Chủ đề: Mặt nón, hình nón và khối nón (Hình học 12 - Chương II)

Biên soạn theo hướng "LẤY HỌC TRÒ LÀM TRUNG TÂM"

Bản quyền thuộc Nhóm Cự Môn của Lê Hồng Đức

Tự học đem lại hiệu quả tư duy cao, điều các em học sinh cần là:

1 Tài liệu dễ hiểu − Nhóm Cự Môn luôn cố gắng thực hiện điều này

2 Một điểm tựa để trả lời các thắc mắc − Đăng kí “Học tập từ xa”.

BÀI GIẢNG QUA MẠNG

H ÌNH HỌC 12

CHƯƠNG II MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU

§ 3 Mặt nón, hình nón và khối nón

Học Toán theo nhóm (từ 1 đến 6 học sinh) các lớp 9, 10, 11, 12

Giáo viên dạy: LÊ HỒNG ĐỨC

Địa chỉ: Số nhà 20 − Ngõ 86 − Đường Tô Ngọc Vân − Hà Nội

Phụ huynh đăng kí học cho con liên hệ 0936546689

chủ đề 3 M ặt nón, hình nón và khối

nón

A Tóm tắt lí thuyết

1 Định nghĩa mặt nón

Cho đờng thẳng (∆) Xét đờng thẳng (l) cắt (∆) tại O và

không vuông góc với (∆)

Định nghĩa

Mặt tròn xoay sinh bởi (l) nh thế khi quay quanh

(∆) gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là

mặt nón).

Khi đó:

 Điểm O gọi là đỉnh của mặt nón.

 Đờng thẳng (∆) gọi là trục của mặt nón.

 Góc 2α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

Nhận xét rằng, nếu M là một điểm nằm trên mặt nón và khác O thì toàn bộ đ-ờng thẳng OM cũng nằm trên mặt nón Nh vậy, có thể xem mặt nón N là hình tạo bởi các đờng thẳng đi qua O và hợp với (∆) một góc bằng α Các đờng thẳng nh thế gọi là đờng sinh của mặt nón.

2 Hình nón và khối nón

Cho mặt nón (N) với trục (∆), đỉnh O và góc ở đỉnh 2α

Gọi (P) là mặt phẳng vuông góc với (∆) tại điểm I khác với

đỉnh O Mặt phẳng cắt mặt nón theo đờng tròn (C) có tâm

I Gọi (P') là mặt phẳng vuông góc với (∆) tại O

Định nghĩa

Phần của mặt nón nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (P') cùng với hình tròn

(C) đợc gọi là hình nón.

Khi đó:

 Điểm O gọi là đỉnh của hình nón.

 Hình tròn (C) gọi là đáy của hình nón.

 Với điểm M∈(C) đoạn OM gọi là đờng sinh của hình nón Các đờng sinh

của hình nón có độ dài bằng nhau

 Đoạn OI gọi là trục của hình nón Độ dài OI gọi là chiều cao của hình nón

 Góc 2α gọi là góc ở đỉnh của mặt nón.

(∆)

l

O M α

(∆)

O

M

α P')

P) (C) I

 Các thiết diện qua trục của một hình nón là các tam giác cân bằng nhau.

Định nghĩa

Hình nón cùng với phần bên trong của nó đợc gọi là khối nón xác định bởi

hình nón đó.

3 Diện tích hình nón − Thể tích khối nón

Với hình nón có bán kính đáy R, đờng sinh l và đờng cao h, ta sử dụng công

thức:

Sxq = πRl; V =

3

1

πR2h

B phơng pháp giải toán

Vấn đề 1: Quĩ tích điểm là mặt nón

Để chứng minh một đờng thẳng (l) di động nhng luôn thuộc một mặt nón tròn xoay cố định ta lựa chọn một trong hai cách sau:

Cách 1: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chứng minh (l) đi qua điểm cố định O thuộc

đ-ờng thẳng (∆) cố định

Bớc 2: Chứng minh ã(l, )∆ = ϕ không đổi

Bớc 3: Vậy, đờng thẳng (l) thuộc mặt nón (N) trục (∆)

