Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực tư duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số

Nguyên nhân dẫn đến điều này phải chăngvì giáo viên cha ý thức đợc tầm quan trọng, hoặc cha có những biện pháp sphạm thích hợp để phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngô

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

1.1 Nghị quyết Hội nghị lần thứ 2 Ban Chấp hành Trung ơng Đảng Cộng

sản Việt Nam (Khoá VIII, 1997) khẳng định: “ Phải đổi mới phơng phápgiáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp

t duy sáng tạo cho ngời học ”

Luật Giáo dục nớc Cộng hoà xã hội chủ nghĩa Việt Nam (năm 1998) quy

định: “ Phơng pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác,chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, mônhọc; bồi dỡng phơng pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vàothực tiễn ”

Dự thảo chơng trình (năm 1989) quy định những nhiệm vụ của môn Toántrờng phổ thông trung học: “ Góp phần phát triển năng lực trí tuệ, t duy trừutợng và trí tởng tợng không gian, t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, t duybiện chứng, , đồng thời rèn luyện các phẩm chất của t duy nh linh hoạt, độclập, sáng tạo ”

Chơng trình môn Toán (Thí điểm) trờng Trung học phổ thông (năm 2002)cũng đã chỉ rõ: “ Môn Toán phải góp phần quan trọng vào việc phát triểnnăng lực trí tuệ, hình thành khả năng suy luận đặc trng của Toán học cần thiếtcho cuộc sống; ; rèn luyện kỹ năng vận dụng các kiến thức đã học vào việcgiải các bài toán đơn giản của thực tiễn; phát triển khả năng suy luận có lý,hợp lôgic trong những tình huống cụ thể, khả năng tiếp nhận và biểu đạt cácvấn đề một cách chính xác ”

1.2 Nhận định về phơng pháp dạy học Toán ở trờng phổ thông trong giai

đoạn hiện nay, các nhà toán học Hoàng Tụy và Nguyễn Cảnh Toàn viết: “ Kiến thức, t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục Thế nhng,hiện nay trong nhà trờng t duy và tính cách bị chìm đi trong kiến thức ”[128, tr 7] “ Cách dạy phổ biến hiện nay là thầy đa ra kiến thức (khái niệm,

định lý) rồi giải thích, chứng minh, trò cố gắng tiếp thu nội dung khái niệm,nội dung định lý, hiểu chứng minh định lý, cố gắng tập vận dụng các côngthức, các định lý để tính toán, để chứng minh ” [127, tr 4] “ Ta cònchuộng cách dạy nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải những bài toánoái oăm, giả tạo, chẳng giúp ích gì mấy để phát triển trí tuệ mà làm cho họcsinh thêm xa rời thực tế, mệt mỏi và chán nản ” [138, tr 38]

1.3 Nhà giáo dục học Nga vĩ đại K Đ Usinxki [52, tr 53] và nhiều công

trình nghiên cứu về Giáo dục học, Tâm lí học, Lôgic học, Triết học, Phơngpháp dạy học bộ môn, đã khẳng định sự cần thiết phải phát triển t duy lôgic

cho học sinh Tuy nhiên, trong số đó, không phải tài liệu nào cũng đa ra một

cách hiểu tơng đối cụ thể về khái niệm t duy lôgic.

Nhiều tài liệu về phơng pháp giảng dạy Toán của các tác giả trong nớc vàngoài nớc, bên cạnh việc nhấn mạnh yêu cầu phát triển t duy lôgic cho họcsinh (hoặc t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác - tuỳ theo quan điểm của từngtác giả) nh một trong các nhiệm vụ quan trọng của dạy học Toán ở trờng phổthông, đã nêu lên những thành tố của loại hình t duy này [18], [21], [22], [48],

[75], [80], [133], [156], [162], Tuy nhiên, cha phải đã có một quan điểm

thống nhất về những thành tố của nó Hơn nữa, do tính khái quát trong cách

trình bày, các tài liệu cũng cha có dịp đi sâu để xem xét những hình thái củaloại hình t duy này trong từng cấp học và trong từng phân môn (của mônToán)

Lời chỉ giáo của V I Lênin: Không có chân lý trừu t“ ợng, chân lý bao giờ cũng cụ thể” [90] là một tiền đề rất quan trọng để chúng ta có thể đi vào

việc nghiên cứu sâu hơn vấn đề phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụngchính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trongdạy học Đại số

1.4 Đại số ở bậc Trung học phổ thông nói chung, Đại số 10 nói riêng là

môn học có nhiều chủ đề thích hợp với việc phát triển năng lực t duy lôgic và

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh Chẳng hạn, chủ đề phơngtrình, bất phơng trình chứa trị tuyệt đối hoặc chứa tham số thích hợp với việc

rèn luyện cho học sinh kỹ năng phân chia các trờng hợp riêng; phơng trình, bất phơng trình vô tỷ thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng biến

đổi tơng đơng; bất đẳng thức, giá trị lớn nhất, nhỏ nhất thích hợp với việc rèn

luyện cho học sinh kỹ năng phối hợp giữa suy đoán và suy diễn; các thuật ngữ

và ký hiệu của lôgic toán thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng

biểu đạt vấn đề một cách ngắn gọn và chính xác; hệ bất phơng trình bậc nhất

thích hợp với việc rèn luyện cho học sinh kỹ năng toán học hoá tình huống

thực tiễn; Tuy nhiên - nh thực tiễn s phạm đã cho thấy - năng lực t duy

lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh trong Đại số nhìn

chung cha đạt tới mức độ mà nó có thể đạt tới (điều này sẽ đợc phân tích kỹ

trong phần nội dung của Luận án) Nguyên nhân dẫn đến điều này phải chăngvì giáo viên cha ý thức đợc tầm quan trọng, hoặc cha có những biện pháp sphạm thích hợp để phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngônngữ toán học cho học sinh?.

Đã có một số công trình nghiên cứu liên quan đến t duy lôgic, chẳng hạn

luận án Tiến sĩ của Nguyễn Đinh Hùng (1996): “Bồi dỡng t duy lôgic cho học

sinh trờng trung học cơ sở Việt Nam thông qua hệ thống câu hỏi và bài tập

Đại số lớp 7” [70], nhng cha có công trình nào nghiên cứu việc phát triển

năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh đầucấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số

Vì những lí do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của Luận án là:

Góp phần phát triển năng lực t

ngữ toán học cho học sinh đầu cấp Trung học phổ thông trong dạy học Đại số ”

2 mục đích nghiên cứu

Mục đích của Luận án là nghiên cứu để xác định những thành tố đặc trng

đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học

sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số, đồng thời nghiên cứu để xây dựng các biện

pháp nhằm góp phần phát triển năng lực này cho học sinh lớp 10 trong dạyhọc Đại số

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Tổng hợp quan điểm của một số nhà khoa học về t duy toán học,

năng lực toán học, t duy lôgic, ngôn ngữ toán học - nhằm hỗ trợ cho việc xác

định các thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác

ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số Phân tích, so

sánh, đối chiếu các quan điểm đó để rút ra những nhận định cần thiết;

3.2 Đề xuất những căn cứ làm cơ sở để xác định các thành tố đặc trng đối

với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh

lớp 10 thể hiện trong Đại số;

3.3 Đề xuất một cách quan niệm về năng lực t duy lôgic và sử dụng

chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông

qua việc làm rõ những thành tố đặc trng của năng lực này;

3.4 Xác lập những định hớng cơ bản làm cơ sở cho việc xây dựng và thực

hiện các biện pháp s phạm;

3.5 Xây dựng và thực hiện các biện pháp s phạm nhằm góp phần phát

triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học

sinh lớp 10 trong dạy học Đại số;

3.6 Thực nghiệm s phạm.

4 Giả thuyết khoa học

Dựa vào những cơ sở lý luận và thực tiễn, có thể xác định các thành tố

đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học

của học sinh đầu cấp THPT thể hiện trong Đại số Trên cơ sở đó, trong dạy

học Đại số 10, nếu xây dựng đợc một số biện pháp thích hợp thì có thể pháttriển cho học sinh năng lực này, góp phần quan trọng vào việc nâng cao chất l-ợng dạy học môn Toán ở trờng Trung học phổ thông

5 Phơng pháp nghiên cứu

5.1 Nghiên cứu lý luận: tìm hiểu, nghiên cứu các tài liệu trong và ngoài

nớc về các vấn đề có liên quan đến đề tài luận án;

5.2 Điều tra quan sát: thực trạng về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính

xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại số;

5.3 Thực nghiệm s phạm: tổ chức thực nghiệm s phạm để xem xét tính

khả thi và hiệu quả của các biện pháp s phạm đã đề xuất

6 Cái mới và đóng góp của luận án

6.1 Về mặt lý luận

6.1.1 Đã xác định đợc (kèm theo những lý giải xác đáng) nội dung của

khái niệm năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của

học sinh lớp 10 thể hiện trong Đại số thông qua việc làm rõ những thành tố

đặc trng của năng lực này;

6.1.2 Đã nêu lên đợc một cách tơng đối hệ thống và khái quát (kèm theo

sự phân tích nguyên nhân) những khó khăn, những sai lầm phổ biến của họcsinh khi đứng trớc những vấn đề toán học - mà việc giải quyết những vấn đề

đó đòi hỏi một sự thể hiện về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngônngữ toán học của học sinh;

6.1.3 Đã đa ra đợc những định hớng và những biện pháp s phạm nhằm

góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toánhọc cho học sinh trong dạy học Đại số 10 Không chỉ dừng lại ở việc đề xuất

mà còn hiện thực hoá việc thực hiện các biện pháp (theo hớng tích cực hoá

hoạt động của học sinh - phù hợp với định hớng đổi mới phơng pháp dạy học Toán trong giai đoạn hiện nay), nói cách khác, Luận án rất quan tâm đến ph-

ơng thức dẫn dắt, lôi cuốn một cách hợp lý để học sinh tham gia tích cực vàoquá trình phát hiện và giải quyết vấn đề

6.2 Về mặt thực tiễn

6.2.1 Có thể sử dụng Luận án để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán nhằm góp phần nâng cao hiệu quả dạy học môn Toán ở trờng Trung học

phổ thông;

6.2.2 Phân tích, đề xuất cách trình bày hợp lý hơn đối với một khái niệm

cơ bản của Đại số 10 (việc nắm vững khái niệm này cũng nh hiểu rõ các vấn

đề liên quan đến khái niệm ấy có ảnh hởng quan trọng đến sự phát triển nănglực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh)

7 những luận điểm đa ra bảo vệ

7.1 Cách quan niệm về những thành tố đặc trng đối với năng lực t duy

lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của học sinh lớp 10 trong Đại

số nh Luận án của chúng tôi, là một trong những cách quan niệm mang ý

nghĩa lý luận và thực tiễn Phát triển năng lực này vừa là một điều kiện, vừa làmột kết quả của dạy học Đại số;

7.2 Các biện pháp góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng

chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số (đềxuất trong Luận án) là khả thi và hiệu quả;

7.3 Trong khi thực hiện các biện pháp, đã quan tâm hợp lý đến việc tăng

cờng hoạt động, bồi dỡng năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề cho họcsinh;

7.4 Có thể trình bày khái niệm Hai phơng trình tơng đơng trên D một

cách hợp lý hơn so với sách giáo khoa hiện hành, nhằm đáp ứng các yêu cầu:tính lôgic, tính chính xác, tính s phạm

8 Cấu trúc của luận án

Luận án, ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, có 3 chơng:

Chơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

1.1 Quá trình t duy

1.2 Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và nănglực toán học.

