Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán ở trường phổ thông

Më ®Çu 1 Ch­¬ng 1. Mét sè vÊn ®Ò c¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 7 1.1. Bµn vÒ môc tiªu ®µo t¹o 7 1.2. Quan niÖm vÒ qu¸ tr×nh s¸ng t¹o vµ vai trß cña trùc gi¸c trong qu¸ tr×nh nhËn thøc vµ s¸ng t¹o To¸n häc 9 1.3. VÒ c¸c giai ®o¹n cña tiÕn tr×nh nhËn thøc khoa häc 15 1.4. Quan niÖm vÒ dù ®o¸n, suy luËn cã lý 20 1.5. Vai trß, ý nghÜa cña dù ®o¸n, suy luËn cã lý nh×n tõ quan ®iÓm khoa häc luËn 25 1.6. §«i ®iÒu vÒ sù thay ®æi ch¬­¬ng tr×nh vµ s¸ch gi¸o khoa m«n To¸n theo h¬­íng tËp cho häc sinh dù ®o¸n, suy luËn cã lý 29 1.7. Ph©n tÝch vai trß, ý nghÜa, cña dù ®o¸n, suy luËn cã lý qua thùc tiÔn gi¶i To¸n 35 1.8. Nh÷ng h×nh thøc dù ®o¸n, suy luËn cã lý t­¬¬ng ®èi phæ biÕn trong m«n To¸n 50 1.9. Liªn hÖ vÊn ®Ò d¹y dù ®o¸n, suy luËn cã lý víi Lý thuyÕt t×nh huèng 74 1.10. KÕt luËn Ch­¬¬ng 1 78 Ch¬­¬ng 2. Nh÷ng quan ®iÓm chñ ®¹o trong viÖc tËp luyÖn cho häc sinh dù ®o¸n, suy luËn cã lý 79 2.1. Bµn vÒ ®Þnh h­¬íng ®æi míi ph¬­¬ng ph¸p d¹y häc 79 2.2. VÒ mét sè ph¬­¬ng ph¸p hoÆc xu h­¬íng d¹y häc ®¸p øng yªu cÇu ®æi míi PPDH 82 2.3. Hai møc ®é thÝch hîp trong viÖc d¹y cho häc sinh dù ®o¸n, suy luËn cã lý 85 2.4. Nh÷ng vÊn ®Ò nµo thÝch hîp víi dù ®o¸n, suy luËn cã lý? Cã ph¶i bao giê còng tËp cho häc sinh dù ®o¸n? Nh÷ng bÊt cËp cña nã? 95 2.5. Nh÷ng quan ®iÓm chñ ®¹o trong viÖc tËp cho häc sinh dù ®o¸n, suy luËn cã lý 98 2.6. Minh häa qu¸ tr×nh dù ®o¸n, suy luËn cã lý qua c¸c vÝ dô cô thÓ 105 2.7. KÕt luËn Ch­¬¬ng 2 117 Ch¬­¬ng 3. Thùc nghiÖm s­¬ ph¹m 118 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 118 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 118 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 122 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 123 KÕt luËn 124 Tµi liÖu tham kh¶o 125

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

-đặng đoàn huyền phơng

Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng

dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán

bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

-đặng đoàn huyền phơng

Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng

dự đoán, suy luận có lý trong dạy học toán

ở trờng phổ thông

luận văn thạc sĩ giáo dục học

Vinh – 2005 2005

Mục lục

Trang

Chơng 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn 7

1.2 Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò của trực giác trong

1.3 Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học 15

1.5 Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm

1.6 Đôi điều về sự thay đổi chơng trình và sách giáo khoa môn

Toán theo hớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý 29

1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa, của dự đoán, suy luận có lý qua thực

1.8 Những hình thức dự đoán, suy luận có lý tơng đối phổ biến

1.9 Liên hệ vấn đề dạy dự đoán, suy luận có lý với Lý thuyết tình huống 74

Chơng 2 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học

2.1 Bàn về định hớng đổi mới phơng pháp dạy học 79

2.2 Về một số phơng pháp hoặc xu hớng dạy học đáp ứng yêu cầu

2.3 Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy

2.4 Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Có

phải bao giờ cũng tập cho học sinh dự đoán? Những bất cập

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hành Trung ơng ĐảngCộng sản Việt Nam (Khóa IV, 1993) nêu rõ: "Mục tiêu giáo dục - đào tạophải hớng vào việc đào tạo những con ngời lao động tự chủ, sáng tạo, có nănglực giải quyết những vấn đề thờng gặp, qua đó mà góp phần tích cực thực hiệnmục tiêu lớn của đất nớc” (dẫn theo Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr.1)

Về phơng pháp giáo dục đào tạo, Nghị quyết Hội nghị lần thứ II BanChấp hành Trung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam (Khóa VIII, 1997) đã đề ra:Phải đổi mới phơng pháp đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rènluyện thành nếp t duy sáng tạo của ngời học Từng bớc áp dụng những phơngpháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học, đảm bảo điều kiện

và thời gian tự học, tự nghiên cứu …”.”

Điều 24, Luật Giáo dục (1998) quy định: “Phơng pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, t duy sáng tạo của họcsinh,…”.; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức

vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập chohọc sinh”.

Chơng trình môn Toán thí điểm trờng THPT (2002) chỉ rõ: "Môn Toánphải góp phần quan trọng vào việc phát triển năng lực trí tuệ, hình thành khảnăng suy luận đặc trng của Toán học cần thiết cho cuộc sống, …”.; phát triểnkhả năng suy luận có lý, hợp lôgic trong những tình huống cụ thể …”."

1.2 Sự phát triển của xã hội và công cuộc đổi mới đất nớc đòi hỏi mộtcách cấp bách phải nâng cao chất lợng giáo dục và đào tạo Nền kinh tế nớc ta

đang chuyển từ cơ chế bao cấp sang cơ chế thị trờng có sự quản lý của Nhà

n-ớc Công cuộc đổi mới này đòi hỏi phải có sự đổi mới về hệ thống giáo dục,bên cạnh sự thay đổi về nội dung vẫn cần có những đổi mới căn bản về PPDH.Tuy nhiên, cũng phải thừa nhận rằng, thực tiễn dạy học hiện nay vẫn đang cònnhiều tồn tại phổ biến, đó là:

- Thầy thuyết trình tràn lan;

- Tri thức đợc truyền thụ dới dạng có sẵn, ít yếu tố tìm tòi phát hiện;

- Thầy áp đặt, trò thụ động;

- Thiên về dạy, yếu về học, thiếu hoạt động tự giác, tích cực, sáng tạocủa ngời học;

- Không kiểm soát đợc việc học

Về thực trạng này, nhà Toán học Nguyễn Cảnh Toàn đã nhận định:

“Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm, định lý) rồigiải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm, nội dung định

lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các công thức định lý đểtính toán, chứng minh …”.” (Nguyễn Cảnh Toàn 1997, tr 4)

GS Hoàng Tụy phát biểu: “Ta còn chuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trínhớ, dạy mẹo vặt để giải các bài toán oái oăm, giả tạo, chẳng giúp gì mấy đếnviệc phát triển trí tuệ mà làm cho học sinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi vàchán nản …”." (dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004, tr 25)

1.3 Xuất phát từ đặc điểm của t duy toán học, đó là sự thống nhất giữasuy đoán và suy diễn: Nếu trình bày lại những kết quả toán học đã đạt đợc thì

nó là một khoa học suy diễn và tính lôgic nổi bật lên Nhng, nếu nhìn Toánhọc trong quá trình hình thành và phát triển, thì trong phơng pháp của nó vẫn

có tìm tòi, dự đoán, có thực nghiệm và quy nạp Vì vậy, trong dạy học Toán,phải chú ý tới cả hai phơng diện, suy luận chứng minh và suy luận có lý thìmới khai thác đợc đầy đủ các tiềm năng môn Toán để thực hiện mục tiêu giáodục toàn diện - nh G Polia phát biểu: "Nếu việc dạy Toán phản ánh mức độnào đó việc hình thành Toán học nh thế nào, thì trong việc giảng dạy đó phảidành chỗ cho dự đoán, suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 6)

1.4 Thực tế giải Toán cho thấy: có nhiều bài toán sẽ tìm đợc lời giải nếu

đoán đợc kết quả của nó; ngợc lại, sẽ bế tắc trong khâu định hớng nếu không

dự đoán đợc kết quả của bài toán đó Ví dụ nh dạng toán tìm quỹ tích, chúng

ta thờng phải dự đoán đợc kết quả quỹ tích trong phần thuận, sau đó kết hợpvới phần đảo để chứng minh đó là quỹ tích cần tìm Hay trong một số bài toánliên quan đến chứng minh bất đẳng thức, tìm GTLN, GTNN, thờng ta phải dự

đoán dấu đẳng thức xẩy ra làm cơ sở cho các phép biến đổi dẫn đến kết quảcủa bài toán, …”

1.5 Dự đoán, suy luận có lý có vai trò quan trọng trong quá trình pháttriển t duy học sinh Nhng trong thực tế, nó cha đợc u tiên thích đáng xứngvới vị trí của nó Nguyên nhân dẫn đến tình trạng này phải chăng do giáo viêncha ý thức đợc tầm quan trọng của nó hoặc cha xây dựng đợc các biện pháp sphạm thích hợp nhằm phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý cho họcsinh?

Một trong những công trình nổi tiếng nghiên cứu về dự đoán, suy luận

có lý là tác phẩm Toán học và những suy luận có lý của G Polia Tuy nhiên,

các ví dụ trong tác phẩm của ông chủ yếu thiên về lịch sử Toán (hầu hết các ví

dụ mô tả lại con đờng dẫn đến phát minh của các nhà khoa học), còn thiếu các

ví dụ phù hợp với học sinh phổ thông

ở Việt Nam, gần đây đã có một số công trình nghiên cứu ít nhiều liênquan đến dự đoán, suy luận có lý; chẳng hạn nh Luận án Tiến sĩ của TrầnLuận (1996): "Vận dụng t tởng s phạm của G Polia xây dựng nội dung và ph-

ơng pháp dạy học trên cơ sở các hệ thống bài tập theo chủ đề nhằm phát huynăng lực sáng tạo của học sinh chuyên toán cấp II" Nhng, có thể nói, cho đếnnay vẫn cha có một công trình nào nghiên cứu một cách đầy đủ và sâu sắcviệc rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trongdạy học Toán ở trờng phổ thông

Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận văn là:

"Góp phần rèn luyện cho học sinh khá, giỏi khả năng dự đoán, suy luận có lý trong dạy học Toán ở trờng phổ thông"

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc phát triển năng lực dự đoán, suy luận có lý của họcsinh trong việc dạy học Toán ở trờng phổ thông

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau đây:

3.1 Thế nào là dự đoán, suy luận có lý? Sự phân biệt giữa chúng với suy

luận diễn dịch là gì?

3.2 Vai trò của dự đoán và suy luận có lý trong dạy học Toán là nh thế nào? 3.3 Những con đờng thông dụng để tiến hành hoạt động dự đoán, suy

luận có lý là gì?

