ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN I. THÔNG TIN CHUNG VỀ HỌC PHẦN Tên học phần: Toán cơ sở

Tuần Nội dung Tổ chức học tập TLHT1 Giới thiệu ĐCCT; thông qua chương trình môn học; hướng dẫn tự học GV giới thiệu ĐCCT học phần HD PP tự học môn học ĐCCT[1] - Tương tự cho các phép toá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP

CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

ĐỀ CƯƠNG CHI TIẾT HỌC PHẦN

I THÔNG TIN CHUNG VỀ HỌC PHẦN

- Tên học phần: Toán cơ sở

- Mã học phần: KI4004

- Số tín chỉ: 02

- Tổng số tiết tín chỉ: (LT/ThH/TH) 30/00/60

- Học phần điều kiện: không

1 Mục tiêu học tập/Chuẩn đầu ra

Toán cơ sở là tiền đề để nghiên cứu môn học làm quen với toán, là cơ sở khoa học để đối

chiếu soi sáng chương trình toán trong thực tế ở trường Mầm non, đồng thời định hướng tốtcho quá trình dạy học sau này

II NỘI DUNG CHƯƠNG TRÌNH

Chương 1: Một số vấn đề về Logic Toán

1.1 Mệnh đề - Hàm mệnh đề

1.2 Các phép toán trên mệnh đề

2.4 Quan hệ (quan hệ tương đương, tập thương

của 1 số quan hệ đơn giản)

III QUY ĐỊNH VỀ ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ HỌC TẬP

1

Bài tập trên lớp Làm bài tập trên lớp 10% B

2 Kiểm tra giữa kì Bài kiểm tra, tự luận 60

3 Thi kết thúc học phần

- Dự đủ 80% số tiết

- Tự luận, 90 phút

- Bắt buộc dự thi

60% A1, A2, A3, B

IV TÀI LIỆU HỌC TẬP (Tài liệu có ở thư viện trường ĐHĐT, GV dạy bộ môn)

1 Tài liệu bắt buộc:

[1] Trần Diên Hiển, Giáo trình Toán cao cấp 1, NXBGD, 2001.

[2] Bài giảng Toán cơ sở, giảng viên giảng dạy

2 Tài liệu tham khảo:

[3] Phan Hữu Chân, Tập hợp và logic số học (Tài liệu đào tạo giáo viên tiểu học hệ

trung học sư phạm 9 + 3 và 9 + 4), NXBGD, 1997

[4] Ngô Thúc Lanh, Đại số và số học, tập 1, 2 NXBGD 1985.

[5] Đinh Thị Nhung, Toán và PP hình thành biểu tượng toán cho trẻ Mẫu giáo quyển

Tuần Nội dung Tổ chức học tập TLHT

1

Giới thiệu ĐCCT; thông qua

chương trình môn học; hướng dẫn

tự học

GV giới thiệu ĐCCT học phần

HD PP tự học môn học

ĐCCT[1]

- Tương tự cho các phép toán

1 - 13,

tr 45 47,

- SV làm BT theo nhóm:

- Xác định 1 quan hệ trên tập

- Chứng minh quan hệ tương

đương, tìm tập thương

- Lý thuyết quan hệ được thể

hiện như thế nào trong toán mầmnon, nêu ví dụ, bài tập minh họa

Tr 15

-27, TL[1]; BT

14 - 27,

tr 47 49,

28 - 37,

tr 49 51,

-TL [1]

Tuần Nội dung Tổ chức học tập TLHT

Tr 22

-27, TL[2]

- GV thuyết giảng, Sv giải bài tập

và sữa bài tập theo mhóm;

VI GIẢNG VIÊN THAM GIA GIẢNG DẠY

1 Phạm Thị Hiệp

- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành PPGD Toán

- Đơn vị công tác: Bộ môn toán - Khoa THMN

- Điện thoại: 0919.155.680

1 Lê Thị Tuyết Trinh

- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành PPGD Toán

- Đơn vị công tác: Bộ môn toán - Khoa THMN

- Điện thoại: 0918.365.121

2 Nguyễn Thị Nhành

- Chức danh, học hàm, học vị: Giảng viên, Thạc sĩ - chuyên ngành Lý thuyết số

- Đơn vị công tác: Phòng Quản lý Đào tạo

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ LOGIC TOÁN

1.1 Mệnh đề

1.1.1 Khái niệm

Những câu khẳng định, phản ảnh đúng hoặc sai thực tế khách quan được coi lànhững mệnh đề Những câu hỏi, câu mệnh lệnh, câu cảm… không được xem làmệnh đề;

Kí hiệu: p, q, r… gọi là biến mệnh đề

1.1.2 Ví dụ

p: “2 là số chẵn” là mệnh đề đúng;

q: “3 + 5 = 7” là mệnh đề sai;

“x là số nguyên tố” không là mệnh đề;

“Tôi mệt quá!” không là mệnh đề;

Để chỉ một mệnh đề p đúng (ta viết p = 1); p sai (ta viết p = 0).

Các giá trị 0 và 1 gọi là giá trị chân lý của mệnh đề.

1.2 Các phép toán

1.2.1 Phép phủ định

Phủ định của mệnh đề p là một mệnh đề, kí hiệu p(đọc là “không p”)

Nếu p đúng thì p sai và ngược lại

Ví dụ: p: “5 chia hết cho 2” (mệnh đề sai);

Khi đó p: “5 không chia hết cho 2” (mệnh đề đúng)

Tuyển của hai mệnh đề p, q là một mệnh đề, kí hiệu pq (đọc là “p hoặc q” theo

nghĩa không loại trừ nhau);

pq chỉ sai khi cả hai mệnh đề p, q cùng sai.

Ví dụ: p: “0 < 1”;

q: “0 = 1”;

Khi đó pq: “0  1”

1.2.4 Phép kéo theo

p kéo theo q là một mệnh đề; kí hiệu p  q (đọc là “nếu p thì q”)

p  q chỉ sai khi p đúng q sai.

Ví dụ: p: “Trời mưa”;

q: “đường ướt”;

Khi đó pq: “Nếu trời mưa thì đường ướt”

1.2.5 Phép tương đương

p tương đương q là một mệnh đề, kí hiệu p  q (đọc là “nếu và chỉ nếu”)

p  q chỉ đúng khi cả 2 mệnh đề p, q cùng đúng hoặc cùng sai.

0011

1000

1110

1011

1001

Chú ý:

i Với 1 biến mệnh đề ta có 2 trường hợp của giá trị chân lý

Với 2 biến mệnh đề ta có 4 trường hợp của giá trị chân lý

Với 3 biến mệnh đề ta có 8 trường hợp của giá trị chân lý

………

Với n biến mệnh đề ta có 2 n trường hợp của giá trị chân lý

ii Thứ tự ưu tiên các phép toán khi không có dấu ngoặc: , , 

1.3 Công thức logic mệnh đề

1.3.1 Định nghĩa

a Các biến mệnh đề p, q, r… là các công thức;

b Nếu P, Q là công thức thì P, PQ, PQ, PQ, PQ là các công thức;

c Mọi dãy kí hiệu khác, không được xác định theo quy tắc a và b đều khôngphải là công thức

 Tính chất phân phối

) p ( ) q p ( ) q (

p    ; p  q  p  q

 Một số đẳng thức khác

q p ) q p (    ; ( p  q )  p  q

) p q ( ) q p ( q

q p q

p    ; p  q  q  p

0 0

p   ; p  1  1 ; p  0  p ; p  1  1

1 p

p   ; p  p  0 ; p  q  q  p

Để chứng minh P  Q ta có thể lập bảng chân lý hoặc dùng phép biến đổi đồng

nhất (thông qua các đẳng thức trên)

Ví dụ 1: Chứng minh: ( p  q )  p  q, ta có th l p b ng chân lý nh sau:ể lập bảng chân lý như sau: ập ảng chân lý như sau: ư sau:

1100

1010

1 0 1 1

0011

1 0 1 1

Ví dụ 2: Chứng minh p  q  p  q  p, có thể dùng phép biến đổi đồng nhất:

VP p q ) p p ( q p ) q p ( p q p

(3): “Nếu a không chia hết cho 6 thì a không chia hết cho 3”;

(4): “Nếu a không chia hết cho 3 thì a không chia hết cho 6”;

2 Điều kiện cần, điều kiện đủ, điều kiện cần và đủ

Trong toán học ta thường gặp các mệnh đề toán học dạng p  q hoặc p  q

*Với p  q, ta gọi:

p là điều kiện đủ để có q, muốn có q thì phải có đủ p;

q là điều kiện cần để có p, muốn có p thì cần phải có q

B

A , , A ,

;Khi đó ta gọi A1, A2, …, An là các tiền đề, B là kết luận hay hệ quả logic.

Để chứng minh một qui tắc suy luận ta cần lập bảng chân lý

Ví dụ: Chứng minh có qui tắc suy luận p,pq q:

1

100

1

010

1

011

Từ bảng chân lý, những hệ giá trị chân lý làm cho p = 1, (p  q) = 1 và cũnglàm cho q = 1 Vậy ta có qui tắc suy luận p,pq q

Chú ý: Dấu hiệu nhận dạng có qui tắc suy luận là trong bảng chân lý có ít nhất

một dòng chứa các thành phần của qui tắc gồm toàn số 1.

2 Một số qui tắc suy luận trong toán học

1 pqq,p (Qui tắc kết luận Modus ponens)

2 ppq,q (Qui tắc kết luận ngược modus ponens)

; p pq,q

q

p , q p

r q , q

p

s r , q p

p

s r , q p

p

s r , q p

; q

; p

q p

; q p

; q p

q p

q p

q p

; pp (qq rr)

r) (q p

r q p

r p

r q p

.

p q q p

.

25   (Qui tắc chứng minh phản chứng)

26 ppq,q

p p p

.

27 

q p

p q p

; q p

r r q p

p

; q p p q

a Không được đi qua

b Tổng các góc trong một tam giác có bằng 180o không?

c x là một số lẻ

d Số 124 chia hết cho 4

e 51 chia cho 6 được 8 dư 2

2 Hãy đưa mỗi mệnh đề sau đây về dạng hội hoặc tuyển của các mệnh đề đơn, sau đóhãy tìm giá trị chân lý của các mệnh đề đó

a 1 3  2

12

c Số 235 chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 2

d 5 và 7 là hai số lẻ nguyên tố cùng nhau

4 Hãy phát biểu các định lý sau đây dưới dạng mệnh đề p  q hoặc p  q:

a Góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

b Nếu tam giác ABC là tam giác cân thì nó có hai góc bằng nhau và đảo lại

c Một tam giác đều có ba cạnh bằng nhau

r q p d.

r q b

p: “Bạn lái xe với tốc độ trên 60km/h”;

q: “Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép”

Hãy viết các mệnh đề sau đây bằng hai cách dùng p và q và các phép toán logic:

a Bạn không lái xe với tốc độ trên 60km/h

b Bạn lái xe với tốc độ trên 60km/h nhưng bạn không bị phạt vì vượt quá tốc độcho phép

c Bạn sẽ bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép nếu bạn lái xe với tốc độ trên 60km/h

d Nếu bạn không lái xe với tốc độ trên 60km/h thì bạn sẽ không bị phạt vì vượtquá tốc độ cho phép

e Lái xe với tốc độ trên 60km/h là đủ để bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép

f Bạn bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép nhưng bạn không lái xe với tốc độ trên60km/h

g Mỗi lần bị phạt vì vượt quá tốc độ cho phép là bạn đã lái xe với tốc độ trên

8 Phát biểu các mệnh liên hợp của các mệnh đề kéo theo sau:

a Nếu đi bộ thì mỏi chân;

b Tôi đều đi ra bãi tắm bất cứ ngày nào trời nắng;

c Nếu một số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và 3;

d Nếu một số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó chia hết cho 9

9 Chứng minh các mệnh đề kéo theo sau là hằng đúng:

p q)

(q r) (p q)

p , q

Q(x, y): “ 2x - y = 4” là hàm mệnh đề hai biến, xác định trên RR = R2

Để đơn giản từ nay ta chỉ xét hàm mệnh đề một biến

 P(x) là hằng sai, nếu P(x) = 0, xX (hay EP(x) = )

 P(x) gọi là thực hiện được  xX để P(x) = 1

 P(x)  Q(x)  EP(x) = EQ(x)

1.4.2 Các phép toán

Cho P(x), Q(x) là các hàm mệnh đề xác định trên X,

a Phủ định của P(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P ( x )

P(x) = 1 thì P ( x )  0 và ngược lại

b Hội của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x)  Q(x)

Chỉ đúng tại a  X khi P(a) = 1 và Q(a) = 1

Miền đúng: EP(x)Q(x) = EP(x)  EQ(x)

c Tuyển của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x)  Q(x)

Chỉ sai tại a  X khi P(a) = 0 và Q(a) = 0

Miền đúng: EP(x)Q(x) = EP(x) EQ(x)

d Kéo theo của P(x), Q(x) là một hàm mệnh đề, kí hiệu P(x)  Q(x)

Chỉ sai tại a  X khi P(a) = 1 và Q(a) = 0

0 1

x  

 P(x) P(x)

X x X

1.4.4 Qui tắc suy luận thường gặp

Logic vị từ là hệ quả mở rộng của logic mệnh đề Vì vậy các qui tắc suy luậntrong logic mệnh đề đều là qui tắc suy luận trong logic vị từ

Vài qui tắc suy luận thường sử dụng trong chứng minh toán học như sau:

)a(Q

))a(P),x(Q)x(P(

X x







Ví dụ: 1 “Tổng ba góc trong một tam giác bằng 1800”,

Kết luận: “Tổng ba góc trong DABC bằng 1800”

2 “Mọi số tự nhiên chia hết cho 6 thì đều chia hết cho 3”,

2 Tìm miền đúng của các hàm mệnh đề sau trên N:

a “n chia hết cho 2 và n chia hết cho 3”

b “n chia 5 dư 3”

3 Hãy diễn đạt các mệnh đề sau đây bằng ngôn ngữ thông thường và xác định tínhđúng sai của các mệnh đề đó Sau đó lập mệnh đề phủ định của chúng:

) x x

Kết luận “Số 30 chia hết cho 2”

b Các phép suy luận thường gặp

b.1 Suy luận diễn dịch (suy diễn)

Suy luận diễn dịch là suy luận theo những qui tắc suy tổng quát từ những tiền

đề đúng, luôn rút ra đựơc những kết luận đúng

Ví dụ 1:

Tiền đề “96 chia hết cho 2”

“96 chia hết cho 3”

Kết luận “96 chia hết cho 2 và 3”

Trong suy luận này, ta sử dụng qui tắc suy luận pp,qq

Ví dụ 2:

Tiền đề “Một số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì số đó chia hết

cho 3”

“Số 57 có tổng các chữ số chia hết cho 3”

Kết luận “Số 57 chia hết cho 3”

Trong suy luận này ta sử dụng qui tắc suy luận

)a(Q

))a(P),x(Q)x(P

(

X x







Phép suy luận gồm ba khâu như thế này gọi là phép tam đoạn luận.

b.2 Suy luận nghe có lý

Là suy luận không thep qui tắc suy luận tổng quát; từ những tiên đề đúng, kếtluận rút ra có thể đúng hoặc sai Chúng chỉ là các dự đoán Ta xét các suy luận

Ví dụ:

Tiền đề “124”, “1084”, “1364”

Kết luận 1

Kết luận 2

“Mọi số chẵn đều chia hết cho 4” – Sai

“Mọi số tự nhiên có hai chữ số cuối cùng tạo thànhmột số chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 4” – Đúng

 Nhưng nếu ta kết luận: “Ba số 12, 8, 136 đều chia hết cho 4” thì trở thành qui nạp hoàn toàn.

 Phép tương tự: là phép suy luận đi từ sự giống nhau của một số thuộc tính

nào đó của hai đối tượng để rút ra kết luận về sự giống nhau của các thuộctính khác của hai đối tượng đó;

Tiền đề Đối tượng A có tính chất a, b, c

(1) “Mọi số có tận cùng là 5 thì chia hết cho 5”- (Đ)

(2) “Mọi số có tận cùng là 4 thì chia hết cho 4”- (S)

c Chứng minh

c.1 Để chứng minh một mệnh đề B, cần chỉ rõ B là kết luận logic của các tiền

đề đúng (kết luận logic là kết luận rút ra từ qui tắc suy luận tổng quát)

c.2 Kết cấu của chứng minh: gồm

- Cần chứng minh C, trong khi B là mệnh đề được thừa nhận; Ta có sơ đồ

chứng minh như sau:

B  K  L  …… S  T  C

Ví dụ: Chứng minh BĐT Côsi cho 2 số không âm: a  b  2 ab

Xét: (a – b)2  0 (điều được thừa nhận)

 a2 + b2 – 2ab  0

 a2 + b2 + 2ab – 4ab  0

 (a + b)2  4ab  a + b  2 ab  đpcm

 Chứng minh bằng phản chứng

Muốn chứng minh p đúng, ta giả sử p sai, nghĩa là p đúng, từ p sẽ dẫn tới1

r  nào đó, mà r  1 là giả thuyết hoặc được thừa nhận trong toán học (sẽ

dẫn đến mâu thuẫn) Do đó điều giả sử là sai Vậy p là đúng.

Ta có qui tắc suy luận trong phản chứng như sau:

p pr,r; ppr r; ppqqr,r

Ví dụ:

Chứng minh: “Một đường thẳng cắt một trong hai đường thẳng song song thì

cũng phải cắt đường thẳng kia”

Nghĩa là chứng minh (nếu p = “a // b và c cắt a tại A” thì q = “c cắt b”)

 Qua điểm A có a và c cùng song song b b(Mâu thuẩn “Qua một điểm ngoài một đường thẳng chỉ có một đườngthẳng song song với đường thẳng đã cho)

X x

k 2

 Nếu n chia 3 dư 1  n  q  1  ( n  2 )   3 A  3

 Nếu n chia 3 dư 2  n  q  2  ( n  1 )   3 A  3  đpcm

Chú ý: Phương pháp thử chọn vừa được xem là phương pháp “Xét tất cả các

trường hợp” vừa được xem là “Qui nạp hoàn toàn”

 Phương pháp qui nạp toán học: gồm 3 bước

Bài toán: Chứng minh P(n), n  n0

))1k(P)k((

),n(P

0

0

n n

n k 0

b Hai đường chéo của hình chữ nhật thì bằng nhau

2 Dùng phương pháp chứng minh phản chứng, hãy chứng minh:

a 2 là số vô tỉ

a Trong tam giác cân hai góc ở đáy bằng nhau

3 Chứng minh bằng qui nạp toán học:

2

) 1 n ( n n

2

1 n

n ) 1 n ( n

1

3 2

1 2

a Tích hai số vô tỉ là một số vô tỉ.

b A = n2 – n + 41 là số nguyên tố, n  N*

CHƯƠNG 2

CƠ SỞ LÝ THUYẾT TẬP HỢP

2.1 Khái niệm về tập hợp

2.1.1 Khái niệm tập hợp

Tập hợp (gọi tắt là Tập) là khái niệm cơ bản nhất của toán học, không định nghĩa

mà chỉ mô tả như là một sự “Tụ tập” của các đối tượng (phần tử của tập hợp) theo một

tính chất chung nào đó

Các tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa: A, B,…, X, Y,…

Phần tử của tập hợp thường được kí hiệu bằng các chữ cái in thường: a, b, , x, y,…

Lưu ý: Các tập hợp không chứa phần tử 0 được ký hiệu “*”: N*, Z*,…

Để chỉ x là phần tử của tập A, ta viết: x  A (đọc là x thuộc A);

Để chỉ x không là phần tử của tập A, ta viết: x  A (đọc là x không thuộc A)

b Chỉ ra dấu hiệu đặc trưng của các phần tử của tập hợp

A là tập con của X (ký kiệu: A  X)  mọi phần tử thuộc A đều thuộc X

Ta viết: A  X  (aA  aX), A  X đọc là “A bị chứa trong X”

Ví dụ: N  Z  Q  R  C

A  X ta còn có thể viết X  A; đọc là “X chứa A”;

Các quan hệ “bị chứa” và “chứa” còn gọi là quan hệ “bao hàm”

Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp:   X, X

b Tập hợp bằng nhau

Hai tập A, B bằng nhau ký hiệu A = B

A = B  (A  B và B  A)Đẳng thức A = B có thể hiểu là A và B cùng chứa số phần tử như nhau

Nếu B  A, ký hiệu A – B = CA(B) gọi

là phần bù của B đối với A

B A

B A

B A

A

B

Các tính chất còn lại chứng minh tương tự (xem như bài tập)

5 Hợp và giao của một họ hữu hạn tập hợp

Định nghĩa: Cho các tập hợp A1, A2,…, An với n  2, n hữu hạn

Hợp của A1, A2,…, An là một tập hợp, ký hiệu:

A1 A2 … An hay 

1 i i

A

 = {x│xA1 hoặc xA2… hoặc xAn}

Giao của A1, A2,…, An là một tập hợp, ký hiệu:

A1 A2 … An hay n

1 i

-2

S T

Ví dụ 2:

Gọi S, T, K lần lượt là tập các cặp sắp thứ tự (x,y) thoả “x = y”, “x > y”,

“x < y” (với x, y  R) ta biểu thị quan hệ này trên graph như sau:

S = {(x,y) | x = y; x, y  R}

T = { (x,y) | x < y; x, y  R}

K = { (x,y) | x > y; x, y R}

Định nghĩa:

Ta gọi một tập con S của XY là

một quan hệ hai ngôi trong XY,