Luận văn nghiệm nhớt của các phương trình hamilton jacobi tựa lồi trên khớp nối

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2PHÙNG THỊ THU HẰNG NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI TRÊN KHỚP NỐI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, NĂM 2018... TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ P

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ THU HẰNG

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI

TRÊN KHỚP NỐI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

HÀ NỘI, NĂM 2018

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

PHÙNG THỊ THU HẰNG

NGHIỆM NHỚT CỦA CÁC PHƯƠNG TRÌNH

HAMILTON-JACOBI TỰA LỒI

TRÊN KHỚP NỐI

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN VĂN BẰNG

HÀ NỘI, NĂM 2018

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Trần Văn Bằng, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô phòng Sauđại học, cùng các thầy cô giáo dạy lớp thạc sỹ chuyên ngành Toán giảitích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trìnhhọc tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trongquá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 11 năm 2018

Tác giả

Phùng Thị Thu Hằng

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đềtài “Nghiệm nhớt của các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồitrên khớp nối” là kết quả của quá trình tìm hiểu, nghiên cứu của tác giảdưới sự hướng dẫn của TS Trần Văn Bằng

Trong quá trình nghiên cứu thực hiện luận văn, tác giả đã kế thừanhững thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 11 năm 2018

Tác giả

Phùng Thị Thu Hằng

Mục lục

Chương 1 Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên

1.1 Mô hình bài toán 7

1.2 Một số khái niệm nghiệm nhớt 11

1.2.1 Nghiệm nhớt cổ điển 11

1.2.2 Nghiệm thông lượng hạn chế 12

1.2.3 Nghiệm nới lỏng 13

Chương 2 Tính chất của nghiệm nhớt 15 2.1 Tính chất chính 15

2.2 Xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ trong trường hợp lồi trơn 19

2.2.1 Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj với i 6= j 21

2.2.2 Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj 27

2.2.3 Chứng minh của Mệnh đề 2.2.2 29

2.3 Chứng minh của Định lý 2.1.1 32

2.3.1 Trường hợp lồi trơn 32

2.3.2 Trường hợp tổng quát 33

2.4 Tính chất của nghiệm thông lượng hạn chế 36

2.5 Tính chất của nghiệm nới lỏng 40

Mở đầu

1 Lí do chọn đề tài

Phương trình Hamilton-Jacobi là một trong những lớp phương trình đạohàm riêng có vai trò quan trọng trong cơ học, cũng như trong lý thuyếtđiều khiển tối ưu Có thể nói rằng đã có rất nhiều kết quả liên quan tới lớpphương trình này đã được công bố (xem [1]-[10] và các tài liệu trong đó).Trong vài năm gần đây, việc nghiên cứu các phương trình Hamilton-Jacobitrên khớp nối nhận được sự quan tâm nghiên cứu đặc biệt của các nhàtoán học trên thế giới (xem [2], [6]-[9] và các tài liệu trong đó) Kết quảchủ yếu là:

1, Đưa ra khái niệm nghiệm (nhớt) nới lỏng để có sự tồn tại;

2, Đề xuất khái niệm nghiệm (nhớt) hạn chế thông lượng để có tínhduy nhất;

3, Chỉ ra sự tương đương của hai loại nghiệm trên

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, được sự hướng dẫncủa TS.Trần Văn Bằng, tôi đã chọn đề tài: “Nghiệm nhớt của các phươngtrình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nối” để thực hiện luận văn củamình

+ Mô hình các phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối.

+ Nghiệm nhớt cho các phương trình đó

+ Một số tính chất định tính của nghiệm nhớt

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trênkhớp nối

+ Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu nghiệm theo nghĩa nhớt cho môhình đã nêu

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các phương pháp của Giải tích không lồi và của Lý thuyếtnghiệm nhớt

6 Cấu trúc của luận văn

Cấu trúc của luận văn dự kiến gồm hai chương:

Chương 1: Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nốiChương 2: Tính chất của nghiệm nhớt

7 Đóng góp của đề tài

Xây dựng luận văn thành một tài liệu tham khảo tốt về chủ đề cácphương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối

Chương 1

Các phương trình Hamilton-Jacobi tựa lồi trên khớp nối

Chương này trình bày về mô hình các phương trình Hamilton-Jacobi trênkhớp nối đang được sự quan tâm nghiên cứu và một số khái niệm nghiệmnhớt cần thiết cho việc nghiên cứu của Chương 2

Theo [7], một khớp nối nhiều chiều (khớp nối trong không gian nhiềuchiều) được tạo thành bởi một số hữu hạn các bản sao của một nửa khônggian Euclide và được dán các biên của chúng với nhau (Hình 1.1)

Biên chung Γ của các nửa không gian Ji được gọi là siêu phẳng nối Vớiđiểm X, Y ∈ J, khoảng cách d(X, Y ) được xác định bởi:

d2(X, Y ) =

(

|x0− y0|2 + (x + y)2 nếu X ∈ Ji, Y ∈ Jj, i 6= j

|x0− y0|2 + |x − y|2 nếu X, Y ∈ Ji

Hình 1.1: Các phương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối nhiều chiều Ở đây có N = 3 nhánh và số chiều tiếp xúc d = 1 Điều kiện trên siêu phẳng nối Γ (là đường thẳng) không được chỉ ra trong hình.

Với hàm thực đủ chính quy uxác định trên J, ∂iu(X)là đạo hàm của utheoxi tạiX = (x0, xi) ∈ Ji và D0u(X)là gradient củau theox0 Gradientcủa u được định nghĩa bởi:

Du (X) :=

((D0u(X), ∂iu(X)) nếu X ∈ Ji∗ := Ji\Γ,(D0u(X0, 0), ∂1u(X0, 0), , ∂Nu(X0, 0)) nếu X = (x0, 0) ∈ Γ

(1.1.2)Với các kí hiệu như vậy, ta xét các phương trình Hamilton-Jacobi trênkhớp nối nhiều chiều J có dạng:

(

ut + Hi(Du) = 0 i > 0, X ∈ Ji\Γ

ut + FA(Du) = 0 i > 0, X ∈ Γ (1.1.3)với điều kiện ban đầu

u(0, X) = u0(X), X ∈ J (1.1.4)Các Hamiltonian thỏa mãn các giả thiết sau đây:

Gọi πi0(p0) = ˆpi ∈ R là điểm tại đó hàm p 7→ Hi(p0, pi) đạt giá trị nhỏnhất Hàm Hi− được xác định bởi:

Hàm khớp nối FA trong (1.1.3) được xây dựng từ các Hamiltonian Hi

và một hàm A xác định trên không gian tiếp xúc của Γ, gọi là bộ hạn chếthông lượng Sau khi xác định không gian tiếp xúc của Γ trong Rd, bộ hạnchế thông lượng là hàm A :Rd →R thỏa mãn các giả thiết sau.

((Liên tục) A ∈ C(Rd)(Tựa lồi) ∀λ,

p ∈ Rd : A(p) ≤ λ lồi (1.1.6)Một ví dụ về bộ hạn chế thông lượng là:

A0(p0) = max

i=1, ,NAi(p0) với Ai(p0) = min

p i ∈RHi(p0, pi) (1.1.7)Hàm FA được định nghĩa bởi:

FA(p0, p1, , pN) = max((A(p0), max

i=1, ,NHi−(p0, pi)) (1.1.8)(nhắc lại điều kiện khớp nối trong (1.1.3) và định nghĩa của Du(x) trong(1.1.2) với x ∈ Γ)

Để tiếp tục, ta đề cập tới một số hàm quan trọng liên quan tới cácHamiltonian Hi : bộ hạn chế thông lượng “tự nhiên” A0, các phần đơn điệu

Hình 1.2: Các phần đơn điệu Hi± của một Hamiltonian H i (Hi− ở bên trái, Hi+ ở bên phải) Hamiltonian có màu đen, phần đơn điệu có màu đỏ Biến tiếp tuyến p0 không được vẽ Trong ví dụ này, giá trị nhỏ nhất Ai của Hi nhỏ hơn A0 Các hàm ngược π±icủa Hi cũng được vẽ.

