Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tíchbiến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân còn được gọi là đạohàm đồ thị dưới gradient,

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỂN

MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ TÍNH DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC TRONG GIẢI TÍCH BIẾN PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 9 46 01 02

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Nguyễn Huy Chiêu

2 PGS TS Đinh Huy Hoàng

NGHỆ AN - 2019

Tôi xin cam đoan luận án tiến sĩ “Một số kết quả về tính dướichính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng” là công trìnhnghiên cứu của riêng tôi, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Huy Chiêu

và PGS TS Đinh Huy Hoàng Các kết quả viết chung với các tác giảkhác đã được sự cho phép của đồng tác giả khi đưa vào luận án Các kếtquả được trình bày trong luận án là mới và chưa công bố trong bất kìcông trình nghiên cứu nào từ trước đến nay

Tác giả

Lê Văn Hiển

Tác giả xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc nhất đến các thầy hướngdẫn TS Nguyễn Huy Chiêu là người đã đặt bài toán và tận tình chỉ bảotác giả trong suốt quá trình nghiên cứu PGS TS Đinh Huy Hoàng làngười đã hướng dẫn, động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giảtrong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trường Đại học Vinh.Tác giả xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong Bộ môn Toán Giảitích, Hội đồng khoa học ngành Toán, Viện Sư phạm Tự nhiên, TrườngĐại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụcủa nghiên cứu sinh.

Xin chân thành cảm ơn TS Trần Thái An Nghĩa (Đại học Oakland,Mỹ) đã chia sẻ kinh nghiệm nghiên cứu và đóng góp nhiều ý kiến quýbáu cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận án

Tác giả xin gửi lời cảm ơn Ban giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa và cácthầy cô, anh chị em và bạn bè đồng nghiệp ở Trường Đại học Hà Tĩnh,Khoa Sư phạm đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuậnlợi trong công việc cho tác giả tập trung học tập và hoàn thành luận án.Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thành viêntrong gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn động viên, chia sẻ và giúp

đỡ tác giả trong suốt quá trình dài học tập và nghiên cứu

Nghệ An, ngày 03 tháng 6 năm 2019

Tác giả

Lê Văn Hiển

MỤC LỤC

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 211.1 Một số khái niệm và tính chất bổ trợ 211.2 Tính chất chính quy và điều kiện chuẩn hóa 251.3 Kết luận Chương 1 31

Chương 2 Đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến với điềukiện dưới chính quy mêtric 322.1 Tính toán đạo hàm của ánh xạ nón pháp tuyến 322.2 Áp dụng vào lý thuyết phương trình suy rộng 522.3 Kết luận Chương 2 60

Chương 3 Ổn định xiên thông qua đạo hàm của ánh xạdưới vi phân cho một lớp bài toán tối ưu với giả thiết chính

3.1 Đặc trưng bậc hai của tính ổn định xiên cho một lớp bài toántối ưu không ràng buộc 633.2 Ổn định xiên trong quy hoạch phi tuyến với giả thiết dưới chínhquy mêtric 74

3.3 Kết luận Chương 3 102

Kết luận chung và kiến nghị 104

Danh mục công trình của NCS có liên quan đến luận án 106

MỘT SỐ KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

Rn không gian Ơclit n chiều

Rn+ tập hợp các véctơ với tọa độ không âm trong Rn

Rn− tập hợp các véctơ với tọa độ không dương trong Rn

k.k chuẩn Ơclit trong Rn

intΩ phần trong của tập Ω

convΩ bao lồi của tập Ω

C⊥ phần bù trực giao của C trong Rn, tức là

C⊥ := u ∈ Rn| hu, xi = 0 với mọi x ∈ C

Co nón cực của C trong Rn, tức là

Co := u ∈ Rn| hu, xi ≤ 0 với mọi x ∈ C

posC tổ hợp tuyến tính dương của C trong Rn, tức là

posC := n

kPi=1

lim inf ϕ giới hạn dưới của hàm số ϕ

lim sup ϕ giới hạn trên của hàm số ϕ

b

NΩ(x) nón pháp tuyến Fréchet của Ω tại x

NΩ(x) nón pháp tuyến qua giới hạn của Ω tại x

TΩ(x) nón tiếp tuyến Bouligand-Severi của Ω tại x

b

D∗F đối đạo hàm Fréchet của ánh xạ F

DF đạo hàm đồ thị của ánh xạ F

b

∂ϕ dưới vi phân Fréchet của hàm ϕ

∂ϕ dưới vi phân qua giới hạn của hàm ϕ

I(x) tập chỉ số hoạt tại x

I+(λ) tập các chỉ số bù chặt

Λ(x, x∗) tập các nhân tử KKT tương ứng với (x, x∗)

Λ(x, x∗; v) tập nhân tử nhân tử theo hướng v

K(x, x∗) nón tới hạn của Γ tại (x, x∗)

L(x, λ) hàm Lagrange

Lg(x, α, λ) hàm Lagrange suy rộng

LP(v) bài toán quy hoạch tuyến tính phụ thuộc tham số v

DP(v) bài toán đối ngẫu của LP(v)

subregF (¯x, ¯y) môđun tính dưới chính quy mêtric của F tại (¯x, ¯y)

tilt(f, ¯x) môđun chính xác của tính ổn định xiên của f tại x¯

DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT

BEPP tính chất điểm cực biên bị chặn

CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương

CRCQ chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng

KKT Karush-Kuhn-Tucker

LICQ chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính

MFCQ chuẩn hóa ràng buộc Mangasaria-Fromivitz

MSCQ chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric

CPLD chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính dương nới lỏngRCQ chuẩn hóa ràng buộc Robinson

RUSOSC điều kiện đủ bậc hai đều nới lỏng

SSOSC điều kiện đủ bậc hai mạnh

USOSC điều kiện đủ bậc hai đều

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Nhằm bổ sung công cụ để khảo sát các bài toán tối ưu và bài toán liênquan, đầu những năm 1960, R T Rockafellar và J.-J Moreau đề xuất

và nghiên cứu khái niệm dưới vi phân cho hàm lồi Giữa thập niên 1970,

F H Clarke và B S Mordukhovich độc lập đưa ra các khái niệm dưới

vi phân cho hàm có thể không lồi Đạo hàm và đối đạo hàm của ánh xạ

đa trị xuất hiện vào đầu thập niên 1980 Bên cạnh đó, nhiều khái niệm

vi phân suy rộng khác (đạo hàm theo hướng, dưới đạo hàm, dưới vi phânbậc hai, dưới đạo hàm bậc hai, ) cũng đã được giới thiệu và nghiên cứu.Năm 1998, R.T Rockafellar và R J.-B Wets xuất bản cuốn sách chuyênkhảo “Variational Analysis” ([70]) trên cơ sở tổng hợp, hệ thống hóa và

bổ sung những kết quả cơ bản theo hướng nghiên cứu này, đánh dấu sự

ra đời của Giải tích biến phân

Đến nay, giải tích biến phân bậc nhất đã khá hoàn thiện, trong khi

đó giải tích biến phân bậc hai đang được nghiên cứu mạnh mẽ và pháttriển nhanh ([21], [55], [56], [70]) Lĩnh vực này thu hút được sự chú ý củanhiều nhà toán học trong thời gian gần đây ([6], [8], [55], [70])

