Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng và vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit trong đề thi THPT quốc gia

Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thể đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quan nhất.. Trong quá trình giảng dạy môn Toán 12 t

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài

Là CBQL ở một trường THPT miền núi cao, tôi nhận thấy học sinh có rất nhiều thiệt thòi về mọi mặt trong đó có việc học tập và tiếp thu kiến thức Là một giáo viên dạy Toán tôi càng thấu hiểu sự khó khăn trong quá trình học tập bộ môn Toán của học sinh trong nhà trường Tôi biết:

Quá trình dạy học là một quá trình truyền thụ kiến thức cho học sinh Muốn quá trình đạt kết quả cao ta phải kiểm tra, đánh giá sự nhận thức của học sinh nhằm phân loại học sinh một cách tốt nhất Từ đó rút ra kinh nghiệm, điều chỉnh phương thức dạy học đúng, phù hợp với sự tiếp thu, lĩnh hội kiến thức của học sinh Do đó quá trình kiểm tra đánh giá sự tiếp thu kiến thức của học sinh là một khâu vô cùng quan trọng, nó chẳng những là khâu cuối cùng đánh giá độ tin cậy cao về sản phẩm đào tạo mà nó còn có tác dụng điều tiết trở lại hết sức mạnh mẽ đối với quá trình đào tạo

Có nhiều cách để kiểm tra, đánh giá học sinh Trong đó, trắc nghiệm là phương pháp có thể đánh giá được năng lực của học sinh một cách nhanh nhất và thời gian chấm bài nhanh, khách quan nhất Sự kết hợp giữa phương pháp trắc nghiệm và phương pháp tự luận lại càng đạt được kết quả và độ tin cậy cao hơn

Hiện nay phương pháp dạy và học, cơ cấu và quy trình tổ chức đều có những thay đổi về bản chất Người dạy trở thành chuyên gia hướng dẫn, giúp đỡ người học Người học hướng tới việc học tập chủ động, biết tự thích nghi Môi trường hợp tác tư vấn, đối thoại trở nên quan trọng Kiến thức được truyền thụ một cách tích cực bởi cá nhân người học Toán học là môn học có nhiều điều kiện thuận lợi để thực hiện các phương pháp dạy mới này Để phù hợp với phương pháp dạy học mới người giáo viên cũng cần đổi mới phương pháp kiểm tra đánh giá việc nhận thức của học sinh Trong quá trình giảng dạy môn Toán

12 tôi nhận thấy môn học có nhiều điều kiện thuận lợi cho việc sử dụng hình thức kiểm tra trắc nghiệm

Trước đây các bài thi và kiểm tra phương trình bất phương trình mũ và logarit luôn bằng phương pháp tự luận và sách giáo khoa cũng viết theo định hướng tự luận Từ kỳ thi THPT Quốc gia năm 2017 đến nay có sự đổi mới về phương pháp thi đối với các môn đặc biệt là môn toán từ hình thức tự luận sang hình thức trắc nghiệm nên việc giảng dạy của giáo viên và việc học của học sinh gặp nhiều bỡ ngỡ và khó nắm bắt, nếu chỉ áp dụng cách giải tự luận đôi khi làm bài trắc nghiệm sẽ khó khăn đặc biệt là rất tốn thời gian Do

đó trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu và học hỏi, tôi mạnh dạn hệ thống và đưa ra:

“Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để giải một số bài toán vận dụng cao về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong các đề thi THPTQG đồng thời lồng ghép tích hợp trong giải phương trình Mũ và Lôgarit’’ như sau Nhằm trang bị thêm cho học sinh một công cụ hữu ích trong việc giải phương trình mũ và logarit chuẩn bị cho khì thi THPT quốc gia năm 2019

Trong quá trình viết sáng kiến không thể tránh khỏi các thiếu sót, rất mong các Thầy, Cô đóng góp ý kiến để tài liệu được hoàn thiện hơn Tôi xin chân thành cảm ơn!

