Tài liệu tham khảo và tuyển tập đề thi thử đại học, cao đẳng các môn giúp các bạn ôn thi tốt và đạt kết quả cao trong kỳ thi tốt nghiệp trung học phổ thông và tuyển sinh cao đẳng, đại học . Chúc các bạn thi tốt!
Trang 1WWW.VNMATH.COM TRƯỜNG THPT SỐ 1 TUY PHƯỚC KÌ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Đề thi thử lần 1 Môn: TOÁN; Khối A và A1
Thời gian làm bài: 180 phút
I Phần chung cho tất cả thí sinh (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số
3 2
x y
x , có đồ thị (C)
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm các giá trị m (m ) để đường thẳng d: y = – x + m cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B nằm
ở hai phía của trục tung sao cho góc AOB nhọn; (O là gốc tọa độ)
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình lượng giác
3
2 cos cos 2
1 sin
x
Câu 3 (1,0 điểm) Giải phương trình sau trên : x(4x21) ( x3) 5 2 x 0
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
2
0
2cos cos 2
x x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho tứ diện ABCD, biết tam giác ABC vuông tại A có AB = a, AC = a 3 Ngoài
ra, DA = DB = DC và tam giác DBC vuông Tính thể tích khối tứ diện ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng AM và CD, với M là trung điểm của BC
Câu 6 (1,0 điểm) Cho 3 số thực x,y,z thỏa log2x log8 y3 log32z5 0 (*)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
F
II Phần riêng (3,0 điểm) Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu 7A (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ 0xy, cho hình vuông ABCD có đỉnh A(1; 3), đường chéo
BD có phương trình 5x3y15 Viết phương trình các cạnh AB, AD biết AB có hệ số góc 0 dương
Câu 8A (1,0 điểm) Trong không gian với hệ trục 0xyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) có phương trình
P :x2y z 1 0 và Q : 2x y z 3 0 Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ
xM = 1
Câu 9A (1,0 điểm) Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 2 38
1 x x
B Theo chương trình nâng cao
Câu 7B (1,0 điểm) Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC Biết phương trình các đường thẳng chứa đường cao BH, phân giác trong AD lần lượt là 3x + 4y + 10 = 0, x – y + 1 = 0; điểm M(0; 2) thuộc đường thẳng AB và MC = 2 Tìm tọa độ các đỉnh tam giác ABC
Câu 8B (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 – 4x + 2y + 2z – 3 = 0, mặt phẳng (P): x – y + z + 1 = 0 và hai điểm A(–1; 1; 0), B(2; 2; 1) Viết phương trình mặt phẳng (α) song song với AB, vuông góc với mp(P) và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C ) có bán kính bằng 3 Câu 9B (1,0 điểm) Tính tổng S = C n0 21.C n131.C n2 n1.C n n1(n1)1.C n n