Vi phân suy rộng đóng vai trò trung tâm trong giải tích biến phân vàứng dụng ([55]) Hơn nữa, đối với bất kỳ cấu trúc vi phân suy rộng nào,luôn có hai vấn đề cơ bản được đặt ra một cách tự nhiên: thứ nhất là cấutrúc đó phản ánh được tính chất nào của hàm số, ánh xạ hay tập hợp;thứ hai là làm thế nào để tính toán hoặc ước lượng cấu trúc đó theo dữ

liệu ban đầu của bài toán Thực tế là để giải quyết thấu đáo mỗi vấn đềnày người ta đều cần đến thông tin về tính chính quy nào đó của hàm số,ánh xạ hay tập hợp có liên quan ([21], [44], [55], [70]) Chính vì vậy, cáctính chất chính quy là những đối tượng nghiên cứu quan trọng trong giảitích biến phân ([21], [44], [55], [65], [70]).

Tính dưới chính quy mêtric là một trong những tính chất chính quyđáng chú ý trong giải tích biến phân bậc nhất ([15], [21], [36], [43], [51]).Gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu về tính dưới chính quy mêtrictrong giải tích biến phân bậc hai ([25], [52]) Tuy vậy, vai trò của tínhchất này trong giải tích biến phân bậc hai vẫn là một vấn đề thú vị cầnđược khảo sát thêm

Với các lý do như thế, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án của mình là

“Một số kết quả về tính dưới chính quy mêtric trong giải tíchbiến phân và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận án là thiết lập các kết quả nghiên cứu mới dựa vàoviệc khảo sát hai vấn đề cơ bản nêu trên, góp phần làm rõ vai trò củatính dưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của luận án là các tính chính quy trong giải tíchbiến phân, đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân (còn được gọi là đạohàm đồ thị dưới gradient), tính ổn định xiên (tilt stability) và tính chấttĩnh lặng cô lập (isolated calmness)

4 Phạm vi nghiên cứu

- Đối với vấn đề thứ nhất, luận án tập trung nghiên cứu khả năng củađạo hàm đồ thị dưới gradient trong việc nhận biết tính ổn định xiên cho

các bài toán tối ưu không ràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề.Đồng thời, luận án cũng quan tâm đến các bài toán quy hoạch phi tuyếnràng buộc bất đẳng thức thỏa mãn điều kiện dưới chính quy mêtric vớihàm mục tiêu và các hàm ràng buộc khả vi liên tục hai lần.

- Đối với vấn đề thứ hai, luận án tập trung vào việc tính đạo hàm đồthị dưới gradient cho một lớp ánh xạ nón pháp tuyến với điều kiện dướichính quy mêtric và sử dụng kết quả tính toán này để khảo sát tính chấttĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trình suy rộng

5 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận án này, chúng tôi sử dụng phương pháp tiếp cận biến phân

và các kĩ thuật của giải tích hàm, giải tích lồi, giải tích đa trị, giải tíchbiến phân, lý thuyết tối ưu

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận án góp phần làm phong phú thêm về quy tắc tính toán tronggiải tích biến phân; đồng thời, luận án cũng đề xuất cách tiếp cận mớinghiên cứu tính ổn định xiên, cải thiện được một số kết quả về tính ổnđịnh xiên trong quy hoạch phi tuyến; qua đó làm rõ hơn vai trò của tínhdưới chính quy mêtric trong giải tích biến phân và ứng dụng Luận án làtài liệu tham khảo tốt cho những ai quan tâm nghiên cứu lĩnh vực giảitích biến phân, lý thuyết tối ưu và ứng dụng

7 Tổng quan và cấu trúc của luận án

7.1 Tổng quan một số vấn đề liên quan đến luận án

Các tính chất chính quy đóng vai trò quan trọng trong giải tích biếnphân và ứng dụng ([55], [56], [70]) Một mặt, những tính chất này đượcdùng để thiết lập điều kiện cực trị và nghiên cứu vấn đề ổn định cho các

bài toán tối ưu và các bài toán liên quan Mặt khác, chúng được sử dụng

để phát triển hệ thống quy tắc tính toán trong giải tích biến phân Ngoài

ra, tính chất chính quy cũng được dùng để khảo sát sự hội tụ của cácthuật toán trong tối ưu số ([29], [54], [55], [57], [58])

Trong giải tích biến phân, người ta đã đề xuất và nghiên cứu nhiềukhái niệm chính quy khác nhau cho cả tập hợp, hàm giá trị thực mở rộng

và ánh xạ đa trị Đối với tập hợp, tập chính quy Clarke và tập chính quygần kề là hai khái niệm rất đáng chú ý, bởi vai trò quan trọng của chúngtrong việc nghiên cứu lý thuyết vi phân suy rộng và ứng dụng Nhữngkhái niệm này cũng có thể được dùng để định nghĩa tính chính quy chohàm giá trị thực mở rộng và ánh xạ đa trị Chẳng hạn, hàm giá trị thực

mở rộng là chính quy dưới vi phân nếu trên đồ thị của nó là chính quyClarke ([70, Definition 7.25]); ánh xạ đa trị là chính quy đồ thị nếu đồ thịcủa nó là chính quy Clarke ([70, Definition 8.38]); hàm giá trị thực mởrộng là chính quy gần kề nếu và chỉ nếu trên đồ thị của nó là chính quygần kề ([65, Theorem 3.5]) Đối với ánh xạ đa trị, các khái niệm chínhquy kiểu mêtric như chính quy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chínhquy mêtric và dưới chính quy mêtric mạnh có vai trò quan trọng cả trong

lý thuyết lẫn ứng dụng ([21], [44], [70]) Ngoài ra, khá nhiều mở rộng vàbiến thể của các khái niệm chính quy đề cập ở trên cũng đã xuất hiệntrong giải tích biến phân và tìm được những ứng dụng nhất định Phầntiếp theo của tổng quan sẽ tập trung vào tính chính quy gần kề và một

số tính chất chính quy kiểu mêtric, bởi đây là các khái niệm chính quyliên quan trực tiếp đến đóng góp của luận án này

Khái niệm hàm chính quy gần kề được Poliquin và Rockafellar ([65])giới thiệu năm 1996 Ngoài các hàm lồi chính thường nửa liên tục dưới,lớp hàm chính quy gần kề còn bao gồm nhiều hàm số quan trọng kháctrong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như hàm khả vi có đạo hàmLipschitz địa phương, hàm dưới-C2, hợp của hàm lồi chính thường nửa

liên tục dưới với ánh xạ khả vi liên tục hai lần thỏa mãn điều kiện chuẩnhóa chính quy mêtric, hàm chỉ (indicator function) của tập ràng buộc củabài toán quy hoạch phi tuyến với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quymêtric ([1], [15], [65]) Bao Moreau (Moreau envelope) của hàm chính quygần kề là khả vi và có đạo hàm Lipschitz địa phương, trong khi ánh xạgần kề (proximal mapping) liên kết với nó là đơn điệu, đơn trị và Lipschitzđịa phương ([70, Proposition 13.37]) Đây là những tính chất đáng chú ýxét từ góc độ tối ưu số Tính chính quy gần kề được dùng nhiều trongcác nghiên cứu về vi phân suy rộng bậc hai ([65], [70]) Nó còn được sửdụng trong nghiên cứu quá trình quét (sweeping process), tính khả vi củahàm khoảng cách và tính trơn của phép chiếu mêtric lên tập không lồi([5], [16], [27], [67]) Thông tin chi tiết về nhiều ứng dụng khác nhau củakhái niệm chính quy gần kề có thể tìm thấy trong tài liệu [15].

