Nâng cao hiẹu quả dạy so sánh phân số

1- Với học sinh: Vớng mắc khi gặp: - Một số bài toán so sánh phân số không đợc quy đồng.. - Giúp GV dạy lớp 4 hệ thống đợc các phơng pháp so sánh phân số.- Giải quyết những khó khăn, nhữ

a- đặt vấn đề I- Cơ sở lý luận

Căn cứ vào nhiệm vụ và mục tiêu giáo dục, căn cứ vào thực trạng dạy và học toán hiện nay, cần có hớng đổi mới phơng pháp dạy toán ở Tiểu học là tích cực hoá hoạt động học tập của HS, tập trung vào việc rèn luyện khả năng tự học,

tự phát hiện và tự giải quyết vấn đề, nhằm hình thành ở HS t duy tích cực, độc lập, sáng tạo Để đạt đợc điều đó, trong giảng dạy bộ môn Toán, ngời thầy phải giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo Trong môn Toán 4, mảng kiến thức về phân số chiếm một vị trí hết sức quan trọng ở mảng kiến thức này có một số vấn đề HS sẽ mắc phải khó khăn trong đó có vấn đề "So sánh phân số" Vậy để khắc phục khó khăn phần nào cho HS ,trong quá giảng dạy tôi luôn rèn cho HS khả năng định hớng và tìm tòi, phát hiện cách giải bài toán, đồng thời giúp HS nhận dạng, phân loại bài tập Trong mỗi dạng, mỗi bài toán, tôi cố gắng cung cấp cho HS một số phơng pháp, cách thức nhất định để giải

II- Cơ sở thực tiễn.

1- Với học sinh: Vớng mắc khi gặp:

- Một số bài toán so sánh phân số không đợc quy đồng

- Một số bài toán so sánh phân số phức tạp mà việc so sánh bằng cách quy

đồng mẫu số sẽ gặp khó khăn

- Một số bài toán yêu cầu học sinh so sánh bằng nhiều cách

- Một số bài toán cần so sánh nhiều phân số

- Một số bài tập yêu cầu lựa chọn cách làm hợp lí nhất

- Việc lựa chọn phơng pháp nào để giải học sinh còn rất lúng túng

2- Với giáo viên.

Nhằm giúp cho HS có cách giải nhanh, gọn, hợp lý, đồng thời phát triển t duy lôgíc cho HS Từ đó nâng cao chất lợng môn Toán nên tôi đã mạnh dạn

nghiên cứu và hoàn thiện sáng kiến kinh nghiệm " Nâng cao hiệu quả dạy so

sánh phân số ở lớp 4"

III- mục đích nghiên cứu

- Giúp GV dạy lớp 4 hệ thống đợc các phơng pháp so sánh phân số.

- Giải quyết những khó khăn, những lỗi cơ bản trong việc tiếp thu kiến thức về "So sánh phân số" của học sinh

- Rèn cho HS kĩ năng giải toán, t duy lô gíc, khái quát hoá

- Rèn cho HS các năng lực hoạt động trí tuệ, rèn tính cẩn thân, sáng tạo

- Rèn cho HS khả năng phân tích, xem xét bài toán

Mặt khác, khuyến khích HS tìm ra nhiều cách giải cho một bài tập để tập cho HS nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau

IV- Phơng pháp nghiên cứu.

Để hình thành và viết chuyên đề sáng kiến, tôi đã sử dụng một số phơng pháp sau:

- Phơng pháp tra cứu tập hợp hồ sơ, tài liệu

- Phơng pháp tổng hợp so sánh, phân tích kết quả

- Phơng pháp thực nghiệm

V- Phạm vi nghiên cứu.

- Thực hiện ở lớp 4 A của trờng

- Dạy toán 4 phần "So sánh phân số"

B- phần nội dung I- Tình hình nghiên cứu:

Đối với HS phát huy triệt để tính tích cực học tập, hăng say khi giải các bài toán về so sánh phân số Các em có nhu cầu tự tìm tòi, tự phát hiện cách giải (căn cứ vào cách phân dạng và phơng pháp GV cung cấp) và nhờ đó t duy sáng tạo phát triển rõ rệt

II - Nhiệm vụ của sáng kiến kinh nghiệm

- Đa ra một số phơng pháp so sánh phân số.

- Chọn ra các bài tập có hệ thống từ dễ đến khó phù hợp với từng trình độ của HS

Nâng cao hiệu quả dạy so sánh phân số

Chơng I: những kiến thức liên quan

Trớc khi bắt tay vào việc dạy học sinh các phơng pháp so sánh phân số, tôi

đã hệ thống, bổ sung cho các em các kiến thức có liên quan đến việc so sánh phân số

1- Khái niệm về phân số.

Phân số là số chỉ một hoặc một số nguyên phần đơn vị thờng đợc viết dới

dạng

b

a

; a gọi là tử số, b gọi là mẫu số trong đó b # 0

Ví dụ:

2

1

; 4

3 .là những phân số

2- Quy đồng mẫu số.

Ví dụ: Quy đồng mẫu số các cặp phân số sau:

a,

3

2

và

5

4 b,

3

2

và 6 5 Bài giải

a, Ta có:

3

2

= 5 3

5 2

x

x

= 15 10

5

4

= 3 5

3 4

x

x

= 15 12

b, Vì 6: 3 = 2 nên

3

2 = 2 3

2 2

x

x

= 6 4

Kết luận: Quy đồng mẫu số là quá trình ta đa 2 phân số khác mẫu số về hai phân số có cùng mẫu số

b

a

và d c (b, d # 0)

b

a

= bxd axd d c = dxb cxb

3- Quy đồng tử số.

Ví dụ: Quy đồng tử số các cặp phân số sau:

a, 73 và 92 b,73 và 86

Bài giải

a, Ta có:

7

3

=

2 7

2 3

x

x

= 14 6

92 = 92x x33 = 276

b, Vì 6: 3 = 2 Nên

7

3 = 2 7

2 3

x

x

= 14 6

Kết luận: Quy đồng tử số là quá trình ta đa hai phân số khác tử số về hai phân số có cùng tử số

a

và d c (b, d # 0)

b

a

= bxc axc d c = dxa cxa

4- Tính chất của phân số.

Ví dụ: Viết phân số bằng phân số 146 bằng cách

a- Nhân cả tử và mẫu với 3

b- Chia cả tử và mẫu cho 2

a 146 = 146x x33 = 1842 b 146 = 146::22 = 73

Tính chất: Nếu ta nhân hay chia tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số tự nhiên khác 0 thì ta đợc một phân số mới bằng phân số đã cho

b

a

=

bxc

axc

(b, c # 0)

b

a

=

c b

c a

:

: (b, c # 0; cả a và b đều chia hết cho c)

5- Rút gọn phân số:

a- Rút gọn phân số là gì?

Rút gọn phân số là đa phân số đó về một phân số mới có tử số và mẫu số

bé đi mà phân số mới ấy vẫn bằng phân số đã cho

Ví dụ: Rút gọn phân số :

2525 1313

Bài làm: 13132525 =

101 : 2525

101 : 1313

= 25 13

b- Cách làm:

- Xét xem tử số và mẫu số cùng chia hết cho số tự nhiên nào lớn hơn 1

- Chia tử số và mẫu số cho số đó

Cứ làm nh thế cho đến khi nhận đợc phân số tối giản

Chơng II: Một số phơng pháp so sánh phân số

Sau khi đã hệ thống các kiến thức liên quan tôi bắt tay vào việc dạy từng phơng pháp phù hợp với các đối tợng học sinh

A- Học sinh đại trà 1- So sánh phân số bằng cách quy đồng mẫu số:

a- So sánh hai phân số cùng mẫu số

Ví dụ 1: So sánh hai phân số 72 và 73

Bài giải: Ta thấy 2 < 3 nên

7

2 <

7 3

Quy tắc: Hai phân số có cùng mẫu số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngợc lại

b

a

và

b

c

(b # 0)

- Nếu a > c ⇒

b

a

>

b c

- Nếu a < c ⇒

b

a

<

b c

- Nếu a = c ⇒

b

a

= b c b- So sánh hai phân số khác mẫu số (thờng dùng cho bài toán có mẫu số nhỏ)

Ví dụ 2: So sánh các cặp phân số sau: a, 43 và

7

5

; b,

12

5

và 6 4

Bài giải: a, Ta có: 43 = 43x x77 = 2821 ; 75 = 75x x44 = 2820

Vì 2821 > 2820 nên 43 > 75

b, Vì 12: 6 = 2 nên 64 = 64x x22 = 128 ; ta thấy 128 > 125 nên 64 > 125

* Chốt kiến thức: nếu hai phân số không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu

số hai phân số đó rồi so sánh tử số của chúng với nhau

2- So sánh hai phân số bằng cách quy đồng tử số:

a- So sánh 2 phân số cùng tử số.

Ví dụ 3: So sánh 2 phân số 83 và

11 3

Bài giải: 8 < 11 nên

8

3 >

11

3 Quy tắc: Hai phân số cùng tử số, phân số nào có mẫu số bé hơn thì phân số

đó lớn hơn và ngợc lại

b

a

và

d a

(b, d # 0)

+ Nếu b > d⇒

b

a

< d a + Nếu b < d⇒

b

a

> d a

+ Nếu b = d⇒

b

a

=

d a

b- So sánh hai phân số khác tử số

(Thờng dùng cho các bài toán có tử số nhỏ)

Ví dụ 4: So sánh các cặp phân số a, 73 và

8

5

; b,

7

3

và 8 9

Bài giải :a,

7

3 = 5 7

5 3

x

x

= 35

15 ;

8

5 = 3 8

3 5

x

x

= 24 15

Vì 1535 < 1524 nên 73 < 85

b, 73 = 73x x33 = 219 Vì 219 < 89 nên 73 < 89

Chốt kiến thức: Muốn so sánh hai phân số không cùng tử số ta có thể quy

đồng tử số hai phân số đó rồi so sánh mẫu số của chúng với nhau

3- So sánh phân số với đơn vị.

Ví dụ 5: So sánh phân số sau với 1.

a,

5

3

; b,

2

7

c,

4 4

Bài giải:

a, Ta thấy

5

3 <

5

5

mà

5

5 = 1 nên

5

3 < 1

b, Ta có:

2

7 >

2

2

mà 2

2 = 1 nên

2

7 > 1

c, Ta có

4

4 = 1

Kết luận:

- Nếu phân số có tử số bé hơn mẫu số thì phân số bé hơn 1

b

a

nếu a < b thì b a < 1

- Nếu phân số có tử số lớn hơn mẫu số thì phân số lớn hơn 1

a

nếu a > b thì b a > 1

- Nếu phân số có tử số bằng mẫu số thì phân số bằng 1

b

a

nếu a = b thì b a = 1

4- So sánh các phân số dựa vào các tính chất cơ bản của phân số.

Ví dụ 6: Trong các phân số sau, phân số nào lớn nhất, phân số nào nhỏ

nhất:

507

307

;

507507

307307

; 507507507 307307307

Bài giải: Ta thấy

507507

307307

=

101 507

1001 307

x

x

= 507 307

507507507

307307307

=

1001001 507

1001001 307

x

x

= 507

307 Vậy 507

307 = 507507

307307

= 507507507 307307307

*Nhận xét: Gặp bài toán so sánh phân số, học sinh thờng nghĩ xem phân

số nào lớn hơn, phân số nào nhỏ hơn nên tìm mọi cách để so sánh Nhng điều bất ngờ là các phân số đó lại bằng nhau Nh vậy để so sánh phân số thì trớc hết

ta nên đa các phân số đó về phân số tối giản (nếu có thể) Sau đó sẽ so sánh

B- Học sinh khá , giỏi 5- So sánh phân số dựa vào phân số trung gian.

Ví dụ 7: So sánh các cặp số sau mà không quy đồng.

[[

a,

23

16

và

29

15

b, 9

2

và 12

5

c, 9

7

và 10 13

Bài giải:

a, + Cách 1: Ta có:

23

16 >

29

16

và 29

16 >

29

15 nên 23

16 >

29 15

+ Cách 2: Ta thấy

23

16 >

23

15

và 23

15 >

29

15 nên 23

16 >

29 15

b, + Cách 1:

9

2 <

9

3 ;

12

5 >

12

4

mà 9

3 = 12

4 = 3 1

Vậy

9

2

<

3

1 <

12

5 nên 9

2 <

12 5

+ Cách 2: 92 < 82 mà 82 = 41 = 123 ; 123 < 125 nên 92 < 125

c, Ta có: 97 < 1 và 1013 > 1 Vậy 97 < 1 < 1013 hay 97 < 1013

*Kiến thức cần nhớ:

So sánh qua phân số trung gian là ta tìm một phân số trung gian sao cho phân số trung gian lớn hơn phân số này nhng nhỏ hơn phân số kia

Lu ý: Có