Các Hamiltonian Hi(p0, pi) được định nghĩa với p = (p0, pi) ∈ Rd+1 Giátrị nhỏ nhất của hàm pi 7→ Hi(p0, pi) được ký hiệu bởi πi0(p0) Các hàm

Hi− và Hi+ được định nghĩa như sau

H(X, p0, p) =

(

Hi(p0, p) với p = pi nếu X ∈ Ji\Γ,

FA(p0, p) với p = (p1, , pN) nếu X ∈ Γ (1.1.10)Đặc biệt, lưu ý rằng với định nghĩa của Du (xem (1.1.2)), Bài toán (1.1.3)trên khớp nối có thể được viết lại như sau

ut + H(X, Du) = 0 với mọi (t, X) ∈ (0, +∞) × J

1.2 Một số khái niệm nghiệm nhớt

1.2.1 Nghiệm nhớt cổ điển

Giả sử Ω ⊂ RN là một tập mở Xét phương trình đạo hàm riêng phituyến cấp một (thường gọi là phương trình Hamilton-Jacobi):

F (x, u(x), Du(x)) = 0, x ∈ Ω (HJ)Nghiệm nhớt cổ điển của (HJ) được cho trong định nghĩa dưới đây,trong đó tư tưởng chính là nghiệm nhớt nói chung chỉ là hàm liên tục, do

đó đạo hàm (hay gradient) của nghiệm sẽ được kiểm tra thông qua đạohàm của hàm thử, quy tắc chuyển đạo hàm sang hàm thử dựa vào nguyên

lý cực trị Cụ thể,

Định nghĩa 1.2.1 Hàm u ∈ C(Ω) là một nghiệm dưới nhớt của phươngtrình (HJ) nếu với mọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x0, u(x0), Dϕ(x0)) ≤ 0 (1.2.1)tại mọi điểm cực đại địa phương x0 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u ∈ C(Ω)là một nghiệm trên nhớt của phương trình (HJ) nếu vớimọi ϕ ∈ C1(Ω) ta có:

F (x1, u(x1), Dϕ(x1)) ≥ 0 (1.2.2)tại mọi điểm cực tiểu địa phương x1 ∈ Ω của u − ϕ

Hàm u là một nghiệm nhớt nếu nó vừa là nghiệm trên nhớt vừa lànghiệm dưới nhớt của phương trình đó

Hàm ϕ(x) trong định nghĩa trên thường được gọi là hàm thử

Vấn đề chính chúng ta phải xử lý trong các bài toán đã đề cập chính

là điều kiện biên phi tuyến (điều kiện trên khớp nối) Điều kiện này thậmchí còn phụ thuộc cả vào đạo hàm của nghiệm Vì thế trên biên các nhà

toán học đã giới thiệu một số cách hiểu khác nhau, dẫn tới các khái niệmnghiệm khác nhau, như sẽ thấy sau đây.

Trước hết ta nhắc lại một số kí hiệu chính sau: Siêu phẳng nối Γ là biênchung của các nửa không gian Ji, Γ = ∂Ji, ∀i Ta sẽ thường đồng nhất Γvới Rd, nói cách khác, ta không phân biệt cách viết x = (x0, 0) ∈ Γ và

x0 ∈ Γ

Đặt

C1(J ) = {φ ∈ C(J ), φ hạn chế trên Ji là C1 với i = 1, , N } (1.2.3)Với hàm f : D → R, ta kí hiệu trên đồ thị của nó là tập:

epif := {(X, r) ∈ D × R : r ≥ f (X)}

1.2.2 Nghiệm thông lượng hạn chế

Với T > 0, đặtJT = (0, T ) × J Để định nghĩa nghiệm thông lượng hạnchế của (1.1.3), đầu tiên ta làm cho rõ lớp hàm thử liên quan,

mọi hàm thử ϕ ∈ C1(JT) sao cho

u∗ ≤ ϕ (tương ứng, u∗ ≥ ϕ) trong một lân cận của (t0, X0) ∈ JTvới dấu bằng tại (t0, X0) với t0 > 0, ta có

ϕt + Hi(Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0, X0) nếu X0 ∈ Ji∗ = Ji\Γ

ϕt + FA(Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0, X0) nếu X0 ∈ Γ

(1.2.5)ii) Ta nói rằngu là nghiệm thông lượng A-hạn chế của (1.1.3) nếuuvừa

là nghiệm dưới thông lượng A-hạn chế và vừa là nghiệm trên thônglượng A-hạn chế của (1.1.3)