3.4 Thực trạng của việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có lý cho

học sinh trong dạy học Toán ở trờng phổ thông là nh thế nào?

3.5 Dạy dự đoán, suy luận có lý cho học sinh nên tuân theo những quan

điểm nào?

3.6 Phân tích vai trò của dự đoán, suy luận có lý bằng việc làm sáng tỏ ý

nghĩa của nó trong việc tìm kiếm lời giải của một số bài toán

3.7 Thực nghiệm s phạm.

4 Giả thuyết khoa học

Nếu quan tâm đúng mức đến việc rèn luyện khả năng dự đoán, suy luận có

lý cho học sinh khá, giỏi trong dạy học Toán ở trờng phổ thông, thì sẽ nâng caohiệu quả dạy học môn Toán, góp phần thực hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ đổimới PPDH Toán trong giai đoạn hiện nay

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận;

5.2 Điều tra, quan sát;

5.3 Thực nghiệm s phạm.

6 Đóng góp của Luận văn

6.1 Góp phần làm sáng rõ thêm vai trò của hoạt động dự đoán, suy luận

có lý bằng việc tổng hợp, phân tích các cơ sở lý luận của các nhà khoa học

6.2 Đề xuất đợc những quan điểm đối với việc rèn luyện cho học sinh

khả năng dự đoán, suy luận có lý

6.3 Hiện thực hóa đợc hoạt động dự đoán, suy luận có lý trong quá

trình tìm kiếm lời giải các bài toán

7 Cấu trúc của Luận văn

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Giả thuyết khoa học

5 Phơng pháp nghiên cứu

6 Đóng góp của luận văn

Chơng 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Bàn về mục tiêu đào tạo

1.2 Quan niệm về quá trình sáng tạo vai trò của trực giác trong quá

trình nhận thức và sáng tạo Toán học

1.3 Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học

1.4 Quan niệm về dự đoán, suy luận có lý

1.5 Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm Khoa

học luận

1.6 Đôi điều về sự thay đổi Chơng trình và sách giáo khoa môn Toán

theo hớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý

1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn

2.3 Hai mức độ thích hợp trong việc dạy cho học sinh dự đoán, suy luận

có lý

2.4 Những vấn đề nào thích hợp với dự đoán, suy luận có lý? Có phải

bao giờ cũng dùng dự đoán, suy luận có lý? Những bất cập của nó?

2.5 Những quan điểm chủ đạo trong việc tập luyện cho học sinh dự

đoán, suy luận có lý

2.6 Minh họa quá trình mò mẫm, dự đoán, suy luận có lý qua những ví

3.3 Nội dung thực nghiệm

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

Kết luận

Tài liệu tham khảo

Chơng 1 Một số vấn đề cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Bàn về mục tiêu đào tạo

Về mục tiêu giáo dục, Nghị quyết Hội nghị lần thứ IV Ban Chấp hànhTrung ơng Đảng Cộng sản Việt Nam khóa VIII (1993) đã nêu rõ: "Mục tiêugiáo dục - đào tạo phải hớng vào đào tạo những con ngời lao động tự chủ,sáng tạo, có năng lực giải quyết vấn đề thờng gặp, qua đó góp phần tích cựcthực hiện mục tiêu lớn của đất nớc là dân giàu, nớc mạnh, xã hội công bằng,dân chủ văn minh"

Chúng ta đang sống trong thời kỳ công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất

n-ớc, thời đại mà lợng thông tin phát triển mạnh nh vũ bão Từ những năm 70của thế kỷ XX, đã xuất hiện những lời nhận xét: "Khối lợng tri thức khoa họctăng lên nhanh chóng một cách lạ thờng, theo các nhà bác học, cứ 8 năm nólại tăng lên gấp đôi" (V A Cruchetxki, tr 112) Dòng thông tin khoa học pháttriển mạnh làm cho khoảng cách giữa tri thức khoa học nhân loại và bộ phậntri thức đợc lĩnh hội trong nhà trờng ngày một tăng thêm Do đó, tham vọnggiáo dục sẽ truyền thụ cho học sinh tất cả tri thức đủ để đảm bảo cuộc sốngsau này của học sinh là không tởng V A Cruchetxki cũng từng nói: "Khôngmột trờng học nào cung cấp cho con ngời đủ một phần tri thức dù ít ỏi cần

thiết" (V A Cruchetxki 1980, tr 113) Lợng tri thức đó phải là kết quả củaquá trình học tập lâu dài, “học nữa, học mãi”, học suốt đời chứ không phải chỉkhi còn ngồi trên ghế nhà trờng Vì vậy, giáo dục không chỉ dạy tri thức màcòn phải truyền thụ cho học sinh phơng pháp tự học tích cực, độc lập, sángtạo, khả năng thích ứng tốt trong cuộc sống.

Để đáp ứng đợc “đơn đặt hàng của xã hội”, nhà trờng cần phải đổi mớiphơng pháp dạy học: "Phải đổi mới phơng pháp giáo dục - đào tạo, khắc phụclối truyền thụ một chiều, rèn luyện nếp t duy sáng tạo của ngời học, từng bớc

áp dụng phơng pháp tiên tiến và phơng tiện hiện đại vào quá trình dạy học"(Nghị quyết Hội nghị lần thứ II Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng sảnViệt Nam, Khóa VIII, 1997)

Về cách dạy, phơng pháp mới quan tâm nhiều đến việc tạo ra niềm vui,hứng thú học tập cho học sinh Xem đó nh là động lực để phát huy tính tựgiác, tích cực, chủ động trong quá trình học tập của học sinh, đặc biệt là niềmvui, hứng thú của một ngời tự mình tìm ra chân lý "Nếu học sinh đợc độc lậpquan sát, so sánh, phân tích, khái quát hóa các sự kiện, hiện tợng thì các em sẽhiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt" Do đó trong phong pháp giảng dạy,giáo viên cần phải “biết dẫn dắt học sinh luôn tìm thấy cái mới, có thể tự tìmlấy kiến thức, phải làm cho học sinh thấy mình mỗi ngày một trởng thành”(Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr 2) Hơn nữa, thực hiện định hớng "hoạt

động hóa ngời học", "học sinh cần đợc cuốn hút vào các hoạt động học tập dogiáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá những điều mìnhcha biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu tri thức đã đợc sắp sẵn Cần đặthọc sinh vào những tình huống thực tế, trực tiếp quan sát làm thí nghiệm, thảoluận, giải quyết theo cách riêng của mình Qua đó học sinh vừa nắm đợc kiếnthức mới, kỹ năng mới, vừa nắm đợc phơng pháp làm ra kiến thức, kỹ năng

đó, không nhất thiết phải rập khuôn theo những mẫu sẵn có, đợc bộc lộ vàphát huy tiềm năng sáng tạo" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr 3)

Nh vậy, chức năng, vai trò của giáo dục ngày nay đã đợc "chuyển sangvai trò nhà tổ chức giáo dục", PPDH mới đã chú trọng đến việc phát huy tối đatính tích cực, độc lập của học sinh, đề cao phơng pháp tự học, "chuyển quátrình giáo dục sang quá trình tự giáo dục" Xóa bỏ cách học cũ theo kiểu “thầy

đọc, trò chép”, "học vẹt", "học tủ", "học thuộc lòng mà không hiểu, khôngkích thích đợc học sinh suy nghĩ, tìm tòi, rèn luyện trí thông minh", chuyển

đổi chức năng từ thông báo, tái hiện sang tìm tòi "Để phát huy tối đa tính tíchcực học tập của học sinh, tốt nhất là tổ chức tốt những tình huống có vấn đề,

đòi hỏi dự đoán, nêu giả thuyết, tranh luận giữa những ý kiến trái ngợc" (Tàiliệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr 4)

1.2 Quan niệm về quá trình sáng tạo và vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học

"Đối với một đất nớc đi sau, lạc hậu nh nớc ta, dĩ nhiên đầu tiên là phảikhiêm tốn học hỏi, cố gắng sử dụng, chuyển giao công nghệ để sớm có trongtay các công nghệ cao Nhng nh vậy cha đủ, vì công nghệ phát triển nh vũbão Muốn cạnh tranh thì đất nớc mình không chỉ lo đi học mà phải nghĩ đến

sự sáng tạo ra những công nghệ mới Nh vậy đứng ở góc độ giáo dục - đào tạo,phải có biện pháp cụ thể giáo dục t duy sáng tạo cho học sinh” (Nguyễn CảnhToàn 2002, tr 10)

Sáng tạo là một hoạt động đang rất đợc quan tâm trong giai đoạn hiện nay.Trong nghiên cứu khoa học, sáng tạo đóng vai trò quan trọng trong việc tìm ra trithức mới - nh T Ribo đã nhận xét rằng, phần lớn các khoa học đều đợc xây dựngtrên những quan sát, những giả thuyết và sự kiểm tra Các giả thuyết là kết quảcủa trí tởng tợng sáng tạo, còn kiểm tra là thuộc về hoạt động suy lý và tởng t-ợng, cũng là quy về đấy (dẫn theo Đức Uy 1999, tr 81)

Khi nói đến hoạt động sáng tạo, ngời ta thờng xuất phát từ định nghĩa

đợc nhiều ngời công nhận là, một dạng hoạt động của con ngời mà kết quả làsản phẩm mới có ý nghĩa, có giá trị xã hội, chẳng hạn: "Sáng tạo là hoạt độngcủa con ngời nhằm biến đổi thế giới tự nhiên, xã hội phù hợp với các mục

đích, nhu cầu của con ngời trên cơ sở các quy luật khách quan của thực tiễn.Sáng tạo là hoạt động đợc đặc trng bởi tính không lặp lại, độc đáo và duynhất" (dẫn theo Trần Luận 1996, tr 175)

Theo Poăngcarê và Ađama, quá trình sáng tạo trải qua bốn giai đoạn:chuẩn bị, sự chín muồi (của ý tởng), bừng sáng và kiểm chứng

Giai đoạn 1 Giai đoạn chuẩn bị cho công việc có ý thức Trong giai

đoạn này, nhà khoa học hình thành vấn đề đang giải quyết và thử giải quyếtvần đề đặt ra theo các cách khác nhau Vai trò của công việc có ý thức trongtrờng hợp này là huy động các thông tin hữu ích còn tiềm ẩn mà việc sử dụngchúng có thể cho lời giải cần tìm ở giai đoạn này, các yếu tố suy luận và trực

giác tìm kiếm lời giải cùng tồn tại và bổ sung cho nhau Tuy nhiên, yếu tố suyluận đóng vai trò chủ đạo.