1.2 Mục đích nghiên cứu

Nhằm giúp bản thân nâng cao chuyên môn nghiệp vụ, giúp đồng nghiệp có thêm tài liệu tham khảo và giúp các em học sinh có thêm phương pháp giải toán dễ hiểu và hiệu quả

Nhằm rèn luyện các kỹ năng toán học và định hướng phát triển cho học sinh những năng lực sau:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán, năng lực tự học và giải quyết vấn đề

- Năng lực sử dụng công nghệ thông tin (máy tính cầm tay casio)

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Kỹ năng vận dụng kiến thức về các phương pháp giải phương trình, bất phương trình

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Một số dạng toán về phương trình, bất phương trình mũ và logarit trong sách giáo khoa, các đề thi thử THPTQG và các đề thi THPTQG

Trình bày một số kết quả nghiên cứu ban đầu để từ đó thấy rõ được vai trò của phương pháp giải mới Góp phần quan trọng giúp học sinh nâng cao năng lực giải toán

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu sử dụng trong đề tài bao gồm

- Bằng phương pháp nghiên cứu lí luận, quan sát, tổng kết kinh nghiệm

- Khai thác tiềm năng dạy và học toán từ đó bồi dưỡng năng lực học toán cho các

em học sinh

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảo sát thực tế dạy học phần phương trình, bất phương trình Mũ và Lôgarit ở trường THPT Thường Xuân 3 để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc áp dụng phương pháp này trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Dựa vào sách giáo khoa Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, sách bài tập Giải tích 12 - Nâng cao và Cơ bản, tài liệu phân phối chương trình, tài liệu về dạy học theo định hướng phát triển năng lực học sinh

- Phương pháp thống kê, xử lý số liệu: Thống kê và xử lý số liệu trên lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để qua đó thấy được hiệu quả của đề tài

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nghiên cứu khoa học thì việc tìm ra quy luật, phương pháp để giải quyết một vấn đề là vô cùng quan trọng Nó giúp ta có định hướng tìm được lời giải của một lớp các bài toán Trong dạy học giáo viên là người có vai trò thiết kế và điều khiển sao cho học sinh thực hiện và luyện tập các hoạt động tương thích với nội dung dạy học Vì vậy trang

bị về phương pháp, tập trung dạy cách học, rèn luyện các kỹ năng, phát triển các năng lực cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của người giáo viên

Trong sách Giải tích lớp 12 đã đưa ra một số phương pháp giải phương trình, bất phương trình Mũ và Loogarit nhưng chưa giải quyết được những bài toán khó Vì vậy, tôi nhận thấy mình cần bổ sung và khắc sâu thêm phương pháp giải phương trình, bất phương trình Mũ và Loogarit bằng cách sử dụng tính đơn điệu của hàm số, giúp học sinh dễ dàng giải quyết dạng toán này

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Trong quỏ trỡnh giảng dạy phần phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và logarit, tụi thấy cỏc em rất bỡ ngỡ và khụng biết định hướng với việc làm bài kiểm tra trắc nghiệm phần vận dụng cao do thường là kỹ năng làm trắc nghiệm kộm dẫn đến dễ nhầm lẫn và khụng kịp thời gian làm hết bài Đề tài được viết từ thỏng 9/2018 đến thỏng 3/2019 nhằm giỳp cỏc em học sinh khỏ giỏi lớp 12 cú thờm phương phỏp giải toỏn hiệu quả

Trường THPT Thường Xuõn 3 là một trường nằm ở khu vực năm xuõn của huyện,

cú 5 xó đặc biệt khú khăn thuộc vựng V135, cú nhiều học sinh là con em dõn tộc thiểu số nờn điểm đầu vào thấp Tư duy của học sinh chậm, điều kiện kinh tế cũn khú khăn, đường