1.2.3 Nghiệm nới lỏng

Trong mục con này, chúng tôi xét phương trình Hamilton-Jacobi trên

J, liên kết với hàm trên khớp nối F : Rd×RN →R tổng quát:

(

ut + Hi(Du) = 0 t > 0, X ∈ Ji\Γ

ut + F (Du) = 0 t > 0, X ∈ Γ (1.2.6)với điều kiện ban đầu

u(0, X) = u0(X) với X ∈ J (1.2.7)Phương trình thứ hai trong (1.2.6) được coi là điều kiện trên khớp nối.Khi quan tâm tới điều kiện trên khớp nối tổng quát, ta giả sử rằng hàmtrên khớp nối F : Rd ×RN →R thỏa mãn

(

F ∈ C(Rd×RN) (Tính liên tục)

∀i, pi 7→ F (p0, p1, , pN) không tăng (Tính đơn điệu) (1.2.8)

và trong một số trường hợp quan trọng

∀λ, {p ∈ Rd×RN : F (p) ≤ λ} lồi (Tính tựa lồi) (1.2.9)

Bổ đề 1.2.3 Nếu các Hamiltonian thỏa mãn (1.1.5) và A thỏa mãn(1.1.6), thì FA định nghĩa trong (1.1.8) thỏa mãn (1.2.8) và (1.2.9).

Chứng minh Điều kiện (1.2.8) là rõ ràng vì A và Hi− liên tục và có tínhchất đơn điệu mong muốn Quan tâm tới (1.2.9), ta phải kiểm tra rằng

{(p0, pi) : Hi−(p0, pi) ≤ λ} lồi (1.2.10)Thật vậy, nếu điều này đúng thì FA là lớn nhất trong các hàm với các tậpmức dưới lồi nên nó cũng có tính chất này Để thu được (1.2.10), ta chú ýrằng định nghĩa của Hi− kéo theo

{(p0, pi) : Hi−(p0, pi) ≤ λ} = {(p0, pi) : Hi(p0, pi) ≤ λ} + {0Rd} × [0, +∞)

Vì tổng của hai tập lồi là một tập lồi nên ta có (1.2.10)

Định nghĩa 1.2.4 (Nghiệm nới lỏng) Giả sử các Hamiltonian thỏa mãn(1.1.5) và hàm thông lượng F thỏa mãn (1.2.8) Giả sử u : [0, T ) × J → R

bị chặn địa phương

i) Ta nói rằng u là nghiệm dưới F-nới lỏng (tương ứng, nghiệm trên

F-nới lỏng) của (1.2.6) trong JT nếu với mọi hàm thử ϕ ∈ C1(JT)sao cho

u∗ ≤ ϕ (tương ứng, u∗ ≥ ϕ) trong một lân cận của (t0, X0) ∈ JTvới dấu bằng tại (t0, X0) với t0 > 0, ta có

ϕt + Hi(Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0) tại (t0, X0)nếu X0 ∈ Ji∗, và

hoặc ϕt + F (Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0 tại (t0, X0))

hoặc ϕt + Hi(Dϕ) ≤ 0 (tương ứng, ≥ 0 với một vài i tại (t0, X0))nếu X0 ∈ Γ

ii) Ta nói rằng u là nghiệm F-nới lỏng của (1.2.6) nếu u vừa là nghiệmdưới F-nới lỏng và vừa là nghiệm trên F-nới lỏng của (1.2.6)

Chương 2

Tính chất của nghiệm nhớt

Trong chương này, chúng tôi đề cập tới một trong những kết quả chínhcủa [7] về sự tồn tại của hàm thử đỉnh nhiều chiều (multi-dimensionalvertex test function) - một hàm đủ chính quy, xác định trênJ2,có gradientthỏa mãn một số điều kiện tương thích phù hợp Trong phát biểu sau,C(J )

và C(J2) tương ứng là lớp các hàm liên tục trong J và J2.Lớp hàm C1(J )bao gồm các hàm thuộc C(J ) có hạn chế trên Ji là C1 ra tới Γ (chi tiết,xem (1.2.3))