Giai đoạn 2 Giai đoạn ấp ủ Giai đoạn này đợc bắt đầu khi công việc

giải quyết vấn đề một cách có ý thức ngừng lại, công việc tiếp diễn lúc nàychính là hoạt động của các lực lợng tiềm thức Tuy nhiên, để “lôi cuốn” cáclực lợng tâm lý tiềm thức thì các cố gắng có ý thức ban đầu là điều kiện cầnthiết G Polia đã khẳng định: "Chỉ có những bài toán mà ta đã tập trung suynghĩ nhiều, thì khi trở lại mới đợc biến đổi sáng ra Những cố gắng có ý thức

và lao động trí óc là cần thiết để buộc tiềm thức làm việc …”." (dẫn theo TrầnLuận 1996, tr 25)

Giai đoạn 3 Giai đoạn bừng sáng Giai đoạn 2 kéo dài cho đến sự

"bừng sáng" trực giác, một bớc nhảy vọt về chất trong tiến trình nhận thức

Đây là giai đoạn quyết định của tiến trình kiếm tìm lời giải Sự "bừng sáng"của trực giác này thờng xuất hiện đột nhiên, không thấy trớc đợc Tuy nhiên,

đôi khi cũng có ngoại lệ Sự "bừng sáng" xuất hiện sau khi nhà Toán học đã

có một sự dự cảm sẽ nhận đợc kết quả Có thể xem dự cảm là phơng án yếucủa sự "bừng sáng" trực giác Cả hai phơng án yếu (dự cảm) và mạnh (trựcgiác) cũng thờng đánh lừa các nhà Toán học Theo V A Kapunin thì khảnăng xuất hiện sự "đánh lừa" càng lớn khi vấn đề đang giải quyết càng cơ bảnhoặc còn ít đợc nghiên cứu

Giai đoạn 4 Giai đoạn kiểm chứng ở giai đoạn này, nhà Toán học

triển khai lập luận chứng lôgic và kiểm tra lời giải nhận đợc từ trực giác Giai

đoạn này là cần thiết vì tri thức nhận đợc bằng trực giác là cha chắc chắn, cótính giả thuyết và nh đã nói trên nó có thể "đánh lừa" các nhà Toán học Côngviệc của nhà Toán học trong giai đoạn này là hoàn toàn có ý thức và rất tíchcực

Trong bốn giai đoạn kể trên của quá trình sáng tạo, thì hai giai đoạnquan trọng nhất nhng cha đợc nghiên cứu đầy đủ và có nhiều quan điểm khácnhau là giai đoạn ấp ủ và giai đoạn bừng sáng Và dờng nh các giai đoạn nàycủa quá trình sáng tạo đều ẩn chứa một vẻ đẹp toán học và phẩm chất thẩm

mỹ của các nhà Toán học - nh GS TS Nguyễn Cảnh Toàn đã từng phát biểu

trong cuốn Tập cho học sinh làm quen dần với nghiên cứu Toán học: "ở

những điểm "nút" có thể xuất hiện những khái niệm mới lạ, có khi ngời làmToán cần t duy hình tợng, cần một trí tởng tợng thật bay bổng, thật táo bạo nh

là với một nhà văn viết chuyện viễn tởng hay thần thoại Để phát hiện ra vấn

đề, nhiều khi ngời làm Toán cũng cần có óc thẩm mỹ để thởng thức cái đẹptrong Toán học, và từ chỗ thởng thức cái đẹp đó mà có ý muốn đi sâu vào cáithâm thúy bên trong" (Nguyễn Cảnh Toàn 1992, tr 5)

* Vai trò của trực giác trong quá trình nhận thức và sáng tạo Toán học

Trong lịch sử Triết học, khái niệm trực giác đã đợc đề cập từ lâu và đã

có rất nhiều cách hiểu khác nhau

Theo Đại Bách khoa toàn th Xôviết thì trực giác là năng lực nhận thức

đợc chân lý bằng xét đoán trực tiếp không có sự biện giải bằng chứng minh(dẫn theo Trần Luận 1996, tr 35)

Trực giác hiểu theo V A Cruchetxki: "Trong nhiều trờng hợp, sự bừngsáng đột ngột của học sinh có năng lực có thể đợc giải thích bởi sự ảnh hởngvô thức của kinh nghiệm quá khứ mà cơ sở của chúng là năng lực khái quáthóa các đối tợng, các quan hệ, các phép toán Toán học và năng lực t duy bằngcác cấu trúc rút gọn"

Trong sơ đồ tâm lý nhận thức quá trình sáng tạo khoa học, kỹ thuật củaViện sĩ Xôviết B Kêđrôv, trực giác đóng vai trò là phơng tiện chủ yếu để thựchiện bớc biến chuyển từ cái đặc thù (O) lên cái phổ biến và tính phổ biến (B)trong quá trình vận động đến chân lý của t duy: E – O – B (E là ký hiệu củacái đơn nhất và tính đơn nhất)

Trực giác toán học đợc hiểu với nhiều nghĩa khác nhau và trên thực tếtồn tại nhiều dạng khác nhau Trực giác có thể coi là sự bừng sáng đột ngộtcha nhận thức đợc, có thể là trực quan cảm tính "nhận thức trực tiếp khôngphải bằng suy luận của lý trí" (Từ điển Bách khoa toàn th Việt Nam, tr 1369), là

sự "thấy trực tiếp" các khái niệm hoặc sự kiện trong các tình huống toán học (đợchiểu theo nghĩa rộng bao gồm cả Toán học hình thức lẫn những tình huống thựctiễn mang đặc trng toán học) Cũng có khi, trực giác đợc xem là kết quả của sựvận động không có ý thức của cách thức hành động khái quát và cấu trúc rút gọn.Hiện tợng cuối cùng này về thực chất, theo B Kêđrôv chỉ là quá trình quy nạp vàhoàn toàn có ý thức X L Rubinstêin khẳng định: Trong tiến trình dạy học, sựthay đổi các kết hợp đợc thực hiện liên tục theo hai hớng ngợc nhau: một mặt cácmối liên hệ phức tạp lên (các mạch của kết hợp, các hệ thống của chúng đợc hìnhthành các dạng thấp chuyển thành các dạng cao)", mặt khác, do quá trình lĩnh

hội đợc tự động hóa nên xảy ra sự giản lợc các kết hợp (các mối liên hệ trunggian mất đi, các dạng cao chuyển thành dạng thấp) (dẫn theo Trần Luận 1996).

Theo quan điểm của Iu M Kôliagin và đồng tác giả, thì trực giác là

ph-ơng pháp đặc biệt của nhận thức đợc đặc trng bởi cách hiểu trực tiếp về sự thật.Thờng đợc xếp vào lĩnh vực trực giác là những hiện tợng nh đột nhiên tìm ra đợcmột lời giải bài tập đã tìm nhiều nhng cha giải đợc, đột nhiên tìm ra đợc phơngpháp đúng đắn để tránh đợc sự nguy hiểm, giải ra một cách nhanh chóng theobản năng một vấn đề (Iu M Kôliagin 1980, tr 127) Gauss kể lại: "Việc giảibài toán mà tôi loay hoay trong vài năm không xong bỗng cuối cùng vụt đếncách đây hai hôm nhng không phải nhờ những cố gắng vất vả của tôi mà nhờ

sự phù hộ của Chúa …” Cách giải quyết đã đến bất ngờ nh một tia chớp lóesáng, tôi không thể nói đợc cái đã nối liền các kiến thức trớc kia của tôi vớicái làm cho sự thành công của tôi có thể thực hiện đợc là cái gì" (dẫn theo

Đức Uy 1999, tr 82)

Việc "bất ngờ" có đợc cách giải quyết vấn đề mà t tởng đã phải vật lộnlâu dài và vất vả đã đợc nhiều nhà khoa học nói tới Các nhà nghiên cứu gọi

đó là "trực giác", cái đóng vai trò quan trọng trong nghiên cứu khoa học "Nếu

ta ngẫm nghĩ các câu trả lời của các nhà bác học về câu hỏi: phát minh đợcthực hiện nh thế nào, những kiến thức khoa học mới về mặt nguyên tắc đợchình thành nh thế nào, ta thấy sợi chỉ đỏ xuyên qua tất cả các câu trả lời trên

là quan niệm về vai trò quyết định của tởng tợng và trực giác, rồi thành quảcủa họ sau này mới đợc sự xác nhận của cách chứng minh bằng lôgic và trởthành đối tợng của sự phát triển thêm nữa" (Đức Uy 1999, tr 80)

Luiđơ Broilơ viết: "nhờ những bớc nhảy vọt phi lý, ta có thể bẻ gãy đợccái vòng cứng nhắc, trong đó lối suy luận diễn dịch vẫn giam hãm chúng ta,phép quy nạp dựa trên tởng tợng và trực giác cho phép ta thực hiện nhữngchinh phục vĩ đại của t duy; nó là cơ sở của tất cả những thành tựu thực sự củakhoa học …”." (dẫn theo Đức Uy 1999)

Vai trò của trực giác trong sáng tạo khoa học còn ở chỗ nó có vị trí chủ

đạo trong những giai đoạn nhất định của sự sáng tạo khoa học, J Becnan đãnhấn mạnh nh vậy Khi nêu đặc điểm về sách lợc nghiên cứu khoa học vớitính cách nhất quán trong việc lựa chọn các vấn đề để giải quyết, ông đã chỉ rarằng tìm ra vấn đề thờng khó khăn hơn nhiều so với việc giải quyết nó bởi vìviệc giải quyết có thể đợc nhờ có kinh nghiệm trong cách biện luận lôgic, còn

phát hiện ra vấn đề thì chỉ có dựa vào trí tởng tợng đợc thúc đẩy bởi nhữngkhó khăn đã gặp phải (dẫn theo Đức Uy 1999, tr 84).

Lơsatơlie thì cho rằng, trực giác, cái mà ông gọi là trí xét đoán lànhmạnh, còn Pascal gọi là "óc tế nhị" là một trong ba đặc tính mà các nhà khoahọc đạt năng suất cao trong nghiên cứu khoa học thờng có (năng khiếu quansát; sự liên tởng ý niệm; trí xét đoán lành mạnh) Trong đó, trực giác đóng vaitrò quyết định trong sự lựa chọn đối tợng nghiên cứu hay sự lựa chọn các giảthuyết làm chỗ dựa cho phần lớn các công trình nghiên cứu khoa học

Trong khoa học s phạm, ngời ta đa ra các đặc điểm của t duy trực giácthông qua sự so sánh nó với t duy phân tích Nhà tâm lý học Mỹ J.Bruner xem t duy phân tích và t duy trực giác nh là những thành tố đối lậpnhau của hoạt động sáng tạo J Bruner cho rằng t duy phân tích tiêu biểu ởchỗ từng giai đoạn của nó đợc biểu hiện khá rõ ràng và ngời suy nghĩ có thể

kể lại điều đó cho ngời khác Kiểu t duy này thờng đợc thực hiện với một chú

ý tơng đối đầy đủ về các thao tác hợp thành của nó Đối lập với t duy phântích, t duy trực giác tiêu biểu ở chỗ không có những giai đoạn tách bạch cụthể Nó có vẻ nh là chỉ dựa trên cảm giác ngay toàn bộ vấn đề Con ngời đạt đ-

ợc những đáp án có thể đúng hoặc sai, trong khi không nhận thức đợc nhờ quátrình nào mà anh ta nhận đợc đáp số Thông thờng t duy trực giác dựa trên sựquen biết những kiến thức cơ bản ở lĩnh vực đã cho với cấu trúc của chúng Vì