đi học cũn xa và khú đi nờn ảnh hưởng rất nhiều đến kết quả học tập của cỏc em

2.3 Cỏc nội dung đó sử dụng để giải quyết vấn đề

A ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN LIấN QUAN ĐẾN PHƯƠNG TRèNH, BẤT PHƯƠNG TRèNH MŨ VÀ LOGARIT

I C Ơ S Ở Lí THUYẾT :

1 Hàm số y=f(x) đồng biến trờn (a;b)   x1 x2( ; )a b Ta cú: f x( )1  f x( )2

2 Hàm số y=f(x) nghịch biến trờn (a;b)   x1 x2( ; )a b Ta cú: f x( )1  f x( )2

3 Hàm số y=f(x) liờn tục trờn đoạn a b;  và đồng biến trờn khoảng (a;b) thỡ hàm số đồng biến trờn đoạn a b; 

4 Hàm số y=f(x) liờn tục trờn đoạn a b;  và nghịch biến trờn khoảng (a;b) thỡ hàm số nghịch biến trờn đoạn a b; 

5.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) đồng biến trờn (a;b) là:

'( ) 0; ( ; )

f x   x a b Trong đú f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( : )a b

6.Điều kiện cần và đủ đề hàm số y=f(x) nghịch biến trờn (a;b) là:

'( ) 0; ( ; )

f x   x a b Trong đú f’(x)=0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm ( : )a b

7 Nếu hàm số y=f(x) đồng biến trờn a b;  thỡ  ;  ( ) ( );  ; ( ) ( )

x a b Min f x f a Max f x x a b f b

6 Nếu hàm số y=f(x) nghịch biến trờn a b;  thỡ  ;  ( ) ( );  ; ( ) ( )

x a b Min f x f b Max f x a b f a

II- TỔNG QUAN PHƯƠNG PHÁP:

Xột bài toỏn liờn quan phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và logarit

Để vận dụng tớnh đơn điệu của hàm số trong giải phương trỡnh, bất phương trỡnh mũ và logarit , ta cú một số hướng biến đổi (tương ứng với 2 dạng thụng dụng) sau đõy:

Dạng 1: Dạng ( )F x 0, với ( ) hoặc đồng biến, hoặc nghịch biến trên D F x

Bước 1: Đưa phương trỡnh (1) về dạng: ( )  F x 0

Bước 2: Xột hàm số yF x( )

Chỉ rừ hàm số yF x( ) đồng biến hay nghịch biến trờn D

Bước 3: Đoỏn được F x 0 0 Lỳc đú phương trỡnh (1) cú nghiệm duy nhất

0



x x

Dạng 2: Dạng ph ơng trình ( )F u F v( ) (*), với ( ) hoặc đồng biến,F x

hoặc nghịch biến trên a b; Lúc đó, (*) có nghiệm duy nhất u v

Bước 1: Đưa phương trỡnh về dạng ( ) F u F v( ) (1)

Bước 2: Xột hàm số: yF t( )

Chỉ rõ hàm số đồng biến hay nghịch biến trên a b ; 

Bước 3: Khi đó: ( ) F u F v( ) uv

Lưu ý: Đối với bất phương trình, hệ phương trình, tư duy vận dụng tính đơn điệu hoàn

toàn tương tự như trên

III- MỘT SỐ BÀI TẬP MINH HỌA:

Bài 1: (THPT Chuyên Thái Bình-lần 1-năm 2017-2018)

Tính tích tất cả các nghiệm thực của phương trình

1 2

2 2

2

x x

x x



2

Lời giải Đáp án D.

Điều kiện: x 0

2

2

2 2

2

x x

x x

x



Phương trình trở thành log 2t 2t  5 (2)

Xét hàm f tt  log 2t 2t   2 là hàm đồng biến nên:

 2  f t f 2  t 2(t/m)

Với t 2 thì 2 2 1 2

2

x

x



     (t/m) Vậy 1 2 1

2

x x  (theo Viet )

Bài 2: (THPT Chuyên Hoàng Văn Thụ-Hòa Bình năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình 2  2 

2

x

Lời giải Đáp án C.

Xét hàm số   2 ln 2 2

2

x

f x   x x  với x     ; 2  2 ; 

Ta có   1 22

2

x

x

2

x

x



Nên suy ra hàm số   1 22

2

x

x

 đồng biến trên mỗi khoảng    ; 2 và  2;  Mặt khác ff 2  3  1 1  3 0 và    3 2 8.1 0

7

ff     nên f x  có đúng một nghiệm a     ; 2 và đúng một nghiệm b 2 ; 

Ta có bảng biến thiên:

Ta có    3 3 3 2018

2

2

Nên từ bảng biến thiên suy ra phương trình 2 ln 2 2 2018

2

x

    có 4 nghiệm

Bài 3: (Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Đinh - năm 2017-2018)

Số nghiệm thực của phương trình 2018 1 1 2018

x

Lời giải Đáp án A.

Điều kiện x 1, x 2018

Xét hàm số   2018 1 1 2018

x

f x

  với x    ;1 có

 

x

f x

 

f x

 đồng biến trên   ;1

Do đó trên   ;1 phương trình f x   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất

Bảng biến thiên:

Đường thẳng y 0 cắt đồ thị hàm số yf x  tại đúng một điểm nên f x   0 có nghiệm duy nhất trên   ;1

Do đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên   ;1

Tương tự, trên 1; 2018 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Trên 2018;  phương trình đã cho có nghiệm duy nhất

Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm thực

Bài 4: (THPT Chuyên Tiền Giang-lần 1 năm 2017-2018) Phương trình

A 2018 nghiệm B 1008 nghiệm

0

x

f'(x

)

f (x)

0

+∞

+∞

a

–∞

– +∞

b

+ +∞

+∞

1

x –∞

+

f'(x

)

f (x)

-2018

+∞

C 2017 nghiệm D 1009 nghiệm.

Lời giải Đáp án A.

Điều kiện: sin 0

x x





Đặt t log cos 2 x cosx 2t

Phương trình trở thành log3 22 2 4 3 12

1 2

t

tt t

t t

3

t t

Hàm số   4 4

3

t t

f t   

  đồng biến trên 

Mặt khác f  1  1 nên x 1 là nghiệm của phương trình

Do đó phương trình có nghiệm duy nhất t 1

2

1

0; 2018

k x

k







Vậy trong khoảng 0; 2018 có 1009.2 2018  nghiệm

Bài 5: (THPT Hồng Bàng – Hải Phòng – năm 2017 – 2018)

   có bao nhiêu nghiệm thực trong đoạn   5 ; 2017  

?

A. 2017 B. 2023 C. 2022 D. 2018

Lời giải Đáp án B

Điều kiện 2 cos  2x 0  1 sin  2x 0  *

tt

Ta có 2017t  0,   t  1;1  và 2 2

tt tt  tt    ,   t  1;1 

2017

2017

2017

f  tt t  , với t   1;1  có

 

1

1

t

f t

t tt



1

1 1.ln 2017

t



2

2

0 1.ln 2017

t

t

Do đó trên   1;1 , phương trình f t   0 nếu có nghiệm thì sẽ có nghiệm duy nhất.

Mặt khác f 0  0 nên f t   0 t 0

Khi đó  3  t 0 hay sinx  0 x k k 

Bài ra x    5 ; 2017       k  5 ; 2017    k   5; 2017 

Mà k   k  5; 4; 3; ; 2017   

Vậy phương trình đã cho có 2023 nghiệm thực trong đoạn   5 ; 2017  

Bài 6: (THPT Lê Xoay-Vĩnh phúc-lần 1 năm 2017-2018)

Số nghiệm của phương trình sin 2x cosx  1 log sin 2 x trên khoảng 0;

2

Lời giải Đáp án D

Vì sinx 0 và cosx 0 , 0;

