Chủ đề: Mặt cầu, khối cầu (Hình học 12 - Chương II)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu  Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc  Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

CHƯƠNG II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

§ 1 Mặt cầu, khối cầu

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20  Ngõ 86  Đường Tô Ngọc Vân  Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

 Biết một đờng kính của nó.

Chú ý: Chúng ta đợc quyền sử dụng kết quả " Nếu AMB = 900 thì M thuộc mặt

cầu đờng kính AB "

2 Vị trí tơng đối giữa mặt cầu và mặt phẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và mặt phẳng (P) bất kì Gọi H là hình chiếu vuông góccủa O lên (P) và d = OH là khoảng cách từ O tới (P), khi đó:

Chú ý: Trờng hợp đặc biệt d = 0, khi đó O  H do đó:

C(O; R), đợc gọi là đờng tròn lớn của mặt cầu S(O; R).

Kết quả

Điều kiện cần và đủ để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(O; R) tại

điểm H là mặt phẳng (P) vuông góc với bán kính OH tại điểm H.

O

M

O

SC

B

R

Kết quả

Hình chóp nội tiếp một mặt cầu khi và chỉ khi đáy của nó là đa giác nội tiếp một đờng tròn.

3 Vị trí tơng đối của một mặt cầu và một đờng thẳng

Cho mặt cầu S(O; R) và đờng thẳng d bất kì Gọi H là hình chiếu vuông góccủa O lên d và h = OH là khoảng cách từ O tới d, khi đó:

Định lí 1: Qua điểm A nằm trên mặt cầu S(O; R) có vô

số tiếp tuyến của mặt cầu (S) Tất cả các tiếp

tuyến đó đều nằm trên tiếp diện của (S) tại

điểm A.

Ta có:

a  OA tại A  a  

Định lí 2: Qua điểm A nằm ngoài mặt cầu S(O; R) có

vô số tiếp tuyến của mặt cầu (S) Độ dài các

đoạn thẳng kẻ từ A tới các tiếp điểm đều

thỏa mãn một số điều kiện cho trớc

Chúng ta dựa vào các mệnh đề sau:

1.Tập hợp các điểm M trong không gian cách điểm O cố định

một khoảng bằng R không đổi là mặt cầu tâm O bán kính R

2.Tập hợp các điểm M trong không gian nhìn đoạn thẳng AB cố

định dới một góc vuông là mặt cầu đờng kính AB

3.Tập hợp các điểm M trong không gian sao cho tổng bình

ph-ơng các khoảng cách tới hai điểm A, B cố định bằng một hằnh

(d)

H

O

H(d)

d

M

R

số k2 là mặt cầu tâm O (là trung điểm AB) bán kính

Ví dụ 1: (Bài 1/tr 45  Sgk): Trong không gian cho ba đoạn thẳng AB, BC,

CD sao cho AB  BC, BC  CD, CD  AB Chứng minh rằng có

mặt cầu đi qua bốn điểm A, B, C, D Tính bán kính mặt cầu đó nếu

a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều có

cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

b Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh cùng

bằng a Gọi A', B', C', D' lần lợt là trung điểm của các cạnh SA,

SB, SC, SD Chứng minh rằng các điểm A, B, C, D, A', B', C', D'

cùng thuộc một mặt cầu và tính thể tích khối cầu đó.

 Giải

a Dựng DH  (ABC), suy ra HA = HB = HC,

tức H là tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC

Trong DAH dựng đờng trung trực của SA

2

DH =

2

DA2DH =

DH AH2DH



=

2

2 a 3h

32h



Vậy, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đều ABCD là S(O,

2 2

3h a6h

)

A

C

DB

b Với giả thiết, ta thấy ngay A'B'C'D' là hình vuông cạnh bằng a

2.Gọi I là tâm của đáy ABCD và M là trung điểm BB'

Trong SBO dựng đờng trung trực của BB'

cắt SI tại O, ta đợc:

OA = OB = OC = OD = OB' = OA' = OC' = OD'

