GIÁO TRÌNH GIẢI TÍCH MỘT BIẾN

Tập hợp là một khái niệm cơ bản, không được định nghĩa mà được hiểu trực giác một cách tự nhiên như là sự tụ tập của các đối tượng có chung tính chất nào đó hoặc có thể liệt kê ra. Mỗi đối tượng lập nên tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp. Mỗi tập hợp thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa A, B, C,. .. ; các phần tử của nó thường được kí hiệu bởi chữ cái in thường a, b, c,. .. Ta viết x 2 X để kí hiệu x là một phần tử của X. Nếu y không phải là một phần tử của tập X thì ta kí hiệu y 62 X. Một tập hợp không có phần tử nào được gọi là tập rỗng, kí hiệu là ;.

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

KHOA TOÁN-TIN

Giáo trình

GIẢI TÍCH MỘT BIẾN

HÀ NỘI, 2017

Trang viết bản quyền

MỤC LỤC

§1 Tập hợp Ánh xạ Quan hệ 7

1.1 Tập hợp 7

1.2 Mệnh đề và các phép toán 9

1.3 Ánh xạ 10

1.4 Lực lượng đếm được 12

1.5 Quan hệ hai ngôi 13

§2 Số thực Trường số thực 15

2.1 Định nghĩa trường 15

2.2 Tính chất của trường số hữu tỉ 16

2.3 Số thực Trường số thực 17

2.4 Biểu diễn hình học của tập số thực 19

2.5 Tập số thực mở rộng 20

Bài tập chương I 20

Chương II GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC 27 §1 Một số khái niệm về dãy số 27

1.1 Khái niệm dãy số 27

1.2 Dãy bị chặn 27

1.3 Dãy đơn điệu 28

1.4 Dãy con 28

§2 Giới hạn của dãy số 28

2.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số 28

2.2 Các tính chất của dãy hội tụ 30

2.3 Các phép toán hữu tỉ trên các dãy hội tụ 31

2.4 Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong trong bất đẳng thức 34

§3 Các nguyên lí về tính đầy đủ của R 35

3.1 Nguyên lí Cantor 35

3.2 Nguyên lí Bolzano-Weierstrass 36

3.3 Nguyên lí Cauchy 36

§4 Một số điều kiện đủ để dãy hội tụ 38

§5 Mở rộng khái niệm giới hạn 40

5.1 Giới hạn riêng 40

5.2 Giới hạn ±∞ 42

Bài tập chương II 43

Chương III GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM TRÊN R 51 §1 Giới hạn của hàm số 51

1.1 Lân cận, điểm tụ, điểm cô lập 51

1.2 Định nghĩa giới hạn của hàm số 53

1.3 Các tính chất giới hạn của hàm số 54

1.4 Các phép toán trên các hàm số có giới hạn 55

1.5 Một số tiêu chuẩn tồn tại giới hạn của hàm số 56

1.6 Mở rộng khái niệm giới hạn 57

1.7 Vô cùng bé và vô cùng lớn 59

§2 Hàm số liên tục 61

2.1 Các khái niệm liên tục 61

2.2 Các tính chất và các phép toán trên các hàm số liên tục 64

2.3 Các tính chất cơ bản của hàm số liên tục trên một đoạn 64

2.4 Hàm số đơn điệu Liên hệ giữa tính đơn điệu và tính liên tục 67

2.5 Hàm sơ cấp và tính liên tục của hàm sơ cấp 70

Bài tập chương III 76

Chương IV PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN R 87 §1 Đạo hàm của hàm số một biến 87

1.1 Định nghĩa đạo hàm, hàm khả vi 87

1.2 Các quy tắc tổng quát của đạo hàm 88

§2 Các định lí về giá trị trung gian 91

2.1 Các định lí Fermat và Rolle 91

2.2 Các định lí Cauchy và Lagrange 93

§3 Vi phân và ứng dụng của vi phân 93

3.1 Các quy tắc lấy vi phân 94

3.2 Ứng dụng của vi phân vào phép tính gần đúng 94

§4 Đạo hàm và vi phân cấp cao 95

4.1 Định nghĩa đạo hàm cấp cao 95

4.2 Các phép toán về đạo hàm cấp cao 95

4.3 Vi phân cấp cao 96

§5 Công thức Taylor 97

5.1 Công thức Taylor 97

5.2 Khai triển Taylor của một số hàm số sơ cấp cơ bản 99

5.3 Ứng dụng của công thức Taylor 100

§6 Một số ứng dụng của phép tính vi phân 101

6.1 Quy tắc L’Hospital để khử các dạng vô định 101

6.2 Hàm lồi và ứng dụng 105

6.3 Khảo sát hàm số 107

Bài tập chương IV 107

Chương V TÍCH PHÂN MỘT LỚP 117 §1 Tích phân một lớp 117

1.1 Định nghĩa tích phân một lớp 117

1.2 Điều kiện cần của tính khả tích 119

1.3 Điều kiện cần và đủ của tính khả tích 120

1.4 Các tích chất cơ bản của tích phân một lớp 124

1.5 Các lớp hàm khả tích 128

1.6 Các định lí giá trị trung bình của tích phân 129

1.7 Định lí Lebesgue (phần đọc thêm) 131

1.8 Nguyên hàm và tích phân xác định 133

1.9 Các phương pháp tổng quát tính tích phân xác định 136

§2 Nguyên hàm của một số lớp hàm quan trọng 138

2.1 Bảng nguyên hàm của các hàm sơ cấp 138

2.2 Nguyên hàm của các hàm hữu tỷ 139

2.3 Nguyên hàm của một số biểu thức chứa căn 142

2.4 Nguyên hàm của hàm lượng giác 146

§3 Ứng dụng hình học của tích phân một lớp 147

3.1 Tính độ dài cung 147

3.2 Tính diện tích hình phẳng 150

3.3 Tính thể tích của miền trong R3 151

3.4 Diện tích xung quanh của vật thể tròn xoay 153

§4 Tích phân suy rộng 155

4.1 Tích phân suy rộng loại I 156

4.2 Tích phân suy rộng loại II 164

Bài tập chương IV 169

Mỗi đối tượng lập nên tập hợp được gọi là phần tử của tập hợp Mỗi tập hợp

thường được kí hiệu bằng chữ cái in hoa A, B, C, ; các phần tử của nó thường được kí hiệu bởi chữ cái in thường a, b, c,