2

  nên phương trình đã cho tương đương

sin 2x cosx log cosx   1 log sinx  log cosx

Xét hàm số f tt  log 2t , với t 0;1 ta có   1 1 0, 0;1

ln 2

f tt t

Do đó, hàm số f t  đồng biến trên khoảng 0;1

Từ phương trình  * , ta có fcosxfsin 2x cosx sin 2x

1

sin

2

x

6

x

Bài 7: (THPT Chuyên Lam Sơn-Thanh Hóa-lần 1-năm 2017-2018)

Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn 2 3 5 2  

5 3

xy

nhỏ nhất của biểu thức T x y

Lời giải Đáp án B.

Theo đề ra ta có:

5 3

xy

Xét   5 1

3

t

t

f tt     f t  5 ln 5 3 ln 3 1 0tt    

2

x

x



2

x

x





2

2

0

2

x

T

x x



Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy Tmin   3 2 3 tại x  2 3

Bài 8: (THPT Chuyên Vĩnh Phúc-lần 3 MĐ 234 năm học 2017-2018) Số nghiệm của

phương trình 2  2  3 5   2 8 3

Lời giải Đáp án B.

Đặt 2

u x  x , v 3x 5, phương trình đã cho viết lại là

Ta thấy u 0 hoặc v 0 thỏa mãn phương trình  *

Với u 0 và v 0 ta có  * 1 8 8 1  * *

Ta thấy:

- Nếu u 0 thì 8 1 0

u

u



 và nếu u 0 thì 8 1 0

u

u



 Do đó VP * *  0,  u 0

- Nếu v 0 thì 1 8 0

v

v



 và nếu v 0 thì 1 8 0

v

v



 Do đó VT * *  0,  v 0

Từ đó suy ra  * * vô nghiệm

Như vậy, phương trình đã cho tương đương với

5 3

x

x

x



 











Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm

Bài 9: (THPT Ngô Quyền Hải Phòng 2019 lần 1)

0

x

T'

T

+∞

Biết phương trình 5 3



có một nghiệm dạng x a b  2trong đó

a,b là các số nguyên Tính 2a + b.

Lời giải Đáp án B.

ĐKXĐ: x > 1

Ta có:

Xét hàm số f tt  log 5tt 2 log 3  1 , 1; , có:

 

f tt



 Hàm số f t  đồng biến trên 1; 

Khi đó, phương trình  1  f2 x 1f x 

x

x



Bài 10: (THTT Số 1-484 tháng 10 năm 2017-2018) Biết x1, x2 là hai nghiệm của

7

2

x

1 2 4

x  x  a b với a, b là hai số nguyên dương Tính a b

A. a b  16 B. a b  11 C. a b  14 D. a b  13.

Lời giải Đáp án C

Điều kiện

0 1 2

x

x

 









2 2

x

Xét hàm số   7  

1

ln 7

t



      với t 0

Vậy hàm số đồng biến

Phương trình  1 trở thành   2    2

4

4

x

x













 

4

4

l

tm

 





 





Bài 11: (Chuyên Thái Bình 2019 lần 2)

Cho phương trình: 3 2 2 2 3

     Tập các giá trị mđể phương trình có 3 nghiệm phân biệt có dạng a b;  Tổng a 2bbằng:

Lời giải Đáp án D.

Xét hàm số f tt    2t ta có f tt  2 ln 2 1 0,t      nên hàm số đồng biến trên 

Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình (**) có 3 nghiệm phân biệt, khi đó my CT;y CD của hàm số f x x3  3x

 



2

a

b

 





Bài 12: (THPT Tuyên Quang 2019 lần 1): Giả sử a, b là các số thực sao cho

x y a b đúng với mọi các số thực dương x, y, z thỏa mãn log x y  z và

log x y  z 1 Giá trị của a b bằng

A. 29.

2

2

2

Lời giải Đáp án D.

Ta có: logx y  z x y  10z