 Mặt cầu S(O; OB) ngoại tiếp hình chóp

2 2 4aa2

OM MB = 9a2 a2

16 16

= a 104

Ví dụ 3: Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng a Trên

nửa đờng thẳng Ax vuông góc với mặt phẳng (P) ta lấy điểm S tùy

ý Một mặt phẳng qua A vuông góc với SC cắt SB, SC, SD tại P, Q,

R theo thứ tự đó.

a Chứng minh rằng 7 điểm A, B, C, D, P, Q, R luôn thuộc một

mặt cầu (S) Xác định tâm, tính bán kính, diện tích và thể tích của mặt cầu (S).

b Chứng minh rằng tứ giác APQR nội tiếp đợc và có hai đờng

chéo vuông góc với nhau

c Cho SA2a, hãy tính diện tích của tứ giác APQR.

d Xác định vị trí của S trên Ax sao cho hình chóp Q.ABCD có

C ' B'A '

D '

BD

B'D'

O

M

I I'

CD

PR

O

S

Q

H

S = 4R2 =

2

a 242

APQ 90ARQ 90

AC BD

a2

1a21

2 a 2(7)

Thay (6), (7) vào (5), ta đợc;

SAHIK =

2

1.a

3

2 a

Trong AQC vuông tại Q, ta đợc:

QA QC





= 2

1

AC = a 2

2

Vậy, ta đợc QHMax = a 2

2, đạt đợc khi:

QA = QC  H  O  SAC cân tại A  SA = AC = a 2

Vấn đề 2: Quĩ tích điểm là mặt cầu

Để tìm quĩ tích điểm M thoả mãn tính chất K (quĩ tích là một mặtcầu) ta có lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Tìm một điểm O cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K

chứng minh OM = R với R là độ dài không đổi

Cách 2: Tìm hai điểm A, B cố định rồi từ đó dựa trên tính chất K

MC

 + 2

= MG2GA22MG.GA  

+ MG2GB2 2MG.GB  

+ + MG2GC2 2MG.GC

Ví dụ 2: Trên mặt cầu (O) lấy hai điểm B, C cố định Điểm A di chuyển

trên mặt cầu, D là trung điểm của BC Gọi M là hình chiếu của B trên đờng thẳng AD.

a Tìm tập hợp điểm M khi A di chuyển trên (O)

b Tìm vị trí của điểm A trên (O) để BM có độ dài lớn nhất.

b Ta có, trong mặt cầu có đờng kính BD thì

BM  BD (đờng kính là dây lớn nhất)

Do đó, độ dài BM có độ dài lớn nhất bằng BD, đạt đợc khi

M  D  AD  BC  ABC cân tại A

 A là giao điểm của mặt cầu (O) với đờng trung trực của BC



Nhận xét: Trong lời giải câu b), để chỉ ra đợc vị trí cần tìm của điểm A sao

cho BM lớn nhất chúng ta đã bắt đầu bằng bất đẳng thức:

BM  BD, trong đó BD là độ dài không đổi

 BMmax = BD, đặt đợc khi M  D  vị trí của A

Nh vậy, lập luận đó dựa trên tính chất "Đờng kính là dây cung

lớn nhất của mặt cầu" Tuy nhiên, chúng ta có thể lập luận

theo cách khác nh sau:

BD2 = BM2 + DM2  BMmax khi DMmin

Từ đó, suy ra BMmax = BD đặt đợc khi:

DMmin = 0  M  D

Vấn đề 3: Vị trí tơng đối của mặt cầu và mặt phẳng

Ta đi tính khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới mặt phẳng (P) rồi thựchiện phép so sánh với bán kính R của mặt cầu cho trớc

Khi đó:

 Nếu d > R  (P)  (S) = ) = 

OA

M

D

 Nếu d = R  (P) tiếp xúc với (S) = ) tại H Khi đó (P) đợc gọi là tiếpdiện của (S) = ).