2.1 Định hớng xây dựng và thực hiện các biện pháp

2.2 Một số biện pháp nhằm góp phần phát triển năng lực t duy lôgic và

sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học cho học sinh lớp 10 trong dạy học

Đại số

2.3 Kết luận

Chơng 3: Thực nghiệm s phạm

3.1 Mục đích thực nghiệm

3.2 Tổ chức và nội dung thực nghiệm

3.3 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4 Kết luận

Chơng 1 cơ sở lý luận và thực tiễn 1.1 Quá trình t duy

1.1.1 Khái niệm về t duy

Nhận thức cảm tính có vai trò quan trọng trong đời sống tâm lý của conngời, nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lý cao hơn Tuy nhiên, thực

tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính, con ng ời không thểnhận thức và giải quyết đợc Muốn cải tạo thế giới, con ngời phải đạt tới mức

độ nhận thức cao hơn, đó là nhận thức lý tính (hay còn gọi là t duy)

Trong Tâm lý học, một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về t duy đã

đợc trình bày trong các công trình của X L Rubinstêin Những công trình này

đã thúc đẩy mạnh mẽ việc giải quyết hàng loạt vấn đề cơ bản liên quan đếnviệc nghiên cứu hình thức hoạt động tâm lý phức tạp Theo cách hiểu của X

L Rubinstêin: “T duy - đó là sự khôi phục trong ý nghĩ của chủ thể về kháchthể với mức độ đầy đủ hơn, toàn diện hơn so với các t liệu cảm tính xuất hiện

T duy con ngời mang bản chất xã hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ.Trong quá trình phát triển, t duy con ngời không dừng lại ở trình độ t duybằng thao tác tay chân, bằng hình tợng mà con ngời còn đạt tới trình độ t duybằng ngôn ngữ, t duy trừu tợng, t duy khái quát - hình thức t duy đặc biệt củacon ngời [57, tr 119] Trong quá trình t duy, con ngời sử dụng phơng tiệnngôn ngữ, sản phẩm có tính xã hội cao để nhận thức tình huống có vấn đề, đểtiến hành các thao tác t duy: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, kháiquát hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy lý, những quy luật -những sản phẩm khái quát của t duy

1.1.2 Đặc điểm của t duy

Thuộc bậc thang nhận thức cao - nhận thức lý tính - t duy có những đặc

điểm mới về chất so với cảm giác và tri giác T duy có những đặc điểm cơ bảnsau [57, tr 119-125]:

* T duy chỉ nảy sinh khi gặp những hoàn cảnh có vấn đề;

* T duy có tính khái quát;

* T duy có tính gián tiếp;

* T duy của con ngời có quan hệ mật thiết với ngôn ngữ: t duy và ngônngữ có quan hệ chặt chẽ với nhau, không tách rời nhau nhng cũng không đồngnhất với nhau Sự thống nhất giữa t duy và ngôn ngữ thể hiện rõ ở khâu biểu

đạt kết quả của quá trình t duy

“Đặc điểm điển hình của t duy của con ngời là mối liên hệ không thể chiacắt đợc giữa t duy và ngôn ngữ Nhận thức, t duy của con ngời chỉ có thể thựchiện thông qua ngôn ngữ, điều đó chứng tỏ tính chất xã hội của t duy của conngời khác với tính chất thuần tuý sinh vật của sự hoạt động tâm lý của độngvật” [115, tr 874-875]

* T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính: t duy thờng bắt đầu

từ nhận thức cảm tính, dù t duy có khái quát và trừu tợng đến đâu thì nội dungcủa t duy vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính (cảm giác, tri giác, hìnhtợng trực quan, …) X L Rubinstêin khẳng định rằng: “Nội dung cảm tínhbao giờ cũng có trong t duy trừu tợng, tựa hồ nh làm thành chỗ dựa cho t duy”(dẫn theo [57, tr 122])

* T duy là một quá trình: t duy đợc xét nh một quá trình, nghĩa là t duy cónảy sinh, diễn biến và kết thúc Quá trình t duy bao gồm nhiều giai đoạn kếtiếp nhau đợc minh hoạ bởi sơ đồ (do K K Plantônôv đa ra):

Nhận thức vấn đề

Xuất hiện các liên t ởng

Sàng lọc liên t ởng và hình thành giả thuyết

Kiểm tra giả thuyết

Chính xác hoá Khẳng định Phủ định

Giải quyết vấn đề Hoạt động t duy mới

Hình 1.1

* Quá trình t duy là một hành động trí tuệ: quá trình t duy đợc diễn ra

bằng cách chủ thể tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định Có rất nhiều thaotác trí tuệ tham gia vào một quá trình t duy cụ thể với t cách một hành động trítuệ: phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tợng hoá, khái quát hoá,

1.1.3 Tác dụng của t duy

“T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Ngời ta dựa vào t duy đểnhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụng nhữngquy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình” [115, tr 876]

1.1.4 Về sự phân loại t duy

Có nhiều cách phân loại t duy

Theo [57], [117], [143] có ba loại t duy:

a) T duy trực quan, hành động: đó là loại t duy bằng các thao tác cụ thể

tay chân hớng vào việc giải quyết một số tình huống cụ thể, trực quan

b) T duy trực quan hình tợng: là loại t duy phát triển ở mức độ cao hơn, ra

đời muộn hơn so với loại t duy trực quan hành động, chỉ có ở ngời, đó là loại

t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa vào các hình ảnh của sự vật, hiện tợng

c) T duy trừu tợng (t duy ngôn ngữ, lôgic): là loại t duy phát triển ở mức

độ cao nhất, chỉ có ở ngời, đó là loại t duy mà việc giải quyết vấn đề dựa trêncác khái niệm, các mối quan hệ lôgic và gắn bó chặt chẽ với ngôn ngữ, lấyngôn ngữ làm phơng tiện

Theo A V Pêtrôvxki và L B Itenxơn, có 4 loại t duy: t duy hình tợng, t

duy thực hành, t duy khoa học và t duy lôgic.

Trong đó, t duy lôgíc đợc hiểu là: “T duy thay thế các hành động với các

sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc của Lôgic học”[105, tr 126-130]

Trong một số công trình của V A Cruchetxki, ông có nói đến: t duy tích

cực, t duy độc lập, t duy sáng tạo, t duy lý luận [30, tr 112-117]

Các thuật ngữ t duy lý luận, t duy kinh nghiệm đã đợc V V Đavđôv sử dụng trong cuốn Các dạng khái quát hoá trong dạy học [43, tr 247].

J Piaget thờng nói đến 2 loại t duy: t duy cụ thể và t duy hình thức.

Trên đây là một số cách phân loại t duy, qua đó có thể nhận thấy rằng:

cách phân loại t duy là hết sức đa dạng

1.2 Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học

và năng lực toán học

Phần này không nhằm mục đích đi sâu nghiên cứu về năng lực toán học

hay t duy toán học, mà chỉ nhằm hỗ trợ cho việc xác định các thành tố đặc

tr-ng của nătr-ng lực t duy lôgic và sử dụtr-ng chính xác tr-ngôn tr-ngữ toán học của HS trong Đại số (sẽ đợc trình bày trong những phần về sau) mà thôi

Qua phần này chúng ta sẽ thấy rằng:

- Cha có sự thống nhất hoàn toàn giữa các quan điểm của các nhà khoahọc;

- Chỉ có sự độc lập tơng đối giữa các thành phần đợc tách ra từ năng lựctoán học hoặc t duy toán học;

- Cách sử dụng thuật ngữ để đặt tên cho các loại hình t duy là cha thốngnhất, một loại hình t duy nào đó theo cách hiểu của tác giả này có thể không

đồng nhất với loại hình t duy ấy theo cách hiểu của tác giả kia, và cũng khôngnhất thiết phân biệt hoàn toàn với loại hình t duy có tên gọi khác;

Việc tham khảo quan điểm của các nhà khoa học về những thành phần

của t duy toán học hay năng lực toán học nh là một trong những điểm tựa hỗ

trợ cho việc xác định các thành tố đặc trng của năng lực t duy lôgic và sử

dụng chính xác ngôn ngữ toán học, sẽ góp phần khẳng định tính giá trị củaviệc phát triển năng lực này trong giáo dục Toán học, bởi: dẫu có khác nhau

về quan điểm cũng nh cách sử dụng thuật ngữ, nhng tựu trung lại, nhữngthành tố có mặt trong các quan điểm ấy đều cần thiết và tác động đến chất l-

ợng học tập môn Toán của HS Hơn nữa, nó thể hiện Quan điểm tiếp cận hệ

thống trong nghiên cứu Khoa học Giáo dục (đã đợc các tác giả Trần Thúc

Trình, Nguyễn Bá Kim trình bày trong [56, tr 92-95] và [77, tr 24-26])

1.2.1 Vai trò của t duy toán học và một số hớng nghiên cứu về t duy

b) Rèn luyện cho HS những kỹ năng và kỹ xảo toán học;

c) Phát triển t duy toán học của HS

“Có quan niệm cho rằng, việc giải quyết có kết quả vấn đề thứ nhất vàvấn đề thứ hai trong số các vấn đề trên, sẽ tự nó kéo theo việc giải quyết vấn

đề thứ ba Có nghĩa là cho rằng, sự phát triển t duy toán học diễn ra một cách

tự phát trong quá trình giảng dạy Toán Trong một chừng mực nào đó, điềunày có thể đúng, nhng chỉ trong một chừng mực nào đó mà thôi” [156, tr.131], [162, tr 105]

“T duy toán học không chỉ là thành phần quan trọng trong quá trình hoạt

động toán học của HS, nó còn là thành phần mà, nếu thiếu sự phát triển mộtcách có phơng hớng thì không thể đạt đợc hiệu quả trong việc truyền thụ cho

HS hệ thống các kiến thức và kỹ năng toán học” [156, tr 131]

Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn nhận xét: “Làm khoa học gì thì cũng đụngchạm đến kiến thức, t duy và tính cách con ngời một cách sâu đậm Kiến thức,

t duy, tính cách con ngời chính là mục tiêu của giáo dục” [128, tr 7] Nhận

xét đó đợc Ông nhắc lại trong bài “Văn hoá Toán học” (Tạp chí Giáo dục, số

1.2.2 Một số quan điểm về những thành phần của t duy toán học và

năng lực toán học

Trong số những công trình có đề cập về t duy toán học, trớc hết có thể kể

đến Phơng pháp giảng dạy Toán ở trờng phổ thông của nhóm tác giả: Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, V Ia Xannhinxki và G L Lukankin

Cuốn sách này đợc ấn hành lần đầu tiên vào năm 1975 [156] và đợc táibản lần thứ nhất vào năm 1980 [162]

Trong các cuốn sách này, tác giả đã trình bày rất cụ thể về những thành

phần của t duy toán học ít thấy tài liệu nào đề cập đến t duy toán học một

cách chi tiết nh vậy.

Khẳng định về sự đa dạng của những quan điểm về t duy toán học, tác giảviết: “Tuỳ theo những quan điểm giáo học pháp khác nhau, việc phân chia cácthành phần t duy toán học có thể có và có thể còn hợp lý hơn nữa” [162, tr.131]

Trớc khi nêu ra các thành phần của t duy toán học, tác giả lý giải: “T duytoán học có những nét, những đặc điểm đặc trng của mình, mà những đặc

điểm này đợc quy định bởi tính đặc thù của các đối tợng nghiên cứu và đợcquy định bởi tính đặc thù của các phơng pháp nghiên cứu” [156]

Về cấu trúc t duy toán học, theo [156, tr 136-151], các thành phần chủ

yếu của t duy toán học gồm:

7) Các phong cách toán học của t duy

Đặc biệt, t duy trừu tợng có thể đợc tách thành:

* T duy phân tích;

* T duy lôgic;

* T duy lợc đồ không gian

Điều thú vị là: [162] đợc chỉnh lý có bổ sung từ [156] của cùng một nhóm

tác giả Tuy nhiên, trong [162] quan điểm về t duy toán học không hoàn toàn

đồng nhất với [156]

Trong [162], các tác giả quan niệm rằng, t duy toán học bao gồm các

thành phần chủ yếu sau đây:

Có thể lu ý một đặc điểm nữa của [156], [162]: khi đề cập đến loại hình t

duy nào, đều mô tả tơng đối cụ thể bằng cách chỉ ra những đặc trng của loại hình t duy ấy.

Trong các bài báo của Viện sĩ B V Gơnhedencô viết về giáo dục Toánhọc (ở trờng phổ thông), không thấy Ông nói đến những thành phần của t duytoán học hay cấu trúc của năng lực toán học, mà chỉ thấy Ông sử dụng cụm từ

những yêu cầu đối với t duy toán học của học sinh Những yêu cầu đó là:

1) Năng lực nhìn thấy sự không rõ ràng của quá trình suy luận, thấy đợc

sự thiếu sót của những điều cần thiết trong chứng minh;

2) Sự cô đọng;

3) Sự chính xác của các ký hiệu;

4) Phân chia rõ ràng tiến trình suy luận;

5) Thói quen lý lẽ đầy đủ về lôgic [152], [153], [154]

Nhà toán học nổi tiếng A Ia Khinshin, Giáo s A I Marcusêvich, cũngkhông nói rõ rằng t duy toán học; năng lực toán học bao gồm những thànhphần nào mà có cách sử dụng khác về thuật ngữ

Theo A Ia Khinshin, những nét độc đáo của t duy toán học là:

1) Suy luận theo sơ đồ lôgic chiếm u thế;

2) Khuynh hớng đi tìm con đờng ngắn nhất dẫn đến mục đích;

3) Phân chia rành mạch các bớc suy luận;

4) Sử dụng chính xác các ký hiệu (mỗi ký hiệu toán học có một ý nghĩaxác định chặt chẽ);

5) Tính có căn cứ đầy đủ của lập luận [176], [66, tr 127]

Theo A I Marcusêvich, những kỹ năng cần phải đợc bồi dỡng cho HS

trong dạy học Toán là:

1) Kỹ năng loại bỏ những chi tiết không căn bản để chỉ giữ lại những cáibản chất của vấn đề, chẳng hạn kỹ năng trừu tợng hoá;

2) Kỹ năng rút ra hệ quả lôgic từ những tiền đề đã cho;

3) Kỹ năng phân tích một vấn đề thành những trờng hợp riêng, phân biệtkhi nào đã bao quát đợc mọi khả năng, khi nào chỉ là ví dụ chứ cha bao quáthết mọi khả năng;

4) Kỹ năng khái quát hoá các kết quả nhận đợc và đặt ra những vấn đềmới ở dạng khái quát;

5) Kỹ năng xây dựng sơ đồ của hiện tợng, sao cho, trong đó chỉ giữ lạinhững yếu tố cần thiết cho việc giải thích vấn đề về mặt Toán học;

6) Kỹ năng vận dụng các kết luận đợc rút ra từ các suy luận, biết đốichiếu các kết quả đó với các vấn đề đã dự kiến; kỹ năng đánh giá ảnh hởng

của việc thay đổi các điều kiện đến độ tin cậy của các kết quả (dẫn theo [93]) Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn trong Phơng pháp luận duy vật biện chứng với

việc học, dạy, nghiên cứu Toán học có đề cập bảy loại t duy: t duy lôgic hình

thức, t duy biện chứng, t duy quản lý, t duy kỹ thuật, t duy kinh tế, t duy thuật toán, t duy hình tợng [128, tr 146-149].

Một trong những nghiên cứu đầy đủ nhất về cấu trúc năng lực toán học là

công trình Tâm lý năng lực toán học của học sinh của V A Cruchetxki

Theo V A Cruchetxki: “Những năng lực toán học đợc hiểu là những đặc

điểm tâm lý cá nhân (trớc hết là những đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứngnhững yêu cầu của hoạt động học tập Toán học, và trong những điều kiệnvững chắc nh nhau thì là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vữngmột cách sáng tạo toán học với t cách là một môn học, đặc biệt nắm vững tơng

đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo trong lĩnh vựcToán học” [158, tr 91]

Theo Ông, sơ đồ khái quát của cấu trúc năng lực toán học ở lứa tuổi họcsinh là nh sau:

1) Về mặt thu nhận những thông tin toán học:

Năng lực tri giác hình thức hoá tài liệu toán học, năng lực nắm đợc cấutrúc hình thức của bài toán;

2) Về mặt chế biến thông tin toán học:

a) Năng lực t duy lôgic trong lĩnh vực các quan hệ số lợng và các quan hệkhông gian, các ký hiệu dấu và các ký hiệu số; năng lực suy nghĩ với các kýhiệu toán học;

b) Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tợng, quan hệ, cácphép toán của Toán học;

c) Năng lực rút ngắn quá trình suy luận toán học và hệ thống các phéptoán tơng ứng; năng lực suy nghĩ với những cấu trúc đợc rút gọn;

d) Tính mềm dẻo của các quá trình t duy trong hoạt động toán học;

e) Khuynh hớng vơn tới sự rõ ràng, sự đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp

lý của lời giải;

f) Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng hớng suy nghĩ, dạng t duythuận chuyển qua t duy ngợc

3) Về mặt lu trữ thông tin toán học:

Trí nhớ toán học (tức là trí nhớ khái quát về các quan hệ toán học, về các

đặc điểm điển hình, về các sơ đồ suy luận và chứng minh)

4) Về thành phần tổng hợp khái quát:

Khuynh hớng toán học của trí tuệ [66, tr 129], [158, tr 385-386]

Theo Viện sĩ A N Kôlmôgôrôv, trong thành phần của năng lực toán học

có:

1) Năng lực biến đổi khéo léo những biểu thức chữ phức tạp, năng lực tìmcon đờng giải các phơng trình không theo quy tắc chuẩn, hoặc nh các nhàtoán học quen gọi là năng lực tính toán hay năng lực “angôritmic”;

2) Trí tởng tợng hình học hay là “trực giác hình học”;

3) Nghệ thuật suy luận lôgic theo các bớc đợc phân chia một cách đúng

đắn Đặc biệt, có kỹ năng vận dụng đúng đắn nguyên lý quy nạp toán học

5) Năng lực giải các phơng trình;

6) Năng lực thực hiện các phép biến đổi đại số đồng nhất;

7) Năng lực biểu diễn bằng đồ thị sự phụ thuộc hàm của hai đại luợng(dẫn theo V A Cruchetxki trong [158, tr 47])

Các tác giả: A A Stôliar [171]; E L Gingulixơ [151]; X B Xuvôrôva[173]; A S Krgôvxcaia [159]; X I Xvacxbua [177]; cũng đề cập đến một

số khía cạnh liên quan đến vấn đề t duy toán học; năng lực toán học hoặc hoạt

động toán học

Bên cạnh các tác giả nớc ngoài, một số loại hình của t duy toán học đã

đ-ợc các tác giả Việt Nam nghiên cứu

Trong [66, tr 60-61], tác giả cho rằng: “Để nhận thức mặt nội dung củahiện thực cần có t duy biện chứng, để nhận thức mặt hình thức của hiện thựccần có t duy lôgic, nên t duy toán học cũng phải là sự thống nhất biện chứnggiữa t duy lôgic và t duy biện chứng”

Trong [75], tác giả đã chỉ rõ những thành phần của t duy thuật toán (thuật

giải) [75, tr 201-202]; tác giả cũng đề xuất một số hớng có thể thực hiện để

rèn luyện t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác, phát triển khả năng suy đoán và

tởng tợng, rèn luyện những thao tác t duy cho học sinh qua môn Toán [75, tr.

30-33]

Những đặc trng của t duy hàm và bốn T tởng chủ đạo để phát triển t duy

hàm đã đợc tác giả Nguyễn Bá Kim trình bày trong [76, tr 122-149] Theo đó,

t duy hàm đợc đặc trng bởi các hoạt động:

- Phát hiện hoặc thiết lập những sự tơng ứng;

- Nghiên cứu những sự tơng ứng;

- Lợi dụng những sự tơng ứng [76, tr 123]

1.2.3 Một số nhận xét đợc rút ra từ việc tham khảo các quan điểm của

các tác giả về t duy toán học và năng lực toán học

Có thể nhận thấy rằng:

* Hai thành phần có tên gọi nh nhau theo quan điểm của hai tác giả có thể không đồng nhất về nội hàm Chẳng hạn, t duy hàm theo quan điểm của tác giả Nguyễn Bá Kim [76, tr 123-124] với t duy hàm theo quan điểm của tác giả Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian [162, tr 127] không là đồng nhất

với nhau;

* Giữa các thành phần có sự giao thoa Xin dẫn chứng bởi nhận xét của

V A Cruchetxki: “Các thành phần của cấu trúc năng lực toán học liên quan

mật thiết với nhau tạo thành một hệ thống duy nhất, một tổ chức toàn vẹn Sự

liên quan chặt chẽ giữa chúng trong quá trình giải toán đã đợc thấy qua rất

nhiều ví dụ Chẳng hạn thành phần năng lực rút gọn quá trình suy luận là hệquả của thành phần năng lực khái quát hoá” [158, tr 385-388], và Iu M Kô-

liagin: “Biểu đồ những thành phần t duy của toán học ở trên chỉ là gần đúng

và đơng nhiên, không là đầy đủ và bao quát mọi khía cạnh Trong thực tế của

quá trình t duy toán học, tất cả những thành phần t duy ở trên tác động qua lại

một cách hữu cơ với nhau, kết cấu chặt chẽ với nhau trong những thao tác t

duy này hay khác Sự phân chia diễn ra ở trên cho một quá trình phức tạp nh tduy toán học, bằng cách xét các thành phần riêng rẽ của nó, chẳng qua là domuốn nghiên cứu các biểu hiện riêng biệt của t duy toán học trong quá trình

giảng dạy Toán mà thôi Chỉ có nh vậy ngời giáo viên mới có điều kiện thúc

đẩy sự phát triển nếu không đợc toàn diện thì cũng là sự phát triển từng phần

t duy toán học cho học sinh” [156, tr 136]

Xin nêu thêm một dẫn chứng nữa, đó là nhận xét: “Chúng tôi quan niệmrằng, t duy hàm thể hiện một phần của t duy lôgic hình thức và t duy biệnchứng” của tác giả Trần Thúc Trình trong bài báo “Trao đổi thêm về t duy

hàm trong dạy học Toán ở trờng phổ thông” (Thông tin khoa học giáo dục, số

77, năm 2000)

ở Mục 1.5 của Luận án, khi chúng tôi đa ra những thành tố đặc trng củanăng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học, cũng không thểtránh khỏi sự giao thoa giữa các thành tố với nhau

* Vẫn một nhóm tác giả, nhng trong hai thời điểm, có thể có quan điểm

không đồng nhất về các thành phần của t duy toán học (chẳng hạn trờng hợp

của [156] và [162]);

* Không dễ so sánh tính hợp lý giữa các cách quan niệm Có thể quan

niệm này hợp lý hơn quan niệm kia nếu xét ở khía cạnh HS Trung học phổ thông, nhng không hợp lý bằng nếu xét ở khía cạnh HS Trung học cơ sở Tơng

tự nh vậy nếu xem xét trên khía cạnh chất liệu kiến thức (Đại số, Số học, Hìnhhọc, Giải tích, )

Nh vậy, để đánh giá đúng mức vai trò của một loại hình t duy hay nănglực, cũng nh tìm kiếm các biện pháp phát triển chúng, không nên chỉ đơn

thuần dựa vào tên gọi một cách chung chung, mà trớc hết phải có quan niệm

cụ thể về loại hình t duy hoặc năng lực này Hợp lý hơn cả là nên làm rõnhững thành tố đặc trng của nó

đều chịu sự chi phối của các quy luật ngữ âm, cấu tạo từ và ngữ pháp của ngôn ngữ nói chung Mặt khác trong giảng dạy Toán, không thể không quan tâm

đến việc nâng cao trình độ sử dụng tiếng mẹ đẻ một cách chính xác [73,

tr 3, 4], [21, tr 59], [80, tr 387] Do đó, cần sơ lợc vài nét cơ bản nhất vềngôn ngữ tự nhiên

1.3.1 Chức năng của ngôn ngữ

* Ngôn ngữ là phơng tiện giao tiếp trọng yếu nhất của con ngời

* Ngôn ngữ là phơng tiện của t duy

1.3.2 Về một số hiện tợng trong tiếng Việt

Trong tiếng Việt, ta thờng gặp một số “hiện tợng” Trớc hết là hiện tợng

đồng âm khác nghĩa

Từ đồng âm là những từ giống nhau về âm thanh, nhng có những ý nghĩahoàn toàn khác nhau, chúng trùng nhau về cả âm thanh lẫn chữ viết trong tấtcả (hoặc hàng loạt) hình thái ngữ pháp vốn có của chúng [54]

Chẳng hạn, theo Từ điển tiếng Việt thì từ đờng có thể hiểu theo 9 nghĩa

khác nhau

Hiện tợng đồng âm trong tiếng Việt càng đợc thấy rõ hơn khi ta đọc các

câu sau đây:

Ba ngày trớc khi đi Hạ Long tôi có gặp bạn Nam.

Cái xe đạp nhẹ lắm.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4 có thể lập đợc bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau?

Thứ hai là hiện tợng phi lôgíc Chẳng hạn các câu:

Cấm không đợc hút thuốc lá.

Con ông cháu cha.

Cao chạy xa bay.

Thứ ba, trong nhiều trờng hợp, phép hội không có tính giao hoán Chẳng

hạn, hai câu sau đây là không đồng nghĩa:

Anh Ba lúng búng nói và mọi ngời cời ầm lên.

Mọi ngời cời ầm lên và anh Ba lúng búng nói.

1.3.3 Thuật ngữ khoa học là bộ phận từ vựng đặc biệt của ngôn ngữ, nó

bao gồm những từ và cụm từ là tên gọi chính xác của những khái niệm vànhững đối tợng thuộc các lĩnh vực chuyên môn Thuật ngữ là bộ phận từ vựngrất quan trọng của ngôn ngữ Đối với các ngôn ngữ có trình độ phát triển cao,thuật ngữ chiếm tỷ lệ rất lớn So với các bộ phận khác trong hệ thống từ vựngthì thuật ngữ là bộ phận phát triển nhất Theo K Xôkhôra, nhà ngôn ngữ họcngời Cộng hũa Czech, 90% từ mới trong ngôn ngữ là các thuật ngữ khoa học,

kỹ thuật

Thuật ngữ khoa học có các đặc điểm sau [54, tr 118-121]:

Trớc hết, thuật ngữ khoa học có tính xác định về nghĩa.

Đặc điểm thứ hai là tính hệ thống: mỗi lĩnh vực khoa học đều có một hệ

thống các khái niệm chặt chẽ đợc thể hiện ra bằng hệ thống các thuật ngữ củamình

Đặc điểm thứ ba của thuật ngữ là xu hớng một nghĩa: nếu nh ở những từ

thông thờng, hiện tợng nhiều nghĩa rất tự nhiên và phổ biến, thì đối với thuậtngữ, do tính xác định về nghĩa, cũng nh do nó nằm trong hệ thống thuật ngữnhất định, nên mỗi thuật ngữ thờng chỉ có một nghĩa Tất nhiên, một thuật ngữ

cụ thể nào đó có thể tham gia vào nhiều hệ thống thuật ngữ khác nhau, nhngtrong cùng một hệ thống, mỗi thuật ngữ thờng chỉ có một nghĩa mà thôi

Đặc điểm thứ t của thuật ngữ là tính quốc tế.

Đặc điểm thứ năm của thuật ngữ thể hiện ở chỗ nú không mang sắc thái

tu từ biểu cảm.

1.3.4 Việc sử dụng ngôn ngữ, nói riêng trong giới học sinh, còn có những

điều đáng bàn “Chúng ta có thể tổ chức dạy và học đạt tới trình độ ngôn ngữhay Đó là công việc ở các trờng dạy viết Văn chẳng hạn Nhng khi nói đếnrèn luyện ngôn ngữ thì ngời ta chủ yếu nhìn vào mục tiêu là ngôn ngữ đúng,ngôn ngữ chuẩn mực Việc xây dựng kỹ năng sử dụng ngôn ngữ đúng, vềnguyên tắc phải đợc hoàn thành ở bậc học phổ thông Nhng trên thực tế, ở nớc

ta, học sinh tốt nghiệp 12 năm phổ thông nói, viết tiếng mẹ đẻ cha tốt lắm

Cho nên, muốn giữ gìn sự trong sáng của tiếng Việt, chúng ta phải tốn nhiềucông sức cho việc rèn luyện ngôn ngữ, trớc hết, tập trung vào luyện kỹ năng

sử dụng ngôn ngữ đúng, chuẩn xác” [126, tr 20]

N G Trernsepxki cho rằng: “Cái gì anh hình dung không rõ thì diễn đạtkhông sáng, diễn đạt thiếu chính xác và lộn xộn thì chứng tỏ ý nghĩ của mìnhrối rắm, phức tạp mà thôi” (dẫn theo [1]) Vì vậy, “rèn luyện kỹ năng dùngngôn ngữ chính xác chính là rèn luyện t duy chính xác Khi học sinh học hoặclàm bài mà chú ý đến từng câu, chữ, các dấu chấm, dấu phẩy, dấu chấm phẩythì chính là họ đơng t duy Trong các bài tập ra cho học sinh, nên có các bàitập yêu cầu diễn tả các công thức sang ngôn ngữ thông thờng để chống bệnhhình thức và rèn luyện dùng ngôn ngữ cho chính xác” [130, tr 141]

1.4 Ngôn ngữ toán học

1.4.1 Một số tác giả quan niệm rằng: “Toán học hiểu theo nghĩa nào đó

là một thứ ngôn ngữ để mô tả những tình huống cụ thể nảy sinh trong nghiêncứu khoa học, hoặc trong hoạt động thực tiễn của loài ngời” [66, tr 96], [171,

tr 229] Bởi vậy: “Dạy học Toán, xét về mặt nào đó là dạy học một ngôn ngữ,một ngôn ngữ đặc biệt, có tác dụng to lớn trong việc diễn tả các sự kiện, cácphơng pháp trong các lĩnh vực rất khác nhau của khoa học và hoạt động thựctiễn” [19, tr 7]

Ngôn ngữ toán học là kết quả của sự cải tiến ngôn ngữ tự nhiên theonhững khuynh hớng sau [171, tr 226]:

- Khắc phục sự cồng kềnh của ngôn ngữ tự nhiên;

- Mở rộng các khả năng biểu diễn của nó;

- Loại bỏ sự đa nghĩa của ngôn ngữ tự nhiên

Nhà Vật lý học Niels Bohr coi ngôn ngữ toán học là “sự cải tiến ngôn ngữchung, sự trang bị cho nó những công cụ thuận tiện để phản ánh những mốiphụ thuộc, mà nếu biểu đạt bằng ngôn ngữ thông thờng thì sẽ không chính xáchoặc phức tạp” (trích theo [116, tr 230])

Theo các tác giả A A Stôliar; Phạm Văn Hoàn, Nguyễn Gia Cốc, TrầnThúc Trình, ngôn ngữ toán học khác với ngôn ngữ tự nhiên ở chỗ:

Thứ nhất, trong ngôn ngữ toán học một dấu, chữ số, chữ cái, dấu phép

tính, hay dấu quan hệ biểu thị điều mà ngôn ngữ tự nhiên phải dùng đến từ

hay một kết hợp từ mới biểu thị đợc, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học gọn

gàng hơn so với ngôn ngữ tự nhiên.

Thứ hai, mỗi ký hiệu toán học hoặc một kết hợp các ký hiệu đều có một

nghĩa duy nhất, điều đó làm cho ngôn ngữ toán học có khả năng diễn đạt

chính xác t tởng toán học hơn hẳn ngôn ngữ tự nhiên (đôi khi ta gặp những từ

hoặc cụm từ có nhiều nghĩa)

Thứ ba, trong ngôn ngữ toán học có dùng đến ngôn ngữ biến (biểu thị

nhiều đối tợng trong một quan hệ nào đó) điều đó cho phép ngôn ngữ toán họcrất thích hợp để diễn đạt khái quát các quy luật chung [66, tr 95], [171, tr.226-228]

Ngôn ngữ toán học có tính quốc tế nên rất thuận lợi trong giao lu toánhọc giữa các nớc trên thế giới

1.4.2 Trong dạy học môn Toán thờng sử dụng đan xen ba dạng ngôn

ngữ: Các ký hiệu toán học, các thuật ngữ toán học và ngôn ngữ tự nhiên

Chẳng hạn, trong Định nghĩa: Phơng trình dạng ax + b = 0 trong đó a, b là

những hằng số, a  0, đợc gọi là phơng trình bậc nhất một ẩn số; b đợc gọi

là hạng tử tự do (Đại số 8, tr 67) có sự xuất hiện của ký hiệu; thuật ngữ và

ngôn ngữ tự nhiên

Hệ thống các ký hiệu toán học có thể coi là một ngôn ngữ riêng, ngôn

ngữ ký hiệu Để làm sáng tỏ lợi ích của các ký hiệu toán học, G Pôlya dẫn ra

ví dụ: chúng ta thử cộng nhiều số khá lớn với giả thiết là không đợc dùng chữ

số ảrập mà chỉ đợc dùng chữ số La Mã, nh vậy thì phải mất bao lâu để làmphép tính: MMMXC + MDCXII + MDCCCLXXXVII? [110, tr 135]

G W Leibnitz ví ngôn ngữ ký hiệu nh sợi chỉ đỏ của nàng Ariane, ôngcho rằng: “Chúng ta sử dụng ký hiệu không phải chỉ để diễn đạt sự suy nghĩcủa ta cho ngời khác, mà còn để đơn giản hoá quá trình suy nghĩ của chínhchúng ta” (dẫn theo [51, tr 4])

Năng lực t duy toán học và năng lực sử dụng ngôn ngữ ký hiệu có liênquan chặt chẽ với nhau, “nắm vững đợc ngôn ngữ các ký hiệu toán học cũng

có nghĩa là nắm vững đợc những đặc trng của t duy toán học” [173, tr 30]

Số và hình không phải là những đối tợng duy nhất của Toán học Về

nguyên tắc, Toán học không tách rời Lôgíc học [109, tr 39] Ngày nay, do sự

phát triển của của Toán học, luận đề của F Engels: “Đối tợng của Toán học(thuần tuý) là những hình dạng không gian và quan hệ số lợng của thế giớihiện thực” đã đợc hiểu một cách rất rộng: “Toán học là khoa học nghiên cứu

về các quan hệ số lợng, hình dạng và lôgíc trong thế giới khách quan” [80, tr

40], [137, tr 4] Ngôn ngữ toán học đợc giảng dạy ở bậc Trung học phổ thông

bao hàm cả một số yếu tố cơ bản nhất của ngôn ngữ Lý thuyết tập hợp và

Đại số (Các lớp 6 - 8) [173] đã chứng minh sự cần thiết phải đa vào giảng dạy

cho HS một số yếu tố cơ bản của ngôn ngữ lý thuyết tập hợp và lôgíc toán, đặc

biệt trong môn Đại số

Tuy nhiên, A A Stôliar cho rằng: “Việc đa ngôn ngữ lôgíc phải đợc thựchiện một cách cực kỳ thận trọng trên cơ sở nội dung của nó” [148, tr.136] Vẫn theo A A Stôliar: “Sử dụng ngôn ngữ toán học hiện đại (lôgíc -toán) trong giảng dạy Toán ở trờng phổ thông hiện nay là một đề tài cần tranhluận rộng rãi Để giải quyết nó có hiệu quả về mặt s phạm, cần có nhữngnghiên cứu thực nghiệm lâu dài, ngay cả thầy giáo cũng phải nắm vững mộtcách đúng đắn ngôn ngữ này” [171, tr 240]

Điểm mới của Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) so với Đại số 10 (CCGD) là

đa thêm nội dung Mệnh đề và suy luận toán học, và điều đó đã đợc lý giải nh

sau: “Một trong những thiếu sót của Chơng trình CCGD năm 1989 là thiếukhái niệm mệnh đề và các suy luận toán học Đến đầu cấp THPT, chơngtrình môn Toán muốn chính xác hoá các khái niệm đó, cũng nh trình bày mộtcách chặt chẽ các khái niệm phơng trình, bất phơng trình Muốn làm đợc điềunày không thể không đa vào chơng trình các yếu tố sơ đẳng của Lôgíc toán, cụthể là lôgíc mệnh đề và vị từ (mà ta gọi là mệnh đề chứa biến) Tất nhiên đểhọc sinh diện đại trà có thể hiểu đợc thì các khái niệm này chỉ đợc mô tảthông qua các ví dụ chứ không trình bày một cách hình thức” [27, tr 14]

1.4.3 Nhiều thuật ngữ và ký hiệu toán học đã đợc mọi ngời thừa nhận và

sử dụng thống nhất Nhng do quan niệm hoặc do thói quen, một số nhà toánhọc hoặc một số quốc gia có thể sử dụng những ký hiệu và thuật ngữ khácnhau ứng với cùng một khái niệm, hoặc sử dụng cùng một thuật ngữ và cùngmột ký hiệu ứng với những khái niệm khác nhau Chẳng hạn, về ký hiệu số

thập phân, nớc ta dùng dấu phẩy trong khi một số nớc dùng dấu chấm sau

phần nguyên; về thuật ngữ “hình thang” có tác giả coi đó là “hình tứ giác có

hai cạnh song song”, lại có tác giả coi đó là “hình tứ giác có hai cạnh song

song, còn hai cạnh kia không song song”; có những SGK coi số dơng là số

lớn hơn hoặc bằng 0, số âm là số nhỏ hơn hoặc bằng 0 (chẳng hạn Mathematiques Pythagore, 6e, 5e, 4e, 3e Hatier, 1990, 1992), SGK Việt Nam

coi đờng trung tuyến (đờng phân giác, đờng cao) là những đoạn thẳng trong khi một số sách coi đó là đờng thẳng (chẳng hạn sách đã dẫn) Nếu coi đờng

cao là một đoạn thẳng thì lẽ ra phải nói ba đờng thẳng chứa ba đờng cao

đồng quy chứ không nên nói ba đờng cao đồng quy nh lâu nay thờng nói.

Vài định nghĩa hoặc định lý của một số SGK cũng có thể phát biểu chohợp lý hoặc chính xác hơn:

Ví dụ: Đại số 10 do Ngô Thúc Lanh chủ biên, có nêu Hệ quả: “Điều kiện

ắt có và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a 0) có hai nghiệm phân biệt màchỉ một trong hai nghiệm đó nằm giữa hai số và  < là f().f() < 0”[83, tr 132] có thể chỉnh lại một chút ít để đợc chính xác hơn: “Điều kiện ắt

có và đủ để tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a  0) có hai nghiệm phân biệt, mộtnghiệm nằm trong (  còn nghiệm kia nằm ngoài [là f().f() < 0”

Về Định nghĩa của khái niệm Hai phơng trình tơng đơng trên D đợc trình

bày trong [61], [62], chúng tôi sẽ phân tích kỹ ở Chơng 2 của Luận án

1.4.4 Ngữ nghĩa và cú pháp

Trong dạy học Toán nói chung và ngôn ngữ toán học nói riêng, cần quan

tâm đúng mức đến hai phơng diện: ngữ nghĩa và cú pháp.

Theo tác giả Nguyễn Bá Kim: Trong Toán học, ngời ta phân biệt cái kýhiệu và cái đợc ký hiệu, cái biểu diễn và cái đợc biểu diễn Nếu xem xét ph-

ơng diện những cái ký hiệu, những cái biểu diễn, đi vào cấu trúc hình thức vànhững quy tắc hình thức để xác định và biến đổi chúng, thì đó là phơng diện

cú pháp Nếu xem xét phơng diện những cái đợc ký hiệu, những cái đợc biểu

diễn, tức là đi vào nội dung, nghĩa của những cái ký hiệu, những cái biểu diễn

thì đó là phơng diện ngữ nghĩa [76, tr 80].

W Walsch đã nêu lên hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp của một số đối tợng thờng gặp trong Toán học: “Phơng diện ngữ nghĩa của Toán học là mặt xem

xét nội dung của những mệnh đề toán học và nghĩa của những cách đặt vấn đề

toán học Phơng diện cú pháp của Toán học là mặt xem xét cấu trúc hình thức

và sự biến đổi hình thức những biểu thức toán học, sự làm việc theo những

quy tắc xác định và nói riêng là sự làm việc theo thuật giải” (trích theo [76, tr.80]).

Theo A A Stôliar, không ít học sinh còn yếu trong việc nắm cú pháp của

ngôn ngữ toán học, chẳng hạn, học sinh cho rằng: (a + b)(x + y) = ax + by; từ

đẳng thức

R

1 R

1 R

1

2 1

! n

C k n



 (1), học sinh có thể chứng minh

n k n

(2) bằng cách áp dụng trực tiếp công thức (1) Tuy nhiên

rất ít em có thể chứng minh đợc công thức (2) bằng cách lần lại nghĩa ban

là số tập con có n - k phần tử của tập X Nếu tách ra từ X một tập con

có k phần tử thì còn lại một phần bù có n - k phần tử và ngợc lại Nh vậy: nếutập X có bao nhiêu tập con gồm k phần tử thì nó sẽ có bấy nhiêu tập con gồm

Ví dụ 2: Học sinh biết sử dụng công thức:

f ( x )  g ( x )) dx f ( x ) dx g ( x ) dx, nhng không phải em nào cũng hiểu đợcbản chất của dấu “=” trong công thức này

Phải chăng vì điều này nên Giải tích 12 (Ban khoa học Tự nhiên) [10] đã

thay thế cách trình bày đó bởi cách trình bày sau đây?

Nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) còn G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên (a; b) thì F(x) + G(x) là một nguyên hàm của f(x) + g(x) trên (a; b).

Ví dụ 3: Học hết chơng Hàm số mũ (Đại số và Giải tích 11), việc nhớ các

công thức nh: ax ay = ax+y; (ax)y = axy; x y

y

x

a a

 đối với học sinh không phải

là điều khó khăn Thế nhng, nếu đặt cho HS câu hỏi: Em hãy cho biết 2 3có nghĩa là thế nào? thì chúng ta thờng nhận đợc những câu trả lời rất mơ hồ và

thiếu chính xác

Ví dụ 4: Khi vừa học xong Định nghĩa giới hạn hàm số (mà cha học đến

các định lý về giới hạn và hàm số liên tục), học sinh lớp 11 thờng trả lời rất

nhanh về kết quả của: lim(2x 3)

“đầu”, họ đã suy nghĩ một cách “đơn giản” rằng: Cứ đem thay giá trị x = 2

vào biểu thức 2x + 3; hoặc đem thay giá trị x = 1 vào biểu thức x 2 - 4; là dễ dàng tìm ra ngay kết quả! Điều này phản ánh rằng học sinh cha hiểu bản chất

của ký hiệu lim

Hiện tợng sau đây không phải là hiếm: khi dạy Định nghĩa giới hạn hàm

số (theo ngôn ngữ -, Chơng trình CCGD trớc đây [85, tr 115]), có giáo viên,

ngay sau khi phát biểu Định nghĩa, đã lập tức thông báo với học sinh rằng:

Hiển nhiên ta có lim x a

3 x khi 1 x

thì limf(x)

3 x = 4 (!?) (thực chất thì

không tồn tại limf(x)

3

Nhiều công trình nghiên cứu đã khẳng định sự cần thiết phải quan tâm

một cách đúng mức đến các phơng diện ngữ nghĩa và cú pháp trong dạy học

Về sự phối hợp giữa hai mặt ngữ nghĩa và cú pháp trong giảng dạy ngônngữ toán học, A A Stôliar cho rằng: “Mặt ngữ nghĩa nói chung phải trội hơn

trong tất cả các giai đoạn của quá trình giảng dạy, mặt cú pháp nên áp dụngchỉ ở chỗ mà ở đó cần phải nắm vững các angôrit xác định” [171, tr 229]

1.4.5 Thực tiễn s phạm cũng cho thấy rằng: học sinh còn có những biểu

hiện mơ hồ, lẫn lộn, máy móc trong việc nắm, hiểu, sử dụng những thuật ngữtoán học

Những hiện tợng thờng thấy là:

a) Một “từ” xuất hiện ở hai khái niệm Liên quan đến khái niệm thứ nhất

có tính chất gì, thì HS nghĩ rằng, liên quan đến khái niệm thứ hai cũng có tính chất ấy.

Chẳng hạn, nhiều HS cho rằng: Tổng của hai hàm số lẻ là một hàm số

chẵn (họ bắt chớc tính chất: Tổng của hai số lẻ là một số chẵn Nhng thực ra,

nếu hai hàm số f(x) và g(x) là lẻ trên tập xác định D thì f(x) + g(x) cũng là

một hàm lẻ trên tập xác định D); hoặc HS cho rằng tích của hai hàm số lẻ là

một hàm số lẻ (thực ra không phải vậy).

b) Bị ám ảnh bởi nghĩa thông thờng của các từ trong tiếng Việt.

Chẳng hạn, có HS cho rằng: Giá trị cực đại của một hàm số thì luôn lớn

hơn giá trị cực tiểu (Thực ra, với hàm số

e dx

c bx ax y

Ví dụ: Không cần để ý đến dấu của x, nhiều học sinh cho rằng x 2 = x,

thậm chí còn có học sinh viết 9 =  3 Nguồn gốc của sai lầm đó là [19,

tr 23]: ở lớp 9, học sinh biết rằng, mỗi số dơng a có hai căn bậc 2 đối nhau

nhng chỉ có đúng một căn bậc 2 số học đợc ký hiệu là a Nh vậy, nếu thậtchuẩn a phải đợc đọc là căn bậc 2 số học của a.

Tuy nhiên, trong dạy học, theo thói quen, thầy giáo thờng đọc là căn a,

bởi vậy đã có hiện tợng học sinh viết 9 =  3

f) Những khó khăn và sai lầm xuất phát từ cách nhìn nặng về hình thức

Ví dụ: Học sinh cho rằng - x là số âm; học sinh giải đợc hệ phơng trình

với 2 ẩn x, y nhng không giải đợc hệ có dạng nh thế với các ẩn a, b (ví dụ này

đợc dẫn theo A A Stôliar [171, tr 70-71])

Xét thêm các ví dụ sau đây:

* Trong một số phơng trình ẩn x có chứa tham số a, nếu bậc của x khá lớn mà bậc của a chỉ là 2, việc xem phơng trình đã cho nh là phơng trình bậc 2

đối với ẩn a có thể làm cho học sinh khó chấp nhận

* Khi giải bài toán dấu của tam thức bậc 2 trên một miền, chẳng hạn có

thể dẫn đến tình huống:  x  (0; 3) thì x  [x1; x2] (x1 và x2 là 2 nghiệm củatam thức) Khi đó ta suy ra rằng x1  0 < 3  x2 Tuy nhiên, do giả thiết là

(0; 3) chứ không phải là [0; 3], nên có thể HS sẽ thắc mắc: Tại sao x 1 lại có thể bằng 0; x 2 lại có thể bằng 3?

Theo nhà toán học A Ia Khinshin, chủ nghĩa hình thức trong nhận thức

ở học sinh, thờng bắt nguồn từ chỗ: “Trong ý thức của học sinh có sự phá vỡnào đó mỗi quan hệ tơng hỗ, đúng đắn giữa nội dung bên trong của sự kiệntoán học và cách diễn đạt bên ngoài của sự kiện ấy” (trích theo [66, tr 94-95]

và [173, tr 36])

Hiện tợng sau đây cũng cần phải lu ý:

Việc ghi một biểu thức toán học (trong biểu thức này có sự tham gia của nhiều phép toán) thông qua lời thầy đọc hoặc đọc một biểu thức để ngời khác

hiểu thờng gặp rất nhiều lúng túng Chẳng hạn, nếu ngời nghe không tận mắt

thấy biểu thức, mà chỉ đợc nghe, sẽ rất khó hiểu cách đọc của HS về những

c 2

a , b a

1 ) b a ( , b

1 a

2 2

1.4.6 Trong dạy học Toán ở bậc THPT, nhiều giáo viên thờng không

quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tiễn Các thầy, cô có thể luyệncho học sinh nhiều dạng toán, nhng chỉ là những dạng mang màu sắc toán họcmột cách thuần tuý Do đặc điểm của chơng trình, ở bậc THCS, thầy cô phần

nào còn quan tâm đến những bài toán có nội dung thực tế, nhng ở bậc THPTthì vấn đề ấy thờng bị sao nhãng.

Nhiều công trình nghiên cứu đã chỉ ra rằng: Giảng dạy Toán học khôngnên xa rời với thực tiễn “Loại bỏ ứng dụng ra khỏi Toán học cũng có nghĩa là

đi tìm một thực thể sống chỉ còn bộ xơng, không có tí thịt, dây thần kinh hoặcmạch máu nào” [2]

Tăng cờng và làm rõ mạch toán ứng dụng và ứng dụng Toán học là gópphần thực hiện lý luận liên hệ với thực tiễn, học đi đôi với hành, nhà trờng gắnliền với đời sống [80, tr 95]

Trong [35], tác giả Ngô Hữu Dũng cho rằng: ứng dụng Toán học vàothực tế là một trong những năng lực toán học cơ bản, cần phải rèn luyện chohọc sinh

Nói về những yêu cầu đối với Toán học nhà trờng nhằm phát triển văn

hoá toán học, tác giả Trần Kiều cho rằng: “Học Toán trong nhà trờng phổ

thông không phải chỉ tiếp nhận hàng loạt các công thức, định lý, phơng phápthuần tuý mang tính lý thuyết , cái đầu tiên và cái cuối cùng của quá trìnhhọc Toán phải đạt tới là hiểu đợc nguồn gốc thực tiễn của Toán học và nângcao khả năng ứng dụng, hình thành thói quen vận dụng Toán học vào cuộcsống” [73, tr 4]

Các tác giả: A Đ Alêcxanđrôv [144], A A Stôliar [171], G G Maxlôva[160], có ý kiến tơng tự

V V Firsôv khẳng định: “Việc giảng dạy Toán ở trờng phổ thông khôngthể không chú ý đến sự cần thiết phải phản ánh khía cạnh ứng dụng của khoahọc Toán học, điều đó phải đợc thực hiện bằng việc dạy cho học sinh ứngdụng Toán học để giải quyết các bài toán có nội dung thực tế” [174]

Việc giải một bài toán có nội dung thực tế thờng đợc tiến hành qua babớc:

Bớc 1: Chuyển bài toán thực tế về dạng ngôn ngữ thích hợp với lý thuyết

toán học dùng để giải (lập mô hình toán học của bài toán);

Bớc 2: Giải bài toán trong khuôn khổ của lý thuyết toán học;

Bớc 3: Chuyển kết quả lời giải toán học về ngôn ngữ của lĩnh vực thực tế

[66, tr 248]

Trong ba bớc nêu trên, Bớc 1 thờng là bớc quan trọng nhất Để tiến hành

đợc bớc này, điều quan trọng là tập luyện cho học sinh biết xem xét những đại

lợng trong những mối liên quan với nhau, phát hiện ra những mối liên quan

về lợng giữa chúng để trên cơ sở đó có thể biểu thị đợc đại lợng này qua đại ợng khác và cũng trên cơ sở đó mà lập phơng trình (bất phơng trình, hệ phơng trình, hệ bất phơng trình).

l-Mặt khác, cũng cần tập luyện cho học sinh biểu thị những tình huống

thực tế bằng những biểu thức có chứa những biến đại diện cho những đại lợng cha biết

ở bậc THCS, học sinh đã quen biết với giải bài toán bằng cách lập phơng

trình hoặc hệ phơng trình ở Đại số 10, học sinh đợc trang bị một cách khá

đầy đủ các kiến thức về phơng trình, hệ phơng trình, bất đẳng thức, bất phơng

trình và hệ bất phơng trình Do đó, Đại số 10 có nhiều tiềm năng để rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn, đặc biệt nên quan tâm đến các bài toán Quy hoạch tuyến tính và các bài toán tìm phơng án tối u Mệnh đề (*) sau đây là cơ sở lý thuyết cho việc giải các bài toán Quy

y b

y b

x

a

0 c

y b

x

a

n n

n

2 2

2

1 1

1

xác định một miền lồi (có thể rỗng hoặc không giới nội) D Hàm số bậc nhất(hàm mục tiêu) F(x, y) = x + y nếu đạt cực đại (hoặc cực tiểu) trên D thìcực đại (hoặc cực tiểu) đó đạt đợc tại một đỉnh của D (nếu miền lồi D có

đỉnh)

Tuy nhiên, ở Đại số 10 chỉ nên đa ra những bài toán thực tế mà khi

chuyển sang ngôn ngữ đại số thì số lợng bất phơng trình không nhiều Mặt

khác, nên đa dạng hoá các bài toán trên cơ sở xem xét những ví dụ cụ thể mà trong tình huống đó các ẩn phải là số tự nhiên; tình huống mà các ẩn chỉ cần

là số dơng,

Trong Đại số 10 của tác giả Ngô Thúc Lanh (chủ biên) [83], Tính

chất (**):

Đờng thẳng (d) có phơng trình f(x, y) = ax + by + c = 0 chia mặt phẳng toạ độ thành 2 miền Một miền gồm những điểm làm cho f(x, y) > 0, miền còn lại gồm những điểm làm cho f(x, y) < 0 có đợc phát biểu và chứng minh.

Trong Đại số 10 (Cải cách giáo dục) của tác giả Trần Văn Hạo (chủ biên) [59]

Tính chất này đợc phát biểu nhng thừa nhận Trong Đại số 10 của tác giả Phan

Đức Chính (chủ biên) [11] không đề cập đến bất phơng trình bậc nhất 2 ẩn số

Đại số 10 (Chỉnh lý hợp nhất) [61] phát biểu Tính chất (**) và chứng minh

trên một ví dụ cụ thể

Nh vậy, qua Đại số 10 hiện hành, học sinh sẽ biết cách biểu diễn trên mặt

phẳng toạ độ tập nghiệm của hệ bất phơng trình bậc nhất 2 ẩn số

Học sinh lớp 10 vẫn có thể giải quyết đợc một số bài toán Quy hoạch

tuyến tính thông qua sự áp dụng Tính chất (**) mà không cần phải sử dụng

đến Mệnh đề (*) (xin nói thêm rằng, hiện nay trong Chơng trình Trung học

phổ thông thí điểm, trong số những cuốn SGK Đại số 10, có cuốn đã đa vào Mệnh đề (*) ở phần Bài đọc thêm [63, tr 130-131])

Ví dụ: Một xởng sản xuất hai loại sản phẩm Mỗi kg sản phẩm loại I cần

2 kg nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lời 40000 đồng Mỗi kg sản phẩmloại II càn 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lời 30000 đ Xởng có 200

kg nguyên liệu và 120 giờ làm việc Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm baonhiêu để có mức lời cao nhất?

Thực chất của bài toán này là phải tìm x  0, y  0 thoả mãn hệ:

15 x

30

200 y

x

2

10 0 y

2 x

0 y

0 x

sao cho 4x + 3y đạt giá trị lớn nhất

Trên Hình 1.2 ta ký hiệu C(0; 50), D(40; 0), E(100; 0), F(0; 80); I là giao

điểm của CE và DF, dễ thấy I(20; 40) Miền nghiệm của hệ bất phơng trình làmiền tứ giác OCID (kể cả biên)

Hình 1.2

Trong điều kiện HS chỉ đợc sử dụng Tính chất (**) mà không đợc sửdụng Mệnh đề (*), thầy giáo vẫn có thể làm cho HS hiểu rằng: cực đại chỉ cóthể đạt tại một trong các đỉnh Để làm cho HS hiểu đợc điều đó, có thể diễn

đạt nh sau:

Với mỗi số L xác định, ta nhận thấy có vô số điểm M(x; y) sao cho4x + 3y = L, những điểm M nh thế nằm trên đờng thẳng AB với A(L/4; 0),B(L/3; 0) Hệ số góc của đờng thẳng AB là - 4/3

Cho L lớn dần lên thì đờng thẳng AB sẽ “tịnh tiến dần lên” phía trên.Nhìn vào hình vẽ ta nhận thấy rằng: trong những đờng thẳng có hệ số góc

- 4/3 thì đờng thẳng đi qua I là đờng thẳng ở vị trí “cao nhất” đang còn có

điểm chung với tứ giác OCID Cha đạt đến vị trí này thì L cha phải là lớn nhất.

Vợt quá “ngỡng” này thì toạ độ của mọi điểm trên đờng thẳng sẽ không còn

thoả mãn hệ điều kiện ràng buộc nữa Từ đó dễ dàng đi đến kết luận là: khi x

= 20, y = 40 thì L đạt giá trị lớn nhất

Để giải đợc những bài toán cùng loại, ngoài khả năng toán học hoá tình

huống, học sinh lớp 10 còn phải nắm chắc kiến thức về phơng trình của đờng

thẳng trong mặt phẳng, phải có kỹ năng tính toán, phải hiểu rõ đặc trng về

ph-ơng của những đờng thẳng với hệ số góc dph-ơng hoặc âm, và phải có trí tởng ợng hình học (có thể thấy rằng, trong quá trình giải bài toán này, trực quan

t-giữ một vai trò rất nổi bật Chơng II, Luận án sẽ đề cập kỹ hơn về phơng tiện

trực quan)

Bên cạnh những bài toán Quy hoạch tuyến tính, trong Đại số 10, cần tận

dụng những khả năng có thể để rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá

tình huống thực tiễn Một cơ hội rất tốt đó là trong khi dạy về Bất đẳng thức Cauchy Trong các cuốn SGK Đại số 10, sau khi phát biểu Bất đẳng thức

Cauchy cho hai số không âm, đã nhấn mạnh đến những ý nghĩa hình học cóliên quan đến chu vi và diện tích của hình vuông và hình chữ nhật Mặt khác,

SGK Đại số 10 cũng phát biểu Bất đẳng thức Cauchy cho 3 số không âm Tận

dụng cơ hội này, có thể ra cho học sinh, chẳng hạn bài toán sau:

Bài toán: Ta có một miếng tôn phẳng hình vuông với kích thớc a cm, ta

muốn cắt đi ở 4 góc 4 hình vuông để uốn thành một hình hộp không có nắp.Phải cắt nh thế nào để hình hộp có thể tích lớn nhất?

Hình 1.3

Trong hoàn cảnh cha học đạo hàm, HS khá vẫn có thể suy nghĩ, liên hệ

việc tìm giá trị lớn nhất của biểu thức (a - 2x).(a - 2x).x trên khoảng (0;

2

a

)với việc vận dụng Bất đẳng thức Cauchy cho ba số dơng Dĩ nhiên, các emphải biết nhân vào biểu thức một hằng số dơng thích hợp nhằm tạo ra ba thừa

số có tổng không đổi (cần nhân 4 vào thừa số x để tạo ra 3 số: a - 2x; a - 2x;4x có tổng không đổi)

Nh vậy, khi dạy Đại số 10, nếu thầy giáo biết khai thác một cách hợp lý

qua các chủ đề nh: hệ bất phơng trình bậc nhất hai ẩn; bất đẳng thức và ứngdụng, thì có thể rèn luyện cho học sinh năng lực toán học hoá tình huốngthực tiễn đồng thời góp phần rèn luyện cho HS khả năng linh hoạt, sáng tạotrong khi làm việc với các bất đẳng thức

1.5 Năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học

Trong Mục này chúng tôi sẽ đa ra một cách quan niệm về năng lực t duy

lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học.

Đồng tình với ý kiến của Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, về tính

t-ơng đối trong mọi cách phân loại t duy toán học [156]; ý kiến của V A.

Cruchetxki về sự giao thoa giữa các thành phần của năng lực toán học [158,

tr 385-388], chúng tôi cho rằng:

Dù cách quan niệm về năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn

ngữ toán học đạt đến mức nào chăng nữa, thì cũng chỉ là tơng đối mà thôi.

Hơn nữa, tính tơng đối còn phụ thuộc vào cấp học (tức là đặc điểm tâm lý lứatuổi) và môn học Vì vậy, việc khu trú bằng cách giới hạn bởi các yếu tố cấphọc và môn học có thể cho phép tiến tới một quan niệm hợp lý hơn Nói cáchkhác, năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học mà chúng

tôi đề cập trong Luận án này đợc hiểu là năng lực t duy lôgic và sử dụng chính

xác ngôn ngữ toán học của HS Trung học phổ thông trong Đại số và Giải tích.

Đặc biệt hơn nữa, đó là năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ

toán học của HS lớp 10 trong Đại số.

1.5.1 Để dẫn đến một cách quan niệm, chúng tôi dựa vào những căn cứ

và ý tởng sau đây:

* Tham khảo các quan điểm của các tác giả có đề cập đến t duy toán họchoặc năng lực toán học, đặc biệt những tác giả có đề cập một cách tơng đối cụ

thể về các thành tố của t duy lôgic (mặc dầu các quan điểm đó không giốngnhau);

* Căn cứ vào các đặc điểm của ngôn ngữ toán học, đặc biệt ngôn ngữtoán học sử dụng ở bậc Trung học phổ thông;

* Căn cứ vào đặc thù và chất liệu của Đại số, Giải tích bậc Trung học phổthông, đặc biệt là Đại số 10;

* Căn cứ vào thực tiễn dạy học Đại số, Giải tích ở bậc Trung họcphổ thông;

* Căn cứ vào những khó khăn, những sai lầm phổ biến của HS Trung họcphổ thông khi giải toán Đại số, Giải tích để xác định những hoạt động cầntăng cờng cho HS, nhằm giúp họ khắc phục những khó khăn, sai lầm này

* Việc thể hiện cách quan niệm về những thành tố của một loại hình t duy

toán học, cũng nh của năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ

toán học nói riêng, không phải là một vấn đề có tính hình thức, mà nên cân

nhắc đến hai tiêu chí sau đây:

- Các thành tố này thực sự có ý nghĩa đối với việc nâng cao hiệu quả họctập môn Toán hay không?

- Trong thực tế dạy học, có khả năng phát triển đợc các thành tố đó haykhông?

1.5.2 Quan điểm về các thành phần của năng lực toán học, hoặc t duy

toán học ở lứa tuổi học sinh của A N Kôlmôgôrôv; A Ia Khinshin; B V.Gơnhêdencô; A I Marcusêvich; V A Cruchétxki; Iu M Kôliagin - V A

Ôganhexian - V Ia Xannhixki - G L Lukankin; E L Thorndike; Nguyễn

Cảnh Toàn đã đợc nêu ra trong Mục 1.2.2 Chơng I của Luận án.

Xin nhắc lại, trong Những cơ sở của Tâm lý học lứa tuổi và Tâm lý học

s phạm, A V Pêtrôvxki và L B Itenxơn cho rằng: “T duy thay thế các hành

động với các sự vật có thực bằng sự vận dụng các khái niệm theo quy tắc củaLôgic học đợc gọi là t duy lôgic” [105, tr 130]

Cách hiểu của Vơng Tất Đạt: “T duy lôgic là t duy chính xác theo cácquy luật và hình thức, không phạm phải sai lầm trong lập luận, biết phát hiện

ra những mâu thuẫn” [41, tr 18]

Nh đã từng nhận xét, trong số những giáo trình Phơng pháp giảng dạy

Toán của Liên Xô (cũ), cuốn sách [156], [162] của nhóm tác giả Iu M

Kô-liagin, V A Ôganhexian, đề cập về t duy toán học một cách đầy đủ nhất.

Theo Iu M Kôliagin, V A Ôganhexian, : “T duy lôgic đợc đặc trng bởi kỹnăng rút ra kết luận từ những tiền đề cho trớc; kỹ năng phân chia các trờnghợp riêng để khảo sát đầy đủ một sự kiện toán học; kỹ năng dự đoán về mặt lýthuyết một số kết quả cụ thể; kỹ năng khái quát hoá các kết quả thu đợc; ”

[156, tr 140], [162, tr 120] Chúng tôi xem đây là một trong những điểm tựa

rất quan trọng để xác định những thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của HS đầu cấp Trung học phổ thông trong Đại số.

[162, tr 121] khẳng định: “Phát triển t duy lôgic cho học sinh trong quátrình giảng dạy Toán là một nhiệm vụ đáng đợc đặc biệt quan tâm đối với giáoviên và các nhà phơng pháp”

Theo các tác giả Nguyễn Bá Kim - Vũ Dơng Thụy: “Do đặc điểm củakhoa học Toán học, môn Toán có tiềm năng quan trọng có thể khai thác đểrèn luyện cho học sinh t duy lôgic Nhng t duy không thể tách rời ngôn ngữ,

nó phải diễn ra dới hình thức ngôn ngữ, và đợc hoàn thiện trong sự trao đổingôn ngữ của con ngời và ngợc lại, ngôn ngữ đợc hình thành nhờ có t duy Vì vậy, việc phát triển t duy lôgic gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữchính xác

Việc phát triển t duy lôgic và ngôn ngữ chính xác ở học sinh qua mônToán có thể đợc thực hiện theo 3 hớng liên quan chặt chẽ với nhau:

- Làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết

lôgic: Và, hoặc, nếu thì, phủ định, những lợng từ tồn tại và khái quát

- Phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa;

- Phát triển khả năng hiểu chứng minh, trình bày lại chứng minh và độclập tiến hành chứng minh” [75, tr 30]

Quan điểm của tác giả Hoàng Chúng: “Việc rèn luyện t duy lôgic và ngônngữ chính xác qua môn Toán đợc thực hiện theo ba hớng có liên quan chặt chẽvới nhau, với các yêu cầu:

- Nắm vững các thuật ngữ toán học và các ký hiệu toán học (ngôn ngữ

toán học);

- Phát triển khả năng định nghĩa và phân chia các khái niệm;

- Phát triển khả năng suy luận chính xác, chặt chẽ” [21, tr 33].

ý kiến của tác giả Nguyễn Mạnh Cảng về việc rèn luyện t duy lôgic [48,

tr 38] và rèn luyện ngôn ngữ chính xác [48, tr 39- 40] cũng cần đợc lu ý

Chúng ta không thể không nhắc đến G Pôlya với t cách là một nhà toán

học và là một nhà s phạm nổi tiếng Theo G Pôlya, nhiệm vụ chính của dạy học Toán ở trờng phổ thông là dạy học sinh suy nghĩ Ông cho rằng, để việc dạy học có hiệu quả nhất, học sinh cần phải tự mình khám phá trong chừng

mực có thể phần lớn tài liệu học tập [165] G Pôlya khẳng định: “Với những

ai đang học Toán, tất nhiên sẽ học chứng minh, nhng phải học cả dự đoánnữa”

Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn có nhiều quan điểm tơng đồng với G Pôlya:

Ông rất coi trọng quan điểm dạy cho HS mò mẫm, dự đoán để phát hiện vấn

dự đoán những quan hệ, những tính chất, những đặc điểm, trên cơ sở quan sát, xem xét một số trờng hợp cụ thể; hơn nữa, biết sử dụng bớc dự đoán để làm điều gợi ý cho các thao tác nh biến đổi, thêm, bớt, theo cách thích hợp với bài toán cần giải;

4) Năng lực toán học hoá tình huống thực tiễn, biết sử dụng những kiến thức toán học để giải quyết một số bài toán của thực tế;

5) Năng lực diễn đạt một sự kiện toán học theo những cách khác nhau,

đặc biệt, biết hớng tới cách diễn đạt có lợi cho vấn đề đang cần giải quyết, hoặc cách diễn đạt mà nhờ đó sẽ cho phép nhận thức vấn đề một cách chính xác hơn nhằm tránh những sai lầm, thiếu sót trong suy luận và tính toán; 6) Năng lực hiểu đúng nghĩa và sử dụng chính xác những thuật ngữ và ký hiệu toán học Đặc biệt, hiểu đúng và sử dụng đúng các phép biến đổi hệ quả hoặc biến đổi tơng đơng khi giải quyết các vấn đề về phơng trình và bất ph-

ơng trình;

7) Năng lực ý thức đợc sự khác nhau trong cách hiểu đối với một số cách nói phổ biến trong tiếng Việt và những mệnh đề (có cấu trúc tơng tự nh thế) trong Toán học; đồng thời, biết sử dụng một số thuật ngữ và ký hiệu của lôgic toán để diễn đạt các mệnh đề toán học.

ở trờng phổ thông, “dạy Toán là dạy hoạt động toán học” [171, tr 12]

“Đối với học sinh có thể xem việc giải Toán là hình thức chủ yếu của hoạt

động toán học” [75, tr 206], cho nên, dù còn khá chung chung, nhng trong

một chừng mực nào đó năng lực giải Toán cũng có thể xem nh là sự tổng hợp

nhiều thành tố trong những thành tố kể trên

Chúng ta sẽ sơ bộ mô tả các thành tố nói trên, riêng các thành tố 3, 5 và 7

sẽ đợc làm rõ hơn (do tính trừu tợng trong cách phát biểu của nó):

Đối với thành tố 3: thành tố này đề cập đến dự đoán Vấn đề phát triển

năng lực dự đoán là rất rộng và rất khó Bởi vậy thành tố 3 chỉ xem xét trên

một số khía cạnh cụ thể của dự đoán mà thôi Trớc hết xin nêu ra vài ví dụnhằm minh hoạ cho thành tố này:

Ví dụ thứ nhất đó là Tổng ba góc của một tam giác (Hình học lớp 7): trớc

đây (từ 2002 trở về trớc), SGK Hình học lớp 7 phát biểu Định lý “Tổng ba góccủa một tam giác bằng 1800” theo kiểu trình bày kiến thức dới dạng “có sẵn”.Hiện nay, theo Chơng trình Trung học cơ sở mới, SGK yêu cầu HS tiến hành

đo đạc để phát biểu dự đoán về tổng ba góc của một tam giác Chính điều dự

đoán “tổng ba góc bằng 1800” đã gợi ý cho HS kẻ một đờng thẳng đi qua đỉnh

A và song song với cạnh BC

Ví dụ thứ hai là về một bài toán Đại số lớp 10: “Tìm hai số a và b (a  3,

a + b = 4) sao cho a2 + b2 nhỏ nhất”: Cách giải bài toán có thể đợc trình bày

Xung quanh Bài toán này có hai điều lu ý Thứ nhất, ngoài giả thiết a

+ b = 4, tại sao còn thêm giả thiết a  3? Là bởi vì để a và b không thể bằng

nhau, do đó nếu áp dụng Bất đẳng thức Bunhiakôpxki: a2 + b2 

2

1

(a + b)2 đểtìm giá trị nhỏ nhất là không thích hợp (thực tiễn s phạm cho thấy rằng, rất

nhiều học sinh đã sử dụng Bất đẳng thức Bunhiakôpxki để giải bài này) Thứ

hai, lý do nào đã dẫn chúng ta đến với sự biểu diễn a2 + b2 =

2

1

[(a + b)2 ++ (a - b)2] trong khi có thể biểu diễn theo rất nhiều cách khác nữa? Là bởi vì,sau khi cho (a; b) một số cặp giá trị cụ thể: (3; 1), (4; 0), (5; - 1), (6; - 2), vàtính a2 + b2 tơng ứng, ta có dự đoán rằng nếu a càng lớn, b càng bé thì a2 + b2

càng lớn Dự đoán ấy còn có thể phát biểu là, a2 + b2 đạt giá trị nhỏ nhất khi a

nhỏ nhất, b lớn nhất Hơn nữa, với giả thiết a + b = 5 thì “sự kiện” a nhỏ nhất,

b lớn nhất tơng đơng với “sự kiện” a - b nhỏ nhất Nh vậy, nảy sinh vấn đề là,

phải chăng trong quá trình xác định giá trị nhỏ nhất của a2 + b2 nên tìm cáchbiểu diễn a2 + b2 qua a - b và a + b? Việc dự đoán đó gợi ý ta hãy biểu diễn a2

+ b2 qua hai đại lợng a + b và a - b, nhằm khẳng định dự đoán để hoàn tất lờigiải, hoặc là bác bỏ dự đoán và tìm kiếm hớng khác

Cũng cần bình luận thêm rằng, đây cha phải là cách duy nhất để giải Bàitoán này Ngoài cách đó ra, chẳng hạn còn có thể đi theo hớng sau đây: xuấtphát từ giả thiết a + b = 4, rút b qua a để chuyển a2 + b2 về biểu thức chỉ chứamột biến a, cụ thể là: a + b = 4  b = 4 - a  a2 + b2 = a2 + (4 - a)2 = 2a2 - 8a ++ 16 = 2(a2 - 4a + 8) = 2[(a - 2)2 + 4)] Tuy nhiên, đến đây học sinh vẫn thờnghay kết luận giá trị nhỏ nhất bằng 8, vì họ đã “lãng quên” mất điều kiện a  3.Qua hai ví dụ này có thể thấy, nhiều khi chính quá trình mò mẫm, dự

đoán lại gợi ý cho cách biến đổi, cách thêm bớt, cách kẻ đờng phụ, đối với

bớc suy luận lôgic Nói cách khác, nếu không có dự đoán thì không thể biếtbiến đổi biểu thức theo kiểu gì, kẻ đờng phụ nh thế nào, cho hợp lý đối vớibài toán cần giải

Đối với thành tố 5: để mô tả thành tố này, có thể xem xét Ví dụ sau đây:

“Tìm hai số a, b sao cho biểu thức y =

1 x

b ax 2





có giá trị nhỏ nhất là - 2 và

giá trị lớn nhất là 3”

Một phơng pháp rất “mạnh” để tìm giá trị nhỏ nhất (lớn nhất) là sử dụng

công cụ đạo hàm (lớp 12) Tuy nhiên, áp dụng phơng pháp đó vào bài này

quả là không dễ, bởi vì còn phải biện luận về phơng trình y’ = 0 (đây lại là một

phơng trình có chứa hai tham số) Nhng, nếu biết diễn đạt bài toán đã cho dớidạng 

Hoặc, Ví dụ sau đây: “Biết ax + 1 > 0 x  (-1; 1), hãy tìm điều kiện

của a” (có thể liên hệ ví dụ này đến Đề kiểm tra số I đợt thực nghiệm thứ nhất

nói ở Chơng 3 Luận án)

Thực chất, bài toán này có thể diễn đạt là: Tìm a sao cho (-1; 1) là tập concủa tập nghiệm bất phơng trình ax + 1 > 0 Việc chuyển sang cách diễn đạt

nh vậy sẽ đồng thời gợi ý hai điều: Thứ nhất, hãy xét 3 trờng hợp: a > 0; a

< 0; a = 0 Thứ hai, hãy biểu diễn tập nghiệm bất phơng trình cùng với (-1;

1) trên trục số nhằm xác định quan hệ giữa ba số 1; - 1;

a

1

 (khi a  0)

Nh sẽ nói trong Chơng 3 Luận án, thực nghiệm s phạm cho thấy rằng,

việc giải quyết bài toán này một cách chính xác là điều rất khó khăn đối với

HS (chẳng những HS gặp khó khăn trong việc xác định phơng hớng giải bàitoán, mà còn mắc phải những sai sót liên quan đến sự lẫn lộn giữa các dấu

“>”, “ ”, lẫn lộn giữa khoảng với đoạn)

Đối với thành tố 7: để mô tả về nó, có thể bắt đầu từ một câu nói rất

th-ờng ngày sau đây:

Nếu con đỗ đại học thì mẹ sẽ thởng chiếc máy vi tính

Câu này trong tiếng Việt đợc hiểu là: nếu đỗ thì thởng, nếu không đỗ thìthôi, và nếu đợc thởng tức là đỗ

Trong ngôn ngữ tự nhiên, loại câu nhân quả “Nếu A thì B”, “Vì A nên B”,

có thể đợc hiểu: A là điều kiện đủ của B và đồng thời là điều kiện cần của B.

Nhng trong các mệnh đề toán học có cấu trúc: Nếu thì , ta không

đợc phép hiểu nh vậy Ví dụ: Nếu f’(x) > 0 x  (a; b) thì f(x) đồng biến trên

(a; b), nhng không thể nói Nếu không phải f’(x) > 0 x  (a; b) thì f(x) nghịch biến trên (a; b).

Hoặc: Nếu dãy {x n } tăng và bị chặn trên thì có giới hạn, nhng không thể

nói: Nếu dãy {x n } có giới hạn thì dãy đó tăng và bị chặn trên.

Nh vậy lôgic của tiếng Việt có những khi không hoàn toàn đồng nhất vớilôgic của Toán học

Trong dạy học Toán, một mặt phải góp phần củng cố cho HS vốn từ tiếng

Việt; nắm vững các quy tắc suy luận đặc thù của ngôn ngữ tự nhiên, nhng mặt

khác, cần làm cho họ không mắc phải những sai lầm về mặt lôgic trong suyluận toán học

Đối với thành tố 2: có thể dễ dàng chỉ ra trong Đại số, Giải tích những

chủ đề có liên quan đến phân chia trờng hợp riêng Ví dụ: Giải và biện luận phơng trình, bất phơng trình có tham số; giải phơng trình, bất phơng trình có

trị tuyệt đối; Thực tiễn s phạm cũng cho thấy rằng, học sinh gặp nhiều khó

khăn và sai lầm khi giải những bài toán có liên quan đến phân chia trờng hợpriêng

Đối với thành tố 4: sự cần thiết phải rèn luyện cho HS năng lực toán học

hoá tình huống thực tiễn, cũng nh các chất liệu của Đại số 10 có thể khai thác

để rèn luyện năng lực này, đã đợc trình bày ở 1.4.6.

Trong Chơng 2, Luận án sẽ đề cập đến các biện pháp s phạm nhằm góp

phần phát triển năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học

cho học sinh lớp 10 trong dạy học Đại số Khi đó, thực trạng về những khókhăn và sai lầm của học sinh liên quan đến các năng lực thành tố; cách thứcthực hiện những biện pháp nh thế nào; sẽ đợc phân tích đầy đủ hơn

Cần nói thêm rằng, sự sắp xếp 7 thành tố theo thứ tự nh trên, hoàn toànkhông có ý định phân biệt mức độ quan trọng của chúng Hơn nữa, trong thực

tế, các hoạt động toán học thờng có sự tham gia của nhiều thành tố Nói đếnmột thành tố nào đó trong khi giải một bài toán là để nhằm nhấn mạnh tớithành tố này, chứ không có nghĩa là phủ nhận các thành tố khác

Sự so sánh, đối chiếu các quan điểm đã cho thấy rằng, đến nay vẫn cha cómột quan điểm thống nhất về những thành tố của năng lực toán học và t duytoán học

Tơng tự nh vậy, đang tồn tại các ý kiến khác nhau về những thành tố đặc

trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng chính xác ngôn ngữ toán học của

HS Trung học phổ thông trong Đại số và Giải tích.

Luận án đã đa ra một số căn cứ và ý tởng, nhằm dựa vào đó để xác địnhnhững thành tố đặc trng của năng lực này Trên cơ sở đó, Luận án đã xác định

và làm sáng tỏ 7 thành tố đặc trng đối với năng lực t duy lôgic và sử dụng

chÝnh x¸c ng«n ng÷ to¸n häc cña HS Trung häc phæ th«ng trong §¹i sè vµ Gi¶i tÝch §Æc biÖt h¬n n÷a, cña HS líp 10 trong §¹i sè