Tính chính quy kiểu mêtric của ánh xạ xuất hiện lần đầu vào cuốithập niên 1970 Nó được sử dụng để nghiên cứu nhiều vấn đề khác nhautrong giải tích biến phân và lý thuyết tối ưu, như thiết lập qui tắc tínhtoán cho các cấu trúc vi phân suy rộng, nghiên cứu điều kiện cực trị,tính ổn định và phương pháp giải cho các bài toán tối ưu và bài toán liênquan Khái niệm chính quy mêtric là một ví dụ điển hình về chính quykiểu mêtric Khái niệm này có nguồn gốc từ định lý ánh xạ mở Banach-Schauder trong giải tích hàm và định lý Lyusternik-Graves trong giảitích phi tuyến Thuật ngữ “chính quy mêtric” được Borwein ([9]) đề xuấtnăm 1986 Borwein và Zhuang ([10]) cùng với Penot ([64]) cho thấy rằngánh xạ đa trị là chính quy mêtric nếu và chỉ nếu nó là mở tuyến tính, hơnnữa các tính chất này tương đương với tính chất Aubin của ánh xạ ngược.Năm 1993, Mordukhovich ([54]) đã thiết lập được đặc trưng đối đạo hàmcho các ánh xạ đa trị chính quy mêtric và tiêu chuẩn Mordukhovich chotính chất Aubin ([70, Theorem 9.40]) Năm 2003, để nghiên cứu vấn đềbảo tồn tính chính quy mêtric của ánh xạ đa trị dưới tác động của nhiễu,

Dontchev và các cộng sự ([22]) đã giới thiệu khái niệm bán kính chính quymêtric (the radius of metric regularity) của ánh xạ đa trị, đồng thời đưa

ra công thức tính đại lượng này thông qua đối đạo hàm của ánh xạ đa trịđược xem xét Kết quả này là một mở rộng của định lý Eckart-Young nổitiếng trong giải tích số Ý tưởng bán kính chính quy mêtric sau đó được

áp dụng để nghiên cứu tính chính quy mêtric mạnh và một số khái niệmkhác, dẫn đến sự hợp nhất của nhiều kết quả cơ bản của giải tích biếnphân Thông tin chi tiết về tính chính quy mêtric có thể tìm thấy trongcác bài báo tổng quan về vấn đề này của Ioffe (xem [40], [41], [42]).Một tính chất chính quy kiểu mêtric khác cũng rất quan trọng trongcác nghiên cứu điều kiện tối ưu và quy tắc tính toán của các cấu trúc viphân suy rộng là tính dưới chính quy mêtric Nó là một tính chất yếu hơnnhiều so với tính chính quy mêtric Năm 1979, Ioffe sử dụng tính chất này

để định nghĩa khái niệm điểm chính quy ([39]) và thiết lập điều kiện cầntối ưu bậc nhất cho một lớp bài toán tối ưu ([38]) Thuật ngữ “dưới chínhquy mêtric” được đề xuất năm 2004 bởi Dontchev và Rockafellar ([20]).Tính dưới chính quy mêtric của ánh xạ đa trị tương đương với tính chấttĩnh lặng (calmness) của ánh xạ ngược ([21, Theorem 3H.3]) Năm 2008,Ioffe và Outrata ([43]) đã thiết lập được hệ thống quy tắc tính toán chocác cấu trúc vi phân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu với điều kiện dướichính quy mêtric Công trình này cũng cho thấy rằng điều kiện chuẩnhóa dùng trong hệ thống quy tắc tính toán chuẩn cho các cấu trúc viphân suy rộng bậc nhất dạng đối ngẫu, được trình bày trong các cuốnsách chuyên khảo [55] và [70], thực chất là tương đương với tính chínhquy mêtric của ánh xạ đa trị thích hợp Ngoài các quy tắc tính toán cho

vi phân suy rộng bậc nhất, gần đây, các nhà nghiên cứu cũng đã thiếtlập được nhiều quy tắc tính toán cho các cấu trúc vi phân suy rộng bậchai với giả thiết dưới chính quy mêtric Tính dưới chính quy mêtric cũng

có vai trò quan trọng trong lý thuyết hàm phạt chính xác và chặn sai số

([11], [40], [38], [39], [45], [72], [74]) cũng như trong tối ưu số ([46]).Đạo hàm đồ thị (graphical derivative) của ánh xạ đa trị tại điểm thuộc

đồ thị là ánh xạ đa trị có đồ thị là nón tiếp tuyến của đồ thị ánh xạ đatrị đã cho tại điểm được xem xét Khái niệm này được Aubin ([3]) đềxuất năm 1981 với tên gọi là đạo hàm contingent Thuật ngữ đạo hàm đồthị đã được sử dụng trong cuốn sách chuyên khảo “Variational Analysis”xuất bản năm 1998 của Rockafellar và Wets ([70]) và hiện nay nó là thuậtngữ thông dụng để chỉ khái niệm trên Đạo hàm đồ thị là công cụ mạnhtrong giải tích biến phân ([4], [21], [70]) Nó đã được dùng để nghiên cứutính ổn định của các hệ ràng buộc, hệ biến phân và tổng quát hơn là cácphương trình suy rộng ([4], [21], [44], [47], [48], [49], [70]) Đạo hàm đồ thịcòn có thể sử dụng để đặc trưng một số tính chất tốt của ánh xạ đa trịnhư tính chính quy mêtric, tính chất Aubin ([4], [21], [23]), tính chất tĩnhlặng cô lập và tính dưới chính quy mêtric mạnh ([21], [47], [48]) Ngoài

ra, đồ thị của đạo hàm đồ thị cũng đã đóng vai trò trung gian trong việctính toán các cấu trúc kiểu đạo hàm đối ngẫu ([18], [29], [37]) Mặc dù

là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề quan trọng trong giải tích biếnphân, tính toán đạo hàm đồ thị nói chung là bài toán khó Nó đã đượcnhiều người nghiên cứu trong thời gian dài và nhiều kết quả thú vị theohướng này đã được thiết lập ([4], [21], [35], [37], [47], [48], [49], [70], [73]).Xét tập Γ cho bởi công thức

Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Θ

,

trong đó q : Rn → Rm, q(x) = (q1(x), q2(x), , qm(x)), là ánh xạ khả viliên tục hai lần vàΘ ⊂ Rm là tập đóng khác rỗng ĐặtMq(x) := q(x) − Θ

với x ∈ Rn.NếuΘ =Rm− thìΓlà miền ràng buộc của quy hoạch phi tuyến

và, trong trường hợp này, chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz(MFCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ khi và chỉ khi ánh xạ Mq chính quy mêtricquanh (¯x, 0) Hơn nữa, nếu thêm giả thiết qi : Rn →R, i = 1, 2, , m, là

các hàm lồi, thì điều kiện Slater đúng khi và chỉ khi Mq chính quy mêtric.Nếu Θ là nón lồi đóng thì Γ chính là miền ràng buộc của quy hoạch nón

và khi đó chuẩn hóa ràng buộc Robinson (RCQ) là tương đương với tínhchính quy mêtric của Mq Điều kiện Slater, MFCQ và RCQ đều là cácchuẩn hóa ràng buộc rất quan trọng trong lý thuyết tối ưu và ứng dụng.Những điều kiện này về bản chất chính là tính chính quy mêtric của ánh

xạ đa trị Mq ([8], [29]) Do đó, có thể gọi chung các điều kiện này là chuẩnhóa ràng buộc chính quy mêtric Năm 2015, với Γ là miền ràng buộc củaquy hoạch phi tuyến, Gfrerer và Mordukhovich ([29]) đã giới thiệu kháiniệm chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric (MSCQ), đó là điềukiện Mq là dưới chính quy mêtric Sau đó, khái niệm này đã được mởrộng một cách tự nhiên cho Θ là tập đóng bất kỳ ([12], [31], [34])

Trong luận án này, chúng tôi quan tâm vấn đề tính đạo hàm đồ thị

DNΓ của ánh xạ nón pháp tuyến NΓ : Rn ⇒ Rn, x 7→ NΓ(x), với Θ làtập lồi đa diện Vì nón pháp tuyến NΓ(x) là dưới vi phân của hàm chỉliên kết với Γ nên đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến là trườnghợp đặc biệt của đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân và vấn đềnghiên cứu ở đây thuộc lĩnh vực giải tích biến phân bậc hai Kết quả đầutiên về tính đạo hàm DNΓ được thiết lập vào năm 1996 bởi Dontchev vàRockafellar ([18]), ở đó các tác giả này đã mô tả được chính xác đồ thịcủa DNΓ, với giả thiết Γ là tập lồi đa diện, theo dữ liệu đầu vào của bàitoán Kết quả này sau đó đã được dùng để tính dưới vi phân bậc hai quagiới hạn của hàm chỉ của Γ ([55]) Đây là khâu quan trọng để thu đượcđặc trưng tính chính quy mêtric mạnh của bất đẳng thức biến phân trêntập lồi đa diện trong [18] Tính lồi đa diện của tập Γ đóng vai trò cốt yếutrong kỹ thuật xử lý của Dontchev và Rockafellar ([18]) Dựa vào một sốquy tắc tính toán có sẵn của giải tích biến phân, năm 2013, Henrion cùngcác cộng sự ([35]) đã giới thiệu công thức tính đạo hàm DNΓ với giả thiết

Mq(x) := q(x) − Θ chính quy mêtric quanh điểm được xem xét Hơn nữa,

nếu Θ := Rm− và cả MFCQ và chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ)đều thỏa mãn thì công thức này trở nên đơn giản hơn nhiều ([35]) Năm

2014, Gfrerer và Outrata ([28]) đã chứng minh được công thức tính đạohàm đồ thị của Henrion cùng các cộng sự ([35]) vẫn đúng nếu Θ := Rm−

và điều kiện chính quy mêtric được thay bởi điều kiện yếu hơn là tínhdưới chính quy mêtric đúng tại điểm được xem xét và một tính chínhquy mêtric đều đúng quanh điểm này Một đóng góp rất quan trọng củaGfrerer và Outrata ([28]) là việc đề xuất được lược đồ chứng minh trựctiếp công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp, mở đường giảiquyết một cách thỏa đáng bài toán tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nónpháp tuyến Sử dụng lược đồ này cho trường hợp Θ := {0Rm1} ×Rm−m1

−với chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric, năm 2015, Gfrerer vàMordukhovich ([29]) đã chứng tỏ rằng kết quả tương tự vẫn đúng nếuthay điều kiện chính quy mêtric đều bởi điều kiện yếu hơn, đó là tínhchất điểm cực biên bị chặn (BEPP) được thỏa mãn

Kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của Dontchev và Rockafellar ([18])

và các kết quả thiết lập về sau nói chung là độc lập với nhau theo nghĩa là

từ kết quả của Dontchev và Rockafellar ([18]) không suy ra được các kếtquả về sau và ngược lại Tuy nhiên, về bản chất, chúng đều có giả thiết

là thỏa mãn chuẩn hóa dưới chính quy mêtric và một tính chất nào đóthêm vào Điều này dẫn tới câu hỏi tự nhiên như sau: Liệu chúng ta cóthể hợp nhất các kết quả tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháptuyến bằng cách bỏ tính chất thêm vào được không? Nói cách khác, cáccông thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyến đã đề cập ởtrên có còn đúng không nếu chỉ giả thiết Mq dưới chính quy mêtric?Trong Chương 2, với giả thiếtMq dưới chính quy mêtric tại điểm đượcxem xét và Θ là tập lồi đa diện, bỏ tính chất thêm vào, chúng tôi chứngminh được công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nón pháp tuyếnnhư trên vẫn đúng và như vậy trả lời được một cách khẳng định cho câu

hỏi nêu trên Để thiết lập công thức này, chúng tôi đã sử dụng lược đồchứng minh của Gfrerer và Outrata ([28]) kết hợp với một ý tưởng củaIoffe và Outrata ([43]) Nhờ công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạnón pháp tuyến, chúng tôi thu được công thức tính đạo hàm đồ thị củaánh xạ nghiệm và đặc trưng được tính chất tĩnh lặng cô lập của ánh xạnghiệm cho một lớp phương trình suy rộng Kết quả của chúng tôi hợpnhất được nhiều kết quả liên quan theo hướng nghiên cứu này.

Ổn định xiên (tilt stability) là một tính chất của cực tiểu địa phươngđảm bảo điểm này sẽ dịch chuyển kiểu Lipschitz khi hàm mục tiêu củabài toán tối ưu chịu nhiễu tuyến tính nhỏ Khái niệm ổn định xiên đượcPoliquin và Rockafellar ([66]) giới thiệu cho bài toán tối ưu không ràngbuộc với hàm mục tiêu là hàm giá trị thực mở rộng Khi xét các bài toántối ưu có ràng buộc người ta kết hợp các ràng buộc vào hàm mục tiêuthông qua hàm chỉ của tập điểm chấp nhận được và sử dụng tương tựnhư bài toán tối ưu không ràng buộc ta có tính ổn định xiên của bài toántối ưu có ràng buộc Tính ổn định xiên về cơ bản tương đương với điềukiện tăng trưởng bậc hai đều cũng như tính chính quy mêtric mạnh củaánh xạ dưới vi phân ([8], [24], [57]) Các tính chất này được nghiên cứurất nhiều trong những năm gần đây

Đặc trưng đầu tiên của tính ổn định xiên bằng cách dùng vi phân suyrộng bậc hai được Poliquin và Rockafellar ([66]) thiết lập vào năm 1998.Khi đó, các tác giả này đã chứng minh được rằng đối với bài toán tối ưukhông ràng buộc mà hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới viphân, một điểm dừng là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếudưới vi phân qua giới hạn bậc hai của hàm mục tiêu là xác định dươngtại điểm được xem xét Hơn nữa, sử dụng kết quả này cùng với công thứccủa Dontchev và Rockafellar ([18]) về tính dưới vi phân qua giới hạn bậchai của hàm chỉ của tập lồi đa diện, Poliquin và Rockafellar đã thu đượcđặc trưng bậc hai cho tính ổn định xiên của bài toán quy hoạch phi tuyến

với ràng buộc tuyến tính ([66, Theorem 4.5]) Khó khăn lớn nhất trongviệc áp dụng đặc trưng ổn định xiên của Poliquin và Rockafellar ([66])cho bài toán tối ưu với ràng buộc phi tuyến là tính toán dưới vi phân bậchai theo dữ liệu ban đầu của bài toán.

Năm 2012, nhờ thiết lập các công thức tính dưới vi phân bậc hai mới,Mordukhovich và Rockafellar ([62]) đã thu được đặc trưng bậc hai củacực tiểu địa phương ổn định xiên cho một số lớp bài toán tối ưu có ràngbuộc Đặc biệt, các tác giả này đã cho thấy rằng một điểm dừng củaquy hoạch phi tuyến thỏa mãn chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính(LICQ) là cực tiểu địa phương ổn định xiên nếu và chỉ nếu điều kiện đủbậc hai mạnh (SSOSC) đúng Cũng trong năm 2012, với quy hoạch phituyến thỏa mãn cả MFCQ và CRCQ, Mordukhovich và Outrata ([59])

đã chứng minh SSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng là cực tiểu địaphương ổn định xiên Năm 2015, Mordukhovich và Nghia ([57]) đã chothấy SSOSC không phải là điều kiện cần cho tính ổn định xiên và sau đó

đã giới thiệu điều kiện đủ bậc hai đều (USOSC) để đặc trưng tính ổn địnhxiên khi cả MFCQ và CRCQ đúng Gần đây, Gfrerer và Mordukhovich([29]) đã thu được một số điều kiện đủ bậc hai cho cực tiểu ổn định xiêncủa bài toán quy hoạch phi tuyến thỏa mãn MSCQ và BEPP Hơn nữa,khi thêm điều kiện không suy thoái hoặc 2-chính quy vào thì họ đã thuđược đặc trưng bậc hai cho cực tiểu địa phương ổn định xiên Đặc trưngtính ổn định xiên thông qua tính xác định dương đều của dưới vi phânbậc hai kết hợp, thiết lập bởi Mordukhovich và Nghia ([57]), là công cụthiết yếu cho các nghiên cứu trong [29]

Thay vì sử dụng các dưới vi phân bậc hai, trong luận án này chúngtôi sử dụng đạo hàm đồ thị của ánh xạ dưới vi phân, còn được gọi là đạohàm đồ thị dưới gradient ([70]), để đặc trưng tính ổn định xiên Đây làcách tiếp cận nghiên cứu ổn định xiên chưa từng được sử dụng bởi các tácgiả khác Trên thực tế, đạo hàm đồ thị dưới gradient và dưới vi phân bậc

hai là các khái niệm độc lập; tuy nhiên, dưới các điều kiện bổ sung, giá trịcủa đạo hàm đồ thị dưới gradient có thể đồng nhất với một tập con củagiá trị của dưới vi phân bậc hai ([70], [71]) Lợi thế của cách tiếp cận này

là hiện nay đã có sẵn các công thức tính đạo hàm đồ thị dưới gradienttrong nhiều trường hợp với giả thiết khá nhẹ ([12], [28], [32], [61]) Hơnnữa, một số kết quả về tính ổn định xiên, chẳng hạn [29], đã được thiếtlập dựa trên tính toán đạo hàm đồ thị dưới gradient như là một bướctrung gian Các quan sát này dẫn đến các câu hỏi tự nhiên như sau:Liệu chúng ta có thể sử dụng đạo hàm đồ thị dưới gradient để đặctrưng tính ổn định xiên của cực tiểu địa phương của bài toán tối ưu khôngràng buộc với hàm mục tiêu chính quy gần kề và liên tục dưới vi phânđược không? Nếu có thì đặc trưng này có thể giúp chúng ta cải thiện cáckết quả đã thiết lập về tính ổn định xiên cho bài toán quy hoạch phi tuyếnđược không? Giả thiết chính quy gần kề có bỏ được không?

Chương 3 của luận án sẽ trả lời các câu hỏi trên một cách đầy đủ, cụthể như sau: Chúng tôi thiết lập được đặc trưng tính ổn định xiên củacực tiểu địa phương của bài toán tối ưu không ràng buộc thông qua đạohàm đồ thị dưới gradient; áp dụng kết quả này vào quy hoạch phi tuyếnthỏa mãn MSCQ, chúng tôi thu được các điều kiện đủ và các đặc trưngcho cực tiểu địa phương ổn định xiên Đặc biệt, chúng tôi cho thấy rằngSSOSC là điều kiện đủ để một điểm dừng thỏa mãn MSCQ là cực tiểuđịa phương ổn định xiên Kết quả này cải thiện kết quả tương ứng củaMordukhovich và Outrata ([59]) ở đó các tác giả này giả thiết cả MFCQ

và CRCQ đều được thỏa mãn Với bài toán quy hoạch toàn phương cómột ràng buộc toàn phương dạng bất đẳng thức thỏa mãn MSCQ, nhờkhai thác cấu trúc đặc thù của bài toán, chúng tôi thu được đặc trưngtính ổn định xiên một cách đơn giản và tường minh hơn

7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài ra, luận áncòn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và kiếnnghị, Danh mục các công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quantrực tiếp đến luận án và Danh mục tài liệu tham khảo