 Nếu d < R  (P)  (S) = ) = (C) là một đờng tròn nằm trong mặtphẳng (P) với C(H; R  2 d 2 ) Đặc biệt d = 0 mặt phẳng (P) cắtmặt cầu theo giao tuyến là một đờng tròn lớn của mặt cầu đó

Ví dụ 1: Cho hình chóp tứ giác đều SABC các cạnh bằng a Xác định tâm và

tính bán kính của mặt cầu (S) tiếp xúc với cả bốn mặt của hình chóp.

 Giải

Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG là trục đờng tròn nội tiếp ABC

Gọi M là trung điểm AB và I là giao điểm của đờng

phân giác góc SMG với SO và hạ IH vuông góc với SM,

 IH  (SAB)  IH = d(I, (SAB))

Vì I thuộc SG nên I cách đều các mặt bên của hình chóp

Kết hợp với (1), ta kết luận mặt cầu (I; IG) sẽ tiếp xúc với cả bốn mặt của hìnhchóp

;

SC  CG = 2 a2

a3

 = a 6

3

2.Thay các kết quả trên vào (2), ta đợc:

G

IG =

a 3 a 6

Ví dụ 2: (Bài 8.b/tr 45  Sgk): Cho tứ diện ABCD với AB = CD = c, AC

= BD = b, AD = BC = a Chứng minh rằng có một mặt cầu tiếp xúc

với bốn mặt của hình tứ diện.

 Giải

Nhận xét rằng bốn mặt của tứ diện là những tam

giác bằng nhau, nên chúng có cùng bán kính đờng tròn

ngoại tiếp là R'

Gọi O1, O2, O3, O4 theo thứ tự là hình chiếu vuông

góc của O lên các mặt (ABC), (ABD), (ACD) và

Vậy, mặt cầu (O, R2 R '2 ) nội tiếp tứ diện

Ví dụ 3: (Bài 3.b/tr 63  Sgk): Cho hai đờng tròn C(O; r) và C'(O'; r') cắt

nhau tại hai điểm A, B và lần lợt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt (P) và (P').

a Chứng minh rằng có mặt cầu (S) đi qua hai đờng tròn đó.

b Tính bán kính R của mặt cầu (S) khi r = 5, r' = 10, AB = 6,OO' = 21

BO'

H

 

 

 

= 10  9 = 1  O'H = 1

Trong O'HO, gọi R' là bán khính đờng tròn ngoại tiếp của nó ta có:

O'O2 = OH2 + O'H2  2OH.O'H.cosOHO'

 cos OHO' =

OH O' H O' O2OH.O' H

 

= 16 1 21 12.4.1 2

R2 = 28 + 9 = 37  R = 37

Vấn đề 4: Vị trí tơng đối của mặt cầu và đờng thẳng

Ta đi tính khoảng cách từ tâm O của mặt cầu tới đờng thẳng (d) rồithực hiện phép so sánh với bán kính R của mặt cầu cho trớc Khi đó:

Gọi E, F, O theo thứ tự là trung điểm của AD, BC, EF

Ta thấy ngay O là tâm mặt cầu tiếp xúc với các cạnh của tứ

diện và bán kính đợc cho bởi:

Ví dụ 2: Cho mặt cầu S(O; R) và một điểm A biết OA = 2R Qua A kẻ một

tiếp tuyến với mặt cầu tại B và kẻ một cát tuyến cắt mặt cầu tại C

và D với CD = R 3

a Tính độ dài đoạn AB.

b Tính khoảng cách từ O đến đờng thẳng CD.

 Giải

a Dựa theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:

AB  OB  OAB vuông tại O

 AB = OA2 OB2 =  2 2

2R  R = R 3

b Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên CD thì H là trung điểm của CD

Trong OCH vuông tại H, ta có:

OH2 = OC2  CH2 =

2

2 CDOC

 OH =

R

2

Vấn đề 5: Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ

Với mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ chúng ta cần lu ý:

1.Điều kiện cần và đủ để một hình lăng trụ đứng có mặt cầu

ngoại tiếp là đáy của nó có đờng tròn ngoại tiếp

2.Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng cách đều tất cả các

đỉnh một đoạn bằng R Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp

hình lăng trụ là trung điểm của đoạn

thẳng nối tâm đờng tròn ngoại tiếp hai

đáy hoặc có thể coi nó là giao điểm của

mặt phẳng trung trực một cạnh bên với

trục OO1

3.Bán kính mặt cầu đợc tính dựa theo các hệ

thức lợng trong tam giác và tứ giác

Ví dụ 1: Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt cầu và có ba kích thớc là a, b,

c Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu.