Định lý 2.1.1 (Sự tồn tại hàm thử đỉnh) Cho A thỏa mãn (1.1.6) với

A ≥ A0 và γ ∈ (0, 1] là tham số sai số nhỏ Giả sử các Hamiltonian thỏamãn (1.1.5) Khi đó tồn tại một hàm G: J2 → R (gọi là hàm thử đỉnh) cócác tính chất sau:

1 (Tính chính quy)

G ∈ C(J2) và

(G(X, ) ∈ C1(J ) với mọi X ∈ J,G(., Y ) ∈ C1(J ) với mọi Y ∈ J

2 (Tính bị chặn dưới) G ≥ 0 = G(0, 0)

3 (Điều kiện tương tính trên đường chéo) Với mọi X ∈ J,

Chú ý 2.1.2 Nhắc lại rằng với X ∈ Γ (tương ứng Y ∈ Γ), gradient

DXG(X, Y ) (tương ứng DYG(X, Y )) được định nghĩa trong (1.1.2)

Định lý 2.1.1 kéo theo tính duy nhất mạnh của bài toán (1.1.3)-(1.1.4).Trên thực tế, nó thậm chí còn kéo theo tính duy nhất mạnh của lớp cácphương trình Hamilton-Jacobi trên khớp nối tổng quát, xem chi tiết trongChú ý 2.1.4 Để phát biểu kết quả duy nhất mạnh của bài toán (1.1.3)-(1.1.4), đầu tiên chúng ta tìm nghiệm theo nghĩa yếu thỏa mãn các phươngtrình và điều kiện khớp nối Khái niệm thích hợp là nghiệm thông lượng

hạn chế đã đề xuất trong [6]: đây là nghiệm nhớt theo nghĩa của Evans-Lions [3], [4] và thỏa mãn điều kiện khớp nối theo nghĩa nhớt mạnh.

Crandall-Cụ thể hơn, chúng thỏa mãn phương trình theo nghĩa nhớt cổ điển ở bênngoài siêu phẳng nối và chúng thỏa mãn điều kiện khớp nối theo nghĩanhớt với các hàm thử liên tục trong J và C1 trên mỗi Ji ra tới Γ

Định lý 2.1.3 (Nguyên lý so sánh trên khớp nối nhiều chiều) Giả sửcác Hamiltonian Hi thỏa mãn (1.1.5), bộ hạn chế thông lượng A thỏa mãn(1.1.6) với A ≥ A0, trong đó A0 được định nghĩa trong (1.1.7), và giả sửrằng dữ liệu ban đầu u0 liên tục đều Khi đó, với mọi nghiệm dưới thônglượng hạn chế u và nghiệm trên thông lượng hạn chế v của (1.1.3)-(1.1.4)thỏa mãn với T > 0 và CT > 0 và X0 ∈ J,

lý 2.5.12 trong Phụ lục Các kết quả này mở rộng kết quả cho trường hợpmột chiều trong [6]

Chú ý 2.1.5 Việc mở rộng cho các Hamiltonian phụ thuộc (t, x)là khôngkhó và được giải thích trong [6] trong trường hợp mạng lưới (network) Việc

mở rộng này đạt được bằng cách địa phương hóa thông thường xung quanhđiểm (¯t, ¯x) ∈ (0, T ) × Γ ở đầu chứng minh của nguyên lý so sánh Trongphần còn lại của chứng minh, ta sử dụng hàm thử đỉnh liên kết với các

Hamiltonian mà sự phụ thuộc của nó vào (t, x) bị cố định tại (¯t, ¯x) (xemchi tiết trong [6]).

Chú ý 2.1.6 Nguyên lý so sánh này đúng với các nghiệm dưới, nghiệmtrên có độ tăng không quá tuyến tính (xem (2.1.5)) Đây là các điều kiệnquen thuộc đối với các phương trình như vậy