Ta viết x ∈ X để kí hiệu x là một phần tử của X Nếu y không phải là một phần tử của tập X thì ta kí hiệu y 6∈ X Một tập hợp không có phần tử nào được

gọi là tập rỗng, kí hiệu là;

2 Tập con

Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của B thì ta nói A là tập con của B và kí hiệu A ⊂ B hoặc B ⊃ A Chẳng hạn ; ⊂ A và A ⊂ A với mọi tập A Nếu A ⊂ B và B ⊂ A thì ta nói hai tập A, B bằng nhau và kí hiệu A = B.

3 Các phép toán về tập hợp

Cho trước hai tập hợp A và B, ta có thể thành lập những tập hợp mới bằng các

phép toán sau đây:

A ∪ B = {x|x ∈ A hoặc x ∈ B}.

A ∪ B gồm các phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập A, B.

A ∩ B = {x|x ∈ A và x ∈ B}.

A ∩ B là tập các phần tử thuộc cả A lẫn B.

c) Phép trừ Hiệu của hai tập hợp được kí hiệu

A \ B = {x ∈ A và x 6∈ B}.

A \ B gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.

1.2 Mệnh đề và các phép toán

1 Mệnh đề

Trong logic mệnh đề, khái niệm mệnh đề là một khái niệm cơ bản không đượcđịnh nghĩa Các câu phản ánh một điều gì đó, có thể đúng hoặc trái với thực tếkhách quan được gọi là một mệnh đề

Để chỉ các mệnh đề, ta dùng các chữ cái p, q, r, và gọi chúng là các biến

mệnh đề Mệnh đề toán học chỉ có thể nhận kết quả đúng hoặc sai

Hội của hai mệnh đề p, q là một mệnh đề (kí hiệu p ∧ q) đúng khi cả p lẫn

q đều đúng và sai trong các trường hợp còn lại.

Từ định nghĩa suy ra

p = p, p ∧ q = p ∨ q, p ∨ q = p ∧ q.

d- Phép kéo theo

Mệnh đề "p kéo theo q" (kí hiệu là p → q) là một mệnh đề sai khi p đúng

q sai và đúng trong các trường hợp còn lại.

3 Lượng từ phổ biến và tồn tại

a- Hàm mệnh đề

Ta hãy xét câu "Số tự nhiên x chia hết cho 5" Nó không phải là một mệnh đề toán học nhưng khi thay x bởi một số tự nhiên cụ thể, chẳng hạn bằng3 hoặcbằng10, thì nó sẽ là một mệnh đề Ta gọi câu đó là hàm mệnh đề xác định trêntập số tự nhiên

Một câu chứa một biến x được gọi là hàm mệnh đề xác định trên tập X nếu khi thay biến x bằng một phần tử xác định của X thì được một mệnh đề Ta kí hiệu hàm mệnh đề một biến x bằng S (x), T(x),

Cho S (x) là hàm mệnh đề xác định trên X , ta gọi tập E s = {x ∈ X | S(x) đúng}

là miền đúng của của hàm mệnh đề S (x) Hai hàm mệnh đề có miền đúng trùng

nhau thì ta nói chúng tương đương

b- Lượng từ

Từ "với mọi" được kí hiệu là∀ được gọi là lượng từ phổ biến.

Ví dụ 1.1. {∀x ∈ X | S(x) đúng} là một mệnh đề đúng khi miền đúng của S(x) trùng X và sai trong trường hợp còn lại.

Từ "tồn tại" được kí hiệu là∃ được gọi là lượng từ tồn tại.

Ví dụ 1.2 Giả sử S(x) là hàm mệnh đề xác định trên X , khi đó {∃x ∈ X |S(x) đúng}

là một mệnh đề đúng nếu miền đúng E s 6= ; (là một tập khác rỗng)

c- Các kí hiệu khác

∃ không tồn tại, ∀ không phải với mọi, ∃! tồn tại và duy nhất

d- Lượng từ và phép phủ định có quan hệ sau đây

{∀x ∈ X | S(x) đúng} ↔ {∃x ∈ X | S(x) đúng}

{∃x ∈ X | S(x) đúng} ↔ {∀x ∈ X | S(x) đúng}.

1.3 Ánh xạ

Định nghĩa Cho hai tập hợp A và B Một quy luật f cho ứng mỗi phần tử của

hiệu là

f : A → B.

Cho X ⊂ A Tập f (X ) = { y ∈ B | ∃x ∈ X để y = f (x)} được gọi là ảnh của tập

X

Cho Y ⊂ B tập f−1(Y ) = {x ∈ A | f (x) ∈ Y } được gọi là nghịch ảnh của tập

Cho ánh xạ f : A → B Xét tập mới kí hiệu là A × B được gọi là tích Descartes của A và B gồm tất cả các cặp có thứ tự (a, b) trong đó a ∈ A và b ∈ B

A × B = {(a, b) | a ∈ A và b ∈ B}.

