Đề tài nghiên cứu khoa học trường THCS phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử cho học sinh lớp 8

Lý do chọn đề tài : Trong dạy học đại số ở THCS, việc dạy cho học sinh nắm vững cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử và biết vận dụng một cỏch hợp lớ cỏc phương phỏp đú vào

Phần thứ nhất:Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài :

Trong dạy học đại số ở THCS, việc dạy cho học sinh nắm vững cỏc phương

phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử và biết vận dụng một cỏch hợp lớ cỏc phương phỏp đú vào giải bài tập đúng vai trũ quan trọng Cú nhiều loại bài tập sử dụng tới kết quả của việc phõn tớch đa thức thành nhõn tử Vớ dụ: Rỳt gọn phõn thức, giải phương trỡnh bậc cao, quy đồng mẫu nhiều phõn thức, biến đổi đồng nhất cỏc phõn thức hữu tỉ, tỡm giỏ trị của biến để biểu thức cú giỏ trị nguyờn, tỡm giỏ trị nhỏ nhất, tỡm giỏ trị lớn nhất của biểu thức

Vỡ vậy, ngoài việc nắm vững, sử dụng thành thạo cỏc phương phỏp phõn tớch

đa thức thành nhõn tử được trỡnh bày trong sỏch giỏo khoa thỡ việc hiểu, biết vận dụng cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử khỏc là cần thiết Thờm nữa, khi sử dụng một phương phỏp phõn tớch nào đú, học sinh cần vận dụng rất nhiều kiến thức liờn quan như: Nhẩm nghiệm của đa thức, bảy hằng đẳng thức, chia đa thức nờn việc chuẩn bị cỏc kiến thức này cho học sinh là rất cần thiết

Qua nhiều năm giảng dạy mụn toỏn đặc biệt là Đại số 8, tụi thấy “Phõn tớch

đa thức thành nhõn tử” chiếm một phần rất quan trọng trong nội dung chương trỡnh, trong khi đú rất nhiều em học sinh cũn lỳng tỳng trong quỏ trỡnh phõn tớch đa thức thành nhõn tử Vỡ vậy, việc học tập mụn toỏn của cỏc em cũn gặp khú khăn Do đú tụi chọn đề tài “Phõn tớch đa thức thành nhõn tử” với mục đớch hệ thống, củng cố kiến thức phõn tớch đa thức thành nhõn tử và gúp phần rốn luyện trớ thụng minh và năng lực tư duy sỏng tạo của học sinh

Gúp phần nõng cao chất lượng dạy học

3 Nhiệm vụ nghiờn cứu:

a Hệ thống cỏc phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử theo SKG và một

số phương phỏp khỏc

b Lựa chọn bài tập phự hợp làm nổi bật từng phương phỏp

c Một số dạng bài tập liờn quan đến phõn tớch đa thức thành nhõn tử trong mụn Đại số 8

4 Phạm vi và đối t ợng nghiên cứu :

Đề tài nghiên cứu “ Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử và các bài tậpvận dụng”

Đối tợng nghiên cứu:

Học sinh lớp 8 trờng THCS Bắc Trạch, Bố Trạch, Quảng Bình

5 Ph ơng pháp nghiên cứu :

- Phơng pháp nghiên cứu lý luận

- Phơng pháp thực nghiệm s phạm

Phần thứ hai:Nội dung Ch

ơng 1 :Cơ sở lý luận thực tiễn có liên quan đến đề tài nghiên cứu.

Xuất phát từ những khó khăn của học sinh khi giải các bài toán có liên quan

đến việc phân tích đa thức thành nhân tử đã làm cho tôi cảm thấy cần nghiên cứu làm

thế nào giúp các em vợt qua đợc trở ngại này bằng sự đúc kết của bản thân.Những học sinh cha nắm vững phơng pháp giải loại bài toán này thì tỏ ra lúng túng không biết vận dụng linh hoạt Do đó cha đạt yêu cầu dẫn đến điểm kém

sẽ sinh ra chán nản, lời học môn toán Bên cạnh đó những em nắm đợc thuật toán

ơng 2 : Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp phần nâng cao

chất lợng dạy học nội dung đang quan tâm.