Chương 1 được dành để trình bày các kiến thức chuẩn bị, làm cơ sởcho việc giới thiệu các kết quả chính của luận án trong hai chương sau.Chương này gồm có 2 mục Mục 1.1 trình bày một số khái niệm, kí hiệuliên quan đến ánh xạ đa trị, hàm giá trị thực mở rộng và các cấu trúc viphân suy rộng Mục 1.2 nhắc lại tính chất chính quy mêtric, dưới chínhquy mêtric, chính quy mêtric mạnh, dưới chính quy mêtric mạnh, tínhchất Aubin của ánh xạ đa trị; đồng thời trình bày các điều kiện chuẩnhóa quan trọng dùng trong luận án và một số kết quả cùng hướng nghiêncứu với luận án, được sử dụng trong những chương tiếp theo

Chương 2 tập trung nghiên cứu công thức tính đạo hàm đồ thị củaánh xạ nón pháp tuyến cho trường hợp Θ là tập lồi đa diện với Mq làdưới chính quy mêtric và các áp dụng của công thức này Mục 2.1 đượcdành để thiết lập công thức tính toán đạo hàm đồ thị của ánh xạ nónpháp tuyến Mục 2.2 cung cấp các kết quả về tính đạo hàm đồ thị và đặctrưng tính tĩnh lặng cô lập của ánh xạ nghiệm cho một lớp phương trìnhsuy rộng chứa tham số

Chương 3 được dành để trình bày các kết quả về tính ổn định xiêncho bài toán tối ưu với giả thiết chính quy gần kề Mục 3.1 nghiên cứuđặc trưng tính ổn định xiên của bài toán tối ưu không ràng buộc thôngqua đạo hàm đồ thị dưới gradient Dựa vào kết quả thu được ở mục 3.1,mục 2.1 và một số kết quả của các tác giả khác, mục 3.2 thiết lập cácđiều kiện cần, đủ để một điểm dừng của bài toán quy hoạch phi tuyếnvới chuẩn hóa dưới chính quy mêtric là cực tiểu địa phương ổn định xiên

Các kết quả chính của luận án đã được trình bày tại seminar của Bộmôn Giải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - Trường Đại học Vinh, cácHội thảo Tối ưu và Tính toán Khoa học lần thứ 15 (Ba Vì, 20-22/04/2017)

và lần thứ 16 (Ba Vì, 19-21/04/2018) và các Hội nghị NCS của TrườngĐại học Vinh Những kết quả này đã được công bố trong 02 bài báo trêntạp chí toán học quốc tế thuộc danh mục SCI uy tín (SIAM Journal onOptimization) và 01 bài đã gửi đăng

Tác giả

Lê Văn Hiển

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong luận án này, nếu không giải thích gì thêm, các không gian được

sử dụng là không gian Ơclit Rn với tích vô hướng h·, ·i và chuẩn Ơclit k · k

thông thường

Mục này trình bày một số khái niệm và tính chất trong giải tích biếnphân được sử dụng trong các chương tiếp theo, các kết quả này chủ yếuđược trích từ [55], [56] và [70]

1.1.1 Định nghĩa ([70, Chapter 5]) Ánh xạ F biến mỗi x ∈ Rn thànhmột và chỉ một tập F (x) ⊂ Rm được gọi là ánh xạ đa trị từ Rn vào Rm

và được kí hiệu bởi F : Rn ⇒ Rm

Nếu với mọi x ∈ Rn tập F (x) chỉ có đúng một phần tử trong Rm thì

ta nói F là ánh xạ đơn trị từ Rn vào Rm và khi đó người ta sử dụng kíhiệu thông thường F : Rn → Rm

Như vậy, với mỗi x ∈ Rn, F (x) ⊂ Rm và không loại trừ trường hợp

F (x) = ∅

Miền hữu hiệu, ảnh và đồ thị của ánh xạ đa trị F được định nghĩa

TΩ(¯x) := v ∈ Rn|tồn tạitk ↓ 0, vk → v với x+t¯ kvk ∈ Ωvới mọik ∈ N .

(ii) Nón pháp tuyến chính quy (Fréchet) của Ω tại x ∈ Ω¯ kí hiệu làb

NΩ(¯ và được cho bởi

ở đây x → ¯Ω x theo nghĩa x → ¯x với x ∈ Ω

(iii) Nón pháp tuyến qua giới hạn/cơ sở (Mordukhovich) của Ω tại

¯

x ∈ Ω kí hiệu là NΩ(¯ và được định nghĩa bởi

NΩ(¯x) = v ∈ Rn|tồn tạixk → ¯xvà vk ∈ NbΩ(xk) với vk → v

Nếu x 6∈ Ω¯ thì ta quy ước NΩ(¯x) =NbΩ(¯x) := ∅

Mệnh đề dưới đây cho ta mối quan hệ giữa nón pháp tuyến chính quy

và nón cực của nón tiếp tuyến

1.1.3 Mệnh đề ([55, Theorem 1.10]) Giả sử Ω ⊂ Rn và x ∈ Ω¯ Khi đó,

ta có

b

NΩ(¯x) = TΩ(¯ o = v ∈ Rn| hv, ui ≤ 0 với mọi u ∈ TΩ(¯ (1.1)

Nếu Ω là tập lồi thì khái niệm nón tiếp tuyến và các nón pháp tuyến

ở trên quy về nón tiếp tuyến và nón pháp tuyến theo nghĩa giải tích lồi.1.1.4 Định nghĩa ([55], [56], [70]) Cho F : Rn ⇒ Rm là ánh xạ đa trịvới domF 6= ∅

(i) Với x ∈ domF,¯ đạo hàm đồ thị của F tại x¯ đối với y ∈ F (¯¯ x) làánh xạ đa trị DF (¯x|¯y) : Rn ⇒ Rm được định nghĩa bởi

DF (¯x|¯y)(v) := w ∈ Rm| (v, w) ∈ TgphF(¯x, ¯y) với mọi v ∈ Rn,

nghĩa là, gphDF (¯x|¯y) := TgphF(¯x, ¯y)

(ii) Đối đạo hàm chính quy của F tại điểm (¯x, ¯y) ∈ gphF là ánh xạ

đa trị bD∗F (¯x, ¯y) : Rm ⇒ Rn được định nghĩa bởi

b

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗ ∈ Rn| (x∗, −y∗) ∈ NbgphF(¯x, ¯y) với mọi y∗ ∈ Rm

Trong trường hợp F (¯x) = {¯y}, ta viết DF (¯x) và bD∗F (¯x) thay cho

1.1.5 Bổ đề ([21, Proposition 4A.2] ) Cho ánh xạ đơn trị f : Rn → Rm

và ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm, trong đó f khả vi tại x ∈ Rn Khi đó, vớibất kì y ∈ F (x), ta có

D(f + F )(x|f (x) + y) = ∇f (x) + DF (x|y)

Tiếp theo chúng tôi nhắc lại định nghĩa dưới vi phân được trình bàytrong các cuốn chuyên khảo [55], [56] và [70].