đỉnh O và góc ở đỉnh bằng 2ϕ

Cách 2: Ta thực hiện theo các bớc:

Bớc 1: Chứng minh (l) đi qua điểm cố định O

Bớc 2: Chứng minh (l) luôn cắt một đờng tròn (C) cố

định có trục đi qua điểm O

Bớc 3: Suy ra (l) luôn thuộc mặt nón tròn xoay có đỉnh

O và đờng chuẩn là (C)

Ví dụ 1: Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trớc, xét đờng thẳng (l)

thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 600 Tìm tập hợp các đờng thẳng

(l) trong không gian

 Giải

Gọi (∆) là đờng thẳng qua O và vuông góc với (P), suy

ra:

g((l), (∆)) = 300

O

(∆) (l0)

P)600

Vây, ta thấy (l) thuộc mặt nón sinh bởi đờng

thẳng (l0) (qua O và tạo với (∆) một góc 300) khi

quay quanh (∆)

Ví dụ 2: Cho hai điểm phân biệt A, B cố định Một đờng thẳng (l) thay đổi

luôn đi qua A và cách B một khoảng AB

2 Gọi H là hình chiếu của

B trên (l).

a Chứng tỏ rằng đờng thẳng (l) luôn nằm trên một mặt nón Hãy xác định trục và góc ở đỉnh của mặt nón đó.

b Tìm tập hợp các điểm H.

 Giải

a Trong ∆HAB vuông tại H, ta có :

ã

sin HAB = HBAB =

AB 2 AB

= 1

2

⇔ HAB 30ã = 0 − không đổi

Vây, ta thấy (l) thuộc mặt nón sinh bởi đờng thẳng (l0) (qua O và tạo với (AB) một góc 300) khi quay quanh (AB)

b Gọi O là hình chiếu vuông góc của H lên AB, ta có:

HB2 = BO.BA ⇔ BO = HB2

BA =

AB

4 ⇒ O cố định

HO2 = HB2− BO2 =

2

AB

4 − AB2

16 =

2

3AB 16

⇔ HO = AB 3

4 − không đỏi

Vậy, tập hợp các điểm H là đờng tròn tâm O bán kính R = AB 3

4

Vấn đề 2: Các bài toán định tính và định lợng của hình

nón, mặt nón và khối nón

Để giải các bài toán định tính và định lợng về hình nón ta thờng dùng phép chiếu vuông góc xuống mặt đáy rồi sử dụng các tính chất hình học phẳng của đờng tròn đáy và của tam giác vuông, tam giác cân để thực hiện

A

B

H

l

O

Ví dụ 1: Cho hình nón đỉnh O có bán kính đáy R, chiều cao cũng bằng R.

Một tam giác OAB có cạnh AB = R là một dây cung của đờng tròn

đáy

a Tính diện tích ∆ABC

b Tính cosin góc giữa mặt phẳng chứa tam giác và mặt phẳng đáy.

 Giải

a Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên AB, suy ra OH vuông góc với AB (định lí ba đờng vuông góc)

Trong ∆IHA vuông tại H, ta có:

IH2 = IA2− HA2 =

2

IA

2

 

−  ữ =

2

R 4

− =

2

3R 4

⇔ IH = R 3

2 .

Trong ∆OIH vuông tại I, ta có:

OH2 = IO2 + IH2 = 2 3R2

R 4

+ = 7R2

4 ⇔ OH = R 7

2 .

Từ đó, suy ra:

S∆OAB = 1AB.OH

1 R 7 R

2 2 =

2

R 7

4 .

b Góc giữa mặt phẳng chứa tam giác và mặt phẳng đáy là ãOHI, ta có:

cosãOHI = IH

OH =

R 3 2

R 7 2

= 3

7 =

21

7 .

Ví dụ 2: (Bài 4/tr 63 − Sgk): Một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a

khi quay quanh một đờng cao Tính bán kính một mặt cầu (S) tròn trờng hợp:

a (S) có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón đó.

b (S) có thể tích bằng thể tích toàn của khối nón đó.