điều đó cho phép con ngời thực hiện đợc dới dạng các bớc nhảy, sự chuyểntiếp nhanh chóng, sự bỏ qua các mắt xích riêng biệt Những đặc tính này đòihỏi sự kiểm tra các kết luận, bằng các phơng tiện phân tích, quy nạp hoặc suydiễn Ví dụ nh trong vấn đề: Tìm diện tích xung quanh của hình nón, một họcsinh có t duy trực giác đã suy nghĩ nh sau: Hình chóp đợc đặc trng bởi các yếu

tố bán kính của đờng tròn đáy R, độ dài đờng sinh l, và h - độ dài đờng cao(thực ra chỉ cần biết hai trong ba yếu tố là đủ) Nhìn vào hình vẽ, ta tởng tợngrằng với mỗi vị trí của S trên trục đờng tròn đáy ta đợc một hình nón Điều đógợi cho ta xét vị trí đặc biệt của S Khi S  0 (h  0), đờng sinh l  R và mặtbên của hình nón trùng với hình tròn đáy nên diện tích xung quanh (Sxq) =diện tích đáy = R2 Bây giờ chúng ta tăng dần chiều cao hình nón từ 0 chotới h Lúc này ta "thấy" rằng một bán kính đáy (đờng sinh cũ) trở lại thành đ-ờng sinh, còn bán kính khác vẫn giữ nguyên (R1  l; R2 = R = const) Nhnhận định ban đầu Sxq của hình nón sẽ phụ thuộc vào 2 yếu tố l, R (vì h có thể

tính qua R, l) Mà trong trờng hợp giới hạn Sxq = R2 = .R.R (*), sự thay đổitình thế hình học dẫn tới vai trò của hai bán kính trong (*) khác nhau: một làbán kính thực của hình tròn đáy, còn một bán kính nữa là giới hạn của đờngsinh Vậy S = .R.R  .R.l hay Sxq = .R.l.

Chắc rằng ai cũng nhận ra cách chứng minh trên đây là cha chặt chẽ.Tuy nhiên, trực giác hình học của học sinh ấy rất đáng đợc trân trọng, dù rằng

t duy trực giác thực chất cũng chỉ đa ra những kết luận mang tính chất dự báo,

1.3 Về các giai đoạn của tiến trình nhận thức khoa học

Sơ đồ ngắn gọn, rõ ràng và chung nhất của quá trình nhận thức đã đợc

V I Lênin nêu lên: "Từ trực quan sinh động đến t duy trừu tợng rồi từ t duytrừu tợng trở về với thực tiễn Đó là con đờng biện chứng của nhận thức chân

lý, nhận thức thực tế khách quan" (Lênin toàn tập, tập 29, tr 153)

Chúng ta biết rằng, tri thức khoa học chỉ đợc xây dựng khi chủ thể (nhàkhoa học) có động cơ giải quyết một vấn đề, tìm lời giải cho một câu hỏi đặt

ra Việc giải đáp đợc câu hỏi này đòi hỏi xây dựng đợc cái mới chứ khôngphải là sự lặp lại đơn thuần các kiến thức và cách thức hoạt động đã quenthuộc Cụ thể hơn, Razumovxki đa ra những giai đoạn của phơng pháp nhậnthức Đó là:

- Đặt vấn đề;

- Đề xuất giả thuyết;

0R

Slh

-Suy ra hệ quả lôgic từ giả thuyết;

-Xác lập phơng án kiểm tra giả thuyết; …”

Về tiến trình nhận thức khoa học, có nhiều nhà bác học có uy tín nh A.Enstein, M Plank, N Bohr, P I Kapitxa đa ra những lời phát biểu tơng tựnhau Trên cơ sở những lời phát biểu đó, có thể nói rằng "tiến trình xây dựngtri thức khoa học là tiến trình đề xuất và giải quyết vấn đề Về bản chất là tiếntrình mô hình hóa, có mối liên hệ biện chứng giữa lý thuyết và thí nghiệm,giữa suy diễn và quy nạp, giữa t duy trực giác và t duy lôgic" (Phạm HữuTòng 2001, tr 28)

Theo Phạm Hữu Tòng, việc tìm lời giải đáp cho một câu hỏi về mộttính chất hay một sự liên hệ phụ thuộc nào đó trong thực tế mà ta có thể phỏng

đoán về sự tồn tại của chúng có thể đợc thực hiện theo con đờng xuất phát từviệc thiết kế phơng án thí nghiệm khả thi cho phép thu lợm đợc những thôngtin cần thiết, thực thi thí nghiệm để thu lợm các dữ liệu cảm tính trực tiếp, rồinhờ kết hợp các hành động suy diễn và quy nạp để xây dựng nên kết luận xácnhận Nhng trong quá trình phát triển của khoa học, trên cơ sở các kết quảnhận thức đã thu đợc, sẽ xuất hiện vấn đề đòi hỏi nhà khoa học bằng trực giácxây dựng mô hình lý thuyết khái quát (xem nh là một hệ tiên đề) mà tùy đó cóthể rút ra hệ quả lôgic cho phép giải thích các kết quả nghiên cứu đã biết, vàcác hệ quả lôgic với tính cách là những mô hình giả thuyết Những mô hìnhgiả thuyết này cho phép tiên đoán những biến cố thực nghiệm, mà việc thựcthi thí nghiệm và phân tích các dữ liệu thu đợc sẽ một mặt cho phép kiểm tratính hợp thức hóa của chúng, đồng thời cả của mô hình lý thuyết khái quát

Đó là điều cần thiết cho sự xuất hiện tri thức khoa học mới, và là cơ sở cho sựphát triển của các giả thuyết khoa học một khi các thuyết cũ không còn phùhợp với thực nghiệm (Phạm Hữu Tòng 2001, tr 29)

Trong khoa học Toán học, chúng ta không có khái niệm "thí nghiệm"

nh trong quy trình đã nêu, nhng chúng ta có thể hiểu một cách tơng tự rằng ở

đây là kiến thức đã biết, những trờng hợp đã đợc xác nhận, mà từ đây, nhàkhoa học thấy có thể tiếp tục hoàn thiện đợc, ví nh là để xóa bỏ một sự hạnchế, có thể tổng quát đợc hay có thể đề xuất đợc một bài toán tơng tự …” Cũng

từ đây nhà khoa học đề xuất giả thuyết của mình Sau đó để tăng thêm niềmtin vào giả thuyết, nhà nghiên cứu tìm cách rút ra hệ quả lôgic cho phép giảithích các kết quả đã biết Bớc cuối cùng của quy trình nhận thức khoa học là

xác lập phơng án kiểm tra giả thuyết Trong giai đoạn này, nhà khoa học tìmcách chứng minh hoặc bác bỏ giả thuyết đã đề ra.

Quy trình nhận thức khoa học trên cũng phù hợp với quá trình t duy, cónảy sinh vấn đề, có diễn biến và kết thúc Quá trình t duy bao gồm nhiều giai

đoạn kế tiếp nhau đợc minh họa bởi sơ đồ sau (do K K Plantônôv đa ra):

(dẫn theo Nguyễn Văn Thuận 2004)

"Trong dạy học, nếu xét sự xây dựng một tri thức mới trong khuôn khổ

sự hình thành và phát triển của một học thuyết khoa học dựa trên cơ sở một môhình lý thuyết khái quát khởi đầu (có tính chất tiền đề) đã có, thì một vấn đềkhoa học có thể diễn đạt thành một bài toán Sự xây dựng tri thức khoa học mớichính là sự giải quyết bài toán khoa học này (Phạm Hữu Tòng 2001, tr 31)

Thông thờng, khi giải một bài toán ở mức độ không tầm thờng, nghĩa làkhông thể áp dụng ngay một thuật giải sẵn có nào đó ta thờng phải sử dụngmột định lý, tính chất hay biến đổi biểu thức, …” theo cách thích hợp Một bàitoán có thể giải đợc dễ dàng nếu phát hiện ra rằng sử dụng định lý nào là đúnghay biến đổi theo hớng nào là thích hợp Tuy nhiên, khi ra một đề toán, ngời talại không chỉ dẫn sử dụng tính chất nào, biến đổi theo hớng nào, điều này phải

do ngời giải tự nghĩ ra Muốn vậy, chúng ta phải bắt đầu từ bớc phân tích giảthiết và kết luận của bài toán, liên tởng với tri thức đã học để dự đoán đa raphơng án giải quyết Tuy nhiên, việc dự đoán ấy không hẳn đã chính xác,nhiều lúc gặp thất bại vì không đi đợc đến kết quả Cho nên trong số những dự

đoán ấy, lại phải sàng lọc thêm để xem nghiêng về bên nào Quyết định cuốicùng mà chúng ta áp dụng để giải là giả thuyết của chúng ta về phơng pháp

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Khẳng định

Giải quyết vấn đề Hoạt động t duy mới

giải đã đợc hình thành Bớc tiếp đến là kiểm tra giả thuyết của mình Nếukhẳng định là đúng thì chính xác hóa lời giải bài toán, còn nếu bác bỏ thì dẫn

đến hoạt động t duy mới (bắt đầu lại quá trình) Ví dụ nh đối với bài toán:

Phân tích Lời giải Bài toán ta thấy rằng, các số xuất hiện trong biểuthức S đều là những số dơng, hơn nữa Bài toán lại yêu cầu tìm GTNN nên gợicho ta suy nghĩ sẽ đánh giá S theo chiều "" Gặp tổng các số hạng, yêu cầu

đánh giá theo chiều "", phải chăng bài toán sử dụng BĐT Cauchy để giải?Thế nhng, khi xét tích của hai số này, đáng tiếc lại cha phải là hằng số Vì lý

do đó mà cần biến đổi S để xuất hiện những số dơng có tích không đổi Để cóthêm cơ sở phân tích, ta xét một số trờng hợp cụ thể của a:

4

289

6516

12625Nhìn vào bảng ta thấy: giá trị a càng lớn thì giá trị S càng tăng Do đó ta

"dự đoán" rằng GTNN của S bằng 9

4 đạt tại a = 2.