1

I

1

B A

C D

D

B

C H

a Chứng minh rằng một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp khi

và chỉ khi nó là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp

đờng tròn.

b Trong số các hình hộp nội tiếp mặt cầu cho trớc, hình hộp nào

có diện tích toàn phần lớn nhất.

 Giải

a Điều kiện cần: Giả sử hình lăng trụ (H) có mặt cầu ngoại tiếp (S), khi đó:

 Hai đáy là hai đa giác nội tiếp đờng tròn (giả sử có tâm là O1 và O2)

 Các cạnh bên của lăng trụ song song với O1O2 nên chúng vuông góc với đáy.Vậy (H) là hình lăng trụ đứng với đáy là đa giác nội tiếp đờng tròn

Điều kiện đủ: Giả sử (H) là hình lăng trụ đứng với hai đáy là các đa giác nội tiếp

đờng tròn (giả sử có tâm là O1 và O2), khi đó:

 O1O2 là trục đờng tròn của hai đáy

 Gọi O là trung điểm O1O2 thì O cách đều các đỉnh của lăng trụ (giả sửbằng R)

Vậy, mặt cầu S(O; R) ngoại tiếp lăng trụ (H)

b Trớc tiên, hình hộp nội tiếp mặt cầu (bán kính R) phải là hình hộp chữ nhật

Vấn đề 6: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

Với mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ chúng ta cần lu ý:

1 Điều kiện cần và đủ để một hình chóp có mặt cầu ngoại tiếp

là đáy của nó có đờng tròn ngoại tiếp

2 Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cách

đều tất cả các đỉnh một đoạn bằng R

Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp hình

chóp là giao của trục đờng tròn ngoại

tiếp một đáy và mặt phẳng trung trực

O A

a

I



C D S

3 Bán kính mặt cầu đợc tính dựa theo các hệ thức lợng trong

tam giác và tứ giác

Ví dụ 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có tất cả các cạnh bằng a Xác

định tâm và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

 Giải

Gọi G là trọng tâm ABC, suy ra SG là trục đờng tròn

ngoại tiếp ABC Trong SAH dựng đờng trung trực của SA

2SG =

aa

Gọi I, J theo thứ tự là trung điểm của AD và BC, ta có nhận xét:

CAD = BDA (c.c.c)  IC = IB  IJ là trung trực của BC

ABC = DCD (c.c.c)  JA = JD  IJ là trung trực của AD

Vậy, ta thấy AD và BC có đoạn trung trực chung IJ ta thực hiện:

 =

2 2 2

c b a2

 

.Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SABC, ta có:

OC OA

 

.Khi đó:

S = 4R2 = 4

2 2 2

a b c8

 

=

2 2 2

(a b c )2

  

Ví dụ 3: (Bài 9/tr 46  Sgk): Tìm diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp

S.ABC biết rằng SA = a, SB = b, SC = c và ba cạnh SA, SB, SC đôi

một vuông góc Chứng minh rằng các điểm S, G, I thẳng hàng,

I

G

trong đó G là trọng tâm tam giác ABC và I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

Gọi O là tâm đờng tròn ngoại tiếp SBC, suy ra O là

trung điểm của BC và:

IA = IB = IC = IS  mặt cầu S(I, IS) ngoại tiếp tứ diện

Trong SMI vuông tại M, ta có:

R = IS = MS2MI2 =

2 2

SA

SO2

 

= (a2 + b2 + c2)

b Gọi G là giao điểm của SI và AO, ta có:

GO IO 1

GASA 2  G là trọng tâm tam giác ABC

Vấn đề 7: một số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

A. Mọi hình hộp đều có mặt cầu ngoại tiếp

B. Mọi hình hộp đứng đều có mặt cầu ngoại tiếp

C. Mọi hình hộp có mặt bên vuông góc với đáy đều có mặt cầungoại tiếp

D. Mọi hình hộp chữ nhật đều có mặt cầu ngoại tiếp

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Gọi O là tâm của hình hộp chữ nhật thì O cách đều các đỉnh,

do đó O chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đó

Câu 2 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

A. Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu đáy của nó là đa giácnội tiếp

B. Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu tất cả các mặt của nó là

đa giác nội tiếp

C. Hình lăng trụ nội tiếp một mặt cầu nếu có mặt bên vuông gócvới mặt đáy

D. Đa diện nội tiếp một mặt cầu nếu các mặt của nó đều là đa giácnội tiếp

Đáp số trắc nghiệm B

 Lời giải tự luận 1: Ta lần lợt nhận xét:

 Hình lăng trụ xiên tam giác ABC.A'B'C' (có đáy là đa giác nội tiếp) nhngkhông thể nội tiếp một mặt cầu, suy ra mệnh đề trong A là sai

 Hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A'B'C'D' (có đáy là hình thang vuông)nhng không thể nội tiếp một mặt cầu, suy ra mệnh đề trong C là sai

 Đa diện hình 1/trang 4 (sgk) có các mặt đều là hình chữ nhật nhng khôngthể có mặt cầu ngoại tiếp, suy ra mệnh đề trong D là sai

Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn

 Lời giải tự luận 2: Xét hình lăng trụ có tất cả các mặt của nó là đa giác nội

tiếp, suy ra các mặt bên của nó là hình chữ nhật Do đó, lăng trụ này có mặt cầungoại tiếp với tâm là giao điểm của trục đờng tròn đáy và mặt phẳng trung trựcmột cạnh bên

Do đó, việc lựa chọn đáp án B là đúng đắn

Câu 3 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

A. Đờng tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằmhoàn toàn trên mặt cầu

B. Có duy nhất một mặt cầu đi qua bốn đỉnh của một hình thangcân cho trớc

C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông luôn nội tiếp một mặt cầu

D. Cả ba mệnh đề trên đều sai

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận 1: Vì có duy nhất một đờng tròn đi qua ba điểm phân biệt

cho trớc nên nếu đờng tròn đi qua ba điểm phân biệt nằm trên mặt cầu thì nằmhoàn toàn trên mặt cầu

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn

 Lời giải tự luận 2: Ta lần lợt nhận xét:

 Tập hợp các điểm nằm trên trục đờng tròn ngoại tiếp một hình thang cân

đều cách đều bốn đỉnh của nó, tức là có vô số mặt cầu đi qua bốn đỉnh củamột hình thang cân cho trớc Do đó, mệnh đề trong B là sai

 Hình lăng trụ đứng tứ giác ABCD.A'B'C'D' (có đáy là hình thang vuông)nhng không thể nội tiếp một mặt cầu, suy ra các mệnh đề trong C và D làsai

 Hình chóp có đáy là hình thang vuông không thể nội tiếp một mặt cầu bởi

đáy của nó (hình thang vuông) không có đờng tròn ngoại tiếp, suy ra mệnh

đề trong C là sai

Do đó, việc lựa chọn đáp án A là đúng đắn

Câu 4 Trong các mệnh đề sau đây, mệnh đề nào đúng ?

A. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đờng tròn nằm trong haimặt phẳng cắt nhau

B. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đờng tròn nằm trong haimặt phẳng song song

C. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đờng tròn cắt nhau

D. Có duy nhất một mặt cầu đi qua hai đờng tròn cắt nhau tại hai

điểm phân biệt và không cùng nằm trong một mặt phẳng

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Ta biết rằng mặt cầu chứa đờng tròn (I) khi và chỉ khi tâm O

của nó thuộc trục đờng tròn (I) (đờng thẳng (d) qua I vuông góc với mặt phẳngchứa đờng tròn (I))