Về cấu trúc năng lực toán học và việc bồi dưỡng một số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học đại số và giải tích

Më ®Çu Ch­¬ng 1. Tæng quan c¸c quan ®iÓm vÒ cÊu tróc n¨ng lùc to¸n häc 1.1. Kh¸i niÖm n¨ng lùc 1.2. Kh¸i niÖm n¨ng lùc to¸n häc 1.3. C¸c quan ®iÓm vÒ cÊu tróc n¨ng lùc 1.3.1. Quan ®iÓm cña V. A. Krutecxki 1.3.2. Quan ®iÓm cña A. N. K«lm«g«r«v 1.3.3. Quan ®iÓm cña A. I. Marcusªvich 1.3.4. Quan ®iÓm cña X. I. Svacxbuèc 1.3.5. Quan ®iÓm cña B. V. G¬nhedenc« 1.3.6. Quan ®iÓm cña Unesco 1.3.7. Quan ®iÓm cña mét sè t¸c gi¶ kh¸c 1.4. Mét sè nhËn ®Þnh 1.5. KÕt luËn ch­¬ng 1 Ch­¬ng 2. Gãp phÇn båi d­¬ìng mét sè thµnh tè cña n¨ng lùc to¸n häc cho häc sinh trung häc phæ th«ng trong d¹y häc §¹i sè vµ Gi¶i tÝch 2.1. C¸c ®iÓm tùa ®Ó x¸c ®Þnh c¸c n¨ng lùc thµnh tè 2.2. C¸c thµnh tè n¨ng lùc to¸n häc cÇn båi d­¬ìng 2.2.1. N¨ng lùc ph©n chia tr­¬êng hîp 2.2.2. N¨ng lùc suy luËn l«gic 2.2.3. N¨ng lùc kh¸i qu¸t hãa 2.2.4. N¨ng lùc diÔn ®¹t néi dung bµi to¸n theo nh÷ng c¸ch kh¸c nhau 2.3. Gãp phÇn båi d¬­ìng mét sè thµnh tè cña NLTH 2.3.1. Båi d­¬ìng n¨ng lùc ph©n chia tr­¬êng hîp 2.3.2. Båi d¬­ìng n¨ng lùc suy luËn l«gic 2.3.3. Båi d­ìng n¨ng lùc kh¸i qu¸t hãa 2.3.4. Båi d¬­ìng n¨ng lùc diÔn ®¹t néi dung bµi to¸n theo nh÷ng c¸ch kh¸c nhau 2.4. KÕt luËn ch­¬¬ng 2 Ch­¬ng 3. Thùc nghiÖm s­¬ ph¹m 3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 3.2. Tæ chøc vµ néi dung thùc nghiÖm 3.2.1. Tæ chøc thùc nghiÖm 3.2.2. Néi dung thùc nghiÖm 3.3. §¸nh gi¸ kÕt qu¶ thùc nghiÖm 3.3.1. §¸nh gi¸ ®Þnh tÝnh 3.3.2. §¸nh gi¸ ®Þnh l­¬îng 3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm KÕt luËn Tµi liÖu tham kh¶o Trang 1 5 5 6 7 7 10 11 12 12 12 13 14 16 17 17 17 17 24 31 41 48 48 56 70 87 95 96 96 96 96 96 99 99 100 101 102 103

Bộ giáo dục và đào tạo

trờng đại học vinh

Về cấu trúc năng lực toán học và việc bồi dỡng một số thành tố năng lực toán học cho học

sinh TRUNG HọC phổ thông trong dạy học

1.2 Khái niệm năng lực toán học

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực

1.3.1 Quan điểm của V A Krutecxki

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv

1.3.3 Quan điểm của A I Marcusêvich

1.3.4 Quan điểm của X I Svacxbuốc

1.3.5 Quan điểm của B V Gơnhedencô

1.3.6 Quan điểm của Unesco

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác

1.4 Một số nhận định

1.5 Kết luận chơng 1

Chơng 2 Góp phần bồi dỡng một số thành tố

của năng lực toán học cho học sinh trung học

phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích

2.1 Các điểm tựa để xác định các năng lực

thành tố

2.2 Các thành tố năng lực toán học cần bồi dỡng

2.2.1 Năng lực phân chia trờng hợp

2.2.2 Năng lực suy luận lôgic

2.2.3 Năng lực khái quát hóa

Tran g

15

5677101112121213141617

171717

2.2.4 Năng lực diễn đạt nội dung bài toán

theo những cách khác nhau

2.3 Góp phần bồi dỡng một số thành tố của

NLTH

2.3.1 Bồi dỡng năng lực phân chia trờng hợp

2.3.2 Bồi dỡng năng lực suy luận lôgic

2.3.3 Bồi dỡng năng lực khái quát hóa

2.3.4 Bồi dỡng năng lực diễn đạt nội dung

bài toán theo những cách khác nhau

3.2.2 Nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

48485670

87

9596969696969999100101102

103

Quy ớc về các chữ viết tắt

sử dụng trong luận văn

Viết tắt Viết đầy đủ

và phát triển thông qua hoạt động, trong đó hoạt động học

tập có ý nghĩa quan trọng hàng đầu Yêu cầu then chốt đó

đã đợc phản ánh trong phần mục tiêu của nền giáo dục Dovậy, mục tiêu giáo dục trớc hết phải là năng lực suy nghĩ,năng lực hành động của ngời học Năng lực này đợc pháttriển trên nền tảng một hệ thống kiến thức cơ bản, vững

chắc Mặt khác, năng lực cá nhân không tự phát triển mà

nền giáo dục có trách nhiệm phát hiện và góp phần pháttriển năng lực đó Nói một cách khác, năng lực đợc hình

thành qua các biện pháp phát hiện và nuôi dỡng nó của bản

thân ngành giáo dục nói riêng và toàn xã hội nói chung Vềphía cá nhân, mỗi ngời phải học tập suốt đời; thời gian họctập ở nhà trờng thì có hạn mà kiến thức cần có (dù là tốithiểu) lại tăng lên không ngừng, điều quan trọng là năng lựccủa chính họ đợc bồi dỡng một cách thờng xuyên và liên tục

thông qua từng môn học cụ thể (Trần Kiều, Thông tin khoa

học giáo dục, số 48/1995).

Việc phát triển năng lực toán học ở HS là một nhiệm vụ

đặc biệt quan trọng của thầy giáo vì hai lý do: Thứ nhất,

Toán học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của cácngành khoa học, kỹ thuật; sự nghiệp cách mạng cần thiết có

một đội ngũ những ngời có năng lực toán học Thứ hai, nh

Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần IV đã ghi rõ:

“Trên cơ sở những đòi hỏi tất yếu của cộng đồng của quyềnlàm chủ tập thể phải bảo đảm sự phát triển phong phú củanhân cách, bồi dỡng và phát huy sở trờng và năng khiếu củacá nhân” Nhà trờng là nơi cung cấp cho HS những cơ sở

đầu tiên của Toán học, không ai khác chính thầy giáo lànhững ngời hoặc chăm sóc, vun xới cho những mầm mốngnăng khiếu Toán học của HS, hoặc làm thui chột chúng [26,

tr 130]

Bồi dỡng năng lực toán học cho HS là một vấn đề thu hút

sự quan tâm của các nhà Toán học, các nhà khoa học giáodục, các giáo viên dạy Toán ở nhiều nớc trên thế giới, kể cả Việt

Nam Tuy nhiên, cho đến nay vẫn cha có đợc định nghĩa

thống nhất về năng lực nói chung và năng lực toán học nói riêng Có rất nhiều ý kiến khác nhau đề cập tới những thành

tố của năng lực toán học mà trong số đó có nhiều tác giả nổitiếng chẳng hạn nh V A Krutecxki, A N Kôlmôgôrôv, A I.Marcusêvich, B V Gơnhedencô,

Chơng trình Đại số và Giải tích ở trờng THPT có nhiềutiềm năng thuận lợi cho việc bồi dỡng một số thành tố củanăng lực toán học, bởi vì, Đại số và Giải tích có nhiều chủ đề

mà trong đó nổi bật lên một số kĩ năng trong quá trình giảiquyết nó

Đã có những công trình đề cập đến bồi dỡng năng lực

toán học, chẳng hạn Luận án "Xây dựng hệ thống bài tập số

học nhằm bồi dỡng một số yếu tố năng lực toán học cho học sinh khá, giỏi đầu cấp THCS" của Trần Đình Châu, nhng

công trình này chỉ chủ yếu nói về cách thức xây dựng hệ

thống bài tập nhằm bồi dỡng một số yếu tố năng lực toán học

cho HS đầu cấp THCS trong dạy học Số học Đến nay, vẫn cha

có một công trình nào nghiên cứu việc bồi dỡng năng lực toánhọc cho HS trung học phổ thông

Vì những lý do trên đây mà chúng tôi chọn đề tài

nghiên cứu của Luận văn là: “Về cấu trúc năng lực toán

học và việc bồi dỡng một số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích”.

2 mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận văn là nghiên cứu việc bồi dỡng một

số thành tố năng lực toán học cho HS trung học phổ thôngtrong dạy học Đại số và Giải tích

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận văn có nhiệm vụ giải đáp các câu hỏi khoa học sau:3.1 Có những quan điểm nào về cấu trúc của năng lựctoán học?

3.2 Từ việc tổng hợp các quan điểm nói ở 3.1, sẽ chọn ramột số thành tố nào để bồi dỡng cho HS trung học phổthông trong dạy học Đại số và Giải tích?

3.3 Những căn cứ nào làm cơ sở để chọn lọc các thành

tố mà ta sẽ xem xét vấn đề bồi dỡng?

3.4 Những biện pháp nào sẽ đợc sử dụng để bồi dỡng cácthành tố đó?

3.5 Thực nghiệm s phạm

4 Phơng pháp nghiên cứu

Luận văn sử dụng các phơng pháp sau đây trong quátrình nghiên cứu:

4.1 Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu

về các vấn đề liên quan đến đề tài Luận văn

4.2 Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực toán học củahọc sinh trung học phổ thông trong môn Đại số và Giải tích.4.3 Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm

để xem xét tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp sphạm đã đề xuất

5 Giả thuyết khoa học

Nếu dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn thì có thể

xác định đợc một số thành tố năng lực toán học cần phải bồi

dỡng; đồng thời, nếu xác định đợc một số biện pháp s phạm thích hợp thì có thể góp phần bồi dỡng cho HS trung học

phổ thông những thành tố này trong quá trình dạy Đại số vàGiải tích

6 Đóng góp của luận văn

6.1 Góp phần làm rõ thêm về sơ đồ cấu trúc năng lựctoán học của học sinh;

6.2 Đã nêu lên đợc những khó khăn, những sai lầm phổbiến của học sinh khi đứng trớc các vấn đề toán học – màviệc giải quyết các vấn đề đó đòi hỏi một sự thể hiện vềcác năng lực thành tố toán học;

6.3 Đa ra đợc những biện pháp s phạm nhằm góp phầnphát triển bốn năng lực thành tố cho học sinh THPT trong dạyhọc môn Đại số và Giải tích;

6.4 Luận văn có thể đợc sử dụng làm tài liệu tham khảocho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạyhọc môn Toán ở trờng trung học phổ thông

7 cấu trúc của luận văn

Luận văn, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu thamkhảo, có 3 chơng:

Chơng 1: Tổng quan các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.1 Khái niệm năng lực

1.2 Khái niệm năng lực toán học

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.4 Một số nhận định

1.5 Kết luận Chơng 1

Chơng 2: Góp phần bồi dỡng một số thành tố năng lực toán học cho học sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giải tích

2.1 Các điểm tựa để xác định các thành tố

2.2 Các thành tố năng lực cần bồi dỡng cho học sinh

2.3 Góp phần bồi dỡng một số thành tố của năng lực toánhọc

2.4 Kết luận chơng 2

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận

Chơng 1

Tổng quan các quan điểm

về cấu trúc của năng lực toán học1.1 Khái niệm năng lực

Kết quả nghiên cứu của các công trình tâm lý học vàgiáo dục học cho thấy, từ nền tảng là các khả năng ban đầu,

trẻ em bớc vào hoạt động Qua quá trình hoạt động mà dần

hình thành cho mình những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo cần

thiết và ngày càng phong phú, rồi từ đó nảy sinh những khảnăng mới với mức độ mới cao hơn Đến một lúc nào đó, trẻ em

đủ khả năng bên trong để giải quyết những hoạt động ởnhững yêu cầu khác xuất hiện trong học tập và cuộc sốngthì lúc đó học sinh sẽ có đợc một năng lực nhất định Dới

đây là một số cách hiểu về năng lực:

+) Định nghĩa 1: Năng lực là phẩm chất tâm lý tạo ra cho

con ngời khả năng hoàn thành một loại hoạt động nào đó vớichất lợng cao [56]

+) Định nghĩa 2: Năng lực là một tổ hợp những đặc

điểm tâm lý của con ngời, đáp ứng đợc yêu cầu của mộthoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành có kết quả một số hoạt động nào đó [1]

+) Định nghĩa 3: Năng lực là những đặc điểm cá nhân

của con ngời đáp ứng yêu cầu của một loại hoạt động nhất

định và là điều kiện cần thiết để hoàn thành xuất sắcmột số loại hoạt động nào đó (Dẫn theo[2])

Nh vậy, cả ba định nghĩa đó đều có điểm chung là:

năng lực chỉ nảy sinh và quan sát đợc trong hoạt động giải

quyết những yêu cầu mới mẽ, và do đó nó gắn liền với tính

sáng tạo, tuy nó có khác nhau về mức độ (định nghĩa 3gắn với mức độ hoàn thành xuất sắc).

Mọi năng lực của con ngời đợc biểu lộ ở những tiêu chícơ bản nh tính dễ dàng, nhẹ nhàng, linh hoạt, thông minh,tính nhanh nhẹn, hợp lý, sáng tạo và độc đáo trong giảiquyết nhiệm vụ

Phần lớn các công trình nghiên cứu tâm lý học và giáodục học đều thừa nhận rằng con ngời có những năng lựckhác nhau vì có những tố chất riêng, tức là sự thừa nhận sựtồn tại của những tố chất tự nhiên của cá nhân thuận lợi cho

sự hình thành và phát triển của những năng lực khác nhau

1.2 Khái niệm năng lực toán học

Theo V A Krutecxki [33, tr 13] năng lực toán học đợchiểu theo 2 ý nghĩa, 2 mức độ:

Một là, theo ý nghĩa năng lực học tập (tái tạo) tức là năng

lực đối với việc học Toán, đối với việc nắm giáo trình Toánhọc ở trờng phổ thông, nắm một cách nhanh và tốt các kiếnthức, kỹ năng, kỹ xảo tơng ứng

Hai là, theo ý nghĩa năng lực sáng tạo (khoa học), tức là

năng lực hoạt động sáng tạo Toán học, tạo ra những kết quảmới, khách quan có giá trị lớn đối với xã hội loài ngời

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó không có một

sự ngăn cách tuyệt đối Nói đến năng lực học tập Toán khôngphải là không đề cập tới năng lực sáng tạo Có nhiều em họcsinh có năng lực, đã nắm giáo trình Toán học một cách độc

lập và sáng tạo, đã tự đặt và giải các bài toán không phức tạp

lắm; đã tự tìm ra các con đờng, các phơng pháp sáng tạo

để chứng minh các định lý, độc lập suy ra các công thức, tự tìm ra các phơng pháp giải độc đáo những bài toán không mẫu mực

Với mức độ học sinh trung bình và khá, Luận văn chỉ chủyếu tiếp cận NLTH theo góc độ thứ nhất (năng lực học Toán).Sau đây là một số định nghĩa về NLTH:

Định nghĩa 1: Năng lực học tập Toán học là các đặc

điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là các đặc điểm hoạt độngtrí tuệ) đáp ứng yêu cầu hoạt động toán học và giúp choviệc nắm giáo trình Toán một cách sáng tạo, giúp cho việcnắm một cách tơng đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc kiếnthức, kỹ năng và kỹ xảo toán học [33, tr 14]

Định nghĩa 2: Những năng lực học Toán đợc hiểu là

kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vực Toán học [26, tr 126]

Nói đến HS có năng lực toán học là nói đến HS có tríthông minh trong việc học Toán Tất cả mọi HS đều có khảnăng và phải nắm đợc chơng trình trung học, nhng các khảnăng đó khác nhau từ HS này qua HS khác Các khả năng nàykhông phải cố định, không thay đổi: Các năng lực này

không phải nhất thành bất biến mà hình thành và phát triển

trong quá trình học tập, luyện tập để nắm đợc hoạt động

tơng ứng; vì vậy, cần nghiên cứu để nắm đợc bản chất củanăng lực và các con đờng hình thành, phát triển, hoàn thiệnnăng lực.

Tuy nhiên, ở mỗi ngời cũng có khác nhau về mức độ NLTH

Do vậy, trong dạy học Toán, vấn đề quan trọng là chọn lựa

nội dung và phơng pháp thích hợp để sao cho mọi đối tợng

HS đều đợc nâng cao dần về mặt NLTH Về vấn đề này

nhà Toán học Xôviết nổi tiếng, Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv chorằng: “Năng lực bình thờng của HS trung học đủ để cho các

em đó tiếp thu, nắm đợc Toán học trong trờng trung học với

sự hớng dẫn tốt của thầy giáo hay với sách tốt”

1.3 Các quan điểm về cấu trúc năng lực toán học

1.3.1 Quan điểm của V A Krutecxki

V A Krutecxki – nguyên Phó Viện trởng Viện nghiên cứuTâm lý học thuộc Viện Hàn lâm khoa học giáo dục Liên Xô tr-

ớc đây, đã nghiên cứu tâm lý năng lực toán học với công

trình đồ sộ “Tâm lý năng lực toán học” – Luận án Tiến sĩ

của ông đợc Hội đồng bác học Liên Xô đánh giá rất cao Côngtrình là kết quả của việc nghiên cứu lý luận và thực tiễn, cótiến hành thực nghiệm hết sức công phu, đợc tiến hành từnăm 1955 đến 1968 Ông đã nghiên cứu sâu sắc về mặt lý

luận, tham khảo hơn 747 tài liệu trong và ngoài nớc Về

mặt thực tiễn, Ông đã quan sát tự nhiên; theo dõi sự phát

triển của HS có năng khiếu về Toán; thực nghiệm trên 157 HSgiỏi, trung bình và kém; nghiên cứu tình trạng học tập (quatài liệu) về các bộ môn của khoảng 1000 HS từ lớp VII đến lớp

X; tiến hành tọa đàm với 62 giáo viên dạy Toán; phỏng vấnbằng giấy đối với 56 giáo viên Toán; phỏng vấn bằng giấy đốivới 21 nhà Toán học; nghiên cứu và phân tích tiểu sử của 84nhà toán học và vật lý học nổi tiếng trong và ngoài nớc Chính vì độ tin cậy trên về những kết luận khoa học của V.

A Krutecxki nên Luận văn sẽ kế thừa kết quả và là điểm tựaquan trọng về cơ sở khoa học của đề tài

Kết quả chủ yếu và quan trọng nhất là Ông đã chỉ ra cấu

trúc năng lực toán học của học sinh bao gồm những thành

phần sau (dựa theo quan điểm của Lý thuyết thông tin):

* Về mặt thu nhận thông tin toán học

Đó là năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu Toán học, năng lực nắm cấu trúc hình thức của bài toán.

* Về mặt chế biến thông tin toán học

1) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng

và không gian, hệ thống ký hiệu số và dấu Năng lực t duy bằng các ký hiệu toán học;

2) Năng lực khái quát hóa nhanh và rộng các đối tợng, quan hệ toán học và các phép toán;

3) Năng lực rút gọn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phép toán tơng ứng Năng lực t duy bằng các cấu trúc rút gọn;

4) Tính linh hoạt của quá trình t duy trong hoạt động toán học;

5) Khuynh hớng vơn tới tính rõ ràng đơn giản, tiết kiệm, hợp lý của lời giải;

6) Năng lực nhanh chóng và dễ dàng sửa lại phơng hớng của quá trình t duy, năng lực chuyển từ tiến trình t duy thuận sang tiến trình t duy đảo (trong suy luận toán học).

Khuynh hớng toán học của trí tuệ.

Các thành phần nêu ở trên có quan hệ mật thiết lẫn nhau,

ảnh hởng lẫn nhau và hợp thành hệ thống định nghĩa mộtcấu trúc toàn vẹn của năng lực toán học

Sơ đồ triển khai của cấu trúc NLTH có thể đợc biểu thịbằng một công thức khác, cô đọng hơn: Năng lực toán học đ-

ợc đặc trng bởi t duy khái quát, gọn, tắt và linh hoạt tronglĩnh vực các quan hệ toán học, hệ thống ký hiệu số và dấu,

và bởi khuynh hớng toán học của trí tuệ [33, tr 170]

Cùng với cấu trúc nói trên, V A Krutecxki cũng đa ranhững gợi ý về phơng pháp bồi dỡng NLTH cho HS

Nghiên cứu quan điểm của V A Krutecxki về năng lựctoán học, có thể thấy một số vấn đề quan trọng sau:

+) Về mặt lý luận

1) Theo V A Krutecxki thì nói đến HS có NLTH là nói

đến HS có trí thông minh trong việc học toán;

2) Vấn đề năng lực chính là vấn đề khác biệt cá nhân.

Khi nói về năng lực tức là giả định rằng có sự khác biệt vềnhững mặt nào đó giữa các cá nhân, chẳng hạn về NLTH

Điều quan trọng năng lực không chỉ là bẩm sinh mà còn đợcphát sinh và phát triển trong hoạt động, trong đời sống củamỗi cá nhân;

3) Khi nói đến năng lực tức là nói đến năng lực trongmột loại hoạt động nhất định của con ngời Năng lực toánhọc cũng vậy, nó chỉ tồn tại trong hoạt động toán học và chỉtrên cơ sở phân tích hoạt động toán học mới thấy đợc biểuhiện của năng lực toán học;

4) Hiệu quả hoạt động trong một lĩnh vực nào đó của

con ngời thờng phụ thuộc vào một tổ hợp năng lực Kết quả

học tập Toán cũng không nằm ngoài quy luật đó, ngoài ra cònphụ thuộc vào một số yếu tố khác, chẳng hạn niềm say mê,thái độ chăm chỉ trong học tập, sự khuyến khích hỗ trợ củagiáo viên, của gia đình và xã hội

* Về mặt thực tiễn

1) Trong lĩnh vực đào tạo con ngời phải nghiên cứu NLcủa mỗi ngời trong lĩnh vực đào tạo, phải biết những phơngpháp tốt nhất để bồi dỡng năng lực đó;

2) Năng lực toán học là năng lực tạo thành các mối liên ởng khái quát, tắt, linh hoạt, ngợc và hệ thống của chúng dựatrên tài liệu toán học Các năng lực đã nêu biểu hiện với cácmức độ khác nhau ở các em HS giỏi, trung bình, kém ở các

t-em năng khiếu và giỏi thì các mối liên tởng đó đợc tạo thànhngay tức khắc sau một số ít bài tập, ở các em trung bìnhthì muốn hình thành các mối liên tởng phải cần cả một hệthống bài tập và phải có sự rèn luyện

1.3.2 Quan điểm của A N Kôlmôgôrôv

Trong cuốn sách Về nghề nghiệp của nhà Toán học, A N.

Kôlmôgôrôv đã chỉ ra rằng, năng lực ghi nhớ máy móc một sốlợng lớn các sự kiện, công thức, cộng và nhân nhẩm hàng dãydài các số có nhiều chữ số không quan hệ đến NLTH Trongthành phần các năng lực toán học, ông nêu ra:

1) Năng lực biến đổi thành thạo các biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìm kiếm các cách hay để giải các phơng trình không phù hợp với qui tắc giải thông thờng, hoặc nh các nhà Toán học gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôrit”; 2) Trí tởng tợng hình học hoặc “trực giác hình học”; 3) Nghệ thuật suy luận lôgic, đợc phân nhỏ hợp lý, tuần

tự Có thể nói rằng tiêu chuẩn của sự trởng thành lôgic cần thiết cho nhà Toán học là hiểu nguyên nhân quy nạp toán học

1.3.3 Quan điểm của A I Marcusêvich

Viện sĩ A I Marcusêvich đã chỉ ra 6 phẩm chất sau

đây của trí tuệ và tính cách cần đợc giáo dục cùng với việcdạy Toán:

1) Có kỹ năng biết tách ra cái bản chất của vấn đề và loại

bỏ các chi tiết không cơ bản (kỹ năng trừu tợng hoá);

2) Kỹ năng xây dựng đợc sơ đồ của hiện tợng sao cho trong đó chỉ giữ lại những gì cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học, đó chính là các quan hệ thuộc,

5) Kỹ năng vận dụng các kết quả rút ra đợc từ các suy luận lý thuyết cho các vấn đề cụ thể và đối chiếu các kết quả đó với các kết quả dự kiến, kỹ năng đánh giá ảnh hởng của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả;

6) Khái quát hoá các kết quả nhận đợc và đặt ra những vấn đề mới ở dạng khái quát.

1.3.4 Quan điểm của X I Svacxbuốc

X I Svacxbuốc sau khi khái quát hoá ý kiến của các nhàToán học, đã nghiên cứu các yếu tố sau đây trong sự pháttriển Toán học:

1) Các biểu tợng không gian;

2) T duy trừu tợng;

3) Chuyển thành sơ đồ toán học;

4) T duy suy diễn;

5) Phân tích, xem xét các trờng hợp riêng;

6) áp dụng các kết luận;

7) Tính phê phán;

8) Ngôn ngữ toán học;

9) Kiên trì khi giải toán.

1.3.5 Quan điểm của B V Gơnhedencô

Viện sĩ B V Gơnhedencô trong một loạt bài báo đăng

trên Tạp chí “Toán học trong nhà trờng” trong các năm từ

1962 đến 1965 đã đa ra các tính chất sau đây của t duytoán học:

1) Năng lực nhìn thấy đợc tính không rõ ràng của suy luận, thấy đợc sự thiếu vắng các mắt xích cần thiết của chứng minh;

2) Có thói quen lý giải lôgic một cách đầy đủ;

3) Chia nhỏ một cách rõ ràng tiến trình suy luận;

4) Sự cô đọng;

5) Sự chính xác của kí hiệu.

1.3.6 Quan điểm của UNESCO

Theo quan điểm của Tổ chức UNESCO thì 10 yếu tố cơbản của NLTH đó là:

1) Năng lực phát biểu và tái hiện định nghĩa, kí hiệu, các phép toán và các khái niệm;

2) Năng lực tính nhanh, cẩn thận, và sử dụng các kí hiệu; 3) Năng lực dịch chuyển dữ kiện kí hiệu;

4) Năng lực biểu diễn dữ kiện bằng các kí hiệu;

5) Năng lực theo dõi một hớng suy luận hay chứng minh; 6) Năng lực xây dựng một chứng minh;

7) Năng lực áp dụng quan niệm cho bài toán toán học; 8) Năng lực áp dụng cho bài toán không toán học;

9) Năng lực phân tích bài toán và xác định các phép toán có thể áp dụng;

10) Năng lực tìm cách khái quát hoá toán học.

1.3.7 Quan điểm của một số tác giả khác

1.3.7.1 Quan điểm của E L Thorndike

So với các tác giả đề cập ở trên, khi nghiên cứu về nănglực toán học của học sinh, E L Thorndike đã đi sâu vào lĩnhvực Đại số Theo E L Thorndike, những thành tố của năng lực

1.3.7.2 Quan điểm của G Tômac

G Tômac đa ra cấu trúc năng lực toán học bao gồm cácthành tố sau:

1.3.7.3 Quan điểm của Pellery

1) Nhìn thấy những quan hệ, những điều cần phải phân biệt (chẳng hạn giả thiết và kết luận);

2) Lu trữ và dịch chuyển (qua lời, đồ thị và kí hiệu); 3) Năng lực theo dõi một số hớng suy luận;

4) Năng lực hiểu bài toán;

5) Năng lực theo dõi những con đờng giải toán;

6) Khái quát hoá, mở rộng bằng tơng tự Tìm một mô hình thích hợp (trong các mô hình đã biết);

7) Xây dựng một mô hình toán học có thể giải bài toán; 8) Xây dựng một thuật toán để giải toán.

1.4 Một số nhận định

ở Mục 1.3 chúng tôi đã trình bày các quan điểm về cấutrúc năng lực toán học của HS của các nhà khoa học khácnhau Xem xét, so sánh các quan điểm chúng tôi nhận ra

giữa các quan điểm đều có chung một số thành tố năng lực

toán học (có thể cách diễn đạt ở mỗi quan điểm có khác

nhau) Chẳng hạn, năng lực phân chia trờng hợp riêng đều có

trong các quan điểm của A N Kôlmôgôrôv, X I Svacxbuốc,

B V Gơnhedencô, ; năng lực suy luận lôgic có trong quan

điểm của V A Krutecxki, A N Kôlmôgôrôv, X I Svacxbuốc,

B V Gơnhedencô, .; năng lực khái quát hóa có trong các quan điểm của V A Krutecxki, A I Marcusêvich, , năng lực

diễn đạt các vấn đề toán học theo những cách khác nhau có

trong quan điểm của X I Svacxbuốc, Pellery, …

Tuy nhiên, giữa các quan điểm vẫn có những thành tốnăng lực cha thống nhất hoặc có những quan điểm vẫn cha

thể đa ra đầy đủ các thành tố trong cấu trúc năng lực toánhọc của HS Chẳng hạn, năng lực khái quát hoá theo V A.Krutecxki là một trong những năng lực cơ bản trong cấu trúcnăng lực toán học, đó là năng lực khái quát hoá các đối tợng,quan hệ toán học và các phép toán; Ông cũng cho rằng nănglực khái quát hóa tài liệu toán học là năng lực đặc thù Nhngkhi đa ra cấu trúc năng lực toán học của HS, Viện sĩ A I.Marcusêvich lại không đề cập năng lực khái quát hoá mà chỉ

coi trọng năng lực trừu tợng hoá (kỹ năng biết tách ra cái bản

chất của vấn đề và loại bỏ các chi tiết không cơ bản)

Mặt khác, khi bắt đầu quá trình t duy và trong mỗi lầnchuyển hớng tơng tự, thờng phải đánh giá tình huống vớimục đích lựa chọn một tìm tòi hợp lý hơn Trong các tìnhhuống toán học hoàn toàn mới mà kinh nghiệm không có đủ

để giải quyết, lúc này vai trò chính lại là trực giác toán học,

sự nhạy bén của t duy, năng lực dự đoán phơng hớng tìmkiếm có thể đa đến mục đích Mặc dù, trực giác toán họccho đến nay vẫn còn ít đợc nghiên cứu (cũng nh bản chất,cơ chế của quá trình t duy nói chung) nhng sự tồn tại của nó

đã đợc khẳng định bởi các nhà Toán học vĩ đại có kinhnghiệm sáng tạo khoa học cũng nh các nhà S phạm Toán cónhiều kinh nghiệm và đã có thời gian dài theo dõi t duy củacác em HS có năng lực về Toán Chẳng hạn, nhà toán họcPháp vĩ đại A Poăngcarê thừa nhận có tính đặc thù của

năng lực sáng tạo toán học và đã chỉ ra thành phần quan

trọng nhất của chúng là trực giác toán học; trong sơ đồ cấu

trúc về năng lực toán học của HS của Viện sĩ A N

Kôlmôgôrôv cũng đã nói về trực giác nhng trực giác theo mộtnghĩa hẹp (trực giác hình học) Nhng trên thực tế, nh chúng

ta đã biết trực giác có thể mang tính lôgic ở đây, trực giác

toán học cần đợc coi nh một năng lực phức hợp đoán định

tr-ớc các kết quả mà cách thức dẫn đến mục đích của t duy

sáng tạo trong lĩnh vực Toán học T duy lôgic không tham giatrực tiếp vào hành động trực giác (vai trò của nó cha nhậnthức đợc), nhng nhất thiết sau đó nó phải đợc lôi cuốn vào

để kiểm tra tính đúng đắn của dự đoán trực giác; G.Tômac cũng rất coi trọng vai trò của trực giác trong việc sángtạo Toán học Vì vậy, trực giác toán học không chỉ là nhân tố

phức hợp quan trọng nhất trong năng lực sáng tạo khoa học mà

nó cần phải có trong thành phần sơ đồ khái quát của cấutrúc năng lực toán học

1.5 Kết luận chơng 1

Trong Chơng I, Luận văn trình bày một số cách hiểu vềkhái niệm năng lực toán học và các quan điểm về nhữngthành phần của năng lực toán học của một số nhà khoa học

Sự so sánh, đối chiếu các quan điểm đã cho thấy rằng,

đến nay vẫn cha có một quan điểm thống nhất về nhữngthành tố của năng lực toán học Có rất nhiều quan điểm, mỗiquan điểm nhấn mạnh một số loại thành tố nào đó, mỗi quan

điểm đều có những nét hợp lý riêng khi ta đối chiếu với mộtbậc học nào đó (chẳng hạn, V A Krutecxki thì thiên về cácgiai đoạn cơ bản của việc giải bài tập của HS cấp I hoặc cấpII)

Chơng 2 Góp phần bồi dỡng một số thành tố của năng lựctoán học cho học sinh trung học phổ thông

trong dạy học Đại số và Giải tích 2.1 Các điểm tựa để xác định các năng lực thành tố

Để xác định đợc các năng lực thành tố cần bồi dỡng chohọc sinh trung học phổ thông trong dạy học Đại số và Giảitích, chúng tôi dựa vào các điểm tựa sau:

- Những thành tố đa ra phải thực sự có ý nghĩa đối vớidạy học Đại số và Giải tích ở trờng trung học phổ thông;

- Chơng trình Đại số và Giải tích có nhiều tiềm năng đểbồi dỡng các năng lực thành tố đó;

- Các năng lực thành tố phải xuất hiện trong những quan

điểm của các nhà khoa học;

- Trong thực tiễn học Toán, học sinh còn có những hạn chế

về những năng lực thành tố này

2.2 Các thành tố năng lực toán học cần bồi dỡng cho học sinh

2.2.1 Năng lực phân chia trờng hợp

2.2.1.1 Trong việc trình bày lý thuyết, hệ thống hoá các

kiến thức, cũng nh khi giải toán biện luận, ta cần phảiphân chia một khái niệm

Trong lôgic học, ngời ta quan niệm: “Phân chia khái niệm

là thao tác lôgic, chia các đối tợng thuộc ngoại diên khái niệmcần phải phân chia thành các nhóm theo những tiêu chuẩnnhất định” [45, tr 72]

Nói cách khác, phân chia một khái niệm tức là đem ngoại

diên của khái niệm ấy chia thành nhiều bộ phận [11, tr 141]

Phân loại là phân chia một tập hợp đối tợng cho trớc

thành những tập hợp con, dựa trên cơ sở một dấu hiệu chung

Giữa phân chia khái niệm và phân loại thờng không có

sự phân biệt rõ ràng, ngời ta thờng dùng phân loại theonghĩa phân chia khái niệm

Việc phân chia, phân loại phải tuân theo một số quytắc nhất định:

+ Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không bỏ sót;+ Sự phân chia (phân loại) không trùng lặp;

+ Cùng một lúc không đợc đa vào nhiều dấu hiệu khácnhau để phân chia (phân loại);

+ Phân chia phải liên tục [45, tr 141]

2.2.1.2 Trong môn Toán THPT, nói riêng trong môn Đại số

và Giải tích, có nhiều tình huống liên quan đến việc phân

chia và xem xét các trờng hợp riêng Chẳng hạn:

- Lớp các bài toán giải và biện luận phơng trình, hệ

ph-ơng trình, hệ bất phph-ơng trình có chứa tham số;

- Lớp các bài toán tìm điều kiện của tham số để một

ph-ơng trình hoặc bất phph-ơng trình, hệ phph-ơng trình, hệ bất phơng trình (chứa tham số) thỏa mãn một yêu cầu nào đó

- Lớp các bài toán tích phân liên quan đến việc chọn cận trung gian;

- Lớp các bài toán về đại số tổ hợp

Trong khi ở trờng THCS học sinh chủ yếu làm việc với

ph-ơng trình, bất phph-ơng trình, hệ phph-ơng trình, hệ bất phph-ơng

trình với hệ số bằng số thì ở các lớp THPT, đi sâu vào những phơng trình, bất phơng trình hệ phơng trình có

chứa tham số đòi hỏi học sinh phải biện luận trong khi giải,

“phép biện luận đòi hỏi phép ứng xử linh hoạt trong mỗi

hoàn cảnh cụ thể, và biết cách phân tích đầy đủ các tình

huống có thể xảy ra , không thể không dạy cho học sinh

làm quen và học tập phơng pháp biện luận” [7, tr 78, 79]

2.2.1.3 Thực tiễn S phạm và những cuộc điều tra, thăm

dò đã cho thấy: Toán biện luận (giải và biện luận phơngtrình, bất phơng trình, hệ phơng trình, chứa tham số;tìm điều kiện của tham số để phơng trình, bất phơngtrình, hệ có nghiệm thoả mãn yêu cầu nào đó ) là mộttrong những dạng toán khó khăn nhất đối với học sinh THPT

Đặc trng của dạng toán này là phải biết phân chia thànhnhững trờng hợp riêng và lần lợt giải trong những trờng hợp

đó

Chơng trình Đại số THPT không đa thêm nhiều khái niệmmới, mà chủ yếu đi sâu vào các khái niệm cơ bản nh hàm

số, phơng trình, bất phơng trình, nhằm chính xác hoá và

hệ thống hoá chúng lại, theo một quan điểm thống nhất:

Quan điểm hàm số Sách giáo khoa Toán phổ thông cũng

không nói gì về việc phải cần thiết phân chia trờng hợp

trong giải toán hay cũng không nói gì cách thức hoặc tiêuchí làm cơ sở cho sự phân chia, đây là yếu tố gây khókhăn rất lớn cho HS trong quá trình giải loại toán này.

Học sinh thờng gặp những khó khăn hoặc sai lầm sau

đây khi giải những bài toán có liên quan đến việc phânchia trờng hợp riêng

a) Không ý thức đợc sự suy biến của phơng trình, bất phơng trình

Ví dụ: Giải và biện luận phơng trình:

(m + 2)x2 – 2(m – 1)x + 3 – m = 0

Đứng trớc bài toán này học sinh thờng cho rằng đây là

ph-ơng trình bậc hai và đi thẳng vào phân tích '= (m – 1)2 –(3 – m)(m + 2) = 2m2 – 3m – 5

= (m + 1)(2m – 5)

Từ đó họ xét các trờng hợp của ' Trờng hợp này học sinh

không nghĩ rằng m là tham số thì nó có thể nhận bất kì giá

trị nào và nh vậy họ không xét khi m = -2

b) Không nắm chính xác về điều kiện để có thể thực hiện phép biến đổi tơng đơng

Khi giải các phơng trình, đặc biệt là bất phơng trình,thờng phải dùng phép biến đổi tơng đơng để biến đổiphơng trình – bất phơng trình thành phơng trình – bất ph-

ơng trình đơn giản hơn Nhng nhiều khi HS không nắm

đ-ợc các phép biến đổi nào là tơng đơng, thậm chí có thể

“nhầm” rằng phép biến đổi nào là tơng đơng đối với

ph-ơng trình thì cũng là phép biến đổi tph-ơng đph-ơng đối vớibất phơng trình Thực ra hai bất phơng trình có thể tơng

đơng với điều kiện này, nhng không tơng đơng với điềukiện khác Nói cách khác, các trờng hợp đợc xem xét mà haiphơng trình, bất phơng trình có phải là đơng tơng haykhông.

Ví dụ: Giải bất phơng trình:

x2   + x 2 x2 2x � 3 x2 4x (1)5

Nói chung không khó để nhận ra rằng, các biểu thứctrong dấu “ ” đều có hạng tử x – 1 Cũng vì thế mà họsẵn sàng rút gọn cả hai vế cho x để nói rằng bất ph-1

có tử thức bằng 1, vậy bất phơng trình tơng đơng với

2 2 3 2 1

x  x  x , đến đây họ lại tiếp tục bình phơng hai

vế của bất phơng trình để khử dấu “ ”

Thực ra để biết bất phơng trình tơng đơng với bất

ph-ơng trình nào, ta cần phải chia tập xác định làm hai trờnghợp: x < -1, x > 3

c) Không ý thức đợc sự biến thiên của hàm số

có nghiệm với mọi x

Nhiều học sinh có sự biến đổi ngay là:

2

log (m x 2x2m  1) 0 � x2 2x2m1� x2 2x2m0

Hầu hết học sinh cho rằng đây là bất phơng trình bậchai có hệ số bậc hai a = 1 > 0 mà chiều bất phơng trình béhơn 0 nên không thể tồn tại m để bất phơng trình có

nghiệm với x �� Thực ra khi ( ;1)1

ẩn ở cả cơ số và biểu thức dới dấu log nên họ đặt điều kiện

rất cẩn thận là:

2

03

x x x

x x x x

P xx a

Nhng tiếc là họ lại cho rằng, bất phơng trình tơng đơng

 (2), chỗ này ta thấy xuất hiện hai sai lầm: đó

là (1) chỉ tơng đơng với (2) khi x2 > 1(hàm số lôgarit đồngbiến), ngoài ra x2  chỉ khi x x �0

d) Cha nắm vững một số khái niệm toán học cơ bản,

chẳng hạn các khái niệm có cấu trúc hội, vì vậy không ý thức đợc tác động của tham số đối với kết quả bài toán.

Ví dụ, Xét Bài toán: “Tuỳ theo giá trị của m, hãy tìm giá

trị nhỏ nhất của biểu thức

F = ((m1)x2y 1 m)2 (m x y m2   2 2 )m 2”

Suy nghĩ để giải bài toán có thể đợc mô tả nh sau: Do F

là tổng các bình phơng, nên F 0� với mọi x và mọi y, tuynhiên cha khẳng định đợc giá trị nhỏ nhất của F có phảibằng không hay không, giá trị nhỏ nhất của F bằng 0 khi và

chỉ khi tồn tại (x0; y0) thoả mãn: 2 0 02

* Nếu D 0� �

112

m m

m m

t  � Vậy giá trịnhỏ nhất của F bằng 36/5 khi x – y = 3/5

Trong thực tế, rất nhiều học sinh đã mắc sai lầm khi giảibài toán này Có em cho rằng vì F 0� với mọi x và mọi y nêngiá trị nhỏ nhất của F bằng 0, cũng có em suy luận:

F 0� với mọi x và mọi y, F = 0 �  

+) Nếu m = -1/2 thì phơng trình có nghiệm với mọi x,

do đó hệ vô số nghiệm, nên giá trị nhỏ nhất của F bằng 0

+) Nếu m = 1 thì hệ vô nghiệm, nên F không có giá trịnhỏ nhất (!?).

e) Không biết chia thành những trờng hợp nào, nói cách

khác không biết tìm tiêu chí làm cơ sở cho sự phân chia.

Có rất nhiều dạng toán mà khi giải nó chúng ta cần phải

phân chia thành các trờng hợp, nhng cái khó là HS thờng gặp

là không biết phân thành những trờng hợp nào cho hợp lý.

(1)

Ta phải xét ba trờng hợp (TH) m < 0; m = 0; m > 0

TH1: m = 0, phơng trình có nghiệm duy nhất x = 0;

TH2: m > 0, điều kiện của phơng trình là x � m Khi đó

KN1: 4m + 3 < 0 � m < -3/4 khi đó (4) vô nghiệm nên (1)vô nghiệm

ta phân chia theo một cách nào đó, chẳng hạn: m = 1/4, m

> 1/4, m < 1/4 Rõ ràng cách phân chia này tuy đầy đủkhông trùng lặp, nhng vẫn không hợp lý, thật vậy với m < 1/4thì cha chắc hai vế của (1) không âm, do vậy khi bình ph-

ơng sẽ tạo ra phơng trình mới không tơng đơng

Một ví dụ khác, cho các chữ số 1, 2, , 8, 9 Hãy tìm các

số chẵn có 3 chữ số đôi một khác khau không lớn hơn 789thành lập từ các số trên

Số cần tìm có dạng abc , đứng trớc bài toán này HS thờng rất khó khăn trong việc tìm ra tiêu chí để phân số cần tìm thành các trờng hợp Thật vậy, nếu chọn chữ số c trớc thì có

4 cách chọn nhng vì a � 7 nên a có 6, 7 hay bao nhiêu cách chọn? Ngoài ra khi chọn a trớc thì c sẽ chọn thế nào?

2.2.2 Năng lực suy luận lôgic

2.2.2.1 Trong lôgic học ngời ta quan niệm rằng: “Suy luận

là quá trình suy nghĩ để rút ra một mệnh đề từ một hoặc

nhiều mệnh đề đã có trớc” [16, tr 140]

Các mệnh đề có trớc gọi là tiền đề của suy luận, các mệnh đề mới rút ra gọi là hệ quả hay kết luận của suy luận Một suy luận bất kỳ nói chung có cấu trúc lôgic A� ,B

trong đó A là tiên đề, B là kết luận Cấu trúc lôgic phản ánh

cách thức rút ra kết luận tức là cách lập luận.

Xét suy luận với cấu trúc lôgic A� , nếu suy luận kéoB

theo A � hằng đúng thì suy luận đợc gọi là suy luận hợp B lôgic.

Ta phải phân biệt hai hình thức suy luận: suy luận diễndịch (suy diễn) và suy luận quy nạp

a) Suy luận diễn dịch (hay phép suy diễn) là suy luận

theo những quy tắc (quy tắc suy diễn) xác định rằng nếutiền đề (các tiền đề) là đúng thì kết luận rút ra cũng

đúng [11, tr 59]

Suy luận suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng Vậy

để đảm bảo tính chất đúng đắn của một suy diễn thì

các tiền đề của suy luận phải đúng đồng thời suy luận phải

Một số quy tắc suy diễn thờng dùng:

Q

�

Quy tắc suy luận modus ponens thờng đợc sử dụng trongchứng minh một mệnh đề toán học bằng cách đi từ cácmệnh đề đúng đã biết, suy diễn tới mệnh đề cần chứngminh.

Chẳng hạn, chứng minh rằng nếu x và y thoả mãn phơng

trình: x2 + y2 = 1 thì ta có bất đẳng thức: x y � 2

n không tối giản (mâu thuẫn).

* Quy tắc kết luận từ mệnh đề phổ biến:

tỏ mọi x > 3 đều không phải là nghiệm

Do các giá trị x mà x > 3 hoặc x < 3 đều không phải lànghiệm, x = 3 là nghiệm của phơng trình theo quy tắc lựachọn ta suy ra x = 3 là nghiệm của phơng trình

đó khái quát lên thành những quy luật cho các trờng hợp tổngquát gọi là suy luận quy nạp [16, tr 142]

* Quy nạp hoàn toàn đợc sử dụng rộng rải để chứngminh các định lý và giải Toán Trong phơng pháp quy nạphoàn toàn, khẳng định chung đợc chứng minh là đúng

trong mỗi trờng hợp riêng có thể xảy ra, do đó, mặc dù đợc

gọi là quy nạp, nhng ta vẫn phải xem quy nạp hoàn toàn làsuy luận thuộc loại suy diễn [16, tr 142]

Thật vậy, để có thể áp dụng đợc phơng pháp suy luận

này, ta phải đa về việc phân chia các trờng hợp chung thành một số hữu hạn các trờng hợp riêng có thể có và chứng minh

khẳng định đúng trong tất cả các trờng hợp riêng

Từ những đặc điểm trên về suy luận quy nạp hoàn toàn,

để tránh sự trùng lặp nhiều, trong Luận văn chúng tôi sẽkhông bàn nhiều về phát triển năng lực suy luận lôgic ở góc

độ này Vì năng lực này đợc phát triển nếu chúng ta pháttriển đợc ở học sinh năng lực suy diễn, năng lực phân chiacác trờng hợp riêng

* Quy nạp không hoàn toàn là phép đi từ cái đúngriêng đến kết luận cho cái chung, đi từ một hiện tợng

đơn nhất cho các hiện tợng phổ biến [16, tr 145]

Đối với phép quy nạp không hoàn toàn, đặc biệt hoá vàkhái quát hoá, tơng tự hoá, đợc xem là các thủ thuật lôgic tduy chủ yếu, có ý nghĩa cực kỳ quan trọng trong khi tiếnhành suy luận

Khi cần rút ra một kết luận về mệnh đề P(n) đúng vớimọi số tự nhiên n a� , ngời ta thờng dùng phép quy nạp toánhọc theo quy tắc sau:

Tiên đề: 1 P(n) đúng

2 Nếu P(k) đúng thì P(k+1) cũng đúng

với k

Kết luận: P(n) đúng với mọi n a�

Tiên đề 1 gọi là mệnh đề cơ sở, tiên đề 2 gọi là mệnh

đề quy nạp, P(k) đúng là giả thiết quy nạp

2.2.2.2 Theo GS TS Nguyễn Cảnh Toàn: “Để đi đến cái

mới trong Toán học phải biết đợc t duy lôgic và t duy biệnchứng Trong việc phát hiện vấn đề và định hớng giải quyếtvấn đề thì t duy biện chứng giữ vai trò chủ đạo, còn hớnggiải quyết vấn đề đã rõ thì t duy lôgic giữ vai trò chính” [49,

tr 5]

Ngoài ra, trong quá trình giải Toán, khi đứng trớc một vấn

đề cần giải quyết thì hoặc phải biến đổi giả thiết và kếtluận sao cho chúng xích lại gần nhau hơn, hoặc biến đổitìm kiếm nhiều thông tin liên quan đến bài toán Có nghĩa,vai trò của suy luận lôgic là rất quan trọng trong quá trìnhhọc và nghiên cứu Toán

Chẳng hạn, cho ,x y�� thỏa mãn * xy x y(  ) x2 xy y (1).2

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 3 3

đến việc nhân hai vế của (1) với x y (khi nhận xét x y � )0

để làm xuất hiện x3  có mặt trong kết luận.y3

xy Mặt khác, từ giả thiết có thể suy ra xy

và x + y phải cùng dấu, nên từ

2

x y A

Có lẽ, không giáo viên Toán nào hoài nghi với nhận định

“Toán học là khoa học suy diễn” hoặc “kỹ năng suy luận diễndịch là kỹ năng đặc trng cho t duy Toán học” (dẫn theo[48]) Tuy nhiên, điều đó cha thực sự đợc ý thức một cách