Một yếu tố nữa không thể bỏ quên là BĐT Cauchy xảy ra dấu "=" khicác hạng tử bằng nhau

Với a = 2 thì 12 1 1

;

4 4

a  kém 2 tám lần, nên để có hai hạng tử bằngnhau, ta chia a cho 8 Đây chính là cơ sở dẫn đến sự phân tích a thành

8  8  8 và sử dụng BĐT Cauchy cho ba số: 2

a a 1, ,

Theo Phạm Văn Hoàn và đồng tác giả trong Giáo dục học môn Toán

thì: Phán đoán là một hình thức t duy, trong đó khẳng định điều là một dấuhiệu thuộc hay không thuộc về một đối tợng Phán đoán có tính chất hoặc

đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trờng hợp đó mà thôi.Trong t duy, phán đoán đợc hình thành bởi hai phơng thức chủ yếu là trực tiếp

và gián tiếp Trong trờng hợp 1 (trực tiếp), phán đoán diễn đạt kết quả nghiêncứu của quá trình tri giác một đối tợng Trong trờng hợp 2, phán đoán đợchình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận

Còn về dự đoán, trên thực tế cha có một định nghĩa chính thức nào đợccông bố, nhng theo Đào Văn Trung mô tả: Dự đoán là một phơng pháp t tởng

đợc ứng dụng rộng rãi trong nghiên cứu khoa học Đó là căn cứ vào cácnguyên lý và sự thật đã biết để nêu lên những hiện tợng và quy luật cha biết.Hay, dự đoán là sự nhảy vọt từ giả thuyết sang kết luận (Đào Văn Trung 2001,

tr 242)

Không chỉ trong khoa học mà trong cuộc sống, dự đoán cũng đợc ứngdụng rất rộng rãi: đó là các kết luận quy nạp của các nhà Vật lý, những kếtluận gián tiếp của Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, cáckết luận thống kê của các nhà Kinh tế (cổ phiếu, …” dự đoán để đầu t) Nóichung, "để trở thành nhà Toán học giỏi hay ngời đánh bài cừ, hoặc mộtchuyên gia xuất sắc trong mọi lĩnh vực, bạn cần biết dự đoán tài" (G Polia

1995, tr 150)

Dự đoán có vai trò quan trọng nh thế trong khoa học, trong cuộc sống,vậy liệu có cách nào học đợc dự đoán hay không? Theo G Polia thì trừ nhữngngời đợc trời phú cho năng khiếu tự nhiên, còn lại chúng ta cần phải học tập

để có đợc năng khiếu dự đoán đó Quá trình dự đoán có kết quả khi phán đoán

mà chúng ta đa ra gần với chân lý nhất, để làm đợc điều đó "các bạn cầnnghiên cứu dự đoán của mình, so sánh chúng với các sự kiện, đổi dạng chúng

đi nếu cần, và nh vậy sẽ có kinh nghiệm phong phú (và sâu sắc) về các dự

đoán sai và các dự đoán đúng Với kinh nghiệm đó trong tiềm thức, các bạn sẽ

có thể phán đoán một cách có cơ sở hơn, xem dự đoán nào đúng và dự đoánnào sai" (G Polia 1995, tr 150,151)

1.4.2 Suy luận có lý

Suy luận là nhận thức hiện thực một cách gián tiếp, đó là quá trình t duyxuất phát từ một hay nhiều điều đã biết, ngời ta đi đến những phán đoán mới(Phạm Văn Hoàn, 1981, tr 85)

Theo tác giả Hoàng Chúng trong Những vấn đề lôgic trong môn Toán ở

trờng THCS thì suy luận là rút ra mệnh đề mới từ một hay nhiều mệnh đề đã có.

Có hai loại suy luận: Suy luận chứng minh (hay còn gọi là suy diễn, suyluận diễn dịch) và suy luận có lý "Chúng ta củng cố các kiến thức Toán họccủa mình bằng các suy luận chứng minh, nhng chúng ta hỗ trợ các giả thuyếtcủa mình bằng các suy luận có lý Một chứng minh toán học là suy luậnchứng minh còn các kết luận của các nhà Vật lý, những bằng chứng gián tiếpcủa các Luật gia, những dẫn chứng tài liệu của các nhà Sử học, kết luận thống

kê của các nhà Kinh tế đều thuộc suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 5) Vậy sựkhác nhau giữa hai kiểu suy luận này là gì?

Suy luận chứng minh là suy luận theo những quy tắc (quy tắc suy diễn)xác định rằng, nếu tiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng đúng.Các quy tắc suy diễn nói đến ở đây là quy tắc suy diễn của Lôgic hình thức: từhai mệnh đề phức hợp A, B, nếu mệnh đề A  B là hằng đúng (bất kể cácmệnh đề thành phần P, Q của A, B lấy giá trị gì) thì ta nói đã có một phép suy

diễn với quy tắc suy diễn là A

B Trong suy luận, các quy tắc thờng đợc sử

dung là Modus ponens, Modus tollens kết luận từ mệnh đề phổ biến, lựa chọnhội, bắc cầu của phép kéo theo …” Muốn suy luận đúng nhất định phải tuântheo các quy tắc suy luận đó

Khác với suy luận chứng minh, suy luận có lý không tuân theo một quytắc tổng quát nào để từ những tiền đề đã có, rút ra đợc một kết luận xác định.Nếu các tiền đề là đúng thì không thể nói rằng kết luận là đúng hay sai

(Hoàng Chúng 1997, tr 60) "Suy luận chứng minh là suy luận đáng tin cậy,không chối cãi đợc và dứt khoát Suy luận có lý là suy luận bấp bênh, phảitranh cãi và có điều kiện" (G Polia 1995, tr 5)

Ví dụ:

Tiền đề 1: Số 212 chia hết cho 4

Tiền đề 2: Số 812 chia hết cho 4

Kết luận 1: Mọi số tận cùng bằng 2 đều chia hết cho 4

Kết luận 2: Mọi số tận cùng bằng 12 đều chia hết cho 4

Trong Ví dụ trên, từ hai tiền đề nh nhau, ta đã rút ra hai kết luận khácnhau Kết luận 1 có đợc từ nhận xét hai số: 212 và 812 có những số tận cùng

là 2 Để rút ra kết luận 2 chúng ta lại xem hai số 212 và 812 có tận cùng là 12,các suy luận trên đều nghe có lý, nhng rõ ràng các kết luận rút ra đều có tínhchất dự đoán, giả thuyết Trong Ví dụ trên, các tiền đề đều đúng nhng Kếtluận 1 sai, Kết luận 2 đúng (tất nhiên tính đúng, sai của Kết luận không phải

có đợc từ hai tiền đề đã xét)

Thực ra, hiện nay vẫn cha có một định nghĩa thống nhất nào về suy luận

có lý Có thể tham khảo một vài định nghĩa Chẳng hạn trong Luận án, Tiến sĩ

Đỗ Mạnh Hùng đã đa ra khái niệm lý luận có lý qua sự so sánh nó với suyluận hợp lý:

Suy luận có lý là suy luận bao hàm những khái niệm hoặc những khẳng

đoán Đồng thời, trong Toán học ứng dụng, sự có mặt của suy luận hợp lý làtất yếu "Việc kết hợp giữa suy luận hợp lý và suy luận diễn dịch cho phép dẫn

đến mục đích nghiên cứu đã định trớc một cách trớc nhất có thể đợc, và mục

đích đó không phải là xây dựng và phát triển cấu trúc lôgic mà là một phépgiải chấp nhận đợc đối với vấn đề nằm ngoài Toán học"

Nội dung của suy luận hợp lý theo quan điểm đợc trình bày ở trên là

"gần gũi" với nội dung của suy luận có lý Sự gần gũi đó thể hiện ở nhữngkhía cạnh sau:

- Suy luận có lý và suy luận hợp lý là những suy luận không chấp nhận

đợc theo quan điểm của Toán học lý thuyết;

- Suy luận có lý và suy luận hợp lý đều có khả năng dẫn đến kết quả

"đúng đắn" và đều là những công cụ đắc lực để tìm tòi, dự đoán

Luận án của Đỗ Mạnh Hùng nghiên cứu về lĩnh vực Toán học ứngdụng, do đó suy luận đợc nói đến trong đề tài là "suy luận hợp lý đợc phép cómặt ở các chứng minh của Toán học ứng dụng", "có thể xem suy luận diễndịch là trờng hợp đặc biệt, giới hạn của suy luận hợp lý" Đồng thời, trongToán học ứng dụng, những suy luận hợp lý có mức tin cậy đủ cao và suy luậndiễn dịch là có giá trị nh nhau Thậm chí những suy luận diễn dịch mà "tốnkém" còn ít giá trị hơn những suy luận hợp lý có độ chính xác "thích hợp" và

"ít tốn kém hơn"

Nói nh vậy thì suy luận hợp lý đợc phép có mặt ở các chứng minh củaToán học ứng dụng, miễn là suy luận hợp lý đảm bảo kết hợp đợc với các suyluận diễn dịch để đa bài toán đến kết quả "thực tiễn chấp nhận đợc" Suy luận

có lý không có đặc điểm này mà nó đơn thuần chỉ là những dự đoán Đây là

điểm khác nhau cơ bản giữa suy luận có lý và suy luận hợp lý

Suy luận có lý là loại suy luận không chấp nhận đợc theo quan điểmcủa Toán học lý thuyết, điều này có thể giải thích bởi "Toán học là khoa họcsuy diễn …” Toán học hoàn chỉnh đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh đợcxem nh chứng minh thuần túy (G Polia 1995, tr 4)

Trong Toán học, mọi thuộc tính của bất kỳ khái niệm nào cũng đều chỉ

đợc suy từ định nghĩa hình thức của nó Do đó mỗi khẳng định chỉ đợc baohàm những khái niệm hoàn toàn xác định về mặt hình thức Các mối quan hệlôgic giữa các khái niệm này hoàn toàn xác định chính xác tính sai hay đúngcủa mỗi khẳng định đó Vì vậy chúng ta phải hiểu rộng ra rằng dự đoán, suyluận có lý chỉ hỗ trợ cho suy luận chứng minh trong quá trình phát hiện rachân lý

Suy luận có lý có vai trò to lớn trong việc tìm tòi và dự đoán TheoBlekman và Mxkit thì có thể đề xuất đợc một số dạng điển hình sau đây củasuy luận có lý:

- áp dụng những phát biểu có bao hàm các khái niệm không đợc địnhnghĩa một cách chính xác;

- áp dụng những khẳng định đúng trong đại đa số các trờng hợp củathực tiễn nhng có thể sai trong những trờng hợp riêng hiếm có;

- Những kết luận dựa vào tính tơng tự hoặc dựa vào thực nghiệm;

- Những kết luận dựa trên cơ sở xem xét một số không đầy đủ các trờnghợp riêng;

- Sử dụng các kết quả của phép giải gần đúng khi không có đánh giá cụthể, trong đó sai số đợc chứng minh một cách chặt chẽ (bằng suy diễn) Hiểurộng ra thì phơng pháp suy luận này có thể bao hàm toàn bộ việc mô hình hóatoán học: Thay thế bài toán hiện thực bằng mô hình toán học của nó, cũng

nh tìm mọi cách giản ớc bài toán sau khi đã phát biểu nó bằng ngôn ngữ toánhọc (dẫn theo Đỗ Mạnh Hùng 1993)

Trong Toán học, suy luận có lý thờng thờng thể hiện dới các hình thứcnh: đặc biệt hóa, tơng tự hóa, khái quát hóa, quy lạ về quen, …”

1.5 Vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý nhìn từ quan điểm khoa học luận

Trong chúng ta, chắc không ai phủ nhận vai trò của dự đoán, suy luận

có lý Nh R Courant đã từng nói "Phơng pháp suy diễn đúng là giúp chúng tabao quát nhanh một lĩnh vực rộng Song, phơng pháp xây dựng đi từ cái riêng

đến cái chung sẽ dẫn dắt tới những t duy độc lập, sáng tạo một cách vững chắchơn" (dẫn theo Hoàng Chúng 2000, tr 32) Hay nh G Polia đã phát biểu trong

Toán học và những suy luận có lý: "Chúng ta củng cố các kiến thức toán học

của mình bằng các suy luận chứng minh, nhng chúng ta hỗ trợ các giả thuyếtcủa mình bằng các suy luận có lý …”."