Khó khăn trong chứng minh tính duy nhất mạnh của (1.1.3) Kết quảduy nhất mạnh cho phương trình Hamilton-Jacobi như (1.1.3) là rất khó,

kể cả trong trường hợp đặc biệt N = 2, bởi vì ta phải làm việc với mộtphương trình Hamilton-Jacobi trong không gian Euclid với Hamiltoniankhông liên tục theo biến không gian dọc trên mỗi siêu phẳng Cụ thểhơn, hai Hamiltonian liên tục khác nhau có thể được chọn trên hai phíacủa siêu phẳng nhưng chúng không trùng nhau trên siêu phẳng đó Tínhgián đoạn này được coi là khó khăn chính khi chứng minh kết quả duynhất mạnh như nguyên lý so sánh (Định lý 2.1.3) Thường thì nó đượcchứng minh bằng kỹ thuật gấp đôi biến: cận trên đúng của u − v trong(0, T ) × J được xấp xỉ bởi cận trên đúng của u(t, x) − v(t, y) − Pε(x, y)trong (0, T ) × J × J trong đó Pε(x, y) là hàm phạt; dáng điệu tại vô cùngcủa hàm Pε(x, y) và tính nhỏ của tham số ε ép buộc x gần y Một cáchthông thường, Pε(x, y) được chọn là hàm bậc hai ε−1|x − y|2; nhưng vớicách chọn như vậy, chứng minh không thực hiện được do tính gián đoạncủa Hamiltonian qua siêu phẳng Thật vậy, hai bất đẳng thức nhớt đượcviết tại điểm (¯t, ¯x) và (¯t, ¯y) nếu cận trên đúng xấp xỉ đạt được tại(¯t, ¯x, ¯y);nếu x¯ và y¯không cùng thuộc một Ji, thì các Hamiltonian xuất hiện tronghai bất đẳng thức nhớt là khác nhau Một số tác giả áp đặt điều kiệntương thích lên các Hamiltonian nhưng chúng tôi không muốn làm nhưvậy Thay vào đó, ý tưởng tự nhiên trong [2] cũng như [6] là tìm một hàmphạt Pε(x, y) theo cách sao cho nó bù lại sự thiếu điều kiện tương thíchgiữa các Hamiltonian Ở đây, nó được chọn dưới dạng εG(x/ε, y/ε) với

hàmG là hàm thử đỉnh Điều kiện tương thích về gradient vi) của GtrongĐịnh lý 2.1.1 giải quyết việc thiếu tính tương thích của các Hamiltonian.Ngoài các điều kiện tương thích đối với gradient trong vi), các tính chấtkhác của hàm thử đỉnh G đều cần thiết Tính chính quy của G trong i)cho phép sử dụng G như một hàm thử theo X và Y Tính bị chặn dướitrong ii), tính tương thích trên đường chéo trong iii), và tính trên tuyếntính trong iv), đảm bảo cho G có thể được sử dụng như một hàm phạt.Các đánh giá gradient trong v) là cần thiết để xử lý tính không bị chặncủa miền.

Khó khăn trong trường hợp nhiều chiều Việc xây dựng hàm thử đỉnhđược tiến hành theo hai bước: đầu tiên một hàm thử đỉnh xấp xỉ được địnhnghĩa, với các tính chất mong muốn ngoại trừ trên tập {x = y} củaJ × J ;thứ hai hàm thử đỉnh xấp xỉ này được chính quy hóa trên tập {x = y}.Trong trường hợp nhiều chiều, mỗi bước là khó hơn đáng kể so với trườnghợp một chiều Khi xây dựng hàm thử đỉnh xấp xỉ phải giải bài toán tối

ưu với ràng buộc đẳng thức, và bộ tối ưu được xác định ẩn thông qua điềukiện tối ưu cấp một, trong khi trong trường hợp một chiều, bài toán tối

ưu này là tầm thường và bộ tối ưu rõ ràng Với bước hai, khó khăn gắnvới việc chứng tỏ quá trình chính quy hóa không ảnh hưởng đến các tínhchất khác

hợp lồi trơn

Mục này được dành cho xây dựng một hàm thử đỉnh xấp xỉ G0 trongtrường hợp các Hamiltonian và bộ hạn chế thông lượng trơn và lồi Cụ thểhơn, chúng ta xây dựng hàmG0 thỏa mãn các tính chất cần thiết của hàmthử đỉnh ngoại trừ trên tập con {x = y} của J × J

Trong toàn bộ mục này, ta giả sử các Hamiltonian Hi thỏa mãn giảthiết sau với i = 1, , N,







Hi ∈ C2(Rd+1) với D2Hi > 0 trong Rd+1,lim|P |→+∞ Hi(P )

|P | = +∞

(2.2.1)

và bộ hạn chế thông lượng

A0 ≤ A ∈ C2(Rd) và D2A > 0 trong Rd+1 (2.2.2)Nhắc lại πi± được định nghĩa trong (1.1.9)

Bổ đề 2.2.1 (Tính chất của π±i ) Giả sử có (2.2.1) Khi đó πi±(p0, ·) ∈

C2(Ai(p0), +∞) và π±i ∈ C(epi Ai) Ngoài ra, πi± lõm đối với (p0, λ) trongepi Ai và ±πi± không giảm đối với λ

Chứng minh Tính chính quy của πi± có thể được rút ra từ định lý hàmngược Khi làm việc với tính lõm của πi+, ta có thể bỏ chỉ số i và ta sẽ làmvậy cho rõ ràng Cho (p0, λ), (q0, µ) ∈ epi A và t ∈ (0, 1) Khi đó

tλ + (1 − t)µ = tH(p0, π+(p0, λ)) + (1 − t)H(q0, π+(q0, µ)

≥ H(tp0+ (1 − t)q0, tπ+(p0, λ) + (1 − t)π+(q0, u)).Cho nên

π+(tp0 + (1 − t)q0, tλ + (1 − t)µ) ≥ tπ+(p0, λ) + (1 − t)π+(q0, u)chính là kết quả cần tìm Tính đơn điệu của π+ là dễ suy ra từ tính đơnđiệu của H Bổ đề được chứng minh

Tiếp theo ta định nghĩa hàm G0 của X ∈ Ji, Y ∈ Jj, i, j = 1, , N,như sau

G0(X, Y ) = sup

(P,λ)∈Gij

(p0· (x0 − y0) + pix − pjy − λ) (2.2.3)

{(P, λ) ∈ Rd+2 ×R : P = (p0, pi), λ = Hi(p0, pi) ≥ A(p0)} nếu i = j

(2.2.4)với A ≥ A0

Kết quả chính của mục này là mệnh đề sau

Mệnh đề 2.2.2 (Hàm thử xấp xỉ trong trường hợp lồi trơn) Cho A ≥ A0

với A0 xác định bởi (1.1.7) và giả sử các Hamiltonian thỏa mãn (2.2.1) và

bộ hạn chế thông lượng A thỏa mãn (2.2.2) Khi đó G0 thỏa mãn

(iii) (Điều kiện tương thích) (2.1.1) đúng với γ = 0; và (2.1.4) đúng với

γ = 0 với X = (x0, x), Y = (y0, y) với x 6= y hoặc x = y = 0;

(iv) (Tính trên tuyến tính) (2.1.2) đúng với một g = g0;

(v) (Đánh giá gradient) (2.1.3) chỉ đúng với (X, Y ) ∈ J2 sao cho x 6= yhay (x, y) = (0, 0);

Chứng minh của mệnh đề này được giữ lại tới Mục 3.3

2.2.1 Hàm thử đỉnh trong Ji × Jj với i 6= j

Để chứng minh Mệnh đề 2.2.2, đầu tiên ta cần nghiên cứu hạn chế G0ijcủa G0 trên tập Ji × Jj Khi đó, ta có thể viết

G0ij(X, Y ) = Gij(x0 − y0, xi, −yj)

Z = D(α · H)(P )với H = (Hi, Hj, A).

Chứng minh Gij(Z) xác định bởi lấy giá trị lớn nhất hàm tuyến tính dướimột ràng buộc đẳng thức và một ràng buộc bất đẳng thức Các ràng buộc

là đủ điều kiện nếu

D(Hi − Hj) không cộng tuyến với D(Hi− A)

Khi các ràng buộc đủ điều kiện, định lý Karush-Kuhn-Tucker khẳng địnhrằng (tính DP(P · Z − λ)) tồn tại αj ∈ R và α0 ≥ 0 sao cho

Z = ∇PHi + αj(∇PHj − ∇PHi) + α0∇P(A − Hi)với

Nói riêng, các ràng buộc là đủ điều kiện nếu

∂iHi(p0, pi) > 0 và ∂jHj(p0, pi) < 0 (2.2.6)Trong trường hợp này ta suy ra (αi, αj, α0) ∈ T Cho nên, kết quả đượcchứng minh trong trường hợp (2.2.6)

Bây giờ giả sử rằng ∂iHi(p0, pi) ≤ 0 Ta lưu ý rằng trong tất cả trườnghợp, ∂iHi(p0, pi) ≥ 0 do zi ≥ 0 Cho nên, ∂iHi(p0, pi) = 0, hay nói cáchkhác,Hi(p0, pi) = Ai(p0).Nhưng đặc biệt, từ ràng buộc Hi(p0, pi) ≥ Ai(p0),giả thiếtA(p0) ≥ A0(p0) và kết quả đơn giản rằng Ai(p0) ≤ A0(p0) kéo theorằng A(p0) = A0(p0) Ta đạt được cùng kết luận nếu ∂jHj(p0, pi) ≥ 0 Nóicách khác,

Điều kiện (2.2.6) đúng miễn là ∀p0, A(p0) > A0(p0) (2.2.7)Đặc biệt, kết quả của bổ đề đúng dưới điều kiện: A(p0) > A0(p0) vớimọi p0 ∈ Rd Bây giờ nếu tồn tại p0 sao cho A(p0) = A0(p0), ta chú ý rằng

Gij(Z) = lim

ε→0Gεij(Z)trong đó Gεij(Z) liên kết với Aε(p0) = ε + A(p0) Từ trường hợp trước, tabiết rằng tồn tại Pε và λε sao cho

Bổ đề 2.2.4 (Tính duy nhất của (P, λ) : dạng ij) Cho Z = (z0, zi, zj) ∈

Q Nếu tồn tại α, P, λ và β, Q, µ sao cho α, β ∈ T và

αi = βi = 0 = zi, (2.2.9)và

pj = qj = πj−(p0, λ) (2.2.10)ngoại trừ trường hợp

αj = βj = 0 = zj (2.2.11)Ngoài ra dưới giả thiết bên trên, trong tất cả trường hợp, ta có thể địnhnghĩa

¯α

!

· DΨ(P + θ ¯P , α + θ ¯α)dθ

DαΨ(P + θ ¯P , α + θ ¯α) ¯αdθ.Lấy tích vô hướng với P¯ thu được

DP P2 ((α + θ ¯α) · H)(P + θ ¯P ) ¯P · ¯P dθ ≥ 0

T2 =

Z 1 0

D2P P((α + θ ¯α) · H)(P + θ ¯P ) ¯P · ¯P dθ

0 = β0(Hi(P ) − A(P ))

0 = α0(Hi(Q) − A(Q))

Ta chia thành ba trường hợp Ta sẽ sử dụng kết quả Hi(p0, pi) = λ và

∂iHi(p0, pi) ≥ 0 kéo theo pi = π+i (p0, λ) Ta cũng dùng tích chất tương ứngđối với pj : pj = π−j (p0, pj)

• TH 1 Nếu tồn tại θ ∈ (0, 1) sao cho α + θ ¯α ∈ intt T , thì P = Q và

Ta suy ra kết luận Trường hợp nhỏ thứ hai tương tự

Bây giờ nếu α = (0, 0, 1), thì p0 = q0, Z = ∇pA(P ) và

0 = (pi− qi)zi + (pj − qj)zj = P · Z = λ − µ

và ta kết luận giống như hai trường hợp trước

• TH 3 Cuối cùng ta giả sử rằng tồn tạiθ ∈ (0, 1)sao choα+θ ¯α ∈ ∂Tnhưng không là một đỉnh Trong trường hợp này, điều này kéo theohai thành phần của a = α + θ ¯α = (ai, aj, a0) không bằng 0

Nếu a0 = 0 thì p0 = q0 và pi = qi và pj = qj, tức là P = Q

Nếu ai = 0 thì p0 = q0 và pj = qj và zi = 0 và λ = µ và ta có thểchọn pi = π+(p0, λ) = qi khi αi = βi = 0 = zi Trường hợp nhỏ thứ

ba aj tương tự với trường hợp hai

Kết thúc chứng minh bổ đề

Hai bổ đề trên kéo theo bổ đề sau

Bổ đề 2.2.5 (Gradient của G0ij) Hàm G0ij là C1 trong Ji × Jj, tới tậnbiên, và

DG0ij(X, Y ) = (p0, pi, −p0, −pj), pi = πi+(p0, λ),