Sáng kiến kinh nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử

- Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đayhức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng,việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạngcho việc học sau này như rút gọ

MỤC LỤC

A MỞ ĐẦU trang 02

I Lí do chọn đề tài trang 02

II Đối tượng nghiên cứu trang 03

III Phạm vi nghiên cứu trang 03

IV Phương pháp nghiên cứu trang 03

B NỘI DUNG trang 06

I Cơ sở lí luận trang 06

II Cơ sở thực tiễn trang 07

III Giải quyết vấn đề trang 09

C KẾT LUẬN trang 21

A- MỞ ĐẦU

I- LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

- Toán học là một môn khoa học nếu học giỏi toán thìsẽ có điều kiện để học tốt các môn khác Tuy nhiêntoán học đặc trưng là môn học tự nhiên rất khó học vìvậy không phải học sinh nào cũng hiểu, cũng học tốtđược toán

- Thực tế trong những năm gần đây, từ khi chính phủ

ta cho triển khai đại trà sách giáo khoa và phương phápgiảng dạy mới thì từ năm 2002 đến nay chất lượng giáodục nước ta từng bước được nâng lên Tuy nhiên bêncạnh đó chúng ta không thể chối bỏ một đều là hiệnnay số lượng học sinh yếu kém của nước ta nói chungcủa tỉnh ta nói riêng vẫn còn chiếm số lượng rất đông Vậy điều đó là do đâu?

- Trong chương trình Đại số 8, dạng toán phân tích đayhức thành nhân tử là nội dung hết sức quan trọng,việc áp dụng của dạng toán này rất phong phú đa dạngcho việc học sau này như rút gọn phân thức, quy đồngmẫu thức nhiều phân thức, giải phương trình,… Qua quátrình giảng dạy, cũng như qua việc theo dõi kết quả bàikiểm tra, bài thi của học sinh lớp 8, việc phân tích đathức thành nhân tử là không khó, nhưng vẫn cònnhiều học sinh làm sai hoặc chưa thực hiện được Nguyênnhân học sinh học yếu là do học sinh chưa nắm vững các

phương pháp giải, chưa vận dụng kỹ năng biến đổi mộtcách thành thạo, linh hoạt, sáng tạo vào từng bài toáncụ thể.

- Vì vậy là một giáo viên giảng dạy toán, tôi nhậnthấy bên cạnh việc trang bị vốn kiến thức cần thiết chocông tác giảng dạy của mình thì cũng cần phải thườngxuyên nghiên cứu tìm ra phương pháp dạy học thích hợpđể chất lượng giảng dạy ngày càng được nâng caonhằm giảm bớt số lượng học sinh yếu kém, nâng cao sốlượng học sinh khá giỏi Vì vậy tôi quyết định chọn đề

tài nghiên cứu là: “ Giải pháp rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử ” ở lớp 8a2

trường THCS Tân Đông

II- ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Các giải pháp rèn kỹ năng phân tích đa thức thànhnhân tử

III- PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

-Không gian : Học sinh lớp 8A2 Trường THCS Tân Đông -Thời gian : 3 giai đoạn trong năm học 2008 – 2009

Giai đoạn 1: Từ tháng 9 đến khảo sát chất lượngđầu năm

Giai đoạn 2: Từ tháng 11/ 2009 đến thi học kì I

Giai đoạn 3: Từ tháng 01/ 2009 đến giữa học kì II

IV- PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

1 Đọc tài liệu : Tham Khảo tài liệu chuyên môn

có liên quan

+ Sách giáo khoa 8, sách giáo viên, sách bài tập, vởbài tập.

+ Một số vấn đề phương pháp dạy học ở trường phổthông

+ Tài liệu bồi dưỡng GV dạy môn toán

+ Đổi mới phương pháp dạy học toán

+ Tổng hợp kiến thức Toán 8 THCS

+ Bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8

 Chọn lọc kiến thức phù hợp với đơn vị Học hỏi cácgiải pháp hay đã áp dụng để tích lũy kinh nghiệm

2 Điều tra:

a.Dự giờ:

- Dự giờ học hỏi kinh nghiệm các giáo viên trong tổ

- Rút kinh nghiệm tiết dạy trên lớp, tiết dự giờ Quađó, tôi luôn chú ý đến phương pháp giảng dạy cũngnhư cách tổ chức tiết dạy của mỗi giáo viên, từ đógiúp tôi tích lũy một số kinh nghiệm và hiệu quả củaviệc đổi mới phương pháp dạy học

b.Đàm thoại:

-Trong quá trình giảng dạy giáo viên trao đổi với họcsinh để tìm ra các nguyên nhân học sinh chưa có phươngpháp phân tích đa thức thành nhân tử ở từng dạngtoán cụ thể Xem học sinh hỏng kiến thức nào, phầnnào học sinh chưa biết cách trình bày để có biện phápxử lí kịp thời

-Trao đổi với giáo viên ở tổ chuyên môn trong nhàtrường cùng bàn biện pháp nâng cao chất lượng, tìmhiểu nguyên nhân học sinh học yếu ở các lớp khác.c.Thăm dò:

-Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp 8A2 trongnăm học trước

d Thực nghiệm:

- Toán học là một môn khoa học thực nghiệm đòi hỏihọc sinh phải thực hành ngay tại lớp, để thực hiện đượcđiều đó giáo viên phải giúp học sinh cũng cố kiếnthức ngay tại lớp qua các bài tập và các ?/SGK nhằmgiúp các em nắm vững các kiến thức cơ bản một cáchsâu sắc từ đó hình thành kĩ năng giải toán cho học sinh.Đồng thời giáo viên phải chú trọng bước hướng dẫn

học sinh tự học ở nhà để học sinh củng cố lại kiến thứcđã học và vận dụng giải các bài tập ở nhà tạo thóiquen tự học cho học sinh.

e.Theo dõi các bài kiểm tra:

- Khi kiểm tra miệng, 15 phút, 1 tiết tôi phân loại họcsinh yếu, trung bình, khá, giỏi cập nhật vào sổ điểmriêng Từ đó giáo viên tìm ra các giải pháp thích hợp chotừng đối tượng học sinh

g.Giả thiết khoa học

- Qua các nội dung chương trình Sách giáo khoa, nếu tổchức dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động nhậnthức của học sinh và kết hợp với các tiết luyện tập,ôn tập khắc sâu bằng bài học kinh nghiệm hợp lí cóthể góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy bộ môn

B- NỘI DUNG

I- CƠ SỞ LÍ LUẬN:

- Ở trường phổ thông môn toán là môn học chính,môn học cơ sở, là công cụ cho các môn học khác vàgiải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toánhọc Các bài toán trong chương trình phổ thông là mộtphương tiện đem lại hiệu quả cao và không thể thay thếđược trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, pháttriển tư duy, hình thành các kỹ năng và biết ứng dụngtoán học vào thực tiễn Vì vậy tổ chức có hiệu quảviệc rèn cho học sinh có kỹ năng giải bài tập toán cóvai trò quyết định trong việc nâng cao chất lượng học tậpcủa học sinh

- Phân tích đa thức thành nhân tử là nội dung kiếnthức quan trọng, lý thú, phong phú, đa dạng và khôngđơn giản đối với học sinh THCS Nội dung này được đưavào chương trình toán 8, nhưng thật ra các em đã được đềcập đến từ trước với dạng bài toán ngược áp dụng tíchchất phân phối của phép nhân đối với phép cộngtrên các tập hợp số Với lượng thời gian phân phối chỉcó 6 tiết từ tiết 9 đến tiết 14 song nội dung này là cơsở vận dụng cho các chương sau và lớp sau trong cácphần: “ Rút gọn phân thức, quy đồng mẫu số các phân

thức, biến đổi các biểu thức hữu tỉ, giải phương trình,

…”

- Vì vậy vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinhgiải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mộtcách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Đểthực hiện tốt điều này đòi hỏi người giáo viên phảixây dựng cho học sinh những kỹ năng như quan sát, nhậnxét, đánh giá bài toán và đặt biệt là kỹ năng giảitoán, vận dụng bài toán Tuỳ theo từng đối tượng họcsinh mà giáo viên xây dựng cách giải cho phù hợp trên

cơ sở các phương pháp đã học, đồng thời phải mở rộngthêm các cách giải khác nhằm nâng cao chất lượng họctập bộ môn của học sinh

II- CƠ SỞ THỰC TIỄN:

- Trong quá trình giảng dạy với lượng thời gian theophân phối chương trình chỉ có 6 tiết từ tuần 5 cho đếntuần 7 nên khi học dạng toán này đa số học sinh còn rấtlúng túng trong việc áp dụng phương pháp, đối với họcsinh khá giỏi còn nhiều vấn đề chưa được đề cập đến

Do đó kết quả qua các bài kiểm tra của học sinh cònthấp, còn nhiều học sinh yếu, kém, số lượng học sinhgiỏi thấp

- Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy tình trạng củahọc sinh khi giải toán như sau:

+ Khi gặp một bài toán học sinh không biết làm gì?Không biết đi theo hướng nào ? Không biết liên hệnhững gì đã cho trong đề bài với các kiến thức đã học.+ Suy luận kém, chưa biết vận dụng các phương phápđã học vào từng dạng toán khác nhau.

