C)

(C')

P)

P')

()

O R M

(l)

M 1

(l

1)

Diện tích xung quanh của hình trụ  thể tích khối trụ: Với hình trụ có bán

kính đáy R và đờng cao h, ta có:

Sxq = 2Rh; V = R2h

B phơng pháp giải toán

Với bài toán quĩ tích: Nếu một điểm M di động trong không gian có:

1.Hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng () là điểm M' di động

trên một đờng tròn (C) cố định thì M thuộc mặt trụ cố định

(T) chứa (C) và có trục là đờng thẳng đi qua tâm của đờng

tròn (C) và vuông góc với ()

2.Khoảng cách từ M tới đờng thẳng () cố định bằng R không đổi

thì M thuộc mặt trụ cố định (T) trục () và bán kính bằng R.

Ví dụ 1: (Bài 13/tr 53  Sgk): Cho đờng tròn (O; R) nằm trong mặt phẳng (P).

Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên (P) luôn nằm trên đờng tròn đã cho.

 Giải

Gọi () là đờng thẳng qua O và vuông góc với mặt phẳng (P)

Gọi M1 là hình chiếu của M lên (P) thỏa mãn điều kiện đầu bài, suy ra:

MM1//()  d(M, ) = d(M1, ) = R

Vậy, tập hợp các điểm M là mặt trụ T(; R)

Ví dụ 2: Cho hai điểm A, B phân biệt Tìm tập hợp

các điểm M sao cho diện tích tam giác MAB

không đổi.

 Giải

Gọi khoảng cách từ M tới AB là d(M, AB), ta có:

SMAB = 1

2.AB.d(M, AB)  S = 1

2.a.d(M, AB)

 d(M, AB) = 2S

a , không đổi

 M thuộc mặt trụ (t) trục AB và bán kính R = 2S

a

Do đó, việc lựa chọn đáp án C là đúng đắn

Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính R và đờng cao R 2 Gọi AB và CD là

hai đờng kính thay đổi của hai đờng tròn đáy mà AB vuông góc với

CD

a Chứng minh rằng ABCD là tứ diện đều

b Chứng minh rằng các đờng thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định (tức là khoảng cách từ các đờng thẳng đó tới trục của mặt trụ bằng bán kính mặt trụ).

d

H R M A

B

 Giải

a Trớc tiên, ta có ngay AB = CD = 2R

Mặt khác, các tam giác vuông:

AO'C = AO'D = BO'C = BO'D

 AD = AC = BD = BC

Gọi A' là hình chiếu vuông góc của A xuống mặt đáy chứa

tâm O', ta có:

(AB, CD) = (O'A', O'C) = A ' O' C ' = 900

Trong AA'C vuông tại A’, ta có:

A ' A A ' C = 2 2

2R 2R = 2R.

Vậy, tứ diện ABCD đều với cạnh bằng 2R

b Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy chứa tâm O', ta thấy ngay A'CB'D là hình vuông tâm O'

Ta có:

d(AC, OO') = d(O', A'C);

d(AD, OO') = d(O', A'D);

d(BC, OO') = d(O', B'C);

d(BD, OO') = d(O', B'D);

suy ra:

d(AC, OO') = d(AD, OO') = d(BC, OO') = d(BD, OO')

tức là, các đờng thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định có trục là OO'

trụ, mặt trụ và khối trụ

Để giải các bài toán định tính và định lợng về hình trụ ta thờng dùng phép chiếu vuông góc xuống mặt đáy rồi sử dụng các tính chất hình học phẳng của đờng tròn đáy để thực hiện

Với hình trụ có bán kính đáy R và đờng cao h, ta sử dụng công thức:

Sxq = 2Rh; V = R2h

Ví dụ 1: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R Một hình

vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lợt là hai dây cung của hai đờng tròn đáy Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ

a Tính diện tích hình vuông ABCD.

b Tính cosin góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy.

 Giải

a Giả sử hình vuông có cạnh bằng a

Gọi C', D' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C, D

xuống đờng tròn (O), ta có:

AD'2 = BD'2  AB2 = 4R2  a2,

AD2 = AD'2 + DD'2

D'

C' O

A

C

O'

O

D

B

A' H

 a2 = 4R2  a2 + R2  a2 = 5R

2  a = R 10

2

Diện tích của hình vuông ADBC là:

S = a2 = 5R2

2

b Gọi  là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy, ta có:

cos = AD '

AD = 4R2 a2

a

 =

2 2

2a

4 a 5 a

 = 15

5

Ví dụ 2: (Bài 16/tr 54  Sgk): Một hình trụ T có bán kính đáy R và chiều

cao R 3

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ T.

b Tính thể tích của khối trụ giới hạn bởi hình trụ T.

c Cho hai điểm A và B lần lợt nằm trên hai đờng tròn đáy sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300 Tính khoảng cách giữa AB và trục của hình trụ T.