Để giúp học sinh thực hiện tốt việc giải toán “phân tích đa thức thành nhân tử” thì trớc hết phải hớng dẫn các em nắm đợc khái niệm thông qua một số ví dụ,

“việc phân tích đa thức thành nhân tử ” thực ra là biến đổi đa thức thành tích của những đơn thức và đa thức hoặc tích của những đa thức

Ví dụ: a, 5x - 5y = 5(x - y)

ở đây 5x - 5y đợc biến đổi thành tích của 5 và (x - y)

b, x3 - 3x2 - x + 3 = (x - 1)(x + 1)(x - 3)

x3- 3x2 - x + 3 đợc biến đổi thành tích của ba đa thức (x - 1)(x + 1)(x - 3)

Tiếp đến là phải làm cho học sinh nắm rõ các phơng pháp để phân tích đa thức thành nhân tử

ẹoỏi vụựi hoùc sinh yeỏu, keựm: củng cố kiến thức cơ bản

ta có thể giới thiệu các phơng pháp nh trong sách giáo khoa

+ Phửụng phaựp ẹaởt nhaõn tửỷ chung

+ Phửụng phaựp Duứng haống ủaỳng thửực

+ Phửụng phaựp Nhoựm nhieàu haùng tửỷ

ẹoỏi vụựi hoùc sinh ủaùi traứ: Vận dụng và phỏt triển kỹ năng

+ Phoỏi hụùp nhieàu phửụng phaựp (caực phửụng phaựp treõn)

- Chửừa caực sai laàm thửụứng gaởp cuỷa hoùc sinh trong giaỷi toaựn

- Cuỷng coỏ caực pheựp bieỏn ủoồi cụ baỷn vaứ hoaứn thieọn caực kú naờng thửùc haứnh

- Tỡm toứi nhửừng caựch giaỷi hay, khai thaực baứi toaựn

- Giụựi thieọu hai phửụng phaựp phaõn tớch ủa thửực thaứnh nhaõn tửỷ (Naõng cao)

ẹoỏi vụựi hoùc sinh khaự, gioỷi: Phỏt triển tư duy (giụựi thieọu hai phửụng phaựp)+ Phửụng phaựp taựch moọt haùng tửỷ thaứnh nhieàu haùng tửỷ khaực

+ Phửụng phaựp theõm vaứ bụựt cuứng moọt haùng tửỷ

I Các ph ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản đ ợc trình bày trong SGK:

ớc 2 : Phân tích mỗi hạng tử thành tích của nhân tử chung và một nhân tử khác

(có thể đổi dấu hạng tử để làm xuất hiện nhân tử chung)

B

ớc 3 : Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, các nhân tử còn lại đợc viết trong

ngoặc kèm theo dấu của chúng

Nếu một đa thức chứa một trong các vế của 7 hằng đẳng thức đáng nhớ thì ta

có thể dùng hằng đẳng thức đó để viết đa thức thành tích các đa thức

a) Ph ơng pháp tiến hành:

+ Xét bậc của đa thức, dự định quy đa thức về hằng đẳng thức nào (theo bậc, theo số hạng tử của đa thức)

+ Biến đổi về đợc dạng hằng đẳng thức mong muốn

+ Viết đa thức dới dạng tích

b) Ví dụ:

VD1:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

y2 - 25

+ Nhận xét về số hạng tử: 2 hạng tử

+ Lũy thừa của hạng tử: y có lũy thừa 2

+ Trong các hằng đẳng thức có lũy thừa 2, hằng đẳng thức nào có 2 hạng tử ? + Làm thế nào để biến đa thức đã cho thành hằng đẳng thức đó ?

? Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào cha ?

? Cần biến đổi nh thế nào để xuất hiện hằng đẳng thức (a - b) 3 ?