+ Trình bày không rõ ràng, thiếu khoa học, lôgic

- Tôi đã tìm hiểu nguyên nhân khách quan và chủ quandẫn đến đa số học sinh chưa có kỹ năng giải bài toánphân tích đa thức thành nhân tử như sau :

Đối với giáo viên :

Trong tiết dạy giáo viên thường phối hợp nhiều phươngpháp đễ dẫn dắt học sinh tìm hiểu kiến thức nhưng nộidung bài học nhiều không đảm bảo được thời lượng 45phút nên chưa có được phương pháp giải bài tập cụ thểcho từng loại đối tượng học sinh

Đối với phụ huynh:

Chưa thật sự quan tâm đến việc học tập của con emmình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc việc học của họcsinh Đa số phụ huynh thường phó mặc cho nhà trường,không kiểm tra được việc học ở nhà cũng như việcchuẩn bị bài trước khi đến lớp

Đối với học sinh :

+ Học sinh có ý thức học tập không đồng đều, ít tậptrung chú ý trong giờ học

+ Đa số học sinh yếu về kỹ năng tính toán, quan sátnhận xét, biến đổi và thực hành giải toán Nguyên

nhân là do mất kiến thức căn bản ở các lớp dướicộng thêm việc không chủ động trong học tập ngay từđầu năm học dẫn đến chay lười trong học tập.

+ Các em chưa có phương pháp học tập tốt thường họcvẹt, học máy móc thiếu nhẫn nại khi gặp bài toán khó.+ Không có thói quen tự học ở nhà : không làm bài,học bài , soạn bài trước khi đến lớp

+ Bạn bè lôi kéo, rủ rê ham chơi

- Vì vậy làm sao để học sinh yêu thích môn toán, làmsao để học sinh có kỹ năng giải bài toán phân tích đathức thành nhân tử, làm sao để không còn học sinhyếu kém bộ môn Để giải quyết các vấn đề trêntrong quá trình giảng dạy tôi đã đề ra những phươngpháp cơ bản, phương pháp đặt biệt thông qua những bàitập cụ thể giúp các em hiểu rõ và vận dụng cácphương pháp này khi giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử nhằm nâng cao chất lượng học tập chohọc sinh

III- GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ:

PHẦN 1: CÁC GIẢI PHÁP CỦA ĐỀ TÀI

- Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

2) Đối với học sinh trung bình: Vận dụng và phát triểnkỹ năng

+ Phối hợp nhiều phương pháp ( các phương pháp trên)

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giảitoán

Cũng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kỹ năng thực hành

Tìm cách giải hay, khai thác bài toán

3) Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy

+ Phương pháp tách hạng tử

+ Phương pháp thêm bớt cùng một hạng tử

PHẦN 2: CÁC PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH ĐA THỨC

Dùng khi các hạng tử của đa thức có nhân tử chung.

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức

cơ bản cho học sinh:

- Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử

- Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhântử trong một tích

2) Phương pháp dùng hằng đẳng thức:

Dùng khi các hạng tử của đa thức có dạng hằng đẳng thức

* Học sinh cần nắm vững 7 hằng đẳng thức đáng nhớ sau:

Sai lầm: Thực hiện thiếu dấu ngoặc.

Cách giải đúng:

( x + y )2 – ( x – y )2 = [( x + y ) + ( x – y )].[( x + y ) - ( x –

y )]

= ( x + y + x – y ).( x + y – x + y )

= 2x.2y = 4xy

Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi giáo

viên có thể cho bài tập dưới dạng phức tạp hơn

+ Phân tích đa thức ( x + y )3 – ( x – y )3 thành nhân tử.+ Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử

VD5: Phân tích đa thức a6 – b6 thành nhân tử

Giải:

a6 – b6 = ( a3 )2 – ( b3 )2

= ( a3 + b3 ) ( a3 - b3 )

= ( a + b )( a2 + ab + b2 )( a – b )( a2 - ab + b2 )

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức

cơ bản cho học sinh:

- Quy tắc dấu ngoặc

- Kỹ năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử để sử dụng hằng đẳng thức thích hợp, chính xác

3) Phương pháp nhóm nhiều hạng tử:

Kết hợp nhiều hạng tử thích hợp của đa thức khi đa thức chưa có nhân tử chung hoặc chưa áp dụng được hằng đẳng thức

Cách làm:

+ Phát hiện nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức ởtừng nhóm

+ Nhóm để áp dụng phương pháp đặt nhân tử chung hoặc hằng đẳng thức.