Tập G f = {(x, f (x))| x ∈ A} ⊂ A × B được gọi là đồ thị của ánh xạ f Đồ thị của ánh xạ f có tính chất: ∀x ∈ A tồn tại duy nhất y ∈ B để (x, y) ∈ G f

Định nghĩa Cho ánh xạ f : A → B Khi đó

a) f được gọi là ánh xạ1−1 (hay đơn ánh) nếu ∀ y ∈ B tập f−1(y) có không

quá một phần tử, tức là∀x1, x2∈ A mà x16= x2 thì f (x1) 6= f (x2)

b) f được gọi là một toàn ánh (hay ánh xạ lên) nếu f (A) = B.

c) Nếu f vừa là đơn ánh vừa là toàn ánh thì ta nói f là một song ánh.

Định nghĩa Cho hai tập A và B, nếu có một song ánh từ A lên B thì giữa A và B

có sự tương ứng1− 1 và ta nói rằng A và B có cùng lực lượng, hay A và B tương đương, và kí hiệu A ' B.

Định nghĩa Cho f : X → Y và g : Y → Z là hai ánh xạ Khi đó ánh xạ h : X → Z xác định theo công thức h (x) = g[f (x)] được gọi là ánh xạ tích (ánh xạ hợp thành) của hai ánh xạ f và g và kí hiệu g ◦ f

Ví dụ 1.3. a) Cho A ⊂ X , khi đó ánh xạ i : A → X xác định bởi i(x) = x, ∀x ∈

Chứng minh Vì f là một song ánh nên ∀ y ∈ Y tập f−1(y) có một và chỉ một phần tử gọi f−1(y) = {x} Ta đặt g(y) = x Khi đó g : Y → X thoả mãn các yêu

cầu của mệnh đề

1.4 Lực lượng đếm được

Nhắc lại rằng hai tập hợp được gọi là có cùng lực lượng nếu tồn tại một songánh giữa chúng

Định nghĩa Tập hợp A được gọi là có lực lượng đếm được (hoặc gọi tắt là đếm

được) nếu A là hữu hạn hoặc có cùng lực lượng với tập các số tự nhiên N.

Mệnh đề 1.2 Tập con của một tập đếm được là đếm được.

Chứng minh Giả sử X là tập đếm được và A ⊂ X Nếu A có hữu hạn phần tử thì A đếm được, ta xét trường hợp cả A lẫn X đều vô hạn phần tử Vì X là đếm được nên ta liệt kê X thành một dãy

X = {x1, x2, , x n, }

Ta đánh số các phần tử của A như sau: Gọi x10 là phần tử của A có chỉ số bé nhất trong dãy trên, chẳng hạn x10 = x1 1, gọi x02 là phần tử thuộc A có chỉ số bé nhất nhưng lớn hơn i1 Tiếp tục quá trình đó, ta đánh số được hết các phần tử của A nên A = {x0

Ta phải chứng minh A= Sj ∈I A j là đếm được

Vì A j đếm được nên có thể liệt kê A j = {x j1, x j2, x j3, } Sau đó ghép chúngthành một bảng:

được tất cả các phần tử của bảng Như vậy số phần tử của bảng là đếm được.

Để ý rằng có thể có những phần tử trong các A j trùng nhau nên A là tập con của tập bảng nói trên, nên theo mệnh đề trên A là đếm được.

Mệnh đề 1.4 Tích Descartes của hai tập đếm được là đếm được.

Chứng minh Giả sử hai tập A và B đếm được Ta chỉ cần chứng minh cho

trường hợp A hoặc B có vô số phần tử Giả sử B = {b1, b2, , b n, } Theo định

nghĩa A ×B = {(a, b j )| a ∈ A, b j ∈ B} Gọi C j = {(a, b j )| a ∈ A} Khi đó C j có cùng

lực lượng với A nên nó là đếm được và A × B =S+∞j=1C j nên nó là đếm được

Từ đây ta có kết quả tổng quát hơn

Mệnh đề 1.5 Giả sử A1, A2, A n là những tập đếm được thì tích Descartes của chúngQn i=1A i cũng đếm được.

Hệ quả 1.6 Tập Q các số hữu tỉ là đếm được.

Chứng minh Mọi số p ∈ Q đều có thể viết duy nhất dưới dạng p = m/n với

m , n ∈ Z nguyên tố cùng nhau Như vậy, Q tương đương với một tập con của

Z2 = Z × Z nên nó đếm được

1.5 Quan hệ hai ngôi

Định nghĩa Giả sử X là một tập hợp, ta nói rằng R là một quan hệ hai ngôi

trên tập X nếu R ∈ X × X Nếu (x, y) ∈ R thì ta thường viết xR y.

Quan hệR được gọi là có tính phản xạ nếu xR x, ∀x ∈ X

Quan hệR được gọi là có tính đối xứng nếu xR y thì yR x.

Quan hệ R được gọi là có tính chất phản xứng nếu xR y và yR x thì suy ra

R được gọi là có tính chất bắc cầu nếu xR y và yRz thì xRz.

Bây giờ ta xét hai quan hệ thường gặp trong toán học

1 Quan hệ tương đương

Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi trên X có tính phản xạ, đối xứng và bắc cầu

được gọi là quan hệ tương đương Quan hệ tương đương thường được kí hiệu là

∼

Ví dụ 1.4 ChoP là họ tất cả các tập hợp Ta nói A, B ∈ P , A ∼ B khi và chỉ khi A và B có cùng lực lượng Dễ thấy rằng quan hệ này là một quan hệ tương

đương trênP

Ví dụ 1.5 Cho tập hợp số nguyên Z, n là một số tự nhiên dương Giả sử x, y ∈ Z

ta nói x ∼ y khi và chỉ khi (x − y) chia hết cho n Dễ thấy quan hệ đồng dư modulo n này là một quan hệ tương đương trên Z.