-x2 + 2xy + 5x – 5y - y2 = -( x2 - 2xy + y2) + (5x – 5y)

= -(x – y)2 + 5(x – y)

= (x – y)(y – x + 5)

4) Phối hợp nhiều ph ơng pháp :

a) Ph ơng pháp tiến hành:

- Vận dụng với những bài không thể dùng các phơng pháp đơn lẻ nêu trên

- Lựa chọn phơng pháp theo thứ tự u tiên:

Tìm tích a.c

Phân tích ac ra tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

Trong đó chọn hai thừa số mà tổng bằng b

Khi thêm, bớt thờng sử dụng hằng đẳng thức: a2 - b2 = (a + b)(a – b) (a - b)2 = a2 – 2ab + b2

x4 + 4y4 = (x2)2 + 2.x2.2.y2 + (2y2)2 - 2.x2.2.y2 (thêm, bớt 2.x2.2.y2)

= [(x2)2 + 2.x2.2y2 + (2y2)2] - 2.x2.2y2

Cụ thể:

+ Đặt một nhóm các biến theo biến mới; thay đa thức đã cho thành đa thức với biến mới

+ Phân tích đa thức chứa biến mới

+ Thay biến cũ vào biến mowistrong đa thức đã đợc phân tích

Tình huống1: Phân tích cha triệt để

Ví dụ: x3 - x = x(x2 - 1)

Tình huống 2(Thờng xảy ra): Nhóm những hạng tử cha thích hợp dẫn đến

không thể thực hiện đợc việc phân tích đa thức thành nhân tử

Ví dụ : x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x) + (9 - y2)

=x(x + 6) + (3 - y)(3 + y)

Tình huống 3: Không biết dùng phơng pháp đặt nhân tử chung trớc, khi đa thức

có nhân tử chung dẫn đến bài giải dài, cha tối u

Ví dụ: 64xy - 96x2y + 48x3y - 8x4y = (64xy - 96x2y) + (48x3y - 8x4y)

= 8xy(8 - 12x) + 8xy(6x2- x3) = 8xy(8 - 12x) + (6x2 - x3) = 8xy(8-12x + 6x2-x3)

= 8xy(23-3.22.x + 3.2.x2-x3) = 8xy(2 - x)3

Vì vậy trớc khi giải bài tập giáo viên nêu yêu cầu học sinh đọc kỹ đề bài,suy nghĩ tìm lời giải sao cho thích hợp và cũng nên gợi ý cho học sinh trong từng

điều kiện cụ thể của từng bài, khi dạy phần “phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp nhóm hạng tử” nên chú ý cho học sinh tìm các nhóm hạng

tử thích hợp, cụm từ thích hợp mang ý nghĩa mỗi nhóm đều có thể phân tích

đợc Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục đợc

Muốn tháo gỡ đợc những sai lầm, vớng mắc cho học sinh thì giáo viên phải nghiên cứu kỹ nội dung bài, tìm lời giải cho từng bài và nhiều cách giải (nếu có thể)

Để kịp thời uốn nắn sửa sai cho các em bằng cách chữa một số bài tập điển hình áp dụng các phơng pháp dạy học tích cực vào từng tình huống cụ thể lu ý lànên khích lệ, động viên những em học tốt, khá, sửa chữa uốn nắn những em làm còn nhiều sai sót bằng cách nhận xét khen, chê hợp lý

Đối với những tình huống ta có thể tháo gỡ nh sau:

Tình huống 1: x3 - x = x(x2 - 1)

= x(x2 - 12) (gợi ý cho học sinh thực hiện tiếp)

=x(x + 1)(x - 1)

Tình huống 2:Gợi ý học sinh nhóm hạng tử thích hợp để đa về dạng hằng đẳng

thức rồi yêu cầu học sinh lên bảng thực hiện tiếp

x2 + 6x + 9 - y2 = (x2 + 6x + 9) - y2

=(x + 3)2 - y2

=(x + 3 - y)(x + 3 + y) =(x - y + 3)(x + y + 3)

Tình huống 3:Đối với tình huống này giáo viên nên gợi ý cho học sinh đặt nhân

tử chung trớc thì việc thực hiện sẽ đơn giản và tối u hơn

Trong quá trình thực hiện học sinh sẽ đợc rèn luyện kỹ năng phân tích để từ đó

có thể thực hiện đợc những bài toán ở dạng tổng hợp hơn với mức độ cao hơn, trong đó có sử dụng phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử nh:

Dạng 3:Chứng minh một đa thức nào đó chia hết cho một số cụ thể nào đó.

Ví dụ: Chứng minh rằng (n + 3)2- (n - 1)2 chia hết cho 8 với mọi số

nguyên n

Dạng 4: Tính giá trị biểu thức

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức: x3 + xy - 5x - 5y với x = 2; y = 13

4.Ph ơng pháp tìm nghiệm của đa thức:

+ Nếu tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng

tử bậc lẻ thì đa thức có nghiệm là (-1)  chứa nhân tử x + 1

+ Nếu một đa thức có các hệ số nguyên, có nghiệm nguyên thì nghiệm nguyên đó

Vậy a là ớc của 4; các ớc của 4 là 1; 2; 4; -1; -2; -4

Kiểm tra thấy 1 là nghiệm của đa thức trên Vậy đa thức có nhân tử là x - 1

 Tách đa thức để xuất hiện x - 1

VD2:Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

f(x) = x3 - 7x + 6

+ Các ớc của 6 là 1; 2; 3; 6; -1; -2; -3; -6

+ Đa thức có nghiệm là 1  (x3 - 7x + 6)  (x - 1)

Giả sử đa thức trên đợc phân tích thành dạng (ax + b)(cx2 + dx + m)

Thực hiện nhân ta đợc A = acx3 + (ad + bc)x2 + (am + bd)x +bm

Đồng nhất đa thức này với 2x3 -5x2 + 8x - 3, ta có:

2 5 8 3

ac

ad bc

am bd bm

+ Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức

+ Giải cho biết giá trị cụ thể; xác định thừa số còn lại

Do vai trò a; b; c nh nhau trong đa thức nên P  (a – b)(b – c)(c – a)

Vì P và (a – b)(b – c)(c – a) đều có bậc ba đối với tập các biến nên thơng của phép chia P cho (a – b)(b – c)(c – a) là hằng số k  P = k (a – b)(b – c)(c – a)Hay ab(a – b) + bc(b – c) + ca(c – a) = k (a – b)(b – c)(c – a) (1)

Cho a = 2; b = 1; c = 0, thay vào (1) ta có:

Do vai trò a; b; c trong Q nh nhau nên Q  (a + b)(b + c )(c + a)

Trong đó N và (a + b)(b + c )(c + a) đều có bậc ba đối với tập các biến nên:

vËy Q = (a + b + c)3 – a3 – b3 - c3 = 3.(a + b)(b + c )(c + a)

III Mét sè bµi to¸n n©ng cao:

Bµi 1: ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö

b, Đặt ẩn phụ

c, Biến đổi x2 – 2xy + y2 + 3x – 3y – 10, ta đợc (x + y) 2 + 3(x + y) – 10

đặt ẩn phụ rồi phân tích tiếp

Bài 4: phân tích các đa thức sau thành nhân tử bằng cách xét giá trị riêng

1 x x D









1 x

1 1 x

1 1 1

x

1 1 x 1 x 1

x

1 x x

3 2

1 t

1 1 x

1 0 2

1 t 4

3 D

3 thoả mãn với ĐKXĐ của phương trình.

Vậy tập nghiệm của PT là: S = {- 8

5 Dạng bài chứng minh tính chia hết:

a Ph ơng pháp:

Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó có chứa nhân tử là biểu thức cần chứng minh chia hết

b Ví dụ:

Vậy: với x  z thì A có giá trị là số nguyên.

Trên đây là một số loại bài toán áp dụng kỹ năng phân tích đa thức thành nhân

tử, ngoài ra còn một số dạng khác cũng sử dụng kỹ năng này, vì thế khi gặp dạng bài cha quen giáo viên cần tác động đến các đối tợng học sinh sao cho phùhợp để các em hiểu và nắm đợc phơng pháp giải và tiến hành làm bài theo con

đờng ngắn nhất, qua đó phát huy tính tích cực tìm tòi và phát huy trí lực của họcsinh

Phần thứ ba: kết luận Qua việc ỏp dụng đề tài “phương phỏp phõn tớch đa thức thành nhõn tử cho học

sinh lớp 8” cỏ nhõn tụi nhận thấy học sinh cú nhiều thay đổi trong việc nhận thức kiến thức mới Với phương phỏp dạy học tớch cực lấy học sinh làm trung tõm, giỏo viờn là người hướng dẫn học sinh nắm được thế nào là phõn tớch đa thức thành nhõn tử, nắm được cỏc phương phỏp giải và luyện tập nhiều, được củng cố khắc sõu dưới sự uốn nắn kịp thời của giỏo viờn với những học sinh cũn sai sút và sự khớch lệ, động viờn với những em cú bài làm khỏ tốt đó làm cho cỏc em cảm thấy hứng thỳ say mờ học mụn toỏn hơn

