Luận văn sự dao động và hút trong mô hình logistic có trễ rời rạc

Tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng .... Ôn định và ổn định tuyến tính hóa .... Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương .... Điều kiện cần và đủ cho sự dao động .... Tính bị chặ

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

L×U V‹N SU

SÜ DAO ËNG V€ HÓTTRONG MÆ HœNH LOGISTIC C TR™ RÍI R„C

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H  Nëi - 2018

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

L×U V‹N SU

SÜ DAO ËNG V€ HÓTTRONG MÆ HœNH LOGISTIC C TR™ RÍI R„C

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

LÍI CƒM ÌN

Líi ¦u ti¶n tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§ttîi th¦y gi¡o h÷îng d¨n TS Nguy¹n V«n Kh£i, ng÷íi ¢ ành h÷îngchån · t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m

v  ho n thi»n luªn v«n n y

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi Ban gi¡m hi»u, PhángSau ¤i håc, c¡c th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch,Tr÷íng ¤i håc s÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nhhåc tªp t¤i tr÷íng

Nh¥n dàp n y tæi xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b± luæn cê

vô, ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho n thi»nluªn v«n n y

H  Nëi, ng y 09 th¡ng 09 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«n

L÷u V«n S¡u

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan, d÷îi sü ch¿ b£o v  h÷îng d¨n cõa th¦y gi¡o TS.Nguy¹n V«n Kh£i, luªn v«n chuy¶n ng nh to¡n gi£i t½ch vîi · t i: "Südao ëng v  hót trong mæ h¼nh logistic câ tr¹ ríi r¤c" ÷ñc ho n

th nh bði sü nhªn thùc v  t¼m hiºu cõa b£n th¥n t¡c gi£

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸thøa nhúng k¸t qu£ cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, ng y 09 th¡ng 09 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«n

L÷u V«n S¡u

3

Mục lục

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Giới hạn 6

1.2 Tính ổn định và tính hút của điểm cân bằng 8

1.2.1 Ôn định và ổn định tuyến tính hóa 8

1.2.2 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương 18

1.2.3 Dao động 24

Chương 2 Sự dao động và hút trong mô hình logistic có trễ rời rạc 25 1.3 Mở đầu 25

1.4 Điều kiện cần và đủ cho sự dao động 28

1.5 Tính bị chặn và ổn định tiệm cận 33

1.6 Tính hút toàn cục của điểm cân bằng dương 34

Tài liệu tham khảo 43

MÐ †U

1 Lþ do chån · t i

Nhi·u hi»n t÷ñng cõa sinh håc ÷ñc mæ t£ bði c¡c ph÷ìng tr¼nhd¤ng vi ph¥n, sai ph¥n Ch½nh v¼ vªy c¡c ph÷ìng tr¼nh d¤ng vi ph¥n, saiph¥n ng y c ng nhªn ÷ñc sü quan t¥m nghi¶n cùu cõa c¡c nh  to¡nhåc tr¶n th¸ giîi Mæ h¼nh logistic Nt+1 = αNt

1 + βNt−k l  mët tr÷íng hñpri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n húu t Pielou ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Nghi¶n cùu c¡c t½nh ch§t ành t½nh cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

xn+1 = αxn

1 + βxn−k, n = 0, 1, 2 (1)

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

L m rã t½nh dao ëng, bà ch°n, hót v  t½nh ên ành cõa c¡c nghi»md÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (1) v  ÷a ra mët sè v½ dö cö thº

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

6 âng gâp mîi

Cè g­ng x¥y düng luªn v«n th nh mët t i li»u b÷îc ¦u v· t½nhdao ëng, bà ch°n, hót v  t½nh ên ành cõa c¡c nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n (1)

Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà

D¢y (an) l  bà ch°n v  t«ng, do vªy, nâ câ giîi h¤n l  a, giîi h¤n

n y ÷ñc ành ngh¾a l  lim inf cõa d¢y (cn) v  ÷ñc kþ hi»u l :

lim

n inf cn = lim

n→∞inf {ck : k ≥ n} T÷ìng tü, d¢y (bn) l  bà ch°n v  gi£m, do vªy, nâ câ giîi h¤n l  b,giîi h¤n n y ÷ñc ành ngh¾a l  lim sup cõa d¢y (cn) v  ÷ñc kþ hi»u l :

lim

n supcn = lim

n→∞sup {ck : k ≥ n} V½ dö 1.1

1) X²t: (un) = (−1)n

Khi â:

lim

k→∞u2k = lim

k→∞(−1)2k = 1;lim

k→∞u2k+1 = lim

k→∞(−1)2k+1 = −1.Vªy:

1.2 T½nh ên ành v  t½nh hót cõa iºm c¥n b¬ng

C¡c nëi dung ð möc n y ÷ñc tham kh£o ch½nh tø [4] v  [5]

1.2.1 Ên ành v  ên ành tuy¸n t½nh hâa

Gi£ sû I l  mët kho£ng c¡c sè thüc v  f : I × I → I l  mët h mkh£ vi li¶n töc Khi â vîi méi i·u ki»n ban ¦u x0, x−1 ∈ I, ph÷ìngtr¼nh sai ph¥n

xn+1 = f (xn, xn−1) , n = 0, 1, (1.1)

câ nghi»m duy nh§t {xn}∞n=−1

ành ngh¾a 1.1 Mët iºm x ÷ñc gåi l  iºm c¥n b¬ng (equilibriumpoint) cõa ph÷ìng tr¼nh 1.1 n¸u câ:

x = f (x, x)ngh¾a l 

x = f (x, x) = αx

1 + βx,



x 6= −1β



0; α − 1β



ành ngh¾a 1.2 Gi£ sû x l  mët iºm c¥n b¬ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1)

(i) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) gåi l  ên ành àaph÷ìng (locally stable) n¸u vîi méi ε > 0, tçn t¤i δ > 0 sao cho vîi måi

x0, x−1 ∈ I :

|x0 − x| + |x−1 − x| < δth¼ ta câ: |xn − x| < ε vîi måi n ≥ −1

(ii) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  ên ànhti»m cªn àa ph÷ìng (locally asymptotically stable) n¸u nâ l  ên ành àaph÷ìng v  n¸u tçn t¤i γ > 0 sao cho vîi måi x0, x−1 ∈ I vîi |x0 − x| +

ti»m cªn to n cöc (globally asymptotically stable) n¸u l  ên ành àaph÷ìng v  hót to n cöc.

(v) iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  gèc (source)n¸u tçn t¤i r > 0 sao cho vîi måi x0, x−1 ∈ I : 0 < |x0 − x|+|x−1 − x| <

r th¼ tçn t¤i N > 0 sao cho |xN − x| ≥ r

Rã r ng iºm gèc l  iºm c¥n b¬ng khæng ên ành

Ta câ: f (u, v) = αu

−αβu(1 + βv)2.

Vîi iºm c¥n b¬ng x = 0 ta câ

(ii) N¸u câ ½t nh§t mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3) thäa m¢n

|λ| > 1, th¼ iºm c¥n b¬ng x cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) l  khæng ên ành

Trong tr÷íng hñp n y, x ÷ñc gåi l  repeller.

(iii) i·u ki»n c¦n v  õ º câ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3)thäa m¢n |λ| > 1 v  nghi»m cán l¤i thäa m¢n |λ| < 1 l 

p2 + 4q > 0v  |q| < |1 − p| Trong tr÷íng hñp n y iºm khæng c¥n b¬ng x gåi l  iºm y¶n ngüa.(iv) i·u ki»n c¦n v  õ º câ mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3)thäa m¢n i·u ki»n |λ| = 1 l :

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m λ1, λ2 Theo ành lþ Vi-et, ta

Tr÷íng hñp 1: Ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ hai nghi»m thüc thäa m¢n

(ii) Ph÷ìng tr¼nh câ hai nghi»m λ1, λ2 thäa m¢n |λ| > 1

Tr÷íng hñp 1: Ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ hai nghi»m thüc thäa m¢n

Vªy ph÷ìng tr¼nh (1.3) câ hai nghi»m λ1, λ2 thäa m¢n λ = 1 khi

λ2 − λ

4 +

3

4 = 0Ph÷ìng tr¼nh câ nghi»m:

λ1 = 1 + i

√47

8 v  λ2 = 1 − i

√478

ii) Mët nghi»m {xn} cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) ÷ñc gåi l  tu¦n ho nvîi chu k¼ cì b£n p ho°c l  mët p- chu k¼ n¸u nâ tu¦n ho n vîi chu k¼ p

tu¦n ho n vîi chu k¼ 3

N¸u i·u ki»n ban ¦u cõa ph÷ìng tr¼nh l 

x−1 = α, x0 = βTh¼ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh l  d¢y chu k¼ 3

α, β, 1

αβ,

1.2.2 T½nh hót to n cöc cõa iºm c¥n b¬ng d÷ìng

ành lþ 1.3 Gi£ sû I ⊆ [0; ∞) l  mët kho£ng v  gi£ sû r¬ng

f ∈ C [I × I, [0; ∞)] thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau :

i) f (x, y) l  khæng gi£m vîi méi bi¸n;

ii) Ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t mët iºm c¥n b¬ng d÷ìng x ∈ I

v  h m sè f (x, y) thäa m¢n i·u ki»n hçi quy ¥m (negative feedbackcondition):

(x − x) (f (x, x) − x) < 0 vîi méi x ∈ I − {xn}

Khi â, méi nghi»m d÷ìng vîi i·u ki»n ban ¦u trong I th¼ hëi

tö tîi x

câ duy nh§t iºm c¥n b¬ng d÷ìng x.

Khi â x l  ên ành ti»m cªn to n cöc

câ duy nh§t iºm c¥n b¬ng d÷ìng x

Khi â c¥n b¬ng x l  hót to n cöc (globally attractor) cõa t§t c£c¡c nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.4)

ành lþ 1.6 Cho [a; b] l  mët kho£ng cõa tªp c¡c sè thüc v  gi£ sû r¬ng

f : [a; b] × [a; b] → [a; b]

l  h m sè li¶n töc v  thäa m¢n i·u ki»n:

i) Vîi méi y ∈ [a, b] th¼ f (x, y) l  khæng gi£m theo bi¸n x ∈ [a; b]vîi méi x ∈ [a; b] th¼ f (x, y) l  khæng t«ng theo bi¸n y ∈ [a; b];

ii) N¸u (m, M) ∈ [a; b] × [a; b] l  nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh:

f (m, M ) = m v  f (M, m) = M

th¼ M = m

Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t iºm mët c¥n b¬ng x ∈ [a; b]

v  méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) ·u hëi tö tîi x

Chùng minh °t: m0 = a v  M0 = b

V  vîi i = 1, 2, °t:

Mi = f (Mi−1, mi−1) v  mi = f (mi−1, Mi−1)

B¥y gií, quan s¡t vîi méi i ≥ 0,

M = m

Chùng minh k¸t thóc

ành lþ 1.7 Cho [a; b] l  mët kho£ng c¡c sè thüc v  gi£ sû r¬ng

f : [a; b] × [a; b] → [a; b]

l  h m sè li¶n töc thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

i) Vîi méi y ∈ [a, b] th¼ f (x, y) l  khæng t«ng theo bi¸n x ∈ [a; b]

v  vîi méi x ∈ [a, b] th¼ f (x, y) l  khæng gi£m theo bi¸n y ∈ [a; b];

ii) Ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n (1.1) khæng câ nghi»m chu k¼ hai cì b£ntr¶n [a; b]

Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t iºm mët c¥n b¬ng x ∈ [a; b]

v  méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) hëi tö tîi x

Chùng minh °t: m0 = a v  M0 = b

V  vîi i = 1, 2, °t:

Mi = f (Mi−1, mi−1) v  mi = f (mi−1, Mi−1)

B¥y gií, quan s¡t vîi méi i ≥ 0,

ành lþ 1.8 Cho [a; b] l  mët kho£ng cõa tªp c¡c sè thüc v  gi£ sû r¬ng

f : [a; b] × [a; b] → [a; b]

l  h m sè li¶n töc thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

i) f (x, y) l  khæng t«ng vîi méi bi¸n cõa nâ;

ii) N¸u (m, M) ∈ [a; b] × [a; b] l  nghi»m cõa h» ph÷ìng tr¼nh

f (m, m) = M v  f (M, M) = mth¼ m = M

Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t iºm mët c¥n b¬ng x ∈ [a; b]

v  méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) hëi tö tîi x

Chùng minh °t: m0 = a v  M0 = b

V  vîi i = 1, 2, °t:

Mi = f (Mi−1, mi−1) v  mi = f (mi−1, Mi−1)

B¥y gií, quan s¡t vîi méi i ≥ 0,

m = f (M, M ) v  M = f (m, m)

Tø i·u ki»n ii)

M = m = x

ành lþ 1.9 Cho [a; b] l  mët kho£ng cõa tªp c¡c sè thüc v  gi£ sû r¬ng

f : [a; b] × [a; b] → [a; b]

l  h m sè li¶n töc v  thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

i) f (x, y) l  khæng gi£m vîi méi bi¸n cõa nâ;

ii) Ph÷ìng tr¼nh

f (x, x) = x

câ duy nh§t mët nghi»m d÷ìng

Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.1) câ duy nh§t iºm mët c¥n b¬ng x ∈ [a; b]

v  méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.1) hëi tö tîi x

Chùng minh °t: m0 = a v  M0 = b

V  vîi i = 1, 2, °t:

Mi = f (Mi−1, mi−1) v  mi = f (mi−1, Mi−1)

B¥y gií, quan s¡t vîi méi i ≥ 0,

m = f (m, m) v  M = f (M, M)

Tø i·u ki»n ii) câ

m = M = x

iºm c¥n b¬ng d÷ìng α − 1

β l  iºm hót to n cöc

Chóng ta câ thº câ ÷ñc ph÷ìng tr¼nh (2.1) nh÷ sau: khi τ = 0,nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.3) vîi N(0) = N0 ÷ñc cho bði

Ð ph÷ìng tr¼nh (2.1) ta gi£ sû r¬ng tèc ë t«ng tr÷ðng câ sü chªmtr¹ k trong ph£n ùng tr¶n méi c¡ thº èi vîi sü thay êi mªt ë ¥ycông l  c¡ch chóng ta d¨n ¸n ph÷ìng tr¼nh logistic

mæ d¥n sè s³ v÷ñt qu¡ mùc v  c¥n b¬ng vîi mùc c¥n b¬ng cõa nâ.

Ta nghi¶n cùu sü dao ëng v  ên ành cõa c¡c nghi»m d÷ìng cõaph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ tr¹

αi ≥ 0vîi i = −k, , −1 v  α0 > 0 (2.6)th¼ nghi»m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh (2.4) v  (2.5) l  d÷ìng vîi n ≥ 0

Trong ph¦n ti¸p theo, chóng ta quy ÷îc ch¿ nghi¶n cùu c¡c nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh (2.4) m  c¡c gi¡ trà ban ¦u thäa m¢n i·u ki»n (2.6)

2.2 i·u ki»n c¦n v  õ cho sü dao ëng

Trong ph¦n n y chóng ta ph¡t triºn mët sè k¸t qu£ dao ëngtuy¸n t½nh cho c¡c ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n câ tr¹, chùng minh r¬ng mët

sè ph÷ìng tr¼nh sai ph¥n phi tuy¸n câ °c t½nh dao ëng nh÷ mët ph÷ìngtr¼nh tuy¸n t½nh li¶n k¸t

ành lþ 2.1 Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (2.1) vîi i·u ki»n (2.2) l  óng Khi

â méi nghi»m d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh (2.4) dao ëng xung quanh iºmc¥n b¬ng d÷ìng α − 1

(ii) Tçn t¤i h¬ng sè δ > 0 thäa m¢n

Ho°c f(u) ≤ u vîi 0 ≤ u ≤ δ,Ho°c f(u) ≥ u vîi − δ ≤ u ≤ 0 (2.13)

Khi i·u ki»n (2.11) ho°c (2.12) ÷ñc thäa m¢n th¼ ph÷ìng tr¼nhtuy¸n t½nh

yn+1 − yn+ pyn−k = 0, n = 0, 1, 2, (2.14)

÷ñc gåi l  ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh hâa cõa ph÷ìng tr¼nh (2.8)

Ta câ c¡c k¸t qu£ ch½nh trong ph¦n n y nh÷ sau:

ành lþ 2.2 Gi£ thi¸t (2.9), (2.10), (2.11) óng v  gi£ thi¸t méi nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh hâa (2.14) l  dao ëng Th¼ méi nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh (2.8) công dao ëng

ành lþ 2.3 Gi£ thi¸t (2.9), (2.10), (2.13) óng v  gi£ sû méi nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh (2.8) dao ëng Th¼ méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸nt½nh hâa (2.14) công dao ëng

ành lþ 2.3 l  ành lþ £o cõa ành lþ 2.2 B¬ng c¡ch k¸t hñp c£hai ành lþ n y, chóng ta thu ÷ñc k¸t qu£ dao ëng tuy¸n t½nh m¤nhnh÷ sau

H» qu£ 2.1 Gi£ thi¸t (2.9), (2.10), (2.12) v  (2.13) óng th¼ méinghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.8) dao ëng n¸u v  ch¿ n¸u méi nghi»mcõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh hâa li¶n k¸t (2.14) dao ëng

Tr÷îc khi chùng minh ành lþ 2.2 v  ành lþ 2.3 ta n¶u hai bê ·sau

Bê · 2.1 Gi£ thi¸t (2.9) óng v  {p(n)}∞

câ nghi»m d÷ìng cuèi còng {xn} Khi â ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh hâa(2.14) công câ nghi»m d÷ìng cuèi còng.

Bê · 2.2 Gi£ thi¸t (2.9) óng v  cho λ0 l  mët nghi»m d÷ìng cõaph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng λ − 1 + pλ−k = 0 cõa ph÷ìng tr¼nh (2.14) Cho

N1 ∈ N, N1 ≥ 1 v  ϕ ∈ (0; ∞) v  gi£ sû {cn} l  mët nghi»m cõa b§tph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

cn+1 − cn + pcn−k ≥ 0, n = 0, 1, , N1 − 1Vîi i·u ki»n ban ¦u

cn = ϕλn0, n = −k, , 0

th¼ ta câ

cn ≥ ϕλn0, n = 1, 2, , N1.Chùng minh ành lþ 2.2 (B¬ng ph£n chùng)

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (2.8) câ nghi»m {xn} khæng dao ëng, vîi{xn} l  mët nghi»m d÷ìng cuèi còng Tr÷íng hñp {xn} l  nghi»m ¥mcuèi còng ta chùng minh t÷ìng tü

D¹ th§y

limxn n→∞

= 0 B¥y gií ta câ thº vi¸t l¤i ph÷ìng tr¼nh (2.8) nh÷ sau:

xn+1 − xn + p(n)xn−k = 0trong â

i·u n y m¥u thu¨n vîi gi£ thi¸t v  ành lþ ÷ñc chùng minh.Chùng minh ành lþ 2.3

Gi£ thi¸t (2.13) óng vîi f(u) ≤ u vîi 0 ≤ u ≤ δ Tr÷íng hñp

f (u) ≥ u vîi −δ ≤ u ≤ 0 ÷ñc chùng minh t÷ìng tü

Gi£ sû ph÷ìng tr¼nh (2.14) câ mët nghi»m d÷ìng cuèi còng {yn}.Th¼ theo H» qu£ 7.1.1 (t i li»u [2]) ph÷ìng tr¼nh °c tr÷ng cõa ph÷ìngtr¼nh (2.1.7)

º ho n th nh chùng minh ta ch¿ ra xn > 0 vîi n = 1, 2,

Ng÷ñc l¤i tçn t¤i sè nguy¶n N1 ≥ 1 sao cho xn > 0 vîi −k ≤ n <

Theo Bê · 2.2 ta câ xN1 ≥ ϕλN1

0 > 0

V  vîi m¥u thu¨n n y ành lþ ÷ñc chùng minh

Bê · 2.3 Gi£ sû p ∈ (0; ∞) v  k ∈ {1, 2, } Th¼ méi nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh

yn+1 − yn+ pyn−k = 0dao ëng xung quanh iºm 0 n¸u v  ch¿ n¸u p > kk

(k + 1)k+1 Thªt vªy, ta câ thº th§y r¬ng måi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh viph¥n

.

x(t) + px(t − τ ) = 0trong â p, τ ∈ R dao ëng n¸u v  ch¿ n¸u

yn+1 − yn+ α − 1

α f (yn−k) = 0, n = 0, 1, 2, (2.18)trong â

f (u) = α

α − 1 ln

(α − 1) eu+ 1

Do â, méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.20) dao ëng xung quanh

iºm 0 n¸u v  ch¿ n¸u méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.11) dao ëngxung quanh iºm α − 1

β Ta câ thº d¹ d ng th§y r¬ng c¡c gi£ thi¸t cõa

Bê · 2.8.2, 2.8.3, 2.8.5, 2.8.6 ÷ñc thäa m¢n èi vîi ph÷ìng tr¼nh saiph¥n (2.20) °c bi»t l÷u þ r¬ng (iii) ÷ñc thäa m¢n bði

f (u) ≥ u vîi u < 0Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh li¶n k¸t vîi ph÷ìng tr¼nh (2.20) l 

zn+1− zn+ α − 1

V  theo Bê · 2.3 méi nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (2.21) dao ëngn¸u v  ch¿ n¸u (2.7) cè ành Th¼ chùng minh b¥y gií l  mët h» qu£ cìb£n cõa H» qu£ 2.1 v  Bê · 2.3

B¬ng c¡ch sû döng Bê · 2.4, c¥n b¬ng d÷ìng cõa ph÷ìng tr¼nh(2.4) l  ên ành ti»m cªn n¸u

α − 1

α < p < 2 cos

kπ2k + 1



(2.20)Chó þ r¬ng i·u ki»n (2.22) ÷ñc thäa m¢n vîi måi α ∈ (0; ∞) n¸u v ch¿ n¸u k = 0 v  k = 1 Trong ph¦n ti¸p theo méi tr÷íng hñp nh÷ tr¶n,

α − 1

β ÷ñc bi¸t ¸n l  hót to n cöc

ành lþ 2.5 Gi£ sû α ∈ (1; ∞) v  β ∈ (0; ∞) Khi â méi nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

xn+1 = αxn

1 + βxn, n = 0, 1, 2, (2.21)vîi x0 > 0 l  hëi tö ìn i»u tîi iºm c¥n b¬ng d÷ìng α − 1

β Chùng minh Chóng ta x²t 3 tr÷íng hñp theo tøng gi¡ trà ban ¦u x0

1 + βα − 1

β

=

α (α − 1)β

1 + βα − 1

β

=

α (α − 1)β

= αβx0 − α + 1 − αβx0 + βx0

β (1 + βx0)

= βx0 − (α − 1)

β (1 + βx0) > 0Vªy x1 > α − 1

β Gi£ sû xk > α − 1

β Vªy x0 > α − 1

β th¼ xn > α − 1

β , ∀n = 0, 1, Ti¸p theo, x²t

Vªy xn+1− xn < 0, ∀n = 0, 1, suy ra d¢y {xn} ìn i»u gi£m, bàch°n d÷îi bði α − 1

β , do â tçn t¤i lim

n→∞xn = x (khæng nhä hìn α − 1

β ).Nh÷ vªy chuyºn qua giîi h¤n trong xn+1 = αxn

1 + βxn câ x = αx

1 + βx

⇒ x = 0 ho°c x = α − 1

β V¼ xn > α − 1

β > 0, ∀n = 0, 1, ⇒ x =

α − 1

β Tr÷íng hñp 3:

ành lþ 2.6 Gi£ sû α ∈ (1; ∞) v  β ∈ (0; ∞) Khi â méi nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh sai ph¥n

xn+1 = αxn

1 + βxn−1, n = 0, 1, 2, (2.22)vîi

x−1 ≥ 0 v  x0 > 0 (2.23)hëi tö tîi iºm c¥n b¬ng d÷ìng α − 1

β Chùng minh êi bi¸n

xn = α − 1

yn