+ Đặt nhân tử chung cho toàn đa thức

VD6: Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử

Cách 1: ( x2 – xy ) + ( x – y ) Cách 2: ( x2 + x ) - ( xy + y )

Cách giải sai:

x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )

= x( x – y ) + ( x – y ) = ( x – y )( x + 0)

Sai lầm: Bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung Cách giải đúng:

x2 – xy + x – y = ( x2 – xy ) + ( x – y )

= x( x – y ) + 1.( x – y ) = ( x – y )( x + 1)

VD7: Phân tích đa thức x2 – 2x + 1 – 4y2 thành nhântử

Giải:

x2 – 2x + 1 – 4y2 = (x2 – 2x + 1) – ( 2y )2

= ( x – 1 )2 – ( 2y )2 = ( x – 1 + 2y ) ( x – 1 – 2y )

VD8: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhântử

Cách giải sai:

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – ( 2x – 4y)

= ( x + 2y )( x – 2y ) – 2( x – 2y )

Qua các ví dụ trên giáo viên củng cố các kiến thức

cơ bản cho học sinh:

- Lựa chọn các hạng tử thích hợp để nhóm hạng tử

- Kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm cáchạng tử của đa thức

II- Phối hợp các phương pháp cơ bản: Vận dụngvà phát triển kỹ năng

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn các phương pháp cơbản:

+ Phương pháp đặt nhân tử chung

+ Phương pháp dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp nhóm nhiều hạng tử

VD9: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhântử

Gv: Xét từng phương pháp

Hs: Thường mắc sai lầm là giải chưa hoàn chỉnh nhưsau:

° x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9 )

° x4 – 9x3 + x2 – 9x = ( x4 – 9x3 ) + ( x2 – 9x)

Gợi ý: Aùp dụng hằng đẳng thức:

Khai thác bài toán:

1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, znguyên

2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz

Hướng dẫn :

x3 + y3 = ( x + y )3 – 3xy( x + y )

x + y + z = 0 �x + y = - z

III- Các phương pháp đặc biệt: Phát triển tư duy

1)Phương pháp tách hạng tử:

Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngayđược ba phương pháp cơ bản đã học để giải

Cách làm:

Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác mộtcách thích hợp rồi áp dụng các phương pháp cơ bảnđể giải

VD11: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhântử

Gợi ý: Có nhiều cách phân tích.

- Cách 3: Tách hạng tử 4 làm xuất hiện hằng đẳngthức và nhân tử chung.

Như vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tửkhác nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học nhưđặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiềuhạng tử là khâu quan trọng và cần thiết đối vối họcsinh trong việc giải bài toán phân tích đa thức thànhnhân tử

Khai thác cách giải: Tách hạng tử - 8x

Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 có các hệ số ở các số

hạng là: 3, -6, -2, 4 tỉ lệ với nhau 6 4

 

 hay (-6).(-2) = 3.4và (-6) + (-2) = -8

f(x) = 3x2 – 8x + 4

Đặt a = 3, b = -8, c = 4 và phân tích a.c = b1.b2 ( b = b1 +b2 )

Ta có: a.c = b1.b2 = 3.4 = (-6).(-2) = 12; b1 + b2 = (-6) + (-2)

= -8

Tổng quát:

+ Tìm tích ac

+ Phân tích ac thành tích hai số nguyên

+ Chọn hai thừa số có tổng bằng b

VD12: Phân tích đa thức f(x) = - 6x2 + 7x – 2 thành nhântử

Đặt a = -6, b = 7, c = -2

+ a.c = (-6).(-2) = 12;

+ a.c = 3.4 = (-3).(-4) = (-6).(-2) = 6.2 = 12.1 = (-12).(-1) ;+ b = 7 = 3 + 4

VD13: Phân tích đa thức f(x) = x4 – 30x2 + 31x – 30 thànhnhân tử.

2)Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử:

Sử dụng cho các bài tập không thể áp dụng ngayđược ba phương pháp cơ bản đã học để giải

Cách làm:

Phải thêm bớt cùng một hạng tử nào đó để đathức chuyển về dạng hiệu hai bình phương hoặc ápdụng phương pháp nhóm

VD14: Phân tích đa thức f(x) = x4 + 4 thành nhân tử