(n *, C n k là số tổ hợp chập k của n phần tử)
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ tên thí sinh:………, số báo danh:………
Trang 2ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC KHỐI A-A1 NĂM 2013
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
3 2
x y x
1,0
Tập xác định \ 2
Sự biến thiên
- Chiều biến thiên :
2
5
2
x
Hàm số nghịch biến trên các khoảng ;2 và 2;
- Giới hạn và tiệm cận :
lim lim 1
x y x y Tiệm cận ngang y =1
2 2
lim , lim
x x
- Bảng biến thiên :
x - 2 + y’ - -
y
1 +
- 1
0,25 1.a)
Đồ thị
f(x)=(x+3)/(x-2) f(x)=1 x(t )=2 , y(t )=t
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9
-8 -6 -4 -2
2 4 6 8
x
y
0,25
Phương trình hoành độ giao điểm ( C) và d:
3
2
x
x m x
2
x
(1)
(x = 2 không phải là nghiệm phương trình (1) ) 0,25 1.b)
d cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A,B nằm ở hai phía trục tung khi và chỉ khi phương
trình (1) có hai nghiệm phân biệt x1;x2 , thỏa x1.x2 < 0.Điều này xảy ra khi và chỉ khi
P = 2m+3< 0 3
2
m
0,25 +Giao điểm của (C ) với Ox: (-3; 0)
+Giao điểm của (C) với Oy: (0;-3/2)
Trang 3WWW.VNMATH.COM Khi đó A(x1;-x1+ m) ; B(x2 ;-x2+m).Góc AOB nhọn khi và chỉ khi:
2
1 2 1 2
OA OB m m x x x x
m m m m (Viét)
0,25
Kết hợp với điều kiện 3
2
m ta được : 2 3
2
m
là các giá trị m cần tìm
Ghi chú:Thí sinh có thể sử dụng định lý hàm số côsin.Điều kiện góc AOB nhọn
tương đương với:OA2 +OB2 – AB2 > 0 2
1 2 2 1 2 0
m m x x x x
0,25
Giải phương trình lượng giác
3
2 cos cos 2
1 sin
x
Điều kiện: sinx ≠ 0
Biến đổi PT về: 2cos3x + cos2x + sinx = 0 2cos3x + 2cos2x – 1 + sinx = 0
(1 – sinx )[2(1 + sinx)(1 + cosx) – 1] = 0
1 – sinx = 0 (*) hoặc 2(1 + sinx)(1 + cosx) – 1 = 0 (**)
+ (*) sinx = 1 x =
2
+ k2 ( k ) Thỏa điều kiện 0,25
+ (**) 1 + 2sinxcosx + 2(sinx + cosx) = 0
(sinx + cosx)2 + 2(sinx + cosx) = 0
(sinx + cosx)(sinx + cosx + 2) = 0
sinx + cosx = 0 hoặc sinx + cosx + 2 = 0 (vô nghiệm – giải thích)
0,25
2
2 sin(x +
4
) = 0 x =
4 k
, (k ) Thỏa điều kiện
KL: PT có các họ nghiệm: x =
2
+ k2, x = –
4
+ k (k )
Ghi chú: Có thể đặt t = sinx + cosx, với |t| 2 để giải (**)
0,25
Giải phương trình x(4x21) ( x3) 5 2 x 0 1,0 Điều kiện: x 5
2
PT đã cho tương đương với 2 (4x x21)2(3x) 5 2 x 0,25
2 (4x x 1)[(5 2 ) 1] 5 2 x x (*)
Đặt u = 2x, v = 5 2x (v 0)
Phương trình (*) trở thành u(u2 + 1) = v(v2 + 1) (**)
0,25
Xét hàm số f(t) = t(t2 + 1) f/(t) = 3t2 + 1 > 0, t
(trong bài, từ đk và pt (**) suy ra u, v [0; 5] – HS không cần nêu)
Do đó f(t) đồng biến trên , nên (**) f(u) = f(v) u = v
0,25
3
Từ đó, Pt đã cho tương đương 2x = 5 2x
0
1 21
4
1 21 4
x
x
0,25
Trang 4 1 21
4
x (thỏa đk) KL
Biến đổi được
+ Tính đúng
0
cos xe xdx e xd (sin ) x e x e 1
