Bài-2-PHUONG-TRINH-LUONG-GIAC-CO-BAN-p2 (1)

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆNA... lượng giác để biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản.. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x 1 là... Với giá trị nào của m thì phươ

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chủ đề 2.4 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN CÓ ĐIỀU KIỆN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

Các phương trình có dạng sinx m ; cosx m ; tanx m ; cotx m được gọi là các phương trình lượng giác cơ bản

1 Phương trình sinx m  1

 Trường hợp m  1 thì phương trình  1 vô nghiệm

 Trường hợp m 1 thì phương trình  1 có nghiệm

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  1 thì nghiệm của phương trình  1 là:

 Trường hợp m  1 thì phương trình  2 vô nghiệm

 Trường hợp m 1 thì phương trình  2 có nghiệm

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  2 thì nghiệm của phương trình  2 là:

1

Chuyên đề

Chú ý: Với m £ 1 thì PT  2 luôn có duy nhất một nghiệm thuộc đoạn 0;p Nghiệm này kí

hiệu là arccos m Do đó nghiệm của PT  2 là: arccos ,  

22

 Nếu cosx cosa thì nghiệm của  2 là x k , k 

kí hiệu là arctan m Do đó nghiệm của PT  3 là: xarctanm k p, k 

 Nếu tanx tana thì nghiệm của  3 là x a k p, k 

Tổng quát: tan f x tang x  thì nghiệm của  3 là f x  g x k p, k 

 Nếu tanx tanb thì nghiệm của   3 là xbk180, k

 m phương trình  4 luôn có nghiệm thỏa điều kiện x k p, k .

 Nếu  là một nghiệm của phương trình  4 thì nghiệm của phương trình  4 là:

 Nếu cotx cota thì nghiệm của  4 là x a k p, k .

Tổng quát: cot f x  cotg x  thì nghiệm của  4 là f x g x k p, k 

 Nếu cotx cotb thì nghiệm của   4 là xbk180, k

lượng giác để biến đổi đưa về phương trình lượng giác cơ bản

Bước 1 Tìm nghiệm của biểu thức ( )P x , hoặc giá trị của x làm biểu thức ( ) P x không xác định.

Bước 2 Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

Bước 3 Sử dụng máy tính tìm dấu của ( )P x trên từng khoảng của bảng xét dấu.

Câu 2. [1D1-1] Giải phương trình tan x 3 300  3

3

Giải:

Ta có tan x 3 300  3

3  tan3x  300 tan300  x k 600,k .Vậy phương trình có một họ nghiệm x k 600,k 

Câu 3. [1D1-1] Giải phương trình tan x tan  x

Kết hợp với điều kiện ta suy ra phương trình có một họ nghiệm xpk k,  .

3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Câu 6. Giải phương trình tan xtan  x

20

Vậy phương trình có nghiệm: x pk ,x pk ,k 

3

Câu 8. Giải phương trình tanx 300cos2x15000 (1)

Điều kiện: cosx 300  0 x 300900k1800 x1200k1800,k 

tan

,cos

So với điều kiện nghiệm x1200k180 loại.0

Vậy phương trình có nghiệm: x300k1800,k 

Câu 9. Giải phương trình 3tanx 3 2  sinx 1 0(1)

Điều kiện cosx  xpk ,k 

,sin

sin

x x

563

52

6 là tập con của tập các giá trị x k k,

tan

x k x

3

3

(thỏa điều kiện)

Vậy nghiệm của phương trình là ,

3

sin

x x

k Z x

Với điều kiện trên, (*) 2(sinxcos ) sinx  2x(cosxsin )x

(sinx cos )(x sin x)

Câu 5. tan x sin2x 2sin2x3cos2xsin x cosx

Điều kiện: cosx 0

Chia hai vế phương trình cho osc 2x, ta được:  os sin sin x cos 

2

3

So với điều kiện, nghiệm của phương trình là: x pk x;  p k k Z, 

Câu 6. 5sinx2 3 1 (  sin ) tanx 2x (ĐH B-2004)

Điều kiện: cos x 0 (*)

Phương trình sin ( sin )sin

4Với điều kiện trên, (1)  cos2x3cot2xsin4x2(cot2x cos2x)

cos x cot x sin x

Điều kiện: s in2x  1 0

Phương trình tương đương cos (cosx x2sin )x 3sin (sinx x 2) sin 2x1

So với điều kiện nghiệm phương trình là x pk

Giải: Ta có sin22x 4cos2x4sin2xcos2x 4cos2x

cos (sinx x ) cos x

Với cos x 0, pt sin sin

Điều kiện: sin x 0 x k p

Với điều kiện trên, phương trình đã cho

 sin (2x1sin2xcos2x)2 2sin2xcosx

sin x cos x cosx

 1 2  2 2 2

cos (cosx xsinx )

2 2 0 cosx = 0 hay cosx + sinx = 2

 cosx = 0 hay sin x  

2 hay x = k

p p

cos

x x

sinsin

x x

coscos

Điều kiện: tan

cos

x x

sin cosx x cosx (sinx )

32

Với điều kiện trên, (*) (1 2 sin ) cosx x 3 1 2(  sin )(x 1 sin )x

cosx sinx sin x cos x

Câu 16. sinx sin x sin x

x x

2 2sin cos

(sin cos )sin cos

223

x x

x x

sin sinsin sin

x x

44

424

3 C vô nghiệm. D x k .

p p

Câu 6. Họ nghiệm của phương trình tan x   

8

15 . C  k ;k 

p p

82

p p

82

p p p

2

221

6

26

Điều kiện: cos

cos

x x

Phương trình tan2x tanx0 tan2xtanx 2x x k  p x k k p,  

Câu 9. Nghiệm của phương trình tan3x.cot2x 1 là

Phương trình tan3x.cot2x 1 tan

Ta có: tanx 1 sinxcosx cotx1

MỨC ĐỘ THÔNG HIỂU

Câu 1. Với giá trị nào của m thì phương trình sin x m có nghiệm:

A m 1 B m 1 C  1 m1 D m 1

Hướng dẫn giảiChọn C.

Với mọi x  , ta luôn có  1 sin x1

Do đó, phương trình sin x m có nghiệm khi và chỉ khi  1 m1

Câu 2. Phương trình cos x m 0 vô nghiệm khi m là:

Với mọi x  , ta luôn có  1 cos x1

Do đó, phương trình cosx m có nghiệm khi và chỉ khi m

2 là nghiệm của phương trình nào sau đây:

A sin x 1 B sin x 0 C cos x 2 0 D cos x 2 1

Hướng dẫn giảiChọn D.

Lại có cos xcos  k cos k cos 

Câu 5. Nghiệm của phương trình sin x 2 1 là:

Ta có sin – cosx 3 x 0 1sin – x 3cosx

Ta có 2.sin cosx x 1 sin x2 1

sin xcosx sin xsin  x

sin cos cos sin sin cos

38524

34512

54516

58724

Lời giải

sinx cosx  cos x  

52438

133

32

64

 sin xsinx sin x sin x sin x sinx

x k k

p p

p

3

32

22

Lời giải

ĐK sin x 2 1

sincos sin

124

92

32

Lời giải

sin23x cos24xsin25x cos26x sin23x sin25xcos24x cos26x

sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x

p

2

29

92

Câu 7 [1D1-3.3-3] Phương trình: sin sinx x .sinx cos x

sinx cos x cos x

x x x

3 3

Điệu kiện: sin

cos cos sin

Điều kiện:

coscos

cos

x x

Điều kiện: cos x  x p k

Bài 2 Giải phương trình: cos3x+cos2x cosx 1 0- - = ( )*

Bài giải tham khảo

( )* Û 4cos x 3cosx 2cos x 1 cosx 1 03 - + 2 - - - = Û 2cos x3 +cos x 2cosx 1 02 - - =

A KIẾN THỨC CƠ BẢN (trình bày như trong phần 2.4)

B KỸ NĂNG CƠ BẢN

Khi giải phương trình lượng giác có nghiệm thỏa điều kiện cho trước, ta làm như sau:

Bước 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình.

Bước 2 Giải phương trình để tìm nghiệm

Bước 3 So sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình và điều kiện cho trước của

bài toán để loại những nghiệm không thỏa

6 và x 

p

3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Vì k   nên ta không chọn được giá trị k thỏa mãn

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

32

212

12

k k

k k

Điều kiện: sin 2x  0

Phương trình: 2 tanx 2cotx 3 0

x x

2

k k k

Vậy nghiệm của phương trình có nghiệm

2

x thỏa điều kiện đề bài

Câu 11. Tìm nghiệm của phương trình cos 2xsinx0trong khoảng0; 2

Giải:

cos 2 sin 0 cos 2 sin cos 2 os

Điều kiện: cosx  1 0 x  k2 Trên 2 , 4  , điều kiện  x3

Ta có cossin 3x x1 0 sin 3x 0 3x k   x k 3;k

So với điều kiện, ta chỉ còn x2 , 73 , 83, 103 , 113 , 4

Câu 13. Giải phương trình cos2xcosx v i 0 ới 3

x x

V y phậy phương trình có nghiệm ương trình trở thành: ng trình có nghi m ệm

22sin x 3sinx 1 0

sin 1

1sin

2

x x

526

Vậy với 0 m 1 thì phương trình có nghiệm

Câu 17. Giải phương trình sin2x sinx  với 00  x :

x k x

Câu 19. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình sin 3 cosx xsin 2x thuộc 0; 2