ở đây epiϕ := (x, α) ∈ Rn×R| α ≥ ϕ(x) là trên đồ thị của ϕ

(ii)Dưới vi phân qua giới hạn (dưới vi phân Mordukhovich/cơ sở) của

ϕ tại x¯ được định nghĩa bởi

f (x) ≥ f (u) + hv, x − ui − r

2kx − uk2 (1.2)với mọi v ∈ ∂f (x) ∩Bε(¯v)

(v) Hàm f được gọi là liên tục dưới vi phân tại x¯ đối với v ∈ ∂f (¯¯ x)

nếu với mọi dãy xi → ¯x và vi → ¯v, với vi ∈ ∂f (xi), ta có f (xi) → f (¯x).1.1.9 Nhận xét Khi f là hàm chính quy gần kề và liên tục dưới vi phântại x¯ đối với v¯, bằng cách chọn ε > 0 nhỏ hơn ta chứng minh được (1.2)vẫn đúng kể cả khi không có điều kiện “|f (u) − f (¯x)| < ε” Trong trườnghợp này đồ thị của ∂f là đóng quanh (¯x, ¯v) Các thông tin chi tiết hơn

về tính chính quy gần kề và các ứng dụng của nó có thể tìm thấy trongcác tài liệu tham khảo [15], [65] và [70]

Mục này giới thiệu một số tính chất chính quy quan trọng cũng nhưcác điều kiện chuẩn hóa được nghiên cứu hoặc sử dụng trong luận án.Trước hết, chúng tôi giới thiệu một số tính chất quan trọng của ánh xạ

đa trị được biết đến với tên gọi tính chính quy mêtric, chính quy mêtricmạnh như sau.

1.2.1 Định nghĩa Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi là

(i) chính quy mêtric quanh (¯x, ¯y) ∈ gph F với môđun κ > 0 nếu tồntại lân cận U của x¯ và V của y¯sao cho

dF−1 (y)(x) ≤ κdF (x)(y) với mọi (x, y) ∈ U × V ; (1.3)(xem [55, Definition 1.47])

(ii) chính quy mêtric mạnh quanh (¯x, ¯y) ∈ gphF với môđun κ > 0

nếu ánh xạ ngược F−1 chấp nhận một địa phương đơn trị và liên tụcLipschitz quanh (¯y, ¯x) với môđun κ > 0 theo nghĩa sau: tồn tại lân cận U

của y¯, V của x¯ và hàm liên tục Lipschitz ϑ : U → V với miền hữu hiệu

có tính chất Aubin quanh (¯x, ¯y) ∈ gphF với môđun ` ≥ 0 nếu tồn tại lâncận U của x¯ và V của y¯sao cho

F (x) ∩ V ⊂ F (u) + `kx − ukB (1.4)với mọi x, u ∈ U

Bổ đề sau cho ta một đặc trưng của tính chất Aubin được trình bàytrong [21].

1.2.3 Bổ đề ([21, Theorem 4B.2]) Giả sử F : Rn ⇒ Rm, (¯x, ¯y) ∈ gphF.Khi đó, F có tính chất Aubin quanh (¯x, ¯y) nếu và chỉ nếu

F−1 có tính chất Aubin quanh (¯y, ¯x) với môđun tương tự

Tính chất chính quy kiểu mêtric được quan tâm nhiều trong luận án

là tính dưới chính quy mêtric được định nghĩa như sau

1.2.5 Định nghĩa ([21], [56]) Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi làdưới chính quy mêtric tại (¯x, ¯y) ∈ gphF nếu tồn tại κ, r > 0 sao cho

dF−1 (¯ (x) ≤ κdF (x)(¯y) với mọix ∈ Br(¯x) (1.6)

Kí hiệu

subreg F (¯x|¯y) := infκ ∈ R+| ∃ r > 0 sao cho (1.6) đúng

1.2.6 Định nghĩa ([21], [56]) Ánh xạ đa trị F : Rn ⇒ Rm được gọi làdưới chính quy mêtric mạnh tại (¯x, ¯y) ∈ gphF nếu tồn tại hằng số κ > 0

cùng với các lân cận U của x¯ và V của y¯ sao cho

kx − ¯xk ≤ κdF (x)∩V(¯y) với mọi x ∈ U

Tính chất dưới chính quy mêtric tương đương với tính tĩnh lặng củaánh xạ ngược được định nghĩa như sau.

1.2.7 Định nghĩa ([21, Section 3.8]) Ánh xạ S : Rm ⇒ Rn được gọi là

có tính chất tĩnh lặng (calmness) tại (¯y, ¯x) ∈ gphS nếu tồn tại hằng số

κ ≥ 0 cùng với lân cận U của x¯ và V của y¯ sao cho

S(y) ∩ U ⊂ S(¯y) + κky − ¯ykB, với mọi y ∈ V

Sử dụng tính chất dưới chính quy mêtric, Gfrerer và Mordukhovich([29]) đã giới thiệu chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric cho bàitoán quy hoạch phi tuyến và trên cơ sở đó chúng tôi đã giới thiệu chotrường hợp tổng quát sau

1.2.8 Định nghĩa Xét tập ràng buộc

Γ := {x ∈ Rn| q(x) ∈ Θ},

ở đây q : Rn →Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần vàΘ là tập con đóng,khác rỗng của Rm Ta nói chuẩn hóa ràng buộc dưới chính quy mêtric(MSCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ nếu ánh xạ Mq(x) := q(x) − Θ dưới chính quymêtric tại (¯x, 0)

Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số điều kiện chuẩn hóa đã biết trongquy hoạch phi tuyến

1.2.9 Định nghĩa ([29]) Xét Γ là miền ràng buộc của bài toán quyhoạch phi tuyến

Γ := x ∈ Rn | q(x) ∈ Rm−

,

ở đây q(x) := q1(x), , qm(x)) với qi : Rn → R là các ánh xạ khả vi liên

tục hai lần, với mọi i = 1, 2 , m

(i) Chuẩn hóa ràng buộc Mangasarian-Fromovitz (MFCQ) đúng tại

¯

x ∈ Γ nếu tồn tại véctơ d ∈ Rn sao cho

h∇qi(¯x), di < 0 với mọi i ∈ I(¯x),

ở đây I(¯x) := i ∈ {1, , m} | qi(¯x) = 0 là tập chỉ số hoạt tại x ∈ Γ¯ (ii) Chuẩn hóa ràng buộc hạng hằng (CRCQ) đúng tại x ∈ Γ¯ nếu tồntại lân cận U của x¯ sao cho hệ gradient {∇qi(x)| i ∈ J } có hạng bằngnhau trên U với bất kì tập chỉ số J ⊂ I(¯x)

(iii) Chuẩn hóa ràng buộc độc lập tuyến tính (LICQ) thỏa mãn tại

¯

x ∈ Γ nếu hệ {∇qi(¯ , i ∈ I(¯x)} độc lập tuyến tính

(iv) Miền ràng buộc Γ được gọi là có tính chất điểm cực biên bị chặn(BEPP) tại x ∈ Γ¯ nếu tồn tại số thực κ > 0 và r > 0 sao cho

E(x, x∗) ⊂ κkx∗kB với mọi x ∈ Γ ∩Br(¯ và x∗ ∈ Rn,

ở đây E(x, x∗) là kí hiệu tập tất cả các điểm cực biên của Λ(x, x∗), với

Λ(x, x∗) là tập nhân tử được định nghĩa bởi

(ii) Mối quan hệ giữa các điều kiện chuẩn hóa trên được biểu diễnthông qua sơ đồ sau

(iii) ([29, Proposition 3.1]) MFCQ đúng tại x ∈ Γ¯ tương đương vớitính chính quy mêtric của Mq(x) := q(x) −Rm− quanh (¯x, 0).