 Giải

a Ta lần lợt có:

Sxq = 2R R 3 = 2R2

3

Stp = Sxq + 2B = 2R2

3 + 2R2 = 2R2 3 1 

b Ta có ngay:

V = R2.R 3 = R3

3

c Dựng Ax // OO’ cắt (O’) tại N và dựng By // OO’ cắt (O)

tại M, ta có:



(AB,OO') = 300  BAN = 300

Trong ABN vuông tại N, ta có:

AM = BN = AN.tanABN = OO’.tan300 = R 3 1

3 = R

Hạ OH  AM, ta có:

d(AB, OO') = d(O, AMBN) = OH = OA2  AH2

= 2 AM2 OA

4

 = 2 R2 R 3

R

4 2

 

Ví dụ 3: Cho hình trụ có bán kính R, trục OO' = h Một mặt phẳng (P) thay

đổi đi qua O tạo với đáy hình trụ góc  cho trớc và cắt hai đáy của hình trụ đã cho theo các dây AB và CD (dây AB qua O).

a Tính diện tích tứ giác ABCD.

b Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc H của điểm O' trên (P) thuộc một đờng tròn cố định.

A

B

O’

O M

N

O

a Gọi I là trung điểm của CD, ta có nhận xét:

CD  O'I  CD  OI, theo định lí ba đờng vuông góc  OIO' 

Ta có:

AB // CD  ABCD là hình thang

CD  OI  AB  OI

 ABCD là hình thang cân

Từ đó:

SABCD = 1

2(AB + CD)OI

Trong O'OI, ta có:

OI =



O' O sin OIO ' = h

sin ; O'I = O'O.cotOIO' = h.cot

Trong O'DI, ta có:

ID2 = O'D2  O'I2 = R2  h2.cot2  ID = R2 h cot2 2 ,

CD = 2ID = 2 2 2 2

R  h cot  Vậy, ta đợc:

SABCD =1

2(2R + 2 R2 h cot2 2 ) h

sin =h R R2 h cot2 2 

sin



b Trong mặt phẳng (O'OI) hạ O'H vuông góc với OI, suy ra H là hình chiếu vuông góc của O' trên (P)

Trong O'IH, ta có:

O'H = O'I.sinOIO' = h.cot.sin = h.cos

Trong O'HO kẻ đờng cao HJ, ta có:

O'J.O'O = O'H2  O'J =

2

O' H O' O = h.cos2  điểm J cố định

Mặt khác ta có:

JH2 = O'H2  O'J2 = h2.cos2  h2.cos4 = h2.cos2(1  cos2)

= h2.cos2.sin2 =

h sin 2 4



, không đổi

Vậy, ta thấy H thuộc đờng tròn tâm J bán kính bằng h.sin 2

2



trong mặt phẳng vuông góc với O'O tại J

Sử dụng định nghĩa hình trụ cùng tính chất của các khối hình liên quan

Ví dụ 1: (Bài 15/tr53  Sgk): Một mặt phẳng đi qua trục của hình trụ (T),

cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông cạnh 2R.

a Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

(T).

b Tính thể tích của khối trụ (T).

6

A S

C D

O

H J

c Tính thể tích khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp hình trụ (T).

 Giải

a Vì thiết diện qua trục là một hình vuông nên hình trụ có bán

kính đáy bằng R và chiều cao bằng 2R

Ta có ngay:

Sxq = 2R.2R = 4R2

Stp = Sxq + 2B = 4R2 + 2R2 = 6R2

b Ta có ngay:

V = R2.R = R3

c Gọi ABCD.A1B1C1D1 là khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp

trong khối trụ đã cho, ta có AB = R 2

Do đó, thể tích V1 của đợc cho bởi:

V1 = (R 2 )2.2R = 4R3

Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD là hình thang cân

có đáy nhỏ AB = a, đáy lớn CD = 4a, cạnh bên bằng 5a

2 , chiều cao hình lăng trụ bằng h.

a Chứng minh rằng có hình trụ nội tiếp hình lăng trụ đã cho.

b Tính diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đó.