"Bạn phải dự đoán về một định lý toán học trớc khi bạn chứng minh nó,bạn phải dự đoán về ý của chứng minh trớc khi tiến hành chứng minh chi tiết.Bạn phải đối chiếu các kết quả đã quan sát đợc và suy ra những điều tơng tự;bạn phải thử đi thử lại Kết quả công tác sáng tạo của nhà Toán học là suyluận chứng minh, là chứng minh; nhng ngời ta tìm cách chứng minh nhờ suyluận có lý, nhờ dự đoán" (G Polia 1995, tr 6)

Chúng ta biết rằng, hoạt động nhận thức hay hẹp hơn, hoạt động t duychỉ diễn ra trong tình huống có vấn đề, khái niệm mà ta thờng dùng để chỉ cácmâu thuẫn nảy sinh trong thực tiễn hay xét một cách nôm na, ta thờng gọi làbài toán Bài toán bao gồm hai hệ thống thông tin, hai bộ phận luôn mâu thuẫnvới nhau nhng luôn có những liên hệ gắn bó với nhau: Thứ nhất là "điều kiện"

- bao gồm tất thảy những thông tin đã cho một cách hiển minh hoặc tiềm ẩn.Nghĩa là sẽ biểu hiện sau những biến đổi nhất định cái điều kiện có liên quan

đến bài toán Còn bộ phận thứ hai là "yêu cầu" - gồm những thông tin mà bàitoán đòi hỏi phải tìm Giải bài toán là hoạt động trí óc gồm những thao tác đadạng, phức tạp nhng xét đến cùng thì luôn luôn là sự đối chiếu các điều kiệnvới các yêu cầu của bài toán; phân tích, lý giải các mối liên hệ đã có để giảiquyết những mâu thuẫn giữa điều kiện và yêu cầu Quá trình phân tích, lý giảinày sẽ dẫn t duy đến những mối liên hệ mới, phát hiện những khía cạnh mới

để lại làm nảy sinh mâu thuẫn mới với những liên hệ mới Cứ nh thế mà dầndần làm sáng rõ yêu cầu cần đạt của bài toán

Do thông tin cần cho việc giải toán còn ở dạng tiềm ẩn, cho nên, việc lýgiải thông qua con đờng dự đoán, mối liên hệ giữa tập hợp các điều kiện hiểnminh, điều kiện tiềm ẩn với các yêu cầu của bài toán Sự khám phá dần các

điều kiện tiềm ẩn cũng chính là quá trình chứng minh, bổ sung hoàn chỉnhhoặc bác bỏ giả thuyết ban đầu, bởi vì nhờ làm sáng rõ các điều kiện tiềm ẩn

đó mà t duy có thể nhìn thấy rõ hơn mối liên hệ thực giữa điều kiện và yêucầu Nó sẽ giúp ta thấy đợc dự đoán khả dĩ nào là đúng hớng và dẫn đợc tớimục đích mà yêu cầu đặt ra

Quá trình lý giải, đối chiếu yêu cầu và điều kiện bài toán trong hoạt

động t duy của con ngời từng bớc sẽ dẫn đến hai khả năng cơ bản:

Khả năng thứ nhất là sự lý giải dần của t duy khi đi từ một bài toán mớilạ về một bài toán quen thuộc đã từng biết rõ cách giải quyết trớc đó Gặp khảnăng này thì t duy hớng vào việc sử dụng con đờng giải quyết bài toán quenthuộc để giải bài toán mới này (tái hiện)

Khả năng thứ hai là khi quá trình lý giải, đối chiếu không dẫn con ngời

đến bất kỳ một tình huống quen thuộc nào; lúc đó con ngời ta không có cáchnào khác là phải hoạt động tìm tòi, khám phá (trong đó sử dụng phơng tiệnchủ yếu là dự đoán, suy luận có lý) mà kết quả t duy đi đến một giải pháphoàn toàn mới mẻ, một sự sáng tạo cha từng có Con đờng thứ hai này rõ ràng

là cực kỳ quan trọng, bởi vì nó đã đem đến cho loài ngời những thành tựutuyệt vời là tạo ra cả thế giới khác hẳn những gì mà thiên nhiên cung cấp sẵncho con ngời, làm phong phú hẳn gia tài văn hóa của xã hội Cũng chính con

đờng thứ hai này đã đa quá trình học tập của học sinh về gần hơn với quá trìnhtìm tòi, phát hiện, khám phá của chính các nhà khoa học

Đối với quá trình dạy học; dự đoán, suy luận có lý nói riêng cũng thỏamãn cao nhất nhu cầu nhận thức vốn có, đem lại niềm vui, hứng thú nhận thứckhông gì sánh bằng M Crugliăc đã nói: "Vai trò của sự tìm tòi trong học tậpcàng lớn bao nhiêu thì kết quả học tập càng cao bấy nhiêu, cả về mặt lĩnh hộitri thức lẫn về mặt phát triển trình độ t duy" (M Crugliăc, …” 1976, tr 84).Theo ông thì "Quá trình dạy học không phải chỉ bao gồm việc giáo viêntruyền thụ tri thức và học sinh ghi nhớ tri thức Tính hiệu quả của việc dạyhọc, đấy không chỉ là kết quả của thông tin mà học sinh thu nhận đợc từ bênngoài (từ lời nói của giáo viên, từ bài vở trong SGK) mà còn là sản phẩm củanhững hành động tìm tòi, của t duy tích cực của bản thân các em" (M.Crugliăc, …” 1976, tr 66).

Dạy học tìm tòi không gì tốt hơn là đa học sinh vào chính cuộc tìm tòi

có hiệu quả của các nhà khoa học, tức là chuyển hóa sự tìm tòi thành phẩmchất cá thể học sinh, tựa nh con đờng mà loài ngời đã đi để khám phá, tìmkiếm và đã vật chất hóa thành các phát minh, phát kiến Trong khoa học, vấn

đề ấy tuy đã đợc giải quyết nhng đối với bản thân học sinh, coi nh các em

"khám phá lại" vấn đề "Lúc này sự chú ý và hứng thú của học sinh không chỉtập trung vào kết quả đạt đợc; vào kết luận đã có sẵn mà còn tập trung vào quátrình, tức tiến trình của t duy dẫn dắt ta đến một kết luận nào đó" (M.Crugliăc, …” 1976, tr 65)

Rõ ràng niềm vui, hứng thú có tác động qua lại với tính tự giác, tích cựcchủ động trong học tập của học sinh; có ảnh hởng rất lớn đến kết quả học tậpcủa học sinh "Nếu tìm thấy niềm vui hứng thú trong một trạng thái tâm lýthoải mái thì học tập sẽ "vào" hơn" (Tài liệu Bồi dỡng giáo viên 2005, tr 2).Theo E P Bronnout thì một niềm hứng thú thực sự biểu hiện ở sự bền bỉ, kiêntrì và sáng tạo trong việc hoàn thành công việc dài hơi Nếu học sinh đợc độclập quan sát, so sánh, phân tích khái quát các sự kiện, hiện tợng thì các em sẽhiểu sâu sắc và hứng thú bộc lộ rõ rệt Hứng thú ở đây là cảm giác ở ngời vừa

tự mình khám phá ra cái mới, tự mình hoàn thành công việc (dẫn theo Tài liệuBồi dỡng giáo viên 2005)

Trong quá trình khám phá, không phải lúc nào chúng ta cũng đi đúng ớng, cũng đa ra đợc những phán đoán đúng Tính đúng, sai của các phán đoáncòn cần phải đợc kiểm nghiệm bằng chứng minh rồi mới khẳng định đợc Nh-

h-ng dù thế nào đi nữa thì dự đoán cũh-ng có vai trò thúc đẩy sự phát triển của

Toán học Trong quá trình phát triển mấy ngàn năm của Toán học, các nhàToán học đã không ngừng đa ra những phán đoán và minh chứng Có nhữngphán đoán cho đến hàng trăm năm sau mới khẳng định đợc, chẳng hạn nh

Định lý Fermat lớn, …” nhng sự cố gắng để đi đến chân lý của các nhà khoahọc đã làm nảy sinh ra nhiều cái mới trong phơng pháp, trong lĩnh vực lýthuyết

Tóm lại, dự đoán, suy luận có lý đóng vai trò quan trọng trong khoa họcToán học Nó "không những đi đến phát hiện và sáng tạo mà còn dẫn đếnthành công" (Đào Văn Trung 2001, tr 243) Vậy phải làm thế nào để học đợc

dự đoán suy luận có lý?

"Ai cũng biết rằng Toán học có khả năng tuyệt diệu dạy ta cách suyluận chứng minh, nhng tôi cũng khẳng định rằng, trong các chơng trình họctập thông thờng của các trờng học, không có môn học nào có khả năng nh vậy

để dạy chúng ta cách suy luận có lý" (G Polia 1995, tr 6)

Cũng theo G Polia thì không có một phơng pháp bảo đảm tuyệt đốiviệc học thông thạo cách dự đoán Cho nên "áp dụng một cách có hiệu quả cácsuy luận có lý là một kỹ năng thực hành, và kỹ năng đó cũng nh mọi kỹ năngthực hành khác đều học đợc bằng con đờng bắt chớc và thực hành" (G.Polia

1995, tr 7) Vì không nêu thành phơng pháp áp dụng cho đại đa số các bàitoán, nên trong quá trình dạy học, giáo viên rèn luyện cho học sinh kỹ năng

dự đoán, suy luận có lý thông qua thực hành giải Toán Chẳng hạn, rèn luyện

kỹ năng đặc biệt hóa qua dạng bài tập tìm quỹ tích, hay để rèn luyện năng lựcquy nạp, thay vì đa ra bài toán ở dạng: chứng minh đẳng thức

12 + 22 + 32 + …” + n2 = n.(n 1).(2n 1)

6

,chúng ta dấu đi một vế của đẳng thức cần chứng minh để cho học sinh thựchành dự đoán, tính tổng S = 12 + 22 + …” + n2