 Giải

a Ta lần lợt có:

 Hình nón có bán kính đáy R = BC

2 =

a

2 và

đ-ờng sinh l = AB = a nên:

O

I B

A

H

A

C

Stp = Sxq + Sđ = πRl + πR2 = π.a

2.a + π

2

a 2

 

 ữ

  =

2

3 a 4

π .

 Mặt cầu có bán kính R, ta có:

S = 4πR2⇔ 4πR2 = 3 a2

4

π ⇔ R = a 3

4 .

b Ta lần lợt có:

 Hình nón có:

V =

3

1

πR2h =

2

1 a a 3

 

π  ữ  = a3 3

24

π .

 Mặt cầu có bán kính R, ta có:

V =

3

4

πR3⇔

3

4

πR3 = a3 3

24

π ⇔ R = a 2 33

4 .

Ví dụ 3: (Bài 21/tr 60 − Sgk): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC

= b Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đờng thẳng BC.

 Giải

Hạ AI vuông góc với BC, khi đó:

V = V1 + V2 =

3

1

πAI2BI +

3

1

πAI2CI

=

3

1

πAI2(BI + CI) =

3

1

Ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = c2 + b2⇔ BC= b2+c2 (2)

2 2 2

2 2 2 2

AB AC b c AI

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

V =

3

1

π b c22 22

b +c . b2+c2 =

2 2

2 2

b c

3 b c

π + .

Ví dụ 4: (Bài 5/tr 63 − Sgk): Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = c, AC =

b Gọi V1, V2, V3 là thể tích các khối tròn xoay sinh bởi tam giác

đó (kể cả các điểm trong) khi lần lợt quay quanh AB, AC, BC.

a Tính V1, V2, V3theo b, c.

B

I

A' A

C

b Chứng minh rằng 2 2 2

3 1 2

V =V +V .

 Giải − Bạn đọc tự vẽ hình trong trờng hợp quay quanh AB và AC

a Khi quay quanh AB, ta đợc:

V1 =

3

1

π.AC2.AB =

3

1

πb2c

Khi quay quanh AC, ta đợc:

V2 =

3

1

π.AB2.AC =

3

1

πbc2 Khi quay quanh BC, hạ AI vuông góc với BC, khi đó:

V3 = 1 2

3 3

V +V =

3

1

πAI2BI +

3

1

πAI2CI

=

3

1 πAI2(BI + CI) =

3

1 πAI2BC (1)

Ta có:

BC2 = AB2 + AC2 = c2 + b2⇔ BC= b2+c2 (2)

2 2 2

2 2 2 2

AB AC b c AI

Thay (2), (3) vào (1), ta đợc:

V =

3

1 π b c22 22

b +c . b2+c2 =

2 2

2 2

b c

3 b c

π + .

b Ta có:

2 2

1 2

V +V = 2 4 29 2 2 49

b c + b c

2 2

2 4 4

9(b c )

b c

+

π = 32

1

V , đpcm

Vấn đề 3: Mặt nón với mặt trụ và mặt cầu

Sử dụng định nghĩa hình nón cùng tính chất của các khối hình liên quan

Ví dụ 1: Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp trong một khối nón Tính thể

tích khối nón

 Giải

Tứ diện đều ABCD, gọi G là trọng tâm ∆ABC

Khối nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R và chiều cao h với:

R = GA = a 3

3 ;

B

I

A' A

C

D

C

h = SG = SA2−GA2 =

2

2 a 3 a

3

 

−  ữữ

  =

a 6

3 .