3sin x sin x sin cosx x thuộc 0;

sin xcos xsin xcos x thuộc 0

k x

Trong 0 2 ;

  phương trình đã cho có các nghiệm là: 0;20 20 4 20 20 2 ;2 ; ;7 ;9 ;

Câu 22. Tìm m đ phể phương trình ương trình trở thành: ng trình 2sin x2  2m1sinx m 0 có nghi m ệm ;0

 2

2sin x 2m1 sinx m 0

1sin

2sin

Câu 26. Tìm tất cả các nghiệm của phương trình

sin 8xcos 4x 1 2 sin 2 cos 6x x thuộc  ; 

Giải:

2cos 4 sin 4 1

k x

3 sin 3 2 sin sin 2 cos 0

k x x

k x

Các nghiệm thuộc 0;  của phương trình là:  2

;

2 3

sin 3 sin 2 sin cos 2

3

sin 3x sin 2 sin 3x sin

23

sin 2 1 cos (2 sin 1) 2 cos 2

cos 2 cos 2 cos 2 cos 2 0

cos 2 (cos 2 cos 2) 0

Câu 32. Phương trình cos 22x 3cos18x 3cos14x cos10x 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng

22cos 2 1 cos 2 3 3cos 2 2

Câu 37. Tìm các nghiệm thuộc khoảng ;3

26

Khi đó phương trình trở thành: m t( 1) 1 (  t21) 2

1

t m t

Xem hàm số ( ) 2 , t 1, 2

2(cos sin )(cos sin ) sin cos (sin cos )

(sin cos ) 2(cos sin ) sin cos

2 sin cos 1 2 sin 3 sin cos 2 0

2 sin (2 cos 3) sin cos 1 0 (1)

Chú ý : (1) là phương trình bậc 2 với biến sin x

Ta có :  (2 cosx3)2 8(cosx1) (2 cos x1)2

26

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

26

Vậy phương trình đã cho có nghiệm

x x

2

k k k

Câu 7. Nghi m c a phệm ủa phương ương trình trở thành: ng trình lượp 1: ng giác : cos2 x cosx th a đi u ki n 0 ỏa điều kiện ều kiện ệm 0 x   là

cos 1

x x

Nh n xét: Ch c n ki m tra đi u ki n ậy phương trình có nghiệm ỉ nhận nghiệm ần kiểm tra điều kiện ể phương trình ều kiện ệm 0 x   ta ch n A.ọn

Câu 8. Nghi m c a phệm ủa phương ương trình trở thành: ng trình lượp 1: ng giác: 2cos2 x3sinx 3 0 thõa đi u ki n ều kiện ệm 0

22sin x 3sinx 1 0

sin 1

1sin

2

x x

526

x x

212

12

k k

k k





  

Vậy phương trình trên có hai nghiệm

Vậy phương trình có 3 nghiệm trong  ;5 

Ta có cos 15 sin cos 15 cos 90 

Ta có sin2 sin 0 sinsin 01 3 ;

22

x k x

Điều kiện: cosx  1 0 x  k2 Trên 2 , 4  , điều kiện  x3

Ta có cossin 3x x1 0 sin 3x 0 3x k   x k 3;k

So với điều kiện, ta chỉ còn x2 , 73 , 83, 103 , 113 , 4.

Lời giải Chọn B

Ta có cos 2x 2m1 cos x m   1 0 2cos2x 2m1 cos x m 0

Ta có cosx1 cos 2  x m cosx msin2x

cosx 1 cos 2  x mcosx m1 cosx 1 cosx

; 43



; 32



; 58



Lời giải Chọn B

23

23

cos5 cosx xcos 4 cos 2x x3cos x1 Các nghiệm thuộc khoảng  ;  của phương trình là:

Phương trình tương đương 1cos4 cos6  1cos6 cos 2  3 1 cos2 1

x

x x  x x    

   2

cos4 4cos 2 5cos 2 4cos2 6 0cos 2 1

Lời giải Chọn C

Điều kiện : 1 2sin 2 x0

Phương trình tương đương 5 sin 2sin sin 2 sin 3 cos3 3 cos 2

1 2sin 2

x x

2

3cos 2 ( )

x x

x x