1.6 Đôi điều về sự thay đổi chơng trình và SGK môn Toán theo ớng tập cho học sinh dự đoán, suy luận có lý

h-Trong những năm 70 của thế kỷ này, với xu hớng toàn cầu "hiện đạihóa ở trờng phổ thông", ngời ta coi trọng tính hệ thống, tính khoa học hiện đạicủa môn Toán Lúc đó, ngời ta rất chú trọng suy luận diễn dịch Xem "Hình học

nh là một hệ thống lôgic trong đó mọi điều đều đợc chứng minh, là rất quantrọng để giáo dục thế giới quan khoa học, luôn đòi hỏi sự chứng minh chứ không

phải tuân theo uy quyền" (dẫn theo Hoàng Chúng 2000, tr 8) Thế nhng xu ớng "hiện đại hóa" này thất bại, đến mức có thể coi là "một thảm họa đối vớigiáo dục phổ thông" và xu hớng đó đã đợc điều chỉnh ở mỗi nớc một mức độkhác nhau, nhng nhìn chung phần lớn SGK Toán (ở đây nghiên cứu kỹ hơn vềSGK Hình học lớp 6, 7, 8) đều "có yêu cầu rất thấp về suy luận diễn dịch, nh -

h-ng rất coi trọh-ng phơh-ng pháp quy nạp, vẽ hình, đo đạc, khảo sát hình vẽ, …”."(Hoàng Chúng 2000, tr 13) Chẳng hạn, trong một bộ sách Toán của Cộnghòa Pháp, nội dung Hình học đợc gọi là "thực hành Hình học" ở các lớp đệlục và đệ ngũ, tơng đơng các lớp 6, 7 của Việt Nam, "yêu cầu chủ yếu là vẽhình, đo đạc, luyện tập sử dụng các dụng cụ vẽ và đo, quan sát và mô tả hình,qua đó hiểu đợc và vận dung đợc các khái niệm, rút ra đợc một số tính chấtcủa các hình"

Cuốn sách Hình học không hình thức trình bày Hình học có hệ thống,

với những vấn đề tơng tự SGK Hình học THCS Việt Nam nhng với yêu cầukhác hẳn: chú trọng suy luận quy nạp, thực hành, thí nghiệm trên hình vẽ, xếphình, đo đạc …” qua đó "phát hiện" các định lý, hầu hết các định lý đều khôngphải chứng minh bằng suy diễn Ví dụ nh Định lý về tam giác cân đợc pháthiện qua cách khảo sát bằng gấp hình:

Hay nh SGK Hình học 8 của Australia, chỉ có vài chứng minh đơn giản,còn phần lớn các tính chất của hình đều đợc rút ra qua quan sát và thống kênhiều trờng hợp cụ thể, điển hình nhất có lẽ là SGK Hình học ở trờng trunghọc Mỹ, có giành hẳn một Chơng cho nội dung "Suy luận trong Hình học" vớicác nội dung:

"- Tìm hiểu chứng minh không chính thức;

A

B

CQ

- Giới thiệu lôgic suy luận;

- Tìm hiểu định nghĩa;

- Thừa nhận;

- Liên kết các bớc trong chứng minh;

- Tìm hiểu các phán đoán dẫn đến chứng minh

SGK của Mỹ đợc xây dựng theo kiểu quy nạp, từ một hiện tợng nh đặtvấn đề vào bài học, học sinh học tập bằng các hoạt động Qua hoạt động (cánhân hoặc theo nhóm), học sinh đa ra dự đoán từ đó tiếp cận dẫn đến kiếnthức Không đòi hỏi học sinh suy luận rắc rối Tiêu chí của họ là "lớp họcToán sẽ phải trở thành phòng thí nghiệm của quá trình học tập Toán Trongmôi trờng đó, học sinh thu thập dữ liệu, tìm kiếm mô hình, làm và kiểm tracác dự đoán, giải thích động cơ và kết quả các hoạt động của họ" (dẫn theoPhạm Gia Đức, Phạm Đức Quang 2002, tr 14, 15)

So sánh với SGK Hình học cấp THCS ở Việt Nam, theo Hoàng Chúngthì, SGK Hình học THCS Việt Nam đặt ra yêu cầu chủ yếu là rèn luyện t duylôgic, suy luận diễn dịch cho học sinh Trong các cuốn SGK Hình học từ lớp 6

đến lớp 9, chỉ thấy phần lớn là các hình hình học trừu tợng, các định nghĩa,

định lý và chứng minh Ngay từ lớp 7 đã nêu "cái đích cần đạt là học sinh biếtlập luận có căn cứ" (Nguyễn Gia Cốc, Phạm Gia Đức 1999, tr 3)

Sang đến SGK Hình lớp 8, đợc "biên soạn theo hệ thống chặt chẽ, cónghĩa là:

- Mọi khái niệm đợc sử dụng rộng rãi trong SGK đều đợc định nghĩatránh mô tả trực giác, xuất phát từ những định nghĩa đã biết trớc đó;

- Mọi định lý đều phải đợc chứng minh, xuất phát từ những tính chấtchất đã đợc công nhận và từ những định lý đã biết nhờ phép chứng minh suydiễn" (Nguyễn Văn Bàng 2001, tr 8)

Trên đây là các nhận xét về bộ SGK của những năm 2002 về trớc Thực

tế dạy học những năm ấy "ai cũng thấy yêu cầu về diễn dịch trong môn Hình

ở THCS là quá cao, không phù hợp tâm lý học sinh, học sinh không tiếp thunổi và có tiếp thu đợc điều gì thì cũng chỉ là hình thức, học sinh ít hứng thúvới môn học" (Hoàng Chúng 2000, tr 16)

Khắc phục nội dung nặng nề về suy luận chứng minh, SGK mới đã rútngắn khoảng cách khác biệt giữa SGK Việt Nam với SGK ở phần lớn các nớctrên thế giới Hoạt động của học sinh đợc đặc biệt chú trọng, giảm thiểu tình

trạng nghe giảng thụ động và luyện tập áp dụng một cách máy móc SGK mớichú trọng nhiều đến hoạt động tích cực, t duy của học sinh kết hợp "rèn luyệntừng bớc phơng pháp làm việc và t duy khoa học (quan sát, thực nghiệm, tìmtòi, dự đoán, lập luận có căn cứ, …”.)" (Hoàng Chúng 2000, tr 17) Đơn cử nh

để dẫn đến Định lý "Tổng số đo 3 góc của tam giác bằng 1800", SGK cũ (trớc2002) giới thiệu nội dung Định lý, nêu giả thiết, kết luận của Định lý và trìnhbày cách chứng minh Định lý Nhng SGK mới (xuất bản 2003) lại tiếp cận

Định lý bằng các hoạt động:

1 Vẽ hai tam giác bất kỳ, cho

học sinh dùng thớc đo góc đo ba góc

của mỗi tam giác rồi tính tổng số đo 3

góc của mỗi tam giác, yêu cầu học

sinh nêu nhận xét về các kết quả trên

2 Cho học sinh thực hành cắt một tấm bìa hình tam giác ABC Cắt rờigóc B ra rồi đặt nó kề với góc A, cắt rời góc C ra rồi đặt nó kề với góc A nhhình vẽ Hãy nêu dự đoán về tổng các góc A, B, C của  ABC

Sau đó SGK trình bày nội dung Định lý: tổng 3 góc của một tam giácbằng 1800, nêu giả thiết, kết luận của Định lý và vận dụng Định lý Cách trìnhbày Định lý trên của SGK là đã đi theo con đờng có khâu dự đoán: tạo độngcơ, phát hiện Định lý, chứng minh và vận dụng Định lý Thật vậy:

Hoạt động 1 dựa trên hình ảnh thực tế, thực hành đo đạc trên mô hìnhthực tế, nhằm phát hiện (gần đúng) tổng 3 góc của một tam giác Mục tiêu củahoạt động này là làm cho học sinh nhận thấy rằng, kết quả đo đạc chỉ là gần

đúng, không phải là mọi ngời đều tìm thấy kết quả giống nhau, các kết quảthu đợc đều hội tụ quanh giá trị 1800 Đó là con đờng quy nạp để hình thành

đối tợng, giúp học sinh tiếp cận chân lý một cách tự nhiên, không gò ép, áp

đặt

Hoạt động 2 cũng là một hoạt động thực nghiệm nhằm phát hiện Định

lý Về thực chất đã yêu cầu học sinh "dời" góc đỉnh B đỉnh C đến vị trí kề vớigóc đỉnh A Nhng ở mức độ cao hơn là đã nghiên cứu hình học trong trạngthái vận động Sau khi ghép, quan trọng là học sinh phát hiện ra tổng 3 góc làmột góc bẹt, từ đó dự đoán định lý: A B Cˆ  ˆˆ = 1800 Một khía cạnh khác nữa

là, nếu gợi ý ghép góc đỉnh B, C theo vị trí so le trong sẽ gợi cho học sinhcách chứng minh Định lý ở hoạt động tiếp theo Vậy cách ghép hình cho ta tri

A

thức phơng pháp về chiến lợc chứng minh có tính chất tìm đoán Nhờ hoạt

động 2, học sinh chứng minh đợc Định lý trên bằng cách kẻ thêm đờng phụ(đờng thẳng qua A và song song với BC)

Vậy từ trực giác, nhờ dự đoán, suy luận có lý mà học sinh đã có đợc sự

"bừng sáng" trong t duy Sau đó muốn khẳng định điều dự đoán thì phải sửdụng suy luận chứng minh

Còn sách giáo khoa THPT thì sao?

Cũng nh bộ SGK mới bậc THCS, bộ SGK thí điểm (năm 2004 - 2005)bậc THPT không những cung cấp tri thức cho học sinh, mà còn trình bày rõràng các câu hỏi hớng dẫn, các hoạt động cho các em Cũng cần phải nói thêmrằng, SGK chỉ quy định nội dung chơng trình dạy học, còn tri thức giáo khoamuốn đến đợc với học sinh phải qua sự gia công s phạm của ngời thầy giáo

Sự đổi mới SGK thí điểm cho thấy đã có sự chú trọng đến việc phát huy hoạt

động tích cực của học sinh Xem đó nh là nhiệm vụ mà mỗi giáo viên có tráchnhiệm thực hiện (không nh trớc kia điều đó chỉ có đợc khi ngời giáo viên thực

sự tâm huyết, vì học sinh mà trăn trở cho mỗi bài dạy của mình) Tài liệu Bồi

dỡng giáo viên Chơng trình SGK thí điểm lớp 11 năm 2005 có đề ra:

"Để học sinh tích cực học tập, học sinh cần đợc cuốn hút vào các hoạt

động học tập do giáo viên tổ chức chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phánhững điều mình cha biết, chứ không phải là thụ động tiếp thu những tri thức

đã đợc sắp đặt sẵn, …” Cần đặt học sinh vào tình huống thực tế, trực tiếp quansát, làm thí nghiệm, tham luận, giải quyết vấn đề theo cách riêng của mình"

Thể hiện ý thức đó qua bài dạy "Công thức - nhị thức Newton", SGKchú trọng đến con đờng hình thành tri thức mới cho học sinh Theo Tài liệuBồi dỡng giáo viên dạy Chơng trình SGK lớp 11 thí điểm (phần kiểm tra đánhgiá và bài soạn), giáo viên có nhiệm vụ hớng dẫn học sinh tiếp cận kiến thứcmới bằng con đờng quy nạp:

- Dựa vào số mũ của a, b trong khai triển (a + b)2, (a + b)3 để phát hiện

trờng hợp đặc biệt nh n = 2, n = 3, giáo viên hớng dẫn học sinh đa ra dự đoáncủa mình trong trờng hợp tổng quát (a + b)n, sau đó mới chứng minh và thểchế hóa cho học sinh.

Nh vậy, chơng trình SGK mới đã thể hiện đợc tinh thần phơng pháp dạyhọc mới: Chuyển từ chức năng thông báo, tái hiện sang chức năng tìm tòi Kiếnthức đợc đa đến với học sinh thông qua hoạt động tích cực của họ

1.7 Phân tích vai trò, ý nghĩa của dự đoán, suy luận có lý qua thực tiễn giải Toán

Vai trò của dự đoán, suy luận có lý đã đợc nhà s phạm ngời Mỹ G Polianhấn mạnh trong cuốn sách của ông: "Toán học đợc coi nh là một môn khoahọc chứng minh Tuy nhiên, đó mới chỉ là một khía cạnh của nó Toán họchoàn chỉnh, đợc trình bày dới hình thức hoàn chỉnh xem nh chứng minh thuầntúy, chỉ bao gồm các chứng minh Nhng Toán học trong quá trình hình thànhgợi lại mọi kiến thức khác của nhân loại, bạn phải dự đoán về một định lý củaToán học trớc khi bạn chứng minh nó, bạn phải dự đoán về ý của chứng minhtrớc khi tiến hành chứng minh chi tiết Bạn phải đối chiếu các kết quả quan sát

và suy ra những điều tơng tự Bạn phải thử đi thử lại " (G Polia 1997, tr 6)

Các tác giả của Giáo dục học môn Toán nhận xét: “Trong việc giảng

dạy và học tập môn Toán, việc tách rời giữa suy luận quy nạp và suy diễn lànguyên nhân rất cơ bản của việc kìm hãm sự phát triển t duy sáng tạo của họcsinh” (Phạm Văn Hoàn, 1981, tr 90)

Tuy nhiên, trong việc giảng dạy và học tập môn Toán hiện nay, do chỉchú trọng đến việc truyền thụ kiến thức nên SGK và bài giảng do giáo viênthiết kế đều trình bày cho học sinh những kiến thức toán học ở dạng có sẵn,thờng không rõ ai phát minh vào lúc nào và bằng cách nào; nhiệm vụ của giáoviên thờng là giảng để học sinh hiểu rõ nội dung các kiến thức đó, rồi dùngsuy diễn lôgic để chứng minh chúng, vừa để cho học sinh tin kiến thức đó là

đúng, đồng thời cũng cho họ tập làm quen với chứng minh toán học (NguyễnCảnh Toàn 1992, tr 5)

Nhận xét trên thật không quá chút nào với thực tế dạy học Toán hiệnnay Đành rằng cũng có nhiều giáo viên tâm huyết với nghề, luôn trăn trở để

có các bài giảng sinh động, hiệu quả, nhng bên cạnh đó còn không ít giáo viênvẫn cha cải tiến đợc phơng pháp dạy học của mình Vẫn còn theo kiểu dạy học

cũ - thầy đọc trò chép, truyền thụ một chiều Theo kiểu dạy học này, dờng nh

hoạt động t duy tích cực ở học sinh không đợc phát huy Chẳng hạn đứng trớcbài toán:

Cho 0 < a  1

2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = 2a + 2

1aGiáo viên đa ra cách giải:

Biến đổi S = 2a + 12

a = (a + a + 2 2

)8a 8a

áp dụng BĐT Cauchy cho ba số dơng a, a, 12

Do đó, tri thức mà học sinh lĩnh hội đợc sẽ là sự ghi nhớ một cách máy móc

M Grugliăc cho rằng: "Tri thức và lĩnh hội tri thức không phải là sự ghi lạitrong đầu một cách máy móc tựa nh cuốn phim ảnh Biết một điều gì đấykhông có nghĩa là chỉ lặp một cách phát biểu hay mô tả một hiện tợng hoặcmột sự kiện đã tri giác đợc Một tri thức loại nh vậy chỉ là kết quả của sự rènluyện trí nhớ mà thôi" (M Grugliăc 1977, tr 64)

Để dạy học sinh Bài toán trên, giáo viên phải làm tái hiện lại quá trình

"tìm tòi" lời giải mà mình đã trải qua:

Để tìm GTNN của S, ta phải đánh giá S  A, trong đó A là hằng số và

có tồn tại giá trị của a để cho S = A Nhìn lại những đại lợng có trong giả thiết

17

16

15

14

13

12

5

29

14

27

13

25

12

ấy đợc khẳng định hay bác bỏ tùy thuộc vào ngời giải Toán có đi tiếp đợc đến

"đích" hay không

Nếu nh áp dụng đợc BĐT Cauchy thì dấu "=" xảy ra tại a = 1

2 Lúc đókết hợp dấu "=" trong BĐT ta có:

Cauchy cho ba số a, a, 12

8a Đến đây hớng giải quyết bài toán đã đợc mở ra.Vấn đề còn lại là trình bày lời giải Và tất nhiên, những dự đoán ấy khôngnhất thiết phải trình bày trong bài giải, nhng nếu thiếu những thao tác t duy

ấy, liệu chúng ta có tìm ra đợc lời giải Bài toán hay không?

ở Bài toán trên, S là biểu thức phụ thuộc một tham biến a, đơng nhiên

có thể dùng công cụ đạo hàm để giải, nhng đó không phải là điều mà Luậnvăn này muốn đề cập đến, chúng ta không nhất thiết phải dùng đến công cụ

"mạnh" đến vậy Hơn nữa, chúng ta quan tâm nhiều hơn đến quá trình tìm tòilời giải của học sinh

có ý nghĩa về phơng diện s phạm Theo A A Stoliar: "Dạy Toán là dạy hoạt

động Toán học ở trờng PT, trong môn Toán có nhiều tình huống điển hình,nhng có thể xem giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt động Toán học" (A

A Stoliar 1969, tr 7) Bởi vậy, bản chất của vấn đề là chúng ta cần cho họcsinh đợc thử thách với những bài toán dễ mắc sai lầm; cần phải tiếp xúc vớinhững sai lầm thì mới sửa chữa đợc sai lầm Biện pháp này cũng phù hợp vớiquan điểm của J Piaget: "Chỉ có sự hoạt động đợc giáo viên thờng xuyên định h-ớng và khích lệ, nhng vẫn luôn luôn tự do trong việc mò mẫm và ngay cả trong

những sai lầm, mới có thể đa đến sự độc lập về mặt trí tuệ" (Dẫn theo IREMGRENOBLE) Thông qua sự quan tâm, theo dõi đó, giáo viên sẽ phân loại đợcsai lầm, tiên lợng đợc những sai lầm khi nó bắt đầu xuất hiện Và từ đó dẫndắt học sinh đi theo con đờng tránh các sai lầm Tuy nhiên, dẫn dắt học sinhkhông có nghĩa là thầy giải để trò xem mà có thể là bằng những câu hỏi mangdụng ý s phạm nào đó để ngay trong quá trình tìm tòi lời giải, học sinh cũngthấy đợc rằng kiểu định hớng của mình là không đúng Chẳng hạn, trong bàitoán trên, giáo viên không nên nói ngay rằng "Em đã giải sai", mà hãy cho các

em kiểm tra lời giải bằng các câu đại loại nh "Em có tin chắc lời giải của mình

là đúng không?, S = 6 khi nào?"

Đúng vậy, mấu chốt của bài toán là ở dấu "=" Học sinh trên đã có lýkhi em sử dụng BĐT Cauchy, vì giả thiết của bài toán cho những số dơng,chiều cần đánh giá phù hợp với chiều của BĐT Cauchy Tuy nhiên, còn một

điều cốt yếu nữa mà học sinh này cha xét đến là dấu "="

Do S là một biểu thức đối xứng của a, b, c nên ta dự đoán MinS đạt tại

2 .Qua hai Ví dụ trên đây cũng cho thấy rằng, trong dạy học Toán, cầngiải quyết thỏa đáng cho học sinh những câu hỏi nh: Tại sao lại áp dụng bất

đẳng thức này mà không phải là bất đẳng thức kia? Tại sao lại biến đổi biểuthức theo kiểu này mà không phải là theo kiểu khác? Tại sao lại nghĩ tới việc

kẻ đờng phụ nh vậy?, M Crugliắc cũng có quan điểm tơng tự khi cho rằng:

"Sự lĩnh hội chân chính chỉ có đợc khi nào ngoài hiểu biết về một sự kiện vàcác quy luật của sự kiện ấy, còn hiểu biết rằng vì sao có hiện tợng ấy, cái gìchế ớc nó, trên cơ sở khái quát hóa làm thế nào rút ra đợc những quy luật của

nó, quy luật ấy đợc chứng minh và khẳng định ra sao?" (M Crugliắc 1977, tr.61)

Ngoài ra, cũng cần lu ý đến việc truyền thụ tri thức phơng pháp giải

Toán cho học sinh; chẳng hạn, đối với dạng toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ

nhất, cần lu ý cho học sinh rằng: Khi sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc,

đặc biệt là bất đẳng thức Cauchy và Bunhiakôpxki để tìm GTLN, GTNN, luônphải tính đến việc dấu "=" có xảy ra hay không? Chẳng hạn, đối với trờng hợpbất đẳng thức Cauchy thì ý định sử dụng cho những số nào luôn phải tính đến

điều rằng: Với những điều kiện đã nêu ra trong giả thiết bài toán thì các số ấy

có thể bằng nhau đợc hay không Vì nếu không tính đến điều đó, cuối cùng tanhận đợc bất đẳng thức có chiều "" hay "" nhng thực chất dấu "=" chachắc đã xảy ra.

Một chú ý thứ hai nữa trong dạng toán tìm GTLN, GTNN là phải biếtphối hợp giữa suy diễn và suy đoán (Tất nhiên là, ngoại trừ những bài sử dụngcông cụ đạo hàm, có thể tiến hành theo một quy trình mang tính thuật giải), ý

định áp dụng bất đẳng thức cho những số nào? một phần quan trọng là dựatrên sự dự đoán về kết quả, đặc biệt là với những bài toán trong đó vai trò củacác biến là bình đẳng thì thông thờng không nên bỏ qua điều dự đoán rằng:GTLN, GTNN đạt tại vị trí bình đẳng cho các biến

Bằng phơng pháp tơng tự, có thể cho các em giải các bài toán:

"Chơng trình Hình học, kiến thức về quỹ tích chiếm vị thế tơng đối,

điều này cũng do tác dụng to lớn của nó trong việc rèn luyện t duy toán họcnói riêng và đối với việc rèn luyện t duy linh hoạt nói chung, một phẩm chấtcần thiết cho các hoạt động sáng tạo của con ngời" (Nguyễn Vĩnh Cận 1999).Tuy vậy, cũng phải thừa nhận rằng, đây là dạng toán không dễ với học sinh;

để giải đợc nó đòi hỏi học sinh phải có óc phân tích, khả năng dự đoán, tấtnhiên là cả suy luận chứng minh và biện luận nữa Trong đó mấu chốt của bàigiải lại nằm ở khâu đầu tiên: Phân tích và đoán nhận quỹ tích Chúng ta sẽ làmsáng rõ điều này trong các ví dụ sau:

Ví dụ 3: Cho nửa đờng tròn tâm 0, đờng kính AB = 2R Một điểm M di

chuyển trên nửa đờng tròn, nối AM và đặt trên tia AM một đoạn AN = BM Tìmtập hợp các điểm N

Phân tích: