Phuong phap giai toan tinh dien tich da giac va chungminh bang phuong phap dien tich toan 8

6 II/ Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích 14 1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về độ dài đoạn thẳng 142/ Các bài toán về bất đẳ

Trang 1

SKKN: Phương pháp giải bài toán tính diện tích và chứng minh bằng phương pháp diện tích

Mục lục

Phần II

A Phương pháp giải toán tính diện tích

đa giác và chứng minh bằng phương pháp diện tích.

3

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác 3

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt 3

III/ Cách giải bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích

5

B Một số dạng bài tập áp dụng và hướng dẫn giải. 6

II/ Các bài toán giải bằng phương pháp diện tích 14

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm quan hệ về độ dài đoạn thẳng

142/ Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị 29

Phần I : Lời nói đầu

Trang 2

Như chúng ta đã biết, cùng với sự phát triển tư duy của con người, toán học ra đời Toán học là môn khoa học đặc biệt, môn khởi đầu cho sự ra đời của các môn khoa học khác và cung rất cần thiết cho các ngành khoa học kỹ thuật Toán học đã rèn luyện cho conngười nhiều đức tính quí: tính cần cù, lòng say mê, sáng tạo, kiên trì

Trong toán học không thể không kể đến bộ môn hình học Hình học rèn luyện cho con người khả năng tư duy trừu tượng, sự sáng tạo và khả năng phân tích tổng hợp Trong

đó, một dạng toán tương đối khó, đòi hỏi nhiều tới khả năng tư duy cao, vận dụng linh hoạt những kiến thức rất cơ bản đã được học đồng thời phải quan sát kĩ lưỡng đặc điểm từng bài toán, đó là

" Diện tích đa giác và phưong pháp diện tích "

Trong quá trình giảng dạy BD HSG cho học sinh toán lớp 8 của trường tôi nhận thấy các bài tập về diện tích đa giác và chứng minh bằng phương pháp diện tích rất hay và

lí thú Chúng có mặt rất nhiều trong các đề thi học sinh giỏi của Huyện và trong các đề thi vào lớp 10 các trường chuyên

Chính vì vậy tôi đã viết SKKN về chuyên đề này để dạy BD HSG cho học sinh của toán lớp 8 của trường để giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp những bài tập loại này, đồng thời giúp học sinh củng cố những kiến thức cơ bản đã học và nâng cao khả năng tư duy, sáng tạo

Chuyên đề gồm I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

II/ Các bài toán chứng minh bằng phương pháp diện tích

1/ Các bài toán chứng minh về quan hệ diện tích và sử dụng diện tích để tìm

quan hệ về độ dài đoạn thẳng

2/ Các bài toán về bất đẳng thức và cực trị

Phần II Nội dung.

Trang 3

A.Phương pháp giải toán tính diện tích đa giác

và phương pháp diện tích:

Để giải các bài toán tính diện tích học sinh cần phải nắm chắc các kiến thức sau:

I/ Các tính chất cơ bản của diện tích đa giác:

1 Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó

bằng tổng diện tích của các đa giác đó ( tính cộng)

2 Các đa giác bằng nhau có diện tích bằng nhau( tính bất biến)

3 Hình vuông có cạnh bằng một đơn vị dài thì diện tích của nó là một đơn vị vuông ( tính

chuẩn hóa)

4 Hai tam giác có cùng chiều cao thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai đáy tương ứng với hai chiều cao

5 Hai tam giác có chung cạnh thì tỉ số diện tích bằng tỉ số hai chiều cao ứng với cạnh đó

6 Tam giác đều cạnh a có diện tích

2

3 a

II/ Các công thức tính diện tích của các đa giác đặc biệt:

1 Công thức tính diện tích hình chữ nhật:

Diện tích hình chữ nhật bằng tích hai kích thước của nó

2 Công thức tính diện tích hình vuông:

Diện tích hình vuông bằng bình phương cạnh của nó

3 Công thức tính diện tích tam giác:

a) Diện tích tam giác:

Diện tích tam giác bằng nửa tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

b) Diện tích tam giác vuông:

Diện tích tam giác vuông bằng nửa tích hai cạnh góc vuông

4 Công thức tính diện tích hình thang:

Diện tích hình thang bằng nửa tích của tổng hai đáy với chiều cao

Nguyễn Văn Lợi - Trường THCS Hồng Thuỷ 3

h a

b a

Trang 4

5 Công thức tính diện tích hình bình hành:

Diện tích hình bình hành bằng tích của một cạnh với chiều cao ứng với cạnh đó

6 Công thức tính diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc:

Diện tích của tứ giác có hai đường chéo vuông góc với nhau bằng nửa tích của hai đường chéo đó.

7 Công thức tính diện tích của hình thoi

Diện tích hình thoi bằng nửa tích của hai đường chéo.

III/ Cách giảI bài toán tính diện tích và phương pháp diện tích:

1/ Để tính diện tích của một đa giác:

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằngdiện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

2/ Chứng minh hình bằng phương pháp diện tích:

+/ Ta đã biết một số công thức tính diện tích của những đa giác dã nêu ở trên Do đó khi biết độ dài của một số yếu tố, ta có thể tính được diện tích của những hình ấy Ngược lại nếu biết quan hệ diện tích của hai hình từ đó kết hợp với yếu tố đã biết khác, tổng hợp cáckiến thức liên quan để suy ra điều cần chứng minh

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

S = a.h

h a

Trang 5

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức

có chứa các độ dài

- Biến đổi đẳng thức vừa tìm được ta có quan hệ về độ dài giữa hai đoạn thẳng cần

so sánh

3/ Để giải các bài toán về bất đẳng thức và cực trị ta cần nắm được:

Phương pháp giải: Xuất phát từ các bất đẳng thức đã biết, vận dụng các tính chất của bất

đẳng thức để suy ra bất đẳng thức cần chứng minh

Các bài toán cực trị thường được trình bày theo hai cách;

Cách 1: Đưa ra một hình rồi chứng minh rằng mọi hình khác có các yếu tố( đoạn thẳng,

góc, diện tích…) lớn hơn hoặc nhỏ hơn yếu tố tương ứng của hình được đưa ra

Cách 2: Thay điều kiện một đại lựợng đạt cực trị bằng các điều kiện tương đương, cuối

cùng dẫn đến điều kiện xác định được vị trí của điểm để đạt cực trị

Các bất đẳng thức thường được dùng để giải toán cực trị:

+/ Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

+/ Quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu

+/ Bất đẳng thức tam giác

+ / Các bất đẳng thức đại số

B Một số bài tập và hướng dẫn giải

I/ Các bài toán tính diện tích đa giác

Để tính diện tích của một đa giác:

+/ Đa giác đó có công thức tính nhưng chưa đủ dữ kiện để tính đòi hỏi ta phải đi tính dữ kiện thiếu đó rồi mới tính được diện tích đa giác

+/ Đa giác có công thức tính nhưng nếu sủ dụng công thức vẫn không thể tính nổi thì phải thông qua diện tích của đa giác khác và sử dụng các tính chất đã nêu ở trên

+/ Tính diện tích của một đa giác không có công thức thì ta cần biến đổi diện tích này bằngdiện tích của hình khác đã có biết cách tính diện tích

Bài 1 : Cho tam giác ABC cân ở A, AB = AC = 5cm, BC = 6cm Gọi O là trung điểm của đường cao AH Các tia BO và CO cắt cạnh AC và AB lần lượt ở D và E Tính SADOE ?

Để tính diện tích đối với bài tập này học sinh phải nhận thấy S ABC đã biết nên ta cần tìm mối quan hệ về SADOE

với SABC Lại có H và O là những điểm đặc biệt trên các đoạn AC, AH nên ta

dễ dàng tìm được mối quan hệ đó bằng cách lấy thêm điểm N là trung điểm

Trang 6

Gọi N là trung điểm của CD

4.6 2

Phân tích đề bài và hướng giải:

Hs cần nhận thấy SABCD = 1 nên dễ dàng suy ra SBCD =

2

1

Để tính SMQDC thì phải thông qua SBCD và SBMQ

Do đó ta cần phải tìm mối quan hệ của SBMQ với SBCD

Để tìm được mối liên hệ đó ta phải xét xem Q nằm trên BD có ở vị trí đặc biệt không bằngcách lấy thêm điểm N là trung điểm của AD

N M

D

A B

C

=> SAOD =

6 1

SAHC (1)

Trang 7

Bài 3: Cho hình chữ nhật ABCD, trên cạnh BC lấy M: BM =

Nên để tính diện tích của AMN ta phải làm

SAMN = SABCD - SABN - SCMN - SADN

(b) Tính SMNQP theo SABCD cần phải tìm mối liên hệ SMNPQ với SAMN vì các đỉnh của tứ giác nằm trên cạnh của  AMN

Muốn tìm mối liên hệ đó rõ ràng phải thông qua  APQ

Ta nhận thấy  APQ và  AMN có hai đáy cùng thuộc một đường thẳng nên ta phải kẻ thêm đường vuông góc PK và MH Từ đó suy ra lời giải của bài toán

PK MH.AN 2

1

PK.AQ 2

1 S

AD PM

Vì DN // AB => AQ AB 3 => AQ 3

P

Q

H K

B A

N

M

Để giải câu (a) hs dễ dàng nhận ra phải sử dung tính chất 1: Nếu một đa giác được chia thành các đa giác không có điểm chung thì diện tích của nó bằng tổng diện tích của các

đa giác đó ( tính cộng)

Trang 8

3 6

5 AN

AQ AM

( Đề thi học sinh giỏi quận Ba đình 1998 - 1999)

Bài giải: ABC có AB = 3, AC = 4, BC = 5

Nên ddcm  ABC vuông tại A

Ta có CF là phân giác ACB =>

5

4 CB

CA FB

15 3

4 2

1 2

20 2

3 2

1 2

4 2

3 2

1



- Để tính được diện tích của  DEF thì ta phải đi tính SABC, SAEF, SBFD, SDFC

Học sinh dễ dàng tính được SABC, SAEF vì

đó là hai tam giác vuông

- Để tính được SBFD, SDFC thì cần phải kẻ thêm đường cao Căn cứ thêm vào giả thiết : có phân giác của các góc nên từ đó suy ra kẻ đường cao FH và EK

=> FH = FA; EK = EA

K H

E F

B

A

Trang 9

O

M

N H

HN MB

*) AHN ∽ AOB (g.g) =>

OB

HN AO

HN AH

*) AHN vuông tại H => HN2 + HA2 = AN2 ( Theo định lí Pitago)

=> HA2(1 +

2

2 a

b

) = b2

Do đó HA2 = 2 2

2 2

b a

 => AB2 = 4HA2 = 2 2

2 2

b a

b 4a

2 2

b a

b 4a



)

2 2

2 4

b (a

b 4a

 => OA = 2 2 2

b a

b 2a

 và OB = 2 2 2

b a

b 2a

3 3

b (a

b 8a

Trang 10

b) Trên EF lấy hai điểm M, N : sao cho EM = MF

3

2 Trên cạnh HG lấy hai điểm P, Q : GP = HQ = MF

5

2 Tính SMNPQ

P Q

N M

16cm

14cm

12cm 10cm

H

G

F E

B A

a) Ta nhận thấy để tính được S EFGH phải thông qua SABCD, SAEH, SEBF, SFCG, SHGD là các hình tính được diện tích qua các công thức đã học

b) Vì tứ giác MNPQ có các đỉnh nằm trên cạnh của tứ giác EFGH ở những vị trí đặc biệt theo gt đã nêu Do đó ta cần tìm mối liên hệ giữa tứ giác MNPQ với EFGH Từ đó tính được diện tích của tứ giác MNPQ

2 => SHMF = S HFE

5 3

1

= S EFGH

5 1

.456 = 91,2 (cm 2 )

Trang 11

Bài 7: Cho hình thang ABCD Biết độ dài hai đường chéo là 3 và 5, độ dài đoạn thẳng nối trung điểm hai đáy là 2 Tính diện tích hình thang

P

E

K N

M

D

C B

=>  EKC vuông tại E => AC  CP

SCAK = 2.SACP = AC.CP = 6 đvdt

b) Tính SPEQ theo SABCD ?

( Đề thi học sinh giỏi lớp 8 quận Ba Đình năm học 2000 - 2001)

Trang 12

E

P

N M

B A

Do đó để tính SPEQ ta cần phải thông qua các STEPD , STQE , SDPQ

MB = AB

3

2

= CD 3 2

Có MI// CD =>

3

4 EC

EM CD

MI ED

ME

3

4 FK

FB FK

FB SC

FB

 =>

3

4 KP

AB

4

3 AB 4

28

5 AB

ES

 ; có MB = CD

3 2

Trang 13

98

27 AD.CD 7

9 7

3 2

1 AD 7

3 CD 7

5 CD 7

4 2

1 ET).TD (DP

QD

 => QD = AD

33 5

3234

320 AD

231

64 CD.

7

5 2

1 TE.TQ

4 AD.

33

5 2

1 QD.DP 2

+/ Để so sánh hai độ dài nào đó bằng phương pháp diện tích, ta có thể làm theo các bước sau:

- Xác định quan hệ diện tích giữa các hình

- Sử dụng các công thức diện tích để biểu diễn mối quan hệ đó bằng một đẳng thức

C B

Bài giải:

- Vì BC // AD ( gt) => Chiều cao hạ từ B và C cùng xuống AD bằng nhau

=> SBAD = SCAD

- Ta nhận thấy OAB và OCD không chung đường cao và cũng không chung cạnh

- BAD và CAD là hai tam giác

có chiều cao bằng nhau và chung đáy AD => SBAD = SCAD => đpcm

Trang 14

=> SOAB +SOAD = SOCD + SOAD

Vậy SOAB = SOCD.