(iv) Bản thân BEPP không phải là điều kiện chuẩn hóa, nhưng nókết hợp với MSCQ để tạo thành một cặp chuẩn hóa, được Gfrerer vàMordukhovich ([29]) sử dụng để nghiên cứu tính ổn định xiên của bàitoán quy hoạch phi tuyến

(v) MSCQ không suy ra BEPP (xem Ví dụ 3.2.14), trong khi cả haiđúng dưới điều kiện MFCQ hoặc CRCQ hoặc điều kiện đủ bậc hai chotính dưới chính quy mêtric ([29])

Theo [15, Theorem 31(b)], [43, Proposition 3.4] và [55, Corollary 1.15]

ta có kết quả sau:

1.2.11 Bổ đề Giả sử q : Rn → Rm là ánh xạ khả vi liên tục hai lần,

Θ là tập lồi đóng khác rỗng trong Rm, x ∈ Γ := {x | q(x) ∈ Θ}¯ và MSCQđúng tại x ∈ Γ.¯ Khi đó, tồn tại δ > 0 sao cho

NΓ(x) = NbΓ(x) = ∇q(x)TNRm

−(q(x)) với mọi x ∈ Γ ∩Bδ(¯x) (1.7)Hơn nữa, δΓ là hàm chính quy gần kề và liên tục dưới vi phân tại x¯ đốivới x¯∗ ∈ ∂δΓ(¯x), ở đây δΓ là hàm chỉ của Γ, tức là hàm có giá trị bằng 0

khi x ∈ Γ và bằng ∞ nếu ngược lại

1.3 Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, chúng tôi đã trình bày các vấn đề sau đây

- Các khái niệm và tính chất cơ bản của giải tích biến phân cần dùngtrong luận án

- Các tính chất chính quy như tính chính quy mêtric, tính chất Aubin,tính chính quy mêtric mạnh, tính dưới chính quy mêtric, tính tĩnh lặng,tính dưới chính quy mêtric mạnh cùng mối quan hệ giữa chúng

- Các điều kiện chuẩn hóa quan trọng MSCQ, MFCQ, CRCQ, LICQ

và BEPP cùng mối quan hệ giữa chúng

- Công thức tính nón pháp tuyến của tập ràng buộc của bài toán quyhoạch phi tuyến qua các dữ kiện đầu vào

CHƯƠNG 2

ĐẠO HÀM CỦA ÁNH XẠ NÓN PHÁP TUYẾN VỚI

ĐIỀU KIỆN DƯỚI CHÍNH QUY MÊTRIC

Chương này trình bày công thức tính đạo hàm đồ thị của ánh xạ nónpháp tuyến của miền ràng buộc của bài toán quy hoạch phi tuyến vớiđiều kiện dưới chính quy mêtric cùng với các ứng dụng của nó trong lýthuyết phương trình suy rộng Các kết quả chính của chương được công

bố trong bài báo [12]

Trong mục này ta giả sử

là tập chỉ số hoạt của Γ tại x¯ và

K := TΓ(¯x) ∩ {¯x∗}⊥

là nón tới hạn của Γ tại x¯

Do Θ là tập lồi đa diện khác rỗng nên theo Bổ đề 1.2.11, nếu MSCQđúng tại x¯ thì Λ là tập lồi đa diện khác rỗng Lúc này, với mỗi v ∈ K,

Để đi đến kết quả chính trong mục này, trước hết ta cần kết quả sau,

bổ đề này cung cấp một công thức hữu ích để tính nón pháp tuyến quagiới hạn của nón tới hạn theo các dữ kiện ban đầu

2.1.1 Bổ đề Giả sử MSCQ đúng tại x¯ và y := q(¯¯ x) Khi đó, với mỗi

Chứng minh Trước hết ta chứng minh bao hàm thức sau

NK(v) ⊂ ∇q(¯x)Tµ | µT∇q(¯x)v = 0, µ ∈ TNΘ(¯ (λ) (2.3)Lấy bất kì v∗ ∈ NK(v), ta chứng minh

Đẳng thức (2.2) là hệ quả trực tiếp của (2.1) Tiếp theo, chúng tôi nhắc lại một số kết quả đã có, cần dùng trongchứng minh kết quả chính của chương

2.1.2 Bổ đề ([8, Proposition 2.191]) Giả sử λ và z tương ứng là cácđiểm chấp nhận được của bài toán LP(v) và DP(v) Khi đó, λ là nghiệmtối ưu của LP(v), z là nghiệm tối ưu của DP(v) và giá trị tối ưu củachúng bằng nhau nếu và chỉ nếu điều kiện sau đúng

hλ, ∇q(¯x)z + vT∇2q(¯x)vi = 0, hz, ∇q(¯x)∗λ − x∗i = 0

Bổ đề sau được trình bày trong [8], với tên gọi Bổ đề Hoffman

2.1.3 Bổ đề ([8, Theorem 2.200] ) Giả sử A : Rn →Rm là ánh xạ tuyếntính liên tục với ảnh đóng và x∗i ∈ Rn, i = 1, , p Xét ánh xạ

quanh y = g(¯¯ x) Khi đó, ta có

∂(ϕ ◦ g)(¯x) ⊂ [

y ∗ ∈∂ϕ(¯ y)

∂hy∗, gi(¯x)

2.1.7 Bổ đề ([2, Lemma 1]) Giả sử h : Rn → Rm là hàm liên tục đượccho bởi h = (h1, , hm) với hi : Rn → R Nếu r là hạng của hi(x) mi=1

thì tồn tại lân cận U của x sao cho hi(y) mi=1 có hạng lớn hơn hoặc bằng

r với mọi y ∈ U

Bổ đề sau cho ta một đặc trưng của tính chính quy mêtric với tên gọiđịnh lí Robinson-Ursescu, được trình bày trong [21]

2.1.8 Bổ đề ([21, Theorem 5B.4]) Giả sử ánh xạ F : Rn ⇒ Rm có đồthị lồi đóng và y ∈ F (¯¯ x) Khi đó, các khẳng định sau tương đương

(i) y ∈¯ int rgeF,

(ii) F chính quy mêtric quanh (¯x, ¯y)

2.1.9 Bổ đề ([8, Theorem 3.70]) Xét bài toán (P):

minf (x) | x ∈ Γ

Giả sử x ∈ Γ¯ và tồn tại (α, λ) ∈ ΛgN(¯ sao cho ∇2

xxLg(¯x, α, λ) là matrận xác định dương Khi đó, tồn tại c > 0 và lân cận U của x¯ sao chovới mọi x ∈ Γ ∪ U, ta có