 Giải

a Với giả thiết hình lằn trụ là hình lăng trụ đứng nên

ta chỉ cần chứng minh đáy ABCD có đờng tròn nội

tiếp

Gọi I, J, O theo thứ tự là trung điểm của AB, CD

và IJ, ta có:

OI = OJ = IJ

2

Kẻ BH, OK theo thứ tự vuông góc với CD, BC, ta lần lợt có:

IJ = BH = BC2 CH2 = 2 2

BC  (CJ JH)

=

5a a

2a

   

 

   

   

= 2a

 OI = OJ = a

Mặt khác ta có:

OK.BC = OB.OC

 OK = OB.OC

BC =

OB.OC

OB OC =

OI IB OJ JC (OI IB ) (OJ JC )

  

A

B 1

B

A 1

D1

C 1

A

B'

B

I

C

A'

C' D'

D

O

O'

J

=

2

a

a a 4a 4

a

a a 4a 4

  

= a = OI

Suy ra O là tâm đờng tròn ngoại tiếp hình thang ABCD

Vậy, hình trụ có trục OO' (O, O' là tâm hai đờng tròn đáy) và bán kính đáy bằng a chính là hình trụ nội itếp lăng trụ đã cho

b Ta có:

Stp = Sxq + 2Sđ = 2Rh + 2R2 = 2ah + 2a2 = 2a(h + a)

V = R2h = a2h

Câu 1 Cho khối trụ bán kính a 3 và chiều cao 2a 3 Thể tích của nó là:

4 a 3 B. 3

9a 3 C. 3

6 a 3 D. 2

6 a 3

Đáp số trắc nghiệm C

 Lời giải tự luận: Ta có ngay:

V = R2h = a 32.2a 3 = 6 a 3 3, ứng với đáp án C

Câu 2 Một hình trụ có bán kính đáy R, đờng cao OO' Cắt hình trụ đó bằng mặt

phẳng () tùy ý vuông góc với đáy và cách O một khoảng h cho trớc (h < R) Khi ấy mặt phẳng () có tính chất:

A. Luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định

B. Luôn cách một mặt phẳng cho trớc qua trục hình trụ một khoảng h

C. Cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông

D. Cả ba tính chất trên đều sai

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Mặt phẳng () luôn tiếp xúc với một mặt trụ sinh bởi đờng

thẳng l (song song với OO' và cách OO' một khoảng h) khi quay quanh OO'.

Câu 3 Một khối trụ có bán kính đáy a 3, chiều cao 2a 3 Thể tích của khối

cầu ngoại tiếp khối trụ là:

3

 D. 4 a 3 3

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Gọi I là trung điểm của OO'.

Khi đó, khối cầu ngoại tiếp khối trụ có tâm I và

bán kính là:

R = IA = 2 2

OA OI =

2

2 OO' OA

2

 

  

 

= 3a2 3a2 = a 6

Do đó, ta đợc:

8

A' B'

O

O'

I

VCầu =

3

4

R3 =

3

4

(a 6)3 = 8 a 3 6 , ứng với đáp án A

Câu 4 Một mặt trụ có bán kính đáy a, đờng cao OO' = a 3 Một đoạn thẳng

AB thay đổi sao cho góc giữa AB và trục của hình trụ bằng 300, A, B

thuộc hai đờng tròn đáy của hình trụ Tập hợp các trung điểm I của AB

là:

A. Một mặt trụ

B. Một mặt cầu

C. Một đờng tròn

D. Một mặt phẳng

Đáp số trắc nghiệm C

 Lời giải tự luận: Gọi B' là hình chiếu vuông góc của B xuống mặt đáy chứa

tâm O, ta có:

(AB, OO') = ABB' = 300,

AB' = BB'.tanABB' = a 3.tan300 = a

Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của AB và OO', ta

có:

OHIK là hình chữ nhật

 IK  OO' tại điểm K cố định

Ngoài ra:

IK = OH = a 3

2

Vậy, tập hợp I thuộc đờng tròn C(K, a 3

2 ) trong mặt phẳng (P) vuông góc với OO' tại K

Câu 5 Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R Một hình vuông

ABCD có hai cạnh AB và CD lần lợt là hai dây cung của hai đờng tròn

đáy Mặt phẳng (ABCD) không vuông góc với mặt phẳng đáy của hình trụ Diện tích hình vuông đó là:

A.

2

5R

2

2

D. 5R2 2

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Giả sử hình vuông có cạnh bằng a.

Gọi C', D' theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của C, D

xuống đờng tròn (O), ta có:

AD'2 = BD'2  AB2 = 4R2  a2,

AD2 = AD'2 + DD'2

 a2 = 4R2  a2 + R2  a2 =

2

5R

2 Diện tích của hình vuông ADBC là:

S = a2 =

2

5R 2

, ứng với đáp án A

Câu 6 Cho mặt cầu bán kính R và một hình trụ có bán kính đáy R và chiều cao

2R Tỉ số thể tích của khối cầu và khối trụ là:

A B'

B

O

O'

K

H I

B A

D'

C' O

A. 2

3 B. 3

2 C. 2 D. 1

2

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Ta lần lợt có:

 Khối cầu có bán kính R nên:

V1 = 4 R3

3



 Khối trụ có bán kính đáy R và chiều cao 2R nên:

V2 = R2h = R2.2R = 2R3

Từ đó, suy ra:

1

2

V

V =

3

3

4 R 3

2 R





= 2

3, ứng với đáp án A

Câu 7 Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ Ba kích thớc của khối

hộp chữ nhật là a, b, c Thể tích của khối trụ là:

4(a2 + b2)c

4(b2 + c2)a

4(a2 + c2)b

D. A hoặc B hoặc C

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Ta có ba trờng hợp:

Trờng hợp 1: Nếu AA1 = a thì khối trụ có chiều cao h = AA1

= a và bán kính đáy là:

R =

2

1

A1C1 = 2 2

1 1 1 1

1

A B C B

2  = 1 2 2

b c

2  Khi đó, thể tích của khối trụ là:

V = R2h = 1

4(b2 + c2)a, ứng với đáp án B

Trờng hợp 2: Nếu AA1 = b thì khối trụ có chiều cao h = AA1 = b và bán kính

đáy là:

R =

2

1

A1C1 = 2 2

1 1 1 1

1

A B C B

2  = 1 2 2

a c

2  Khi đó, thể tích của khối trụ là:

V = R2h = 1

4(a2 + c2)b, ứng với đáp án C

Trờng hợp 3: Nếu AA1 = c thì khối trụ có chiều cao h = AA1 = c và bán kính

đáy là:

R =

2

1

A1C1 = 2 2

1 1 1 1

1

A B C B

2  = 1 2 2

a b

2  Khi đó, thể tích của khối trụ là:

10

A

B 1

B

A1

D1

C1

V = R2h = 1

4(a2 + b2)c, ứng với đáp án A

Do đó, việc lựa chọn đáp án D là đúng đắn

Bài tập tự giải

Bài tập 1: Trong mỗi trờng hợp sau, gọi tên các hình tròn xoay:

a Sinh bởi ba cạnh của hình chữ nhật khi quay quanh đờng thẳng chứa cạnh thứ t

b Sinh bởi một hình chữ nhật (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đờng thẳng chứa một cạnh

Bài tập 2: Cho mặt trụ (T) có trục () và bán kính R Giao của mặt trụ với mặt

phẳng (P) là hình gì trong các trờng hợp sau đây ?

a Mặt phẳng (P) đi qua ()

b Mặt phẳng (P) song song với ()

c Mặt phẳng (P) vuông góc với ()

Bài tập 3: Một hình trụ có bán kính đáy R, đờng cao OO' Cắt hình trụ đó bằng mặt phẳng () tùy ý vuông góc với đáy và cách O một khoảng h cho trớc (h < R) Chứng minh rằng mặt phẳng () luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định

Bài tập 4: Chứng minh rằng các tiếp tuyến của mặt cầu song song với một đờng thẳng cố định luôn nằm trên một mặt trụ xác định

Bài tập 5: Một khối hộp chữ nhật nội tiếp trong một khối trụ Ba kích thớc của khối hộp chữ nhật là a, b, c Tính thể tích của khối trụ

Bài tập 6: Một hình trụ có diện tích xung quanh là S, diện tích đáy bằng diện tích một mặt cầu bán kính bằng a Hãy tính:

a Thể tích hình trụ

b Diện tích thiết diện qua trục của hình trụ

Bài tập 7: Cho hình chữ nhật ABCD với AB = a, BC = 2a và đờng thẳng  nằm trong mặt phẳng (ABCD),  // AD và  cách AD một khoảng x,  không có điểm chung với ABCD

a Tính thể tích của hình tròn xoay tạo nên khi quay hình chữ nhật ABCD quanh 

b Xác định x để thể tích nói trên gấp ba lần thể tích hình cầu có bán kính bằng cạnh AB

Bài tập 8: Cho hình trụ có bán kính đáy R, chiều cao OO' = h, A và B là hai

điểm thay đổi trên hai đờng tròn đáy sao cho độ dài AB = a không đổi (với h

< a < 2 2

h 4R )

a Chứng minh góc giữa hai đờng thẳng AB và OO' không đổi

b Chứng minh khoảng cách giữa hai đờng thẳng AB và OO' không đổi

Bài tập 9: Cho hình lăng trụ lục giác đều ABCDEF.A'B'C'D'E'F' cạnh đáy bằng a

và chiều cao bằng h

a Tính diện tích xung quanh và thể tích của hình trục ngoại tiếp hình lăng trụ

b Tính diện tích toàn phần và thể tích hình trụ nội tiếp của hình lăng trụ

Bài tập 10: Cho hình trụ có bán kính đáy bằng R, thiết diện qua trục của hình trụ

là hình vuông

a Tính diện tích và thể tích hình cầu ngoại tiếp hình trụ

b Một mặt phẳng (P) song song với trục hình trụ cắt đáy hình trụ theo dây cung bằng bán kính đáy hình trụ Tính diện tích các thiết diện của hình trụ và hình cầu ngoại tiếp hình trụ khi cắt bởi mặt phẳng (P)