Hướng dẫn giải môn Toán thi vào lớp 10 THPT tỉnh Ninh Bình năm học 2009-2010

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau36 km.. Tính vận tốc của người đi xe đạp khi đi từ A đến B.. Chứng minh rằng góc ABE bằng góc EAH.. Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp được đường tr

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH NINH BÌNH

HƯỚNG DẪN GIẢI

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT

NĂM HỌC 2009 - 2010

MÔN: TOÁN

(Đề thi gồm 05 câu trong 01 trang)

Câu 1 (2,5 điểm):

1 Giải phương trình: 4x = 3x + 4  4x – 3x = 4  x = 4

2 Thực hiện phép tính: A 5 12 4 3    48  5 4.3 4 3   16.3

 10 3 4 3 4 3    10 3 4 3 4 3    10 3

3 Giải hệ phương trình sau:

1 1

1

x y

3 4

5

x y



 





  



ĐKXĐ: x ≠ 0; y ≠ 0

Đặt: 1

x = m; 1y = n, khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: 3m 4n 5m n 1 

 



Giải HPT trên được

9 m 7 2 n 7









 



Từ đó suy ra:

7 x 9 7 y 2









 



(t/m ĐKXĐ)

Câu 2 (2,0 điểm):

Cho phương trình: 2x2 + (2m – 1)x + m – 1 = 0 (1), trong đó m là tham số.

1 Giải phương trình (1) khi m = 2.

Khi m = 2, ta được PT: 2x2 + 3x + 1 = 0

Ta thấy 2 – 3 + 1 = 0  Nhẩm nghiệm Vi-ét ta được x1 = -1; x2 = 1

2



2 Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn: 4 2

1

x + 4 2

2

x + 2x1x2 = 1

Ta có x = (2m – 1)2 – 4.2.(m – 1)

= 4m2 – 4m + 1 – 8m + 8

= 4m2 – 12m + 9 = (2m – 3)2

 PT (1) luôn có hai nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m

Khi đó, áp dụng định lý Vi-ét, ta có: 2(x1 + x2) = 1 – 2m

2x1x2 = m – 1

Ta có: 4 2

1

x + 4 2

2

x + 2x1x2 = [2(x1 + x2)]2 – 3.2x1x2

= (1 – 2m)2 – 3(m – 1)

= 4m2 – 4m + 1 – 3m + 3

= 4m2 – 7m + 4 Theo ycbt, ta phải có: 4m2 – 7m + 4 = 1  4m2 – 7m + 3 = 0

Nhẩm nghiệm Vi-ét cho phương trình ẩn m trên, ta được m1 = 1; m2 = 3

4

Vậy m = 1hoặc m = 3

4 thì PT (1) có hai nghiệm x1, x2 thoả mãn 4 2

1

x + 4 2

2

x + 2x1x2 = 1

Câu 3 (1,5 điểm):

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau

36 km Khi đi từ B trở về A, người đó tăng

vận tốc thêm 3 km/h, vì vậy thời gian về ít

hơn thời gian đi là 36 phút Tính vận tốc của

người đi xe đạp khi đi từ A đến B

V.tốc T.gian Q.đường Khi đi x (km/h)(x > 0) 36

x (h) 36km Khi về x + 3 36

x 3  (h) 36km

36 phút

= 3

5 h

Giải:

Gọi vận tốc khi đi của người đi xe đạp là x (km/h; x > 0)

Thì vận tốc khi về của người đó là x + 3 (km/h)

Thời gian đi hết quãng đường AB của người đi xe đạp

Lúc đi là: 36

x (h); Lúc về là: 36

x 3  (h) Theo bài ra, thời gian lúc về ít hơn thời gian lúc đi là 36 phút = 3

5 h, nên ta có PT:

36

x = 36

x 3  + 3

5  36.5(x + 3) = 36.5x + 3x(x + 3)

 3x2 + 9x – 540 = 0

 x2 + 3x – 180 = 0 Giải PT trên được x1 = 12 (t/m ĐKBT); x2 = - 15 < 0 (không t/m ĐKBT – loại)

Vậy vận tốc khi đi từ A đến B của người đi xe đạp là 12 km/h

Câu 4 (2,5 điểm):

1 Chứng minh rằng góc ABE bằng góc

EAH

ABE

2

 sđAE (t/c góc nội tiếp)

EAH

2

 sđAE (t/c góc tạo bởi tia tiếp tuyến

và dây cung)

Suy ra ABE EAH   

2 Chứng minh tứ giác AHEK nội tiếp

được đường tròn

Dễ thấy AEC cân tại E (có đường

cao AH đồng thời là trung tuyến)

Suy ra: ECH EAH ABE     

 ECH KAH ABE KAH 90         O  AKE 90   O

Từ đó suy ra tứ giác AHEK nội tiếp đường tròn đường kính AE

3 Xác định vị trí của điểm H trên đường thẳng d sao cho AB = R 3

AB = R 3  sđAEB 120   O  ABE BAO 30     O (OA // BE vì cùng vuông góc với d)

 BAH 60   O  O

1 cos 60 2 R 3 AH

Câu 5 (1,5 điểm):

1 Cho ba số a,b,c > 0 Chứng minh rằng:

a  b  abc b  c  abc c  a  abc abc

Ta có: a3 + b3 = (a + b)(a2 – ab + b2)

Lại có: a2 + b2 ≥ 2ab  a2 – ab + b2 ≥ ab (Dùng BĐT Cô-si hoặc HĐT)

Suy ra: a3 + b3 ≥ ab(a + b)  a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b) + abc = ab(a + b + c)

a  b  abcab(a b c)   abc(a b c)  

CM tương tự được: 3 3

b  c  abcbc(a b c)   abc(a b c)  

c  a  abcca(a b c)   abc(a b c)  

Cộng vế với vế ba BĐT cùng chiều trên, ta được:

a  b  abc b  c  abc c  a  abcabc(a b c) abc(a b c) abc(a b c)        

a b abc b c abc c a abc abc(a b c) abc

 

2 Tìm x, y nguyên thoả mãn: x + y + xy + 2 = x2 + y2

Ta biến đổi phương trình trên tương đương:

2x2 + 2y2 – 2x – 2y – 2xy = 4

 (x2 – 2xy + y2) + (x2 – 2x + 1) + (y2 – 2y + 1) = 6

 (x – y)2 + (x – 1)2 + (y – 1)2 = 6

Do x, y là các số nguyên nên ta chỉ có thể tách 6 = 22 + 12 + 12 với để ý rằng vai trò của

x, y là như nhau, nên ta có các trường hợp sau:

2.1

x y 2

x 1 1

y 1 1

  



 





 



 x 2y 0



 hoặc x 0y 2





2.2

x y 1

x 1 2

y 1 1

  



 





 



 x 3y 2



 hoặc xy 01





2.3

x y 1

x 1 1

y 1 2

  



 





 



 x 2y 3



 hoặc x 0y 1





HẾT