Định nghĩa (Lớp tương đương) Cho tập hợp X và một quan hệ tương đương

∼ trên X Một tập con của X gồm tất cả các phần tử của X mà hai phần tử bất

kì của nó đều tương đương với nhau được gọi là một lớp tương đương

Từ định nghĩa suy ra:

i) Mỗi lớp tương đương hoàn toàn được xác định bởi một phần tử của nó, gọi

là phần tử đại diện Với x ∈ X , thì lớp tương đương chứa x được kí hiệu bởi [x], C(x), hoặc x.

ii) Hai lớp tương đương bất kì hoặc trùng nhau, hoặc giao nhau bằng rỗng

iii) X là hợp rời rạc các lớp tương đương.

Định nghĩa (Tập thương) Cho tập hợp X và một quan hệ tương đương∼ trên

X Tập hợp mà mỗi phần tử của nó đều là một lớp tương đương được gọi là tập

thương của X đối với quan hệ tương đương ∼ và được kí hiệu là X / ∼.

Ví dụ 1.6 Xét∼ là quan hệ đồng dư modulo n trên tập số nguyên Z thì

Định nghĩa Một quan hệ hai ngôi trên X có tính phản xạ, phản xứng và bắc

cầu được gọi là quan hệ thứ tự Quan hệ thứ tự thường kí hiệu là≤

Nếu quan hệ thứ tự thỏa mãn thêm điều kiện ∀x, y ∈ X ta có x ≤ y hoặc

y ≤ x thì nó được gọi là quan hệ thứ tự toàn phần.

Ví dụ 1.8 Các tập số N, Z, Q với quan hệ ” ≤ ” đã biết là các tập hợp sắp thứ tự

toàn phần

Ví dụ 1.9 GọiP là họ tất cả các tập hợp Với A, B ∈ P , ta nói A ≤ B khi và chỉ khi A ⊂ B Như vậy quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự trên P , nhưng

không phải là một quan hệ thứ tự toàn phần

Định nghĩa (Cận trên đúng, cận dưới đúng).

Cho (X , ≤) là một tập được sắp thứ tự toàn phần và A ⊂ X Ta nói tập A bị

chặn trên nếu∃q ∈ X sao cho a ≤ q, ∀a ∈ A Phần tử q được gọi là một cận trên của A.

Để ý rằng q là một cận trên của A thì ∀p ≥ q đều là cận trên của A Nếu q là một cận trên bé nhất của A theo nghĩa với mọi cận trên p khác của A ta đều có

q ≤ p thì q được gọi là một cận trên đúng của A và kí hiệu là q = sup A Hơn

nữa, nếusup A = q ∈ A thì ta nói q là phần tử lớn nhất của A và kí hiệu là max A.

Nếu∃p ∈ X sao cho a ≤ p với ∀a ∈ A thì ta nói p là một cận dưới của A và A

là tập bị chặn dưới Nếu p là cận dưới lớn nhất của A theo nghĩa mọi cận dưới q khác của A đều có q ≤ p thì ta gọi p là cận dưới đúng và kí hiệu p = inf A Nếu inf A = p ∈ A thì ta nói p là phần tử bé nhất của A kí hiệu p = min A.

Ví dụ 1.10 Cho(N, ≤) là tập số tự nhiên với quan hệ thứ tự thông thường Khi

đó∀A ⊂ N, A 6= ; đều tồn tại min A nhưng chưa chắc có max A.

Ví dụ 1.11 Cho(Z, ≤) là tập số nguyên với quan hệ thứ tự thông thường Khi

đó∀A ⊂ N, A 6= ; bị chặn trên đều tồn tại max A nhưng chưa chắc có min A.

§2 Số thực Trường số thực

2.1 Định nghĩa trường

Trường là một tập hợp X có nhiều hơn một phần tử cùng với hai phép toán

trên nó là+, : X × X → X , lần lượt gọi là phép cộng ”+” và phép nhân ”.”, thoả

mãn:

Phép cộng có các tính chất

T1 Giao hoán x + y = y + x ∀x, y ∈ X

T2 Kết hợp (x + y) + z = x + (y + z) ∀x, y, z ∈ X

T3 Tồn tạiθ ∈ X sao cho x + θ = x ∀x ∈ X

θ được gọi là phần tử trung hoà

T9 Phân phối với phép cộng (x + y).z = x.y + x.z ∀x, y, z ∈ X

2.2 Tính chất của trường số hữu tỉ

• Trường Q là một trường sắp thứ tự toàn phần với quan hệ thứ tự tự nhiên

đã biết, nghĩa là với hai số hữu tỉ p, q bất kì thì hoặc p ≤ q hoặc p > q.

• Trường Q có tính trù mật: nếu p, q ∈ Q, p < q thì tồn r ∈ Q sao cho

2 không phải là số hữu tỉ Xét tập A = {x ∈ Q | x2 <

2}, A là tập vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới Nếu tồn tại a ∈ Q mà a

là cận trên nhỏ nhất của A thì vì không có số hữu tỉ nào mà bình phương

bằng2 nên a26= 2

Nếu a2 < 2 thì ta chọn n ∈ N đủ lớn sao cho (a +1

n)2< 2 Khi đó a +1

trái với định nghĩa của a.

Nếu a2> 2 thì ta chọn n ∈ N đủ lớn sao cho (a −1

n)2> 2 Khi đó a −1

n là

một cận trên của A trái với giả thiết a là cận trên bé nhất của A.

Như vậy A không có cận trên bé nhất là số hữu tỉ.