Tuy nhiờn, trong mức độ kiến thức toỏn ở trung học cơ sở cũn hạn hẹp nờn chưa thể mở rộng được phương phỏp giải cũng như việc khai thỏc và đề xuất ra

những ứng dụng của phõn tớch đa thức thành nhõn tử Nhưng khi ỏp dụng đề tài này vào giảng dạy, cỏc đối tượng học sinh lớp 8 đótiếp thu khỏ tốt, học sinh khỏ, giỏi đó biết khai thỏc, phõn tớch kết quả của bàitoỏn để tổng kết thành cỏc phương phỏp giải bài toỏn phõn tớch đa thức thànhnhõn tử Đối với học sinh đại trà, sau khi được hướng dẫn, chữa những bài tập

cú nội dung khỏ đơn giản (bài tập trong SGK) thỡ hầu hết cỏc em đó nắm đượccỏc cỏch phõn tớch đa thức thành nhõn tử; biết phõn loại và sử dụng cỏc phươngphỏp phõn tớch thớch hợp; tự chọn được cỏch giải và biết trỡnh bày bài làm; cúhứng thỳ suy nghĩ, tỡm tũi cỏc bài toỏn cú nội dung tương tự và từ chỗ lo ngạivới dạng toỏn này thỡ cỏc em đó cú hứng thỳ học hơn

Đối với giáo viên phải thờng xuyên tự học hỏi, tự bồi dỡng, tham khảo tài liệu Tiếp xúc thờng xuyên với những giáo viên có cùng chuyên môn để trao đổi kinh nghiệm để học hỏi lẫn nhau Thờng xuyên dự giờ đúc rút kinh nghiệm kiểm tra thờng xuyên sự nhận thức của học sinh để có hớng bồi dỡng

Trong quá trình thực hiện bài giảng: Sự hoạt động giữa cô và trò phải nhịp nhàng, tạo cho học sinh có nhiều đam mê với môn học Giáo viên cần chú ý phát huy năng lực quan sát, phân tích, phán đoán của học sinh, xây dựng ở học sinh hệthống kiến thức đợc tổng hợp chặt chẻ

Sử dụng phối hợp những phơng pháp s phạm, từ đó tìm ra phơng pháp tối u đểphục vụ trong việc giảng dạy sao cho phù hợp với từng đối tợng học sinh

Trên đây là một số vấn đề về hệ thống kiến thức, phát huy trí lực của học sinh qua dạy học phân tích đa thức thành nhân tử mà tôi đã tìm hiểu và thực hiện Bắc trạch, ngày 18 thỏng 11 năm 2014

nghiên cứu……… Trang 2 Chơng II: Các biện pháp s phạm cần thực hiện để góp

phần nâng cao chất lợng dạy học nội dung đang quan tâm……… Trang 2

I Các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử cơ bản đợc trình bày trong SGK……… Trang 3

II Một số phơng pháp khác………Trang 7 III Một số bài toán nâng cao………Trang 17

IV Một số dạng bài toán sử dụng phân tích đa thúc thành

nhân tử……….Trang 19 Phần thứ ba: Kết luận Trang 25

Tài liệu tham khảo

1 Sách giáo khoa Toán lớp 8- Tập 1- NXB GD

2 Sách bài tập Toán lớp 8- Tập 1- NXB GD

3 Sách nâng cao và phát triển Toán 8- Tập 1- Tác giả: Vũ Hữu Bình

4 Sách bài tập nâng cao và một số chuyên đề Toán 8- Tập 1- Tác giả:Bùi Văn Tuyên

5 Ôn kiến thức - Luyện kĩ năng đại số 8- NXB GD

Trong quá trình thực hiện chắc chắn không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất mong đợc sự nhận xét, góp ý của các đồng nghiệp

Phần thứ ba: Thực nghiệm s phạm Trang 24

III.TIẾN TRèNH BÀI DẠY:

HĐ1 Kiểm tra bài cũ : HS1: Viết 4 hằng đẳng thức đầu

( A3 + B3 ) = (A + B)(A2 - AB + B2)

( A3 - B3 ) = (A - B)(A2 + AB + B2)

( 2x - y)(4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 - y3 = 8x3 - y3