Tính ổn định và ổn định hóa đối với một số phương trình tiến hóa trong cơ học chất lỏng

Chuyºn ëng Brown trong khæng gian Hilbert.. h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert.. Ên ành hâa b¬ng ngo¤i dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian 64 Ch÷ìng4.TNHÊNÀNHNGHI›MCÕAH›g-NAVIER-S

NGUY™N VI˜T TU…N

LUŠN N TI˜N Sž TON HÅC

H€ NËI - 2019

NGUY™N VI˜T TU…N

LÍI CAM OAN

Tæi xin oan ¥y l  tr¼nh nghi¶n tæid÷îi sü h÷îng d¨n

PGS.TS.Cung Th¸ Anh k¸t qu£ vi¸t hung vîi gi£ ·u

¢÷ñ sü nh§ttr½ çng gi£khi ÷a v o luªn ¡n k¸t qu£ n¶u

trong luªn ¡n l  ho n to n trung v khæng h· tròng l°p vîi b§t mët

tr¼nh n o

Nghi¶n sinh

Nguy¹n Vi¸t Tu¥n

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n n y ÷ñ hi»n t¤i Bë mæn Gi£i h - Khoa To¡n - Tr÷íng

¤i hå S÷ ph¤m H  Nëi 2, d÷îi sü h÷îng d¨n PGS.TS Cung Th¸ Anh

T gi£ xin b y tä sü k½nh trång v láng bi¸t ìn s¥u èi vîi Thy, ng÷íi

¢ giao · t i v tªn t¼nh h÷îng d¨n gi£ ho n th nh luªn ¡n n y

T gi£ tr¥ntrång gûi líi ìn ¸n Ban Gi¡m hi»u, Pháng Sau ¤i hå

Ban Chõ nhi»m Khoa To¡n, to n thº ëi ng gi£ng vi¶n Khoa To¡n,

Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H  Nëi 2 v· sü quan t¥m gióp ï trong qu¡ tr¼nh

hå tªp v  nghi¶n gi£

T gi£ xin ÷ñ b y tä láng bi¸t ìn¸n PGS.TS.Trn ¼nhK¸, PGS.TS

Khu§t V«n Ninh, PGS.TS Nguy¹n N«ng T¥m, TS Trn V«n B¬ng, TS  o

Trång Quy¸t, TS V M¤nh Tîi ¢ trang bà ki¸n v  truy·n ho gi£

nhi·u kinh nghi»m quþ b¡u trong nghi¶n khoa hå

T gi£ xin gûi líi ìn h¥n th nh ¸n Ban Gi¡m hi»u Tr÷íng¤i hå

Sao ä, anh hà çng nghi»p t¤i Khoa Khoa hå b£n, Tr÷íng

¤i hå Sao ä ¢ luæn gióp ï v t¤o i·u ki»n thuªn lñi º gi£ ho n

th nh h÷ìng tr¼nh nghi¶n sinh çngthíi gi£ xin gûi ¸n anh hà

nghi¶n sinh huy¶n ng nh To¡n Gi£i h Khoa To¡n, Tr÷íng ¤ihå

S÷ph¤m H  Nëi 2, b¤n b±gn xa, líi ìn h¥n th nh v· t§t nhúng

sü gióp ï, ëng vi¶n m  gi£ ¢ nhªn ÷ñ trong suèt thíi gian qua

Líi ìn sau xin d nh ho gia ¼nh gi£, nhúng ng÷íi ¢

d nh ho gi£ t¼nh y¶u th÷ìng trån vµn, tøng ng y hia s´, ëng vi¶n

gi£ v÷ñt qua måi khâ kh«n º ho n th nh luªn ¡n

Líi oan 1

Líi ìn 2

3

Mët sè k½ hi»u dòng trong luªn ¡n 6

M †U 7

1 h sû v§n · v  l½ do hån · t i 7

2 h nghi¶n 11

3 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n 11

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n 12

5 K¸t qu£ luªn ¡n 12

6 C§u luªn ¡n 13

Ch÷ìng 1.MËT SÈ KI˜N THÙC CHU‰N BÀ 15

1.1 khæng gian h m 15

1.1.1 Khæng gian Sobolev 15

1.1.2 khæng gian L p (0, T ; Y ) v C([0, T ]; Y ) 16

1.1.3 khæng gian h m H v V 17

1.1.4 khæng gian h m H g v V g 18

1.2 to¡n tû 18

1.2.1 To¡n tû A, B 18

1.2.2 To¡n tû A g, B g v  C g 19

1.3 Mët sè k¸t qu£ v· gi£i h ng¨u nhi¶n 21

1.3.1 Chuyºn ëng Brown trong khæng gian Hilbert 21

1.3.2 h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert 24

1.3.3 Mët sè k¸t qu£ trong l½ thuy¸t su§t 25

1.4 Mët sè k¸t qu£ th÷íng dòng 26

1.4.1 Mët sè b§t ¯ng th÷íng dòng 26

1.4.2 Mët sè bê · v ành l½ quantrång 29

Ch÷ìng 2.ÊN ÀNH HO H› NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHI—U 30 2.1 °t b i to¡n 30

2.2 T½nh duy nh§t v t½nh ên ành m nghi»m døng 31

2.3 Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi gi¡ b¶n trong mi·n 34

2.4 Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng nhi¹u Ito nh¥n t½nh 40

Ch÷ìng 3.ÊN ÀNH HO H› g-NAVIER-STOKES HAI CHI—U 45

3.1 °t b i to¡n 45

3.2 Sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v  t½nh ên ành m nghi»mdøng 46 3.3 Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi gi¡ b¶n trong mi·n 51

3.4 Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi húu h¤n hi·u 59

3.5 Ên ành hâa b¬ng ngo¤i dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian 64 Ch÷ìng4.TNHÊNÀNHNGHI›MCÕAH›g-NAVIER-STOKESNGˆU NHI–N HAI CHI—U VÎI TR™ HÚU H„N 80

4.1 °t b i to¡n 80

4.2 Sü tçn t¤i duy nh§t nghi»m døng h» t§t ành 83

4.3 T½nh ên ành m h» ng¨u nhi¶n 86

MËT SÈ K HI›U TH×ÍNG DÒNG TRONG LUŠN N

H, V khæng gian h m dòng º nghi¶n h»

Navier-Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ðtr

17-18)

H g , V g khæng gian h m dòng º nghi¶n h»

g-Navier-Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr 18)

V ′ , V g ′ khæng gian èi ng¨u khæng gian V, V g

( ·, ·), | · | h v h÷îng v hu©n trong khæng gian H

(( ·, ·)), k · k h v h÷îng v hu©n trong khæng gian V

( ·, ·) g , | · | g h v h÷îng v hu©n trong khæng gian H g

(( ·, ·)) g , k · k g h v h÷îng v hu©n trong khæng gian V g

k · k V ′ , k · k ∗ hu©n trong khæng gian V ′, V g ′

h·, ·i, h·, ·i g èi ng¨u giúa V v  V ′

, giúa V g v V ′

g

| · | p hu©ntrong khænggian L p ( O), vîi 1 ≤ p ≤ ∞

A, B to¡n tû dòng º nghi¶n h»

Navier-Stokes-Voigt (xin xem hi ti¸t ð tr 18-19)

A g , B g , C g to¡n tû dòng º nghi¶n h» g

-Navier-Stokes (xin xem hi ti¸t ð tr 19-21)

D(A), D(Ag) mi·n ành to¡n tû A, Ag

M †U

1 h sû v§n · v  l½ do hån · t i

ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa lo¤i parab xu§t hi»n nhi·u

trong qu¡ tr¼nh vªt l½, hå v sinh hå h¯ng h¤n trong hå

h§t läng, qu¡ tr¼nh truy·n nhi»t v kh h t¡n, mæ h¼nh qun thº

trong sinh hå (xem [60℄) nghi¶n nhúng lîp ph÷ìng tr¼nh n y

þ ngh¾a quan trång trong khoa hå v ngh» Ch½nh v¼ vª nâ ¢ v

ang thuhót ÷ñ sü quant¥m nhi·u nh  khoa hå tr¶n th¸ giîi Sau khi

nghi¶n t½nh °t óng b i to¡n, nghi¶n d¡ng i»u ti»m

nghi»m khi thíi gian ra væ r§t quan trång v¼ nâ ho ph²p ta hiºu v

dü o¡n xu th¸ ph¡t triºn h» ëng trong t÷ìng lai, tø â nhúng

i·u h¿nh h hñp º ¤t ÷ñ k¸t qu£ mongmuèn Mët trong nhúng h

ti¸p hi»u qu£ hov§n· n y l  nghi¶n sü tçn t¤i v t½nh ên ành

nghi»m døng V· m°t to¡n hå nghi»m døng t÷ìng ùng vîi tr¤ng th¡i døng

qu¡ tr¼nh v  l  nghi»m b i to¡n t÷ìng ùng Khi nghi»m døng

h» khæng ên ành, ng÷íi ta t¼m h ên ành hâa nâ b¬ng h dòng

i·u khiºn h hñp gi¡ b¶n trong mi·n gi¡ tr¶n bi¶n, dòng

nhúng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp

Trong nhúng n«m gn ¥y, b i to¡n ên ành v ên ành hâa nghi»m døng

¢ ÷ñ nghi¶n nhi·u ho h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes v mët v i lîp

ph÷ìng tr¼nh parab phi tuy¸n (xin xem huy¶n kh£o gn ¥y [13℄ v

b i b¡o ti¶u biºu [11, 14, 15, 16, 21, 22, 23, 33, 53℄ v· h÷îng nghi¶n

thíi sü n y) Tuy nhi¶n, k¸t qu£ t÷ìng ùng èi vîi lîp ph÷ìng tr¼nh

trong hå h§t läng v h» ph÷ìng tr¼nh parab v¨n ½t ¥y

ang l  v§n · thíi sü, nhi·u þ ngh¾a v thu hót ÷ñ sü quan t¥m

nhi·u nh  to¡n hå tr¶n th¸ giîi

D÷îi ¥y, hóngta iºmqua mëtsè lîp h» ph÷ìngtr¼nh trong hå h§t

läng ÷ñ nghi¶n nhi·u trong nhúng n«m gn ¥y

u ti¶n, hóng ta x²t h» ph÷ìngtr¼nh Navier-Stokes-Voigt (trong mët sè

t ili»u vi¸t l  Voight) ba hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi i·u ki»n bi¶n

hlet thun nh§t sau ¥y:

 n hçi h§t läng v u 0 l  vªn tè ban u

H» (1) ÷ñ giîi thi»u bði Oskolko trong [48℄ nh÷ mët mæ h¼nh mæ t£

huyºn ëng h§t läng lo¤i Kelvin-Voigt, nhît, khæng n²n ÷ñ H»

(1) ¢ ÷ñ · xu§t bði Cao, Lunasin v Titi trong [18℄ nh÷ mët h

x§p x¿, khi tham sè α nhä, h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u, v gióp

mæphäng sè ti¸p h» ph÷ìng tr¼nhn y bi»t,n¸u α = 0, (1) trðth nhh» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes ba hi·u iºn, v n¸u ν = 0 ta ÷ñ mæh¼nh Bardina ìn gi£n hâa,mæ t£ huyºn ëng h§t läng khæng nhît

Trong t¸, h» n y thuë lîp α-mæ h¼nh trong hå h§t läng, xem [37℄

ho mæ h¼nh trong lîp n y

Trong nhúng n«m gn ¥y, v§n · to¡n hå li¶n quan ¸n h»

Navier-Stokes-Voigt ba hi·u ¢ thu hót ÷ñ sü hó þ nhi·u nh  to¡n hå Sü

tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m nghi»mthæng qua sütçn t¤i tªp hót h»

Navier-Stokes-Voigt ba hi·u trong mi·n bà h°n khæng bà h°n nh÷ng

thäa m¢n b§t ¯ng P ÷ñ nghi¶n rëng r¢i trong [7, 26, 29,

36, 41, 64, 65℄ Tè ë ph¥n r¢ nghi»m theo bi¸n thíi gian lîp h» n y

khi x²t tr¶nto nbëkhæng gian ÷ñ nghi¶n gn ¥y trong [8, 47,66℄ B i

to¡nên ànhhâa d¡ng i»u ti»m nghi»m h» Navier-Stokes-Voigt b¬ng

h dòng ngo¤i dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian ÷ñ nghi¶n gn

¥y trong [6℄, sû döng h ti¸p · xu§t trong tr¼nh [30℄ h

u ti¶n hóng tæi trong luªn ¡n n y l  nghi¶n t½nh ên ành v  b i

to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh h» (1)

Ti¸p theo, hóng ta x²t h» ph÷ìngtr¼nh g-Navier-Stokes hai hi·u d¤ngnh÷ sau:

trong â u = u(x, t) = (u 1 , u 2 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l  h m v vªn tè v

h m ¡p su§t t¼m, ν > 0 l  h» sè nhît, u 0 l  vªn tè ban u

Nh÷ ÷ñ gi£i h trong [55, 56℄, h» g-Navier-Stokes hai hi·u xu§t hi»nmët h tü nhi¶n khi hóng ta nghi¶n h» Navier-Stokes ba hi·u trong

mi·n mäng O g = O × (0, g) v  t½nh h§t tèt h» g-Navier-Stokes haihi·u s³ gióp h ho nghi¶n h» Navier-Stokes trong mi·n mäng ba

hi·u O g Trong thªp ni¶n vøa qua, sü tçn t¤i v d¡ng i»u ti»m

nghi»mthængqua sütçn t¤itªp hót h» g-Navier-Stokes hai hi·u ¢÷ñnghi¶n rëngr¢itrong haitr÷íng hñp æ-tæ-næmv khængæ-tæ-næm(xem

[1, 3, 38, 39, 40, 42, 43, 51, 52, 56, 62, 63℄) Tuy nhi¶n, v¨n nhi·u v§n ·

mð ÷ñ nghi¶n li¶n quan ¸n lîp h» (2), h¯ng h¤n:

1) B i to¡n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh h»;

2) B i to¡n ênành hâa d¡ng i»u ti»m nghi»m khi thíi gian ra væ

Chóng tæi s³ nghi¶n nhúng v§n · â trong luªn ¡n n y

Cuèi hóng ta x²t h» ph÷ìng tr¼nh g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n haihi·u vîi tr¹ húu h¤n sau ¥y:

trong â u = u(x, t) = (u 1 , u 2 ), p = p(x, t) t÷ìng ùng l  h m v vªn tè v

h m ¡p su§t t¼m, ν > 0 l  h» sè nhît, u 0 l  vªn tè ban u, f = f (x)

l  ngo¤i khæng phö thuë thíi gian v khæng hùa tr¹, F ( ·) l  ngo¤ihùa tr¹, G(u(t − ρ(t)))dW (t) l  nhi¹u ng¨u nhi¶n hùa tr¹, W (t) l  qu¡ tr¼nhWiener væ h¤n hi·u, h m ρ : [0, + ∞) → [0, τ] l  bà h°n v o÷ñ ϕ l  vªn

tè ban u khi thíi gian t ∈ [−τ, 0], trong â τ l  sè d÷ìng ành

Sü tçn t¤i v  t½nh ên ành nghi»m døng h» Navier-Stokes hai

hi·u t§t ành tr¹ ¢ ÷ñ nhi·u gi£ nghi¶n trong nhúng n«m gn

¥y, h¯ng h¤n, Caraballo v Han [19℄, Caraballo v Real [24, 25℄,

Garrido-Atienza v  Mar½n-Rubio [35℄, Mar½n-Rubio, Real v Valero [46℄, Planas [50℄,

T hi [58℄; xem th¶m b i b¡o têng quan gn ¥y Caraballo v Han

[20℄.Tr÷ínghñp h» Navier-Stokes hai hi·u ng¨u nhi¶n tr¹÷ñ nghi¶n

trong [27, 61℄

Sü tçn t¤i v t½nh ên ành nghi»m døng h» g-Navier-Stokes haihi·u tr¹ ¢ ÷ñ nghi¶n trong tr¼nh [2, 51℄

Tuy nhi¶n, theo hiºu bi¸t hóng tæi, h÷a k¸t qu£ n o v· t½nh ên

ànhnghi»m h» (3), tr÷íng hñp sè h¤ng ng¨u nhi¶n v sè h¤ng hùa

tr¹ Chóng tæi s³ hån v§n · n y l m mët nëi dung nghi¶n luªn ¡n.

Xu§t ph¡t tø nhúng l½ do tr¶n, hóng tæi lüa hån · t i nghi¶n

luªn ¡n l  T½nh ên ành v  ên ành hâa èi vîi mët sè ph÷ìng tr¼nh

ti¸n hâa trong hå h§t läng

Luªn ¡ntªp trung nghi¶n t½nhênành v ênànhhâa mëtsè ph÷ìng

tr¼nh ¤o h m ri¶ng ti¸n hâa xu§t hi»n trong hå h§t läng

-• Ph¤m vi nghi¶n Luªn ¡n bao gçm nëi dung sau:

◦ Nëi dung 1: H» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u:

1) Sü tçn t¤i, t½nh duynh§t v t½nh ênành m nghi»m døng

m¤nh

2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi

gi¡ b¶n trong mi·n b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n phò hñp

◦ Nëi dung 2: H» g-Navier-Stokes hai hi·u:

1) Sü tçn t¤i, t½nh duynh§t v t½nh ênành m nghi»m døng

m¤nh

2) Ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi

gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£nhçi húu h¤n hi·u

3) Ên ành hâa d¡ng i»u ti»m nghi»m b¬ng ngo¤i

dao ëng nhanh theo bi¸n thíi gian

◦ Nëi dung 3: H» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húuh¤n:

1) Sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t nghi»m døng y¸u h» t§t

ành t÷ìng ùng

2) T½nh ên ành mtheo b¼nh ph÷ìng trung b¼nh v t½nh ênành

m hu h­n nghi»m y¸u h» ng¨u nhi¶n

4 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n

• Nghi¶n sütçnt¤inghi»mv sütçnt¤inghi»mdøng:Sûdöngph÷ìngph¡p x§p x¿ Galerkin v ph÷ìng ph¡p [44℄

• Nghi¶n t½nhênành nghi»mdøngv nghi»mtunho n:Sûdöng

¡nh gi¡ n«ng l÷ñng v b§t ¯ng kiºu Gronwall

• Nghi¶n b ito¡nênànhhâa:Sûdöng ph÷ìngph¡p L½thuy¸t

i·u khiºn to¡n hå [9, 13℄ v  Gi£i h ng¨u nhi¶n [21, 22℄

5 K¸t qu£ luªn ¡n

Luªn ¡n ¢ ¤t ÷ñ nhúng k¸t qu£ h½nh sau ¥y:

• èi vîi h»Navier-Stokes-Voigtba hi·u trong mi·nbà h°n:Chùng minh

÷ñ t½nh ên ành m nghi»m døng m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u

ki»n ên ành hâa nghi»m døng m¤nh b¬ng i·u khiºn ph£n hçi gi¡

b¶n trong mi·n v b¬ng nhi¹u ng¨u nhi¶n Ito nh¥n t½nh phò hñp ¥y

l  nëi dung Ch÷ìng 2

• èi vîi h» g-Navier-Stokes hai hi·u trong mi·n bà h°n: Chùng minh

÷ñ sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v  t½nh ên ành m nghi»m døng

m¤nh; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ênành hâa nghi»mdøng m¤nh b¬ng

i·u khiºn ph£n hçi gi¡ b¶n trong mi·n v b¬ng i·u khiºn ph£n hçi

húu h¤n hi·u; hùng minh ÷ñ i·u ki»n ên ành hâa d¡ng i»u ti»m

nghi»mb¬ng ngo¤i dao ëngnhanh theobi¸n thíi gian ¥y

l  nëi dung Ch÷ìng 3

• èi vîi h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u vîi tr¹ húu h¤n trongmi·n bà h°n: Chùng minh ÷ñ sütçn t¤i v t½nhduy nh§t nghi»m

døngy¸u h»t§tành; hùngminh÷ñ t½nhênànhmb¼nhph÷ìng

trung b¼nh v t½nh ên ành m hu h­n nghi»m y¸u h»

ng¨u nhi¶n ¥y l  nëi dung Ch÷ìng 4

k¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l  mîi, þ ngh¾a khoa hå v gâp

phn ho n thi»n nghi¶n b i to¡n ênành v  ênành hâa ph÷ìng

tr¼nh ti¸n hâa trong hå h§t läng Nâi ri¶ng, k¸t qu£ èi vîi h» gNavier-Stokes,trong tr÷íng hñp bi»t khi g = > 0, ¡pdöng ÷ñ hoh» Navier-Stokes hai hi·u M°t hóng ta bi¸t r¬ng, ph÷ìng tr¼nh

-trong hå h§t läng nguçn gè tø b i to¡n t¸ khi nghi¶n

huyºn ëng h§t l÷u, doâ k¸t qu£¤t ÷ñ trong luªn¡n gâp

phn t«ng kh£ n«ng ùng döng trong ti¹n

k¸t qu£ h½nh luªn ¡n ¢÷ñ bè trong 04 b i b¡o khoahå

tr¶n t¤p h½ huy¶n ng nh què t¸ v ¢ ÷ñ b¡o t¤i:

• X¶mina Bë mænGi£i h, Khoa To¡n, Tr÷íng ¤ihå S÷ph¤m H Nëi 2;

• Hëi th£okhoa hå Ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n v ùng döng, Khoa Khoa håb£n, Tr÷íng ¤i hå Sao ä, 2016;

• Hëi th£o khoa hå To¡n hå trong sü nghi»p êi mîi gi¡o , KhoaTo¡n, Tr÷íng ¤i hå S÷ ph¤m H  Nëi 2, 2017

Ngo i phn mð u, k¸t luªn, danh m tr¼nh ÷ñ bè v

danh m t i li»u tham kh£o, luªn ¡n gçm 4 h÷ìng:

• Ch÷ìng 1 Mët sè ki¸n bà Ch÷ìng n y tr¼nh b y kh¡ini»m v ki¸n sð thi¸t ÷ñ sû döng trong luªn ¡n.

• Ch÷ìng 2 Ên ành hâa h» Navier-Stokes-Voigt ba Ch÷ìng n ytr¼nh b y k¸t qu£v·t½nhên ànhmv ênànhhâa nghi»m døngm¤nh

h» Navier-Stokes-Voigt ba hi·u

• Ch÷ìng 3 Ên ành hâa h» g-Navier-Stokes hai Ch÷ìng n y tr¼nh

b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m

nghi»m døng m¤nh; k¸t qu£ ênành hâa nghi»mdøng m¤nhv ên ành

hâa d¡ng i»u ti»m nghi»m h» g-Navier-Stokes hai hi·u

• Ch÷ìng 4 T½nh ên ành nghi»m h» g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai

vîi tr¹ húu h¤n Ch÷ìng n y tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v

t½nh duy nh§t nghi»m døng y¸u h» t§t ành t÷ìng ùng vîi h»

ng¨u nhi¶n; hùng minh i·u ki»n ên ành m theo b¼nh ph÷ìng trung

b¼nh v ên ành m hu h­n nghi»m y¸u h» ng¨u nhi¶n

Ch֓ng 1

Trong h÷ìng n y, hóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ li¶n

quan ¸n khæng gian h m, to¡n tû, Gi£i h ng¨u nhi¶n, ¡nh

gi¡ thi¸t º xû l½ sè h¤ng phi tuy¸n trong ph÷ìng tr¼nh v mët sè k¸t

qu£ th÷íng dòng b§t ¯ng bê · ÷ñ sû döng trong

hùng minh k¸t qu£ h½nh luªn ¡n ð h÷ìng sau

1.1 khæng gian h m

Trong m n y, ta l¤i mët sè k¸t qu£ v· khæng gian h m s³ ÷ñ sû

döng trong luªn ¡n Chóng ta x²t O l  mi·n bà h°n trong Rn(n = 2, 3) vîibi¶n trìn ∂ O

ành ngh¾a 1.1 Khæng gian Sobolev W m,p ( O) ÷ñ ành nh÷ sau

Cho Y l  khæng gian h vîi hu©n || · ||

Khi âC([0, T ]; Y ) l  mët khæng gian h.

ành ngh¾a 1.4 L 2 loc (R; Y ) l  khæng gian h m φ(s), s ∈ R vîi gi¡ tràtrong Y, m  b¼nh ph÷ìng kh£ h àa ph÷ìng (theo ngh¾a Bo hner), l ,

K½ hi»u H l  bao âng V trong (L 2 ( O)) 3

, v V l  bao âng V trong

(H 1

0 ( O)) 3

D¹ th§y V ⊂ H ≡ H ′ ⊂ V ′

, trong â ph²p nhóng l  trò mªtv

li¶n Ta dòng k½ hi»u k · k V ′ ho hu©n trong V ′

, v h·, ·i ho èi ng¨u

giúa V v V ′

khæng gian tr¶n ·u l  khæng gian Hilbert

Ta ÷a ra mët hu©n Hilbert mîi trong V nh÷ sau

kuk 2 α : = |u| 2 + α 2 kuk 2 , α > 0,

hu©n n y t÷ìng ÷ìng vîi hu©n k · k th÷íng dòng trong V bði v¼

λ 1

1 + α2λ1kuk2 α ≤ kuk2 ≤ α−2kuk2 α,

trong â λ 1 > 0 l  gi¡ trà ri¶ng u ti¶n to¡n tû Stokes trong O l to¡n tû A ÷ñ ành ngh¾a trong 1.2.1 d÷îi ¥y).

g = ((u, u)) g Tø gi£ thi¸t h m g

÷ñ x²t trong luªn ¡n (xin xem hi ti¸t ð 3.1, Ch÷ìng 3) d¹ th§y hu©n

| · | g v k · k g t÷ìng ÷ìng vîi hu©n thæng th÷íng trong (L 2 ( O)) 2

v li¶n Ta dòng k½ hi»u k · k ∗ ho hu©n trong V ′

g, v h·, ·i g h¿ èi ng¨ugiúa V g v V ′

g khæng gian tr¶n ·u l  khæng gian Hilbert

1.2 to¡n tû

1.2.1 To¡n tû A, B

Ta ành ngh¾a to¡n tû li¶n quan ¸n h» Navier-Stokes-Voigt nh÷ sau

°t to¡n tû Stokes A : V → V ′

ành bði

hAu, vi = ((u, v)), vîi måi u, v ∈ V.

K½ hi»u D(A) = (H 2 ( O)) 3 ∩ V v  Au = −P ∆u, ∀u ∈ D(A), trong â P l ph²p hi¸u giao Leray-Helmholtz tø (L 2 (Ω)) 3 l¶n khæng gian H

Ta ành ngh¾a to¡n tû B : V × V → V ′ ành bði

(B(u, v), w) = b(u, v, w), vîi måi u, v, w ∈ V,

Khi âA g = −P g ∆ v D(A g ) = H 2 ( O, g) ∩ V g, trong â P g l  ph²p hi¸ugiao tø L 2 ( O, g) l¶n H g Tak½ hi»u η 1 l  gi¡ tràri¶ng u ti¶n to¡n tû A g.

B¥y gií, ta l¤i ¡nh gi¡ thi¸t º xû l½sè h¤ng phituy¸n trong

h» g-Navier-Stokes ÷ñ x²t trong luªn¡n Ta b§t ¯ng kiºu P

sau ¥y

kuk 2 g ≥ η 1 |u| 2 g , ∀u ∈ V g , (1.1)

|A g u | 2 g ≥ η 1 kuk 2 g , ∀u ∈ D(A g ), (1.2)

trong â η 1 > 0 l  gi¡ trà ri¶ng u ti¶n to¡n tû g-Stokes A g

B¥y gií hóng ta l¤i mët sè k¸t qu£ ¢ bi¸t s³ ÷ñ sû döng trong

phn ti¸p theo

c 1 |u| 1/2 g kuk 1/2 g kvk g |w| 1/2 g kwk 1/2 g , ∀u, v, w ∈ V g ,

c 2 |u| 1/2 g kuk 1/2 g kvk 1/2 g |A g v | 1/2 g |w| g , ∀u ∈ V g , v ∈ D(A g ), w ∈ H g ,

c 3 |u| 1/2 g |A g u | 1/2 g kvk g |w| g , ∀u ∈ D(A g ), v ∈ V g , w ∈ H g ,

c 4 |u| g kvk g |w| 1/2 g |A g w | 1/2 g , ∀u ∈ H g , v ∈ V g , w ∈ D(A g ),

1.3 Mët sè k¸t qu£ v· gi£i h ng¨u nhi¶n

Trong m n y, hóng ta l¤i mët sè k¸tqu£ v·l½ thuy¸t su§t, huyºn

ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener v h ph¥n ng¨u nhi¶n s³ ÷ñ sû döng

trong luªn ¡n n y tr¼nh b y düa tr¶n t i li»u [31, 32℄

1.3.1 Chuyºn ëng Brown trong khæng gian Hilbert

Cho (Ω, F, P) l  khæng gian su§t, vîi khæng gian m¨u Ω, σ-¤i sè F bao

÷ñ gåi l  ë o su§t)

u ti¶n, ta l¤i ành ngh¾a huyºn ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener

mët hi·u Wt nh÷ sau

ành ngh¾a 1.5 [32, tr 24℄ Chuyºn ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener mët

hi·uW t l mëtqu¡tr¼nhng¨unhi¶nGausstr¶nkhænggian su§t(Ω, F, P)

l , {W t } thäa m¢n i·u ki»n sau ¥y:

i) W 0 = 0 , ii) W quÿ ¤o li¶n , iii) W sè gia ë lªp,

h¼nh mð.Méi phn tû B(K) gåi l  mëttªp Borel trong K

Mëtbi¸n ng¨unhi¶n trong khænggian Hilbert K l ,nhªn gi¡tràtrong

K) l  mët ¡nh x¤ o ÷ñ Borel

X : Ω → K,

l , vîi méi tªp Borel A trong K, ta

X −1 ( A) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A} ∈ F.

T÷ìng tü nh÷ bi¸n ng¨u nhi¶n nhªn gi¡ trà k¼ vång to¡n X

÷ñ ành ngh¾a d÷îi d¤ng h ph¥n vîi bi¸n ë o su§t

E (X) =

Z

Ω

X(ω)dP(ω).

Ta ành ngh¾a bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss trong khæng gian Hilbert K

ành ngh¾a 1.6 [32, tr 34℄ Bi¸n ng¨u nhi¶n X : Ω → K trong khæng gianHilbert K gåi l  bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss n¸u vîi méi a ∈ K, bi¸n ng¨u nhi¶n

væ h÷îng hX, ai l  bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss v h÷îng

N¸u X l  bi¸n ng¨u nhi¶n Gauss l§y gi¡ trà trong khæng gian Hilbert K,th¼ tçn t¤i v m trong K v to¡n tû èi xùng ành d÷ìng Q : K → K

sao ho vîi måi a, b ∈ K,

i) E hX, ai = hm, ai, ii) E( hX − m, aihX − m, bi) = hQa, bi.

Ta gåi m l  v trung b¼nh v Q l  to¡n tû hi»p ph÷ìng sai X Bi¸nng¨u nhi¶n Gauss X, vîi v trung b¼nh m v to¡n tû hi»p ph÷ìng sai Q,

÷ñ k½ hi»u bði X ∼ N (m, Q)

B¥y gií ta ành ngh¾a huyºn ëng Brown hay qu¡ tr¼nh Wiener trong

khæng gian Hilbert K Ta x²t to¡n tû tuy¸n t½nh ành d÷ìng, èi xùng

Q trong K N¸u v¸t tr(Q) < + ∞, ta nâi Q l  to¡n tû v¸t húu h¤n Khi

â, tçn t¤i mët sð hu©n t¤o th nh bði v ri¶ng Q {e n } ∞

ành ngh¾a 1.7 [32, tr 35℄ Qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n W (t) nhªn gi¡ trà trong

K, vîi t ≥ 0, gåi l  qu¡ tr¼nh Wiener vîi to¡n tû hi»p ph÷ìng sai Q n¸u

i·u ki»n sau ¥y thäa m¢n:

i) W (0) = 0 , ii) W quÿ ¤o li¶n , iii) W sè gia ë lªp,

iv) W (t) − W (s) ∼ N (0, (t − s)Q), 0 ≤ s < t < ∞.

æi khi, W (t) ÷ñ gåi l  qu¡ tr¼nh Q-Wiener

Gi£ sû βn(t), n = 1, 2, , l  mët d¢y huyºn ëng Brown ë lªp mëthi·u gi¡ trà tr¶n (Ω, F, P), l , βn(t) ∼ N (0, t), n = 1, 2, Khi â,

mët qu¡ tr¼nh Q-Wiener W (t), t ≥ 0 nhªn gi¡ trà trong K biºu di¹n d¤ng

, λ ′

n > 0,

0, λ ′ n = 0.

1.3.2 h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian Hilbert

Trong m n y, ta ÷a ra ành ngh¾a h ph¥n ng¨u nhi¶n trong khæng gian

K½ hi»u L(K, H g ) l  khæng gian gçm t§t to¡n tû tuy¸n t½nh bà h°n

tø K v o Hg Ta s³ sû döng ành ngh¾a sau trong [31℄

ành ngh¾a 1.8 To¡n tû µ : K → H g gåi l  to¡n tû Q-Hilb hmidt n¸u

tr(Φ(t)QΦ(t) ∗ )dt < ∞.

1.3.3 Mët sè k¸t qu£ trong l½ thuy¸t su§t

Trong phn n y, hóng ta l¤i mët sè k¸t qu£ b£n trong l½ thuy¸t

su§t ÷ñ dòng º hùng minh k¸t qu£ luªn ¡n

Cho p ∈ (1, ∞) v  L p = L p (Ω; K) l  hå bi¸n ng¨u nhi¶n X vîi

Ta bê · sau ¥y

Bê · 1.4 (Bê · Borel-Cantelli)([45, Bê · 2.4, Ch÷ìng 1℄) N¸u {Ak} ⊂ F

Bê ·1.5 (Bê· Burkholder-Davis-Gundy)([32,Bê ·3.24,Ch÷ìng3℄)Cho

 2r 2

.

D÷îi ¥y ta l¤i kh¡i ni»m martingale trong [31, tr 73℄

Cho E l  mët khæng gian Hilbert h ÷ñ (Ω, F, P) l  mët khæng giansu§t v I l  mët kho£ng trong R Mët hå tòy þ X = {X(t)} t∈I bi¸nng¨u nhi¶n X(t) ành tr¶n Ω v nhªn gi¡ tràtrong E gåi l  mëtqu¡ tr¼nhng¨u nhi¶n

N¸u E kX(t)k < ∞ vîi måi t ∈ I th¼ qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n gåi l  kh£Mët qu¡ tr¼nh ng¨u nhi¶n kh£ h v t÷ìng h X(t), t ∈ I, nhªn gi¡ tràtrong E gåi l  mët martingale n¸u

D÷îi ¥y l  mët sè b§t ¯ng sì nh÷ng r§t quan trång v th÷íng

xuy¶n ÷ñ sû döng trong luªn ¡n:

O |uv|dx ≤ kuk L p (O) kvk L q (O)

• B§t ¯ng nëi suy èi vîi hu©n L p

t Gi£ sûu ∈ L s ( O) ∩ L t ( O) Khi â u ∈ L r ( O) v

kuk L r (O) ≤ kuk θ L s (O) kuk 1−θ L t (O)

• B§t ¯ng Gronwall : Gi£ sû x(t) l  mëth m li¶n tuy»t èi tr¶n

e G(t)−G(s) h(s)ds,

vîi 0 ≤ t ≤ T, ð â

G(t) =

Z t 0

g(r)dr.

Nâi ri¶ng, n¸u a v b l  h¬ng sè v 

ξ(t) ≤ C 1

Z t 0

ξ(s)ds + C 2 ,

vîi C 1, C 2 l  h¬ng sè khæng ¥m Khi â

ξ(t) ≤ C 2 (1 + C 1 te C 1 t )

vîi hu kh­p t, 0 ≤ t ≤ T

B§t ¯ng h ph¥n sau ¥y l  b£n º nghi¶n t½nh ên

ành nghi»m h» ph÷ìngtr¼nh g-Navier-Stokes ng¨u nhi¶n hai hi·u tr¹trong Ch÷ìng 4

Bê · 1.6 ([27℄) Cho h m u : [ −τ, +∞) → [0, +∞) v  gi£ sû γ, α 1 , α 2 l 

sè d÷ìng thäa m¢n α2 < γ N¸u b§t ¯ng sau ¥y thäa m¢n

1.4.2 Mët sè bê · v  ành l½ quan trång

Sau ¥y ta s³ l¤i mëtsè bê· v ànhl½ quan trång ÷ñ sû döng hùng

minh k¸t qu£ luªn ¡n

Bê · 1.7 (Bê · Aubin-Lions) ([44℄) Cho Y 0 , Y v  Y 1 l  ba khæng gian

vîi Y 0 v  Y 1 l  khæng gian ph£n x¤ Gi£ sû Y 0 nhóng omp trong

Y v  Y nhóng li¶n trong Y 1 Vîi 1 < p, q < ∞, ta °t

Z = {u ∈ L p (0, T ; Y 0 ) | ˙u ∈ L q (0, T ; Y 1 ) }.

Khi â Z nhóng omp trong L p (0, T ; Y )

ành l½ 1.2 (ành l½ iºmb§t ëng T honoff) ([49℄) Gi£ sû V l  mët khænggian ve tæpæ lçi àa ph÷ìng Khi â, vîi måi tªp lçi omp khæng réng X

trong V, h m li¶n f : X → X â iºm b§t ëng

ành l½ 1.3 (ành l½ iºm b§t ëng Brouwer) ([49℄) Gi£ sû u : B(0, 1) → B(0, 1) l  h m li¶n trong â B(0, 1) l  h¼nh u âng ìn và trong R n.Khi â u â iºm b§t ëng

Bê · sau ¥y l  mët h» qu£ ành l½ 1.3 v th÷íng ÷ñ sû döng khi

hùng minh sü tçn t¤i nghi»m døng ph÷ìng tr¼nh trong hå h§t

Ch֓ng 2

ÊN ÀNH HO H› NAVIER-STOKES-VOIGT BA CHI—U

Trong h÷ìng n y, hóng tæi x²t h» ph÷ìng tr¼nh Navier-Stokes-Voigt ba

hi·u trong mi·n trìn bà h°n vîi i·u ki»n bi¶n hlet thun nh§t Tr÷î

ti¶n, hóng tæi nghi¶n i·u ki»n £m b£o t½nh duy nh§t v ên ành m

nghi»m døng m¤nh b i to¡n Sau â hóng tæi h¿ ra r¬ng nghi»m

døng m¤nhkhæng ênànhb§t k¼ h» thº ÷ñ ênành hâa b¬ng hsû

döng mët i·u khiºn ph£n hçi gi¡ õ lîn b¶n trong mi·n mët nhi¹u

Ito nh¥n t½nh ë õ m¤nh

Nëi dung h÷ìng n y düa tr¶n b i b¡o 3 trong Danh m tr¼nh

khoa hå gi£ li¶n quan ¸n luªn ¡n

 n hçi h§t läng, f = f (x) l  h m ngo¤i v u 0 l  vªn tè ban u

Sû döng to¡n tû A, B ÷ñ ành ngh¾a trong Ch÷ìng 1, 1.2.1, ta

thº vi¸t b i to¡n (2.1) d÷îi d¤ng ph÷ìng tr¼nh to¡n tû nh÷ sau

Trong h÷ìng n y, hóng ta s³ nghi¶n v§n · sau èi vîi b i to¡n

(2.1):

1) Thi¸t lªp i·u ki»n õ £m b£o t½nh duy nh§t v t½nh ên ành m

nghi»m døng m¤nh

2) Ên ànhhâa nghi»mdøng m¤nh(khi nâkhæng ênành) b¬ng h dòng

i·u khiºn ph£n hçi gi¡ b¶n trong mi·n dòng nhi¹u ng¨u nhi¶n

phò hñp

2.2 T½nhduy nh§t v  t½nh ên ành m nghi»m døng

Tr÷î ti¶n, ta ành ngh¾a nghi»m døng m¤nh b i to¡n (2.1)

ành ngh¾a 2.1 Gi£ sû f ∈ (L 2 ( O)) 3

ho tr÷î H m u ∗ ∈ D(A) ÷ñ gåi

l  nghi»m døng m¤nh b i to¡n (2.1) n¸u

νAu ∗ + B(u ∗ , u ∗ ) = f trong (L 2 ( O)) 3 (2.2)

ành l½ sau ¥y l  k¸t qu£ h½nh trong m n y

trong â c 0 l  h¬ng sè nhä nh§t thäa m¢n b§t ¯ng trong Bê · 1.1,th¼ nghi»mdøng m¤nh b i to¡n (2.1) l  duy nh§t v  ên ànhm to n

Chùng minh (i) Sü tçn t¤i.D¹ th§yr¬ngnghi»mdøng m¤nh h»

Navier-Stokes-Voigt l  nghi»m døng m¤nh h» Navier-Stokes t÷ìng ùng, do

â hùng minh sütçn t¤i nghi»m døng m¤nh u ∗ l  k¸t qu£ iºn v  ¢bi¸tb¬ng h sû döng ph÷ìng ph¡p Galerkin (xem [28, 34, 59℄)  ¥y ta h¿

(ii) T½nh duy nh§t v  ên ành m Gi£ sû u( ·) l  nghi»m b§t k¼

b i to¡n (2.1) °t w(t) = u(t) − u ∗, ta

1

2

d

dt (w(t), v) + α 2 ((w(t), v))  + ν((w(t), v)) + b(u(t), u(t), v) − b(u ∗ , u ∗ , v) = 0,

vîi måi h m thû v ∈ V. Thay v bði w(t) v hó þ r¬ng

b(u(t), u(t), w(t)) − b(u∗, u∗, w(t)) = b(w(t), u∗, w(t)),

ð ¥y ta sû döng ¡nh gi¡ (2.3) ho nghi»m døng u ∗.

N¸u i·u ki»n (2.4) thäa m¢n, th¼ ta thº hån λ > 0 õ nhä sao ho

v i·u n y hùng tä t½nh ên ành m nghi»m døng u ∗

Gi£ sûv ∗ l nghi»mdøng m¤nh b ito¡n(2.1) Tath§yu(t) := v ∗

l  nghi»m y¸u b i to¡n (2.1) vîi i·u ki»n ban u v ∗ Khi â, ¡pdöng ¡nh gi¡ (2.5) vîi w = v ∗ − u ∗, ta suy ra u ∗ = v ∗ i·u n y suy ra t½nhduy nh§t nghi»m døng m¤nh

ành l½ ÷ñ hùng minh

Chó þ 2.1 ành l½ 2.1 ð tr¶n tr¼nh b y k¸t qu£ v· sü tçn t¤i, t½nh duy

nh§t v t½nh ên ành nghi»m døng m¤nh h» Navier-Stokes-Voigt

Trongtr÷íng hñp nghi»m døng y¸u, k¸t qu£t÷ìngùngnhªn ÷ñ trong

ành l½ 4.1 trong [5℄; xem th¶m ành l½ 4.1 v  4.2 trong [4℄ trong tr÷íng hñp

têng qu¡t hìn l  th¶m sè h¤ng hùa tr¹ Chó þ r¬ng º thu ÷ñ k¸t

qu£ èi vîi nghi»m døng y¸u, ta h¿ gi£ thi¸t y¸u hìn ngo¤i

thº l  f ∈ V ′

2.3 Ên ành hâa nghi»m døng b¬ng i·u khiºn ph£n hçi gi¡ b¶n trong

mi·n

Gi£ sû u ∗ l  mët nghi»m døng m¤nh b i to¡n (2.1) Tø k¸t qu£

2.2, ta th§y n¸u i·u ki»n (2.4) khæng thäa m¢n, th¼ nghi»m døng m¤nh

b i to¡n (2.1) thº khæng duy nh§t v do â nghi»m u ∗ thº khæng ên

ành Trong m n y, hóng ta s³ ên ành hâa nghi»m u ∗ b¬ng h sû döng

i·u khiºn ph£n hçi gi¡ õ lîn b¶n trong mi·n

Chóng ta x²t h» i·u khiºn Navier-Stokes-Voigt ba hi·u sau ¥y:

K½ hi»u H ω l  bao âng V ω trong (L 2 ( O)) 3

, v  V ω l  bao âng V ω

trong (H 1

0 ( O)) 3

, vîi hu©n t÷ìng ùng | · | ω v k · k ω.Gåi A ω l  to¡n tû Stokes ành ngh¾a tr¶n O ω Ta k½ hi»u λ ∗ 1 (ω) l  gi¡ tràri¶ng u ti¶n to¡n tû A ω:

 ¥y ( ·, ·) ω v  | · | ω ln l÷ñt l  h væ h÷îng v hu©n trong H ω

X²t i·u khiºn ph£n hçi d¤ng

Bê · 2.1 ([15℄) Vîi méi ε > 0, tçn t¤i k 0 = k 0 (ε) sao vîi måi k ≥ k 0,

(νAu + kP (1 ω u), u) ≥ (νλ ∗ 1 (ω) − ε)|u| 2 , ∀u ∈ V.

Ta bi¸t r¬ng (xem [28, tr 50℄),

|b(u, v, w)| ≤ γ|u|kvk H β |w|, vîi måi u ∈ V ω , v ∈ (H β ( O)) 3 ∩ V, w ∈ V ω ,

trong â γ ë lªp vîi O ω v β > 5/2 n¸u dim O = 3 Ta °t

γ ∗ (u ∗ ) := sup {|b(u, u ∗ , u) | : |u| = 1} ≤ γ ku ∗ k H α

Ta tr¼nh b y k¸t qu£ h½nh m n y trong ành l½ sau ¥y

ành l½ 2.2 Gi£ sû u ∗ ∈ V ∩ (H β ( O)) 3 , β > 5/2, l  nghi»m døng m¤nh b§tk¼ (2.1) thäa m¢n

x∈O ω

dist(x, ∂ O)

 −2

.

V¼v yλ ∗ 1 (ω) thºl m lîn tuýþ b¬ng hl§y mi·n h¼nhkhuy¶n O ω = O \ ¯ ω

õ mäng Do â, tø ành l½ 2.2 nghi»m døng m¤nh b§t k¼ u∗ thº ên ànhm n¸u Oω õ mäng, l  khi mi·n i·u khiºn ω õ lîn

trong â P l  ph²p hi¸u giao tø (L 2 ( O)) 3

l¶n H, v B 0 z ành bði

(B 0 z, w) = b(u ∗ , z, w) + b(z, u ∗ , w), vîi måi w ∈ V.

º hùng minh ành l½, ta h¿ ra sü tçn t¤i v ph¥n r¢ vîi tè ë m

dt kznk2+ ε kznk2+ ((ν − ε)Azn+ kP (1ωzn), zn) = b (zn, zn, u∗) ,

Tø ¡nh gi¡ tr¶n, sû döng bê · Aubin-Lions v lªp luªn

t÷ìng tü trong [7℄, ta thº h ra mët d¢y {z n }, v¨n k½ hi»u l 

{z n }, thäa m¢n

zn ⇀∗ z trong L∞(0, T ; V ),