• Mọi số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn đều thuộc trường Q

Thật vậy, nếu x = x0, x1x2 x n là một số thập phân hữu hạn thì x =

x0+ x1

10+ x2

10 2 + · · · + x n

10n là một số hữu tỉ

Nếu x = x0, x1x2 x k (x k+1 x k +p) là một số thập phân vô hạn tuần

hoàn chu kì x k+1 x k +p , trong đó x0 là số nguyên còn x i , i = 1, , k + p

là những số tự nhiên không vượt quá9 Khi đó

2.3 Số thực Trường số thực

Như đã biết trường số thực Q là một trường sắp thứ tự không đầy, nghĩa làkhông phải mọi tập khác rỗng và bị chặn trên của Q đều có cận trên đúng Trongmục này ta sẽ xây dựng một trường sắp thứ tự đầy chứa Q Trường nhận đượcgọi là trường số thực và được kí hiệu là R

x n được gọi là phần thập phân thứ n của x Ta gọi số thập phân hữu hạn

D n (x) = x0, x1x2 x n là số xấp xỉ bậc n của x Nếu từ chỉ số n nào đó trở đi, mọi phần thập phân x n của x là số 0 ta nói x là số thập phân hữu hạn và viết

x = x0, x1x2 x n thay cho x = x0, x1x2 x n00 0

Kí hiệu D là tập các số thập phân vô hạn, D0 là tập các số thập phân vô hạntuần hoàn chu kì9, tức là số thập phân vô hạn dạng x = x0, x1x2 x n99 9 Tập R = D \ D0 gọi là tập số thực Mỗi phần tử của R được gọi là một số thực

R với quan hệ thứ tự nói trên sẽ có tính chất

Định lí 2.1 Mọi tập con khác rỗng và bị chặn trên của R đều có cận trên đúng.

Mọi tập con khác rỗng và bị chặn dưới của R đều có cận dưới đúng.

Chứng minh Ta chứng minh cho trường hợp bị chặn trên Giả sử A⊂ R bị chặn

trên Gọi Z0= {[x]|x ∈ A} Khi đó Z0⊂ Z Vì A bị chặn trên nên có a0= max Z0

Đặt Z i = {x i là phần thập phân thứ i của x ∀x ∈ A}, gọi a i = max Z i , i= 1, 2,

số này tồn tại vì0 ≤ x i ≤ 9 Khi đó a = a0, a1a2 a n ∈ R là một cận trên

n (D n (x)D n (y))

trong đó D n là xấp xỉ bậc n của x Theo định lí trên, các phép toán trên hoàn toàn xác định Nếu x, y bất kì thì ta định nghĩa

|x| ≥ 0; |x y| = |x|| y|; ||x| − | y|| ≤ |x ± y| ≤ |x| + | y|.

Với các phép toán nói trên người ta chứng minh được

Định lí 2.2 Tập số thực R với hai phép toán cộng và nhân nói trên sẽ lập thành

một trường và gọi là trường số thực.

Bây giờ ta có thể chứng minh

Định lí 2.3 Tập các số thực R là một tập không đếm được.

Chứng minh Giả sử tập các số thực R là đếm được, tức là có thể đánh số tất cả

các phần tử của R dưới dạng R = {x α |α = 1, 2, }, ở đó x α = x α0 , x α1 x αn .,

x α0 ∈ Z, x αi ∈ {0, 1, , 9} với i ≥ 1 Ta xét số thập phân a0, a1 a n xây dựng

như sau: a0 ∈ Z tuỳ ý, a n 6= x nn và a n 6= 9 với mọi n ≥ 1 Khi đó số thập phân

a 6= x αvới mọiα Mâu thuẫn này chứng tỏ R không đếm được.

2.4 Biểu diễn hình học của tập số thực

Nhắc lại rằng trục số là một đường thẳng trên đó cho một điểm gốc O cố định,

một vectơ đơn vị định hướng trục~e Ta gọi trục số đó là trục Ox Với mỗi điểm

M ∈ Ox thì ~ OM = x~e khi đó ta gọi x là toạ độ của điểm M Nếu ta đặt tương ứng mỗi điểm M thuộc trục số với toạ độ x ∈ R thì ta được một song ánh từtập các điểm trên trục số với tập các số thực R Vì vậy trục số còn gọi là đườngthẳng thực, phép song ánh này có tính chất bảo toàn thứ tự

Với mỗi cặp a, b ∈ R, a ≤ b, ta lưu ý các tập số thực sau đây:

Đoạn [a, b] = {x ∈ R| a ≤ x ≤ b}

Khoảng (a, b) = {x ∈ R| a < x < b}

Nửa đoạn (a, b] = {x ∈ R| a < x ≤ b}

[a, b) = {x ∈ R| a ≤ x < b}.

2.5 Tập số thực mở rộng

Kí hiệu R = R ∪ {−∞, +∞} Đưa vào trong R quan hệ thứ tự và phép toán

như sau: Nếu x, y∈ R thì quan hệ thứ tự và các phép toán định nghĩa như trên

1.2 Hiệu đối xứng của hai tập hợp A và B là một tập hợp, kí hiệu là A∆B, được

định nghĩa như sau

A ∆B = (A \ B) ∪ (B \ A).

Chứng minh rằng

A ∆(B∆C) = (A∆B)∆C

Cho một ví dụ chứng tỏ ở (b) không thể thay dấu bao hàm thức bởi dấu "=".

1.5 Gọi f là ánh xạ từ tập X vào tập Y , A và B là các tập con của Y Chứng

Như vậy f−1 bảo toàn các phép toán về tập hợp

1.6 Cho ánh xạ f : R\{0} −→ R cho bởi f (x) = 1

x và ánh xạ g : R −→ R cho

bởi g (x) = 3x

1+ x2

a) Ánh xạ nào trong hai ánh xạ trên là đơn ánh, là toàn ánh?

1.9 Cho X , Y là các tập khác rỗng và f là ánh xạ từ X vào Y Chứng minh rằng

a) f là đơn ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ g từ Y vào X sao cho g f = Id X;

b) f là toàn ánh khi và chỉ khi tồn tại ánh xạ h từ X vào Y sao cho f h = Id Y

1.10 Cho X , Y là các tập khác rỗng; f là ánh xạ từ X vào Y ; A, B tương ứng là

tập con của X và Y Chứng minh rằng

a) f f−1(B) ⊂ B, và f f−1(B) = B với mọi B khi và chỉ khi f là toàn ánh; b) A ⊂ f−1f (A), và A = f−1f (A), với mọi A khi và chỉ khi f là đơn ánh; c) f (A1∩ A2) = f (A1) ∩ f (A2) với mọi A1, A2 khi và chi khi f là đơn ánh; d) C X f (A) ⊂ f (C X A ) khi và chỉ khi f là toàn ánh (ở đây C X A = X \A).

1.13 Cho x ∈ R\Q; a, b, c, d ∈ Q sao cho ad − bc 6= 0 Chứng minh rằng:

a x + b

c x + d /∈ Q.

1.14 Chứng minh rằng tập các số vô tỉ không đóng đối với phép cộng và nhân.

1.15 Nếu r là một số hữu tỉ khác 0 và x là một số vô tỷ thì r + x và r.x là các

Chứng minh rằng tập hợp các số dyadic trù mật trong R

1.18. a) Cho D , E là hai bộ phận của R sao cho: D trù mật trong R và D ⊂ E Chứng minh rằng E trù mật trong R.

b) Cho D là một bộ phận của R và trù mật trong R, F là bộ phận hữu hạn của D Chứng minh rằng D \F trù mật trong R.

1.19 Kí hiệu E = {q2: q ∈ Q}, −E = {−q2: q ∈ Q}, D = E ∪ −E Chứng minh rằng D trù mật trong R.

1.22 Đặt A m = {x ≤ m : x ∈ Q}, B m = {x ≥ m : x ∈ Q} Chứng minh rằng sup A m = m = inf B m.

1.23 Tìm cận trên đúng, cận dưới đúng của các tập A và B, trong đó A =

{0, 2; 0, 22; 0, 222; · · · }, và B là tập các số thập phân giữa 0 và 1 mà chỉ gồm các

chữ số0 và 1

1.24 Cho trước số x > 0 Chứng minh rằng với mọi số n ∈ N∗ tồn tại và duy

nhất số y > 0 sao cho y n = x Khi đó số y này được gọi là căn bậc n của x và kí

hiệu là pn

x.

1.25 Cho A ⊂ R khác rỗng Định nghĩa −A = {x : −x ∈ A} Chứng minh rằng

sup(−A) = − inf Ainf(−A) = − sup A

1.26 Cho A, B⊂ R là không rỗng Định nghĩa

A + B = {z = x + y : x ∈ A, y ∈ B}

A − B = {z = x − y : x ∈ A, y ∈ B}.

Chứng minh rằng

sup(A + B) = sup A + sup B

sup(A − B) = sup A − inf B.

Thiết lập các công thức tương tự choinf(A + B), inf(A − B)

1.27 Cho các tập không rỗng A và B những số thực dương Định nghĩa

Đặc trưng của các khoảng của R

1.29 Ta gọi là khoảng của R một bộ phận của R có một trong các dạng sau:

[a; b], [a; b), (a; b], (a; b), (−∞; a), (−∞; a], (a; +∞), [a; +∞), (−∞; +∞) Chứng minh rằng bộ phận I của R là một khoảng khi và chỉ khi

∀x, y ∈ I, x ≤ y =⇒ [x, y] ⊂ I.

Phần nguyên của một số thực

1.30 Với mọi x ∈ R, tồn tại n ∈ Z duy nhất sao cho n ≤ x < n + 1; n được gọi

là phần nguyên của x và được kí hiệu là E (x) hay [x] Chứng minh rằng:

a) ∀x, y ∈ R, x ≤ y =⇒ E(x) ≤ E( y);

b) ∀x ∈ R \ Z, E(−x) = −E(x) − 1;

c) ∀x, y ∈ R, E(x + y) − E(x) − E( y) ∈ {0, 1};

d) ∀x ∈ R, n ∈ Z, E(x + n) = E(x) + n;

Chương II

GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ THỰC

§1 Một số khái niệm về dãy số

1.1 Khái niệm dãy số

Định nghĩa Cho X là một tập hợp khác rỗng Ánh xạ a : N∗→ X , n 7→ a(n), xác

định trên tập số nguyên dương N∗với giá trị trong X gọi là một dãy trong X Nếu đặt a n = a(n) thì mỗi dãy trong X có thể viết theo thứ tự tăng dần của chỉ số n

thì ta nói rằng{a n} là dãy bị chặn trên

b) Nếu tồn tại sốα sao cho

a n ≥ α, ∀n ∈ N∗

thì ta nói rằng{a n} là dãy bị chặn dưới

c) Nếu dãy{a n} vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới thì ta nói nó là dãy bị chặn.

Rõ ràng rằng{a n } là dãy bị chặn khi và chỉ khi tồn tại số M sao cho

|a n | ≤ M, ∀n ≥ 1.

1.3 Dãy đơn điệu

a) Ta bảo dãy{a n} là một dãy tăng (tương ứng, tăng thực sự) nếu

gọi là dãy con của dãy đã cho và kí hiệu là{a n k}

Để chỉ{a n k } là một dãy con của dãy {a n } ta viết {a n k } ⊂ {a n}

Chú ý Trong kí hiệu chỉ số của dãy con ở trên ta luôn có n k ≥ k, ∀k ∈ N∗

§2 Giới hạn của dãy số

2.1 Định nghĩa giới hạn của dãy số

Định nghĩa Số thực a được gọi là giới hạn của dãy {a n } nếu với mọi " > 0, tồn tại một số nguyên dương n " (phụ thuộc vào") sao cho

Chú ý Số thực a là giới hạn của dãy {a n } nếu và chỉ nếu mọi khoảng (a − ", a +

"), " > 0, đều chứa tất cả các số hạng của dãy có thể trừ ra một số hữu hạn số

hạng

Định lí 2.1 Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.

Chứng minh Giả sử có hai số a 6= a0 sao cho a n → a và a n → a0 Chọn

=1

Ví dụ 2.2 Dãy 0, 1, 0, 1, là dãy phân kì.

Thật vậy, ta sẽ chứng tỏ mọi số thực a đều không phải là giới hạn của dãy Trước hết xét trường hợp a = 0 Lấy " =1

2 thì 1/∈ (−", ") tức là khoảng (−", ")

không chứa vô số các số hạng mang chỉ số lẻ (a 2n+1 = 1) Hoàn toàn tương tự

với trường hợp a = 1 Cuối cùng nếu a 6= 0 và a 6= 1 ta có thể chọn " đủ nhỏ

(chẳng hạn " < min{|a|, |a − 1|}) để khoảng (a − ", a + ") không chứa cả hai

điểm0 và 1 tức là nó không chứa tất cả các số hạng của dãy

2.2 Các tính chất của dãy hội tụ

Định lí 2.2 Mọi dãy con của một dãy hội tụ đều hội tụ và có cùng giới hạn.

Chứng minh Giả sử{a n} là một dãy hội tụ và lim

n→∞a n = a, tức là với mọi ", tồn tại n "sao cho

|a n − a| < ", ∀n ≥ n ".Nếu{a n k } là một dãy con bất kì của {a n } thì với k ≥ n " ta có n k ≥ n " (bởi vì

n k ≥ k) Do đó

|a n k − a| < ", ∀k ≥ n ".Vậy{a n k} là dãy hội tụ và lim

Chứng minh Giả sử lim

n→∞a n = a Theo định nghĩa, với mọi " tồn tại n "sao cho

|a n − a| < ", ∀n ≥ n ".Nhưng ta lại có

||a n | − |a|| ≤ |a n − a|,

nên

||a n | − |a|| < ", ∀n ≥ n ".Vậy dãy{|a n|} cũng hội tụ và

lim

n→∞|a n| = | lim

n→∞a n|

Định lí 2.4 Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

Chứng minh Giả sử{a n} là một dãy hội tụ và lim

n→∞a n = a Chọn " = 1, theo định nghĩa giới hạn, tồn tại n "sao cho

|a n − a| < 1, ∀n ≥ n ".Suy ra

|a n | ≤ 1 + |a|, ∀n ≥ n "

Nếu đặt M = max{1 + |a|, |a1|, |a2|, , |a n "−1|} thì

|a n | ≤ M, ∀n ∈ N∗

Định lí 2.5 Dãy nhận được bằng một phép hoán vị các số hạng của một dãy hội

tụ vẫn là một dãy hội tụ và có cùng giới hạn.

Chứng minh Giả sử{a n } là một dãy hội tụ đến a và σ : N∗→ N∗ là một songánh Ta sẽ chứng tỏ{a σ(n) } hội tụ đến a Theo giả thiết, với mọi " > 0, tồn tại

2.3 Các phép toán hữu tỉ trên các dãy hội tụ

Định lí 2.6 Giả sử {a n } và {b n } là các dãy hội tụ và α ∈ R Khi đó

(i) {a n + b n } là dãy hội tụ và

(ii) Nhận xét ngay rằng nếu α = 0 thì khẳng định (ii) hiển nhiên đúng Nếu

α 6= 0, do an → a nên với mọi " > 0, tồn tại n "sao cho

Định lí 2.7 Giả sử {a n } và {b n } là các dãy hội tụ Khi đó

(i) {a n b n } là dãy hội tụ và

(i) Khi đó theo Định lí 2.4 tồn tại M > 0 sao cho |an | < M và |b n | < M, ∀n ≥ 1.

Nhưng mặt khác theo định nghĩa giới hạn thì với mọi" > 0, tồn tại n "sao cho

n→∞a n b n= lim

n→∞a n lim

n→∞b n

(ii) Trước hết ta chứng minh nếu b= lim

Thay giá trị đã chọn của"0 vào vế phải của bất đẳng thức trên ta được

1

b n −1

b

< ", ∀n ≥ n ".Vậy

a n

b n = a n

1

b n.Theo (i),

2.4 Sự bảo toàn thứ tự qua giới hạn trong trong bất đẳng thức

Bổ đề 2.8 Cho {a n } là dãy hội tụ và n0 là số nguyên dương Khi đó

Chứng minh Đặt a= lim

n→∞a n Chọn" = min{β −a, a−α} > 0 Theo định nghĩa

giới hạn tồn tại n0 sao cho

|a n − a| < ", ∀n ≥ n0.Suy ra

α = a − (a − α) ≤ a − " < an < a + " ≤ a + (β − a) = β.

Vậyα < an < β, ∀n ≥ n0

§3 Các nguyên lí về tính đầy đủ của R

Ta đã biết trường số thực R đầy đủ theo nghĩa mọi tập khác rỗng bị chặn trên(tương ứng bị chặn dưới) đều có cận trên đúng (tương ứng cận dưới đúng) Sauđây là một số nguyên lí thể hiện các dạng khác nhau của tính đầy này

Định lí 3.1 (Nguyên lí Cantor) Mọi dãy đoạn lồng nhau thắt dần đều có một

điểm chung duy nhất.