+ Tính I’ =
2
sin 0
cos x
Khi đó I’ =
0
0,25
4
Suy ra I = 1
2
e e
* Thể tích Vì DA = DB = DC và
MA = MB = MC (do ABC vuông tại A,
M là trung điểm BC) suy ra D, M thuộc
trục của ABC Do đó
DM (ABC)
0,25
Tính được BC = 2a
DBC vuông cân tại D nên
DM = 1
2BC = a
Thể tích tứ diện ABCD:
V = 1
3 DM S( ABC) =
3
3 6
a
0,25
5
* d(AM; CD)
Gọi N là trung điểm BD Chứng minh được CD // (AMN) Do đó
d(CD; AM) = d(CD; (AMN)) = d(C; (AMN))
Xét tứ diện ACMN Thể tích tứ diện này là
V(ACMN) = 1
3 d(C;(ANM)).S( AMN) = 1
3 d(N; (ACM)).S( ACM) Suy ra d(C; (AMN)) = ( )
( )
( ; ( )) ACM
AMN
d N ACM S
S
(1)
Gọi H là trung điểm BM Khi đó, NH // DM suy ra NH (ACM) nên
NH = d(N; (ACM)) = 1
2DM =
1
2a (2)
S( ACM) = 1
2S( ABC) =
2
3 4
a
(3)
0,25
K
H N
M
C D
Trang 5WWW.VNMATH.COM
Áp dụng định lý đường trung tuyến: AN2 = 1
2(AB
2 + AD2 – 1
2DB
2 ) = a2 Suy ra
AN = a Lại có AM = 1
2BC = a nên AMN cân tại A Gọi K là trung điểm MN thì
AK MN
Ta có MN = 2
Từ tam giác vuông AKM, tính được AK = 14
4
a
Suy ra S( AMN) = 1
2AK.MN =
2
7 8
a
(4)
Từ (1), (2), (3), (4) suy ra d(C; (AMN)) hay d(CD; AM) = 21
7
a
0,25
Áp dụng BĐT giữa trung bình cộng và trung bình nhân cho 3 số dương ta có:
1 x y 3 1 x y 3 xy
3 3
Tương tự :
3 3
(2)
3 3
(3)
0,25
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được:
F
3
2 2 2
1
x y z
0,25
6
Dấu “=” xảy ra khi x = y = z = 1
Viết phương trình cạnh AB, AD biết hệ số góc AB dương 1,0 Gọi d là đường thẳng đi qua A và hợp với BD một góc 450, 2 2
là vectơ pháp tuyến của d Khi đó d có phương trình axby a 3b 0
Một vectơ pháp tuyến của đường BD là n25; 3
5a 3 1
b
a b
0,25
Nếu b = 0 thì a = 0 (vô lí), suy ra b 0, chọn b = 1 khi đó
4
4
a a
o Với a = 4 và b = 1 ta có d: 4x + y – 7= 0 (có hệ số góc k = – 4<0)
o Với 1
4
a và b =1 ta có d: x4y (có hệ số góc 11 0 1 0
4
k ) 0,25 7A
Vì AB, AD cũng đi qua A và hợp với BD một góc 450 và AB có hệ số góc dương
Trang 6nên từ các phương trình của d, ta suy ra AB: x4y và AD: 4x + y – 7= 0 11 0 0,25
P :x2y z 1 0, Q : 2x y z 3 0 Viết pt mặt cầu tâm I (P) … 1,0
Vì M mp Oxy và có hoành độ bằng 1 nên M(1; y; 0) Lại có, mặt cầu tiếp xúc với
mp(Q) nên M mp(Q) Tìm được M(1; – 5; 0) 0,25 Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu (S) cần tìm
Ta có (S) tiếp xúc với mp(Q) tại M nên IM (Q)
Mặt phẳng (Q) có một vectơ pháp tuyến n2;1; 1
Ta có IM (Q)
1 2 5
c t
I (P) 1 + 2t – 2(–5 + t) – t – 1 = 0 t = 10 I(21; 5; – 10)
0,25
8A
Vậy phương trình mặt cầu (S): (x – 21)2 + (y – 5)2 + (z + 10)2 = 600 0,25 Tìm hệ số của x8 trong khai triển thành đa thức của 2 38
+Viết được: 2 38
1 x x = 2 8
1 x 1 x
8 16 8 8
(1 )
0,25