Bài 2: Cho hình bình hành ABCD có AB > BC và góc BAD nhọn, đường phân giác của góc BAD cắt CD tại M và cắt đường thẳng BC tại N Gọi O là diểm cách đều ba điểm C,

M, N và K là giao điểm của OB và CD.

Chứng minh:a) SOBN = SODC b) SBCK + SNOC = SDOK

Có OM = ON( cmt) => OMN cân

Có OM = OC( cmt ) => OCM cân tại O => CMO = MCO (2)

Từ (1) và (2) => CNO = MCO

Do đó ddcm : OBN = OCD (c.g.c)

Vậy S OBN = S ODC

b) SBCK + SNOC = SOBN - SOCK (3)

SDOK = SODC - SOCK (4)

a) Ta nhận thấy OBN và OCD có ON

= OM

Vì vậy để cm SOBN = SODC ta nghĩ đến tínhchất: hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau

N

D

C B

A

=> BNA = NAB

=> CMO = CNO (1)

Trang 15

Q P

K

M

B A

Để cm: S DMC = SAKB ta phải tìm các tam giác có diện tích bằng nhau ở trong bài này và

diện tích tam giác đó có mối liên hệ thế nào với diện tích tam giác ta cần chứng minh

- Ta không thể chứng tỏ ngay mối

liên hệ SCKE ,SCKF vớiSABKD

- Cần phải tìm mối liên hệ SABKD

với SABCD; SCKE +SCKF với SABCD

Trang 16

Bài 6: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD Chứng minh rằng: SMNP =

Bài 7: Cho ABC có ba góc nhọn, vẽ đường cao BD, CE Gọi H, K là hình chiếu của B,

C trên đường thẳng ED Chứng minh rằng:

a) EH = DK.

b) SBEC + SBDC = SBHKC

Ta có M, N, P là trung điểm các cạnh của tứ giác ABCD Nếu ta lấy thêm Q là trung điểm của AP => MNPQ là hình bình hành.Do đó SMNP = 12 SMNPQ.

Ta nhận thấy SMNPQ có mối liên hệ với SABCD

A

Trang 17

Bài giải:

a) Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và ED

MED có ME = MD (cùng bằng 1/2 BC) nên là tam giác cân

b) Vẽ EE' , NN', DD' vuông góc với BC

Ddcm được NN' là đường trung bình hình thangEE'D'D

B

C

F G

Bài giải:

Nối AG , CG Ta có:

S EFG = SAEG - SAFG - SAFE

Mà SAEG = SABG + SEBG

Nên S EFG = SABG + SEBG- SAFG - SAFE

+/ Để cm: SEFG = 14 SABCD ta cần phải

biểu diễn SEFG thông qua diện tích của

các hình có liên quan với SABCD +/ Cần dựa vào gt có các đoạn thẳng bằng nhau => Có diện tích các tam giác bằng nhau.

=> đpcm

Trang 18

đường thẳng GH đi qua E, đường thẳng IK đi qua D Cmr: SBCDE = SABGH + SACIK.

(Bài toán của Páp, nhà toán học Hi Lạp thế kỉ III)

N

M

O K

I H

G

D E

C B

A

CM: SBCDE = SABGH + SACIK

+/ Rõ ràng bài này ta cần vẽ đường phụ

+/ Ta cần cm: S BENM = SABGH.; SCDNM = SACIK

Bài giải:

Vẽ hình bình hành ABEO => ACDO là hình bình hành

Do đó GH  IK = {O}

Cho OA  BC ={M}; OA  DE = {N}

Ddcm được SABGH = SABEO ( chung cạnh, chung đường cao)

SABEO = S BENM ( chung cạnh BE, đường cao từ A và N xuống BE bằng nhau)

=> S BENM = SABGH.

Cmtt => SCDNM = SACIK

Do đó : S BENM + SCDNM = SABGH.+ SACIK

Vậy : S BEDC = S ABGH. + S ACIK

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	617,5 KB