Chứng minh Cho{[α n,βn ]} trong R là dãy đoạn thắt dần Đặt β = inf

n≥1βn Ta

sẽ chứng minhβ là điểm chung duy nhất của dãy đoạn {[αn,βn]} Với mỗi số

nguyên dương cho trước n ta có

3.2 Nguyên lí Bolzano-Weierstrass

Định lí 3.2 (Nguyên lí Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy vô hạn bị chặn đều chứa

một dãy con hội tụ.

Chứng minh Giả sử{a n } là dãy bị chặn tức là có hai số α và β sao cho

Ta chia đoạn [α, β] thành hai đoạn bằng nhau Khi đó có ít nhất một đoạn

phải chứa vô số các số hạng của dãy Ta gọi[α1,β1] là một trong hai đoạn cótính chất đó Ta lại chia [α1,β1] thành hai đoạn bằng nhau và gọi [α2,β2] làmột trong hai đoạn chứa vô số các số hạng của dãy Tiếp tục bằng cách chia đó

ta nhận được dãy đoạn{[α k,βk]}k có các tính chất:

[α k,βk ] ⊃ [α k+1,βk+1],

2k ,

và đoạn[α k,βk ] chứa vô số các số hạng của dãy {a n}

Theo nguyên lí Cantor ta có

1∈ [α1,β1] Tiếp đó theo trên lại chọn được a n2∈ [α2,β2]

với n2 > n1 Cứ như thế cuối cùng ta nhận được dãy con {a n k } ⊂ {a n} với

a n

k ∈ [α k,βk] Từ bất đẳng thức

|a n k − a| ≤ β − α

2k → 0 (k → ∞) suy ra a n

k → a.

3.3 Nguyên lí Cauchy

Định nghĩa Dãy {a n} gọi là một dãy cơ bản (hay dãy Cauchy) nếu với mọi

" > 0, tồn tại n " sao cho

|a n − a m | < ", ∀n, m ≥ n ",

tức là kể từ một chỉ số n "nào đó trở đi, hiệu của hai số hạng bất kì không vượtquá".

Định lí 3.3 (Nguyên lí Cauchy) Trong R, một dãy hội tụ khi và chỉ khi nó là dãy

Vậy{a n} là một dãy cơ bản

hội tụ Muốn vậy trước hết ta chứng tỏ nó bị chặn

Cho" > 0 nhỏ tuỳ ý Do {an } là một dãy cơ bản nên tồn tại N1 sao cho

|a n − a m | < "

2, ∀n, m ≥ N1

Nếu chọn M = max{|a1|, |a2|, , |a n1 −1|, " + |a n1|}, ta có ngay

|a n | ≤ M, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy {a n} bị chặn Theo nguyên lí Bolzano-Weierstrass, tồn tại dãy con

{a n k } ⊂ {a n }, a n k → a Khi đó ta sẽ tìm được số nguyên dương N2 sao cho

|a n k − a| < "

2, ∀k ≥ N2

Chọn N = max(N1, N2) và lấy một chỉ số k > N, ta có

|a n − a| ≤ |a n − a n k | + |a n k − a| < ", ∀n ≥ N

Vậy dãy{a n } hội tụ đến a.

Chú ý Sử dụng nguyên lí Cauchy ta có thể xét tính hội tụ hay phân kì của một

dãy số

Ví dụ 3.1 Dãy số

1.2+ 12.3+ + 1

n (n + 1)

Theo Định lí 3.3, dãy{a n} phân kì.

§4 Một số điều kiện đủ để dãy hội tụ

Định lí 4.1 (Dấu hiệu kẹp giữa) Giả sử {a n } thoả mãn các điều kiện sau:

a) Tồn tại các dãy {b n } và {c n } sao cho

Ví dụ 4.1.

Định lí 4.2 (Dấu hiệu hội tụ của dãy đơn điệu).

a) Nếu dãy {a n } tăng và bị chặn trên thì nó hội tụ và

Bởi vì mỗi số hạng trong khai triển của a n nhỏ thua hoặc bằng số hạng tương

ứng trong khai triển của a n+1, hơn nữa so với khai triển của a n thì khai triển của

a n+1 còn thêm một số hạng dương nên ta có a n < an+1

Dãy{a n} bị chặn trên vì

a n≤ 1 + 1 + 1

1.2+ 11.2.3+ · · · + 1

Cho dãy{a n } Nếu tồn tại một dãy con {a n k } ⊂ {a n } sao cho a n k → a ∈ R thì a

được gọi là một giới hạn riêng của dãy{a n}

Như vậy số thực a là một giới hạn riêng của dãy {a n} khi và chỉ khi với mọi

" > 0, khoảng (a − ", a + ") chứa vô số số hạng của dãy.

Định lí 5.1 Mọi dãy số thực bị chặn đều có một giới hạn riêng lớn nhất và một

giới hạn riêng nhỏ nhất.

Định lí 3.1 (Nguyên lí Cantor) Mọi dãy đoạn lồng thắt dần có một< /b>

điểm chung nhất.

Chứng minh Cho{[α n,βn... Bolzano-Weierstrass

Định lí 3.2 (Ngun lí Bolzano-Weierstrass) Mọi dãy vơ hạn bị chặn chứa

một dãy hội tụ.

Chứng minh Giả sử{a n } dãy bị chặn tức có hai... [α1,β1] thành hai đoạn gọi [α2,β2] l? ?một hai đoạn chứa vô số số hạng dãy Tiếp tục cách chia

ta nhận dãy đoạn{[α k,βk]}k