Khi đó, thể tích của khối nón là:

V =

3

1

πR2h =

3

1

π

2

a 3 3

 

 ữ

 ữ

  .

a 6

3 =

3

a 6 27

Ví dụ 2: (Bài 19/tr 60 − Sgk): Một mặt cầu gọi là ngoại tiếp hình nón nếu

mặt cầu đó đi qua đỉnh của hình nón và đi qua đờng tròn đáy của hình nón Hình nón nh vậy gọi là nội tiếp mặt cầu đó.

a Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu ngoại tiếp duy nhất.

b Một hình nón có chiều cao h và bán kính bằng r Tìm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình nón đó.

a Cho hình nón nội tiếp mặt cầu bán kính R Nếu hình nón đó có chiều cao bằng h thì bán kính đáy của nó bằng bao nhiêu? Tính diện tích xung quanh của hình nón đó.

 Giải

a Với hình nón đỉnh S và có tâm I ở đáy, suy ra SI là trục của đờng tròn đáy

Trong (SIA), dụng trung trực Mx của đoạn SA và cắt SI tại O

Vậy, mặt cầu (O; OS) ngoại tiếp hình nón

b Dựa trên tính chất đồng dạng của tam giác, ta có:

SO SM

SA = SI

⇔ SO SA.SM

SI

= =

2

SA 2SI =

2 2

SI AI 2SI

+ = h2 r2

2h

+ .

c Dựa trên kết quả câu b), ta có:

R = h2 r2

2h

+ ⇔ 2hR = h2 + r2⇔ r= h(2R h)− Khi đó:

Sxq = πrl = π h(2R h)− h2 +h(2R h)− = πh 2R(2R h)−

Ví dụ 3: (Bài 20/tr 60 − Sgk): Một mặt cầu gọi là nội tiếp nếu nó tiếp xúc với

mặt đáy của hình nón và tiếp xúc với mọi đờng sinh của hình nón Khi

đó hình nón đợc gọi là ngoại tiếp mặt cầu.

a Chứng minh rằng mọi hình nón đều có mặt cầu nội tiếp duy nhất.

b Một hình nón có chiều cao h và bán kính đáy bằng r Hãy tính bán kính mặt cầu nội tiếp.

 Giải

S

I

B A

O M

a Với hình nón đỉnh S và có tâm I ở đáy, suy ra SI là trục của đờng tròn đáy.

Trong (SIA), dụng phân giác Ax của góc ãSAI và cắt SI tại O

Vậy, mặt cầu (O; OS) nội tiếp hình nón

b Trong ∆SIA, ta có:

2 2

OI OS SI OI

AI AS SI AI

−

= =

+

⇔ OI SI2+AI2 =AI(SI OI)−

⇔ OI( SI2+AI2 +AI) =AI.SI ⇔ OI 2 AI.SI2

SI AI AI

=

+ + = 2 2

rh

h + +r r.

Vấn đề 4: một số phơng pháp giải câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 Một hình nón có đờng sinh bằng l và bằng đờng kính đáy Bán kính

hình cầu nội tiếp hình nón là:

6 l. D. 3

4l.

Đáp số trắc nghiệm B

 Lời giải tự luận: Với hình nón đỉnh S đờng kính đáy AB, ta suy ra:

 (SAB) cắt mặt cầu với thiết diện là đờng tròn lớn và là

đờng tròn nội tiếp ∆SAB

 ∆SAB là tam giác đều nên tâm I của mặt cầu chính là

trọng tâm ∆SAB (có cạnh bằng l) và bán kính:

r = 1

3SO =

1

3.

3

2 l = 3

6 l, ứng với đáp án B.

Câu 2 Một hình lập phơng ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a Diện tích xung

quanh của hình nón tròn xoay sinh bởi đờng gấp khúc AC'A' khi quay quanh AA' bằng:

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Hình nón tròn xoay sinh bởi đờng gấp khúcAC'A' khi quay

quanh AA' có:

R = A'C' = a 2 và l = AC' = a 3

⇒ Sxq = πRl = πa 2.a 3 = πa2 6 , ứng với đáp án A

S

I

S

A

O M

Câu 3 Với điểm O cố định thuộc mặt phẳng (P) cho trớc, xét đờng thẳng l

thay đổi đi qua O và tạo với (P) góc 300 Tập hợp các đờng thẳng l trong không gian là:

A. Một mặt phẳng

B. Hai đờng thẳng

C. Một mặt trụ

D. Một mặt nón

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Gọi (∆) là đờng thẳng qua O và vuông góc với (P), suy ra:

g(l, (∆)) = 600

Vây, ta thấy l thuộc mặt nón sinh bởi đờng thẳng l0 (qua O và tạo với (∆) một góc 600) khi quay quanh (∆)

Câu 4 Trong mặt phẳng (P) cho góc xOy Một mặt phẳng (Q) thay đổi vuông

góc với đờng phân giác trong của góc xOy, cắt Ox, Oy tại A, B Trong

(Q) lấy điểm M sao cho ãAMB = 900 Khi ấy tập hợp các điểm M là:

A. Một đờng tròn

B. Một mặt trụ

C. Một mặt nón

D. Một mặt cầu

Đáp số trắc nghiệm C

 Lời giải tự luận: Giả sử Oz là tia phân giác của góc xOy, Oz cắt AB tại H, suy

ra:

OH ⊥ AB, vì ∆OAB cân tại O ⇒ OH ⊥β⇒ OH ⊥ HM

Xét hai tam giác vuông ∆OHM và ∆OHB, ta có:

OH chung

HM = HB

suy ra:

∆OHM = ∆OHB

⇒ MOH BOHã =ã = ϕ, không đổi

Vậy, M thuộc mặt nón (n) trục Oz đỉnh O và

góc ở đỉnh bằng 2ϕ

Câu 5 Cho hình nón có đờng sinh bằng đờng kính đáy và bằng 2 Bán kính

hình cầu ngoại tiếp hình nón đó là:

2 3

3 .

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Gọi M là trung điểm SA và trong mặt

phẳng (SAO) dựng Mx vuông góc với SA cắt SO tại I

Trong ∆SMI, ta có:

OA = 1SA

2 ⇒ ãOSA = 300

O

H

M

A

β

B

α

S

I M

Khi đó, hình cầu ngoại tiếp hình có tâm I và bán kính là:

R = SI = ã

SM cos ISM = 0

SA

2 cos30 =

2

3 =

2 3

3 , ứng với đáp án D.

Câu 6 Một hình nón có bán kính đáy bằng a Một dây cung thay đổi của đờng

tròn đáy có độ dài không đổi bằng a Tập hợp các trung điểm của

đoạn thẳng nối đỉnh hình nón với trung điểm dây cung đó là:

A. Một mặt nón cố định

B. Một mặt phẳng cố định

C. Một mặt trụ cố định

D. Một đờng tròn cố định

Đáp số trắc nghiệm D

 Lời giải tự luận: Giả sử dây cung CD = a Gọi H, M I theo thứ tự là trung điểm

của SO, CD, SM, ta có:

IH =// 12OM = a 34

⇒

a 3 IH

4

IH SO



 =



 ⊥



Vậy, tập hợp các trung điểm I của đoạn thẳng SM là đờng tròn C(H, a 3

4 )

trong mặt phẳng (P) vuông góc với SO tại H

Câu 7 Một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một

đ-ờng cao Một mặt cầu có diện tích bằng diện tích toàn phần của hình nón thì có bán kính là:

a 2

a 2

a 3

2 .

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Ta lần lợt có:

 Hình nón có bán kính đáy R = a

2 và đờng sinh l = a nên:

Stp = Sxq + Sđ = πRl + πR2 = π.a

2.a + π

2

a 2

 

 ữ

  =

2

3 a 4

π .

 Mặt cầu có bán kính R, ta có:

S = 4πR2⇔ 4πR2 = 3 a2

4

π ⇔ R = a 3

4 , ứng với đáp án A.

Câu 8 Một khối tứ diện đều cạnh a nội tiếp trong một khối nón Thể tích khối

nón là:

C D

S

M

O

M

S

O I H

A. a3 3

27

π . B. a3 6

27

π . C. a3 3

9

π . D. a3 6

9

Đáp số trắc nghiệm B

 Lời giải tự luận: Tứ diện đều ABCD, gọi G là trọng tâm ∆ABC

Khối nón ngoại tiếp tứ diện có bán kính đáy R và chiều cao h với:

R = GA = a 3

3 ;

h = SG = SA2−GA2 =

2

2 a 3 a

3

 

−  ữữ

  =

a 6

3 .

Khi đó, thể tích của khối nón là:

V =

3

1

πR2h =

3

1

π

2

a 3 3

 

 ữ

 ữ

  .

a 6

3 =

3

a 6 27

π , ứng với đáp án B.

Câu 9 Một hình nón đỉnh S, đáy là hình tròn tâm O, góc ở đỉnh bằng 1200

Trên đờng tròn đáy lấy một điểm A cố định và điểm M di động Có bao nhiêu vị trí của M để diện tích tam giác SAM đạt giá trị lớn nhất.

A. Có 1 vị trí

B. Có 2 vị trí

C. Có 3 vị trí

D. Có vô số vị trí

Đáp số trắc nghiệm B

 Lời giải tự luận: Gọi H là hình chiếu vuông góc của M lên SA.

Ta có, diện tích ∆SAM đợc cho bởi:

S =

2

1

SA.MH

Do đó, diện tích ∆SAM đạt giá trị lớn nhất khi:

MH đạt giá trị lớn nhất ⇔ MH = MS

⇔ MS ⊥ SA

Tức M là giao điểm của đờng tròn đáy hình nón với mặt phẳng (P) qua S và vuông góc với SA

Từ giả thiết ãASB = 1200 suy ra tồn tại hai điểm M trên đờng tròn đáy thỏa mãn yêu cầu đầu bài

Câu 10 Một hình nón sinh bởi một tam giác đều cạnh a khi quay quanh một

đờng cao Một khối cầu có thể tích bằng thể tích khối nón thì có bán kính là:

A. a 2 33

4 . B.

3

a 3

3

a 2 3

8 . D.

3

a 2 3

2 .

D

C

S

M A

H

B

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Ta lần lợt có:

 Hình nón có bán kính đáy R = a

2 và đờng cao h =

a 3

2 nên:

V =

3

1

πR2h =

2

1 a a 3

 

π  ữ  = a3 3

24

π .

 Mặt cầu có bán kính R, ta có:

V =

3

4

πR3⇔

3

4

πR3 = a3 3

24

π ⇔ R = a 2 33

4 , ứng với đáp án A.

Câu 11 Một hình nón có đờng sinh bằng a và góc ở đỉnh bằng 900 Cắt hình nón

bằng mặt phẳng (α) đi qua đỉnh sao cho góc giữa (α) và mặt đáy của hình nón bằng 600 Khi đó diện tích thiết diện là:

3 . B.

2

a 3

2 . C.

2

2a

2

3a

2 .

Đáp số trắc nghiệm A

 Lời giải tự luận: Giả sử ∆SAC là thiết diện qua đỉnh và tạo với đáy một góc

600 Gọi M là hình chiếu vuông góc của O lên AC, suy ra ãSMO = 600

Trong ∆SOM vuông tại O, ta có:

SM = SOã

sin SMO =

0

60 sin 2

2 a

= 3

6

OM =

2

1

SM =

6

6

Trong ∆AOM vuông tại M, ta có:

AM2 = OA2− OM2 =

2

2 2 a









−

2

6 6 a









=

3

a2

⇒ AM =

3

3 a

⇒ AC =

3

3 a

Khi đó, diện tích thiết diện SAC đợc cho bởi:

S =

2

1

SM.AC =

2

1

3

6

3

3 a

3

2

a 2

, ứng với đáp án A

Bài tập tự giải

Bài tập 1: Mặt nón có bao nhiêu mặt phẳng đối xứng

Bài tập 2: Cho mặt nón (N) có trục (∆) Giao của mặt nón với mặt phẳng (P) là hình gì trong các trờng hợp sau đây ?

a Mặt phẳng (P) đi qua (∆)

S

C

M