+ Nhận xét: Số hạng chứa x8 chỉ có trong C x83 6(1x)3 và C x84 8(1x)4 0,25 + Tìm được hệ số của x8 trong C x83 6(1x)3 là:C C83 32; trong C x84 8(1x)4là: C C84 40 0,25 9A
+ Suy ra hệ số của x8 trong khai triển là: C C83 32+C C84 40 = 238 0,25 BH: 3x+4y+10= 0, AD = x–y +1 =0, M(0; 2) AB, MC = 2 Tìm A, B, C 1,0 + Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua AD
Đt MM’ qua M(0; 2) và vuông góc AD nên có
phương trình: x + y – 2 = 0
Tọa độ giao điểm K của MM’ và AD là K(1
2;
3
2)
Suy ra tọa độ M’(1; 1)
0,25
Vì AD là phân giác trong góc A, M AB nên M’ AC Do đó đường thẳng AC qua
M’(1; 1) và vuông góc BH nên tìm được pt AC: 4x – 3y – 1 = 0
Ta có A = AC AD A(4; 5)
Đt AB qua A và M nên lập được phương trình AB: 3x – 4y +8 = 0
Ta có B = AB BH nên tìm được B(–3; –1
4)
0,25
Ta có MC = 2 nên C thuộc đường tròn (C ) tâm M(0; 2), bán kính 2 Ngoài ra,
C AC nên tọa độ C là nghiệm hệ
( 2) 2 (pt (C))
x y
2
3 1
3 1
4 4
33
1 hoac
25 58 33 0
25
y
x
Suy ra có 2 điểm C thỏa điều kiện trên: C(1; 1), C’(31/25; 33/25)
0,25 7B
Theo cách xác định C như trên, thì B và C có thể nằm về 2 phía đối với AD, nên có
thể xảy ra trường hợp AD là phân giác ngoài góc BAC
M' K D
H
A
M(0;2)
Trang 7WWW.VNMATH.COM + Kiểm tra cặp B và C với AD: (–3+1
4+1)(1–1+1) < 0, suy ra B và C nằm về 2 phía đối với AD Tương tự, B và C’ nằm về 2 phía đối AD
KL: 2 bộ 3 điểm: A(4; 5), B(–3;–1
4), C(1; 1) và A, B, C’(31/25;33/25)
0,25
Pt (S) viết dưới dạng (x – 2)2 + (y + 1)2 + (x + 1)2 = 9
Suy ra (S) có tâm I(2; – 1; – 1), bán kính R = 3 0,25
Ta có AB
= (3; 1; 1), một VTPT của mp(P) là n
= (1; – 1; 1)
Do đó [AB
, n ] = (2; – 2; – 4) ≠ 0
Gọi u
là một VTPT của mp(α) Ta có ( ) //
( ) ( )
u cùng phương với [AB
, n ]
Chọn u
= 1
2[AB
, n
] u = (1; – 1; –2)
0,25
Mp(α) có một VTPT u
nên có phương trình dạng x – y – 2z + D = 0
Gọi d là khoảng cách từ I đến mp(α) Mp(α) cắt (S) theo một đường tròn (C ) có bán
kính r = 3 nên d = R2r2 9 3 6
Ta có d = 6 2 ( 1) 2( 1) 6
6
D
|5 + D| = 6 1
11
D D
0,25 8B
Với D = 1 thì (α): x – y – 2z + 1 = 0 không qua A(–1; 1; 0) (vì – 1 – 1 – 2.0 + 1 ≠ 0)
nên (α) // AB Tương tự, mp(α): x – y – 2z – 11 = 0 cũng song song với AB
Vậy có hai mặt phẳng (α) thỏa yêu cầu bài toán có phương trình:
x – y – 2z + 1 = 0 và x – y – 2z – 11 = 0
0,25
Tính tổng S = C n021.C n131.C n2 n1.C n n1(n1)1.C n n 1,0 Với 0 k n, ta có
1 1 1 1
) 1 ( )!
)!.(
1 (
)!
1 ( 1
1 )!
!.(
! 1
1
) 1
k n k
n n
k n k
n k
C
0,25
1 1 3
1 21 1 1
1
n n n n
n
= (n+1)-1 [(1+1)n+1 -C n01] = (n+1)-1.[2n+1 - 1]
Đáp số : S = (n+1)-1.[2n+1 - 1]
0,5 9B
Ghi chú: có thể lấy tích phân trên [0; 1] của
f(x) = (x + 1)n = 0 1 2 2 n n
C C x C x C x
Ghi chú: mọi cách giải khác đúng đều được điểm tối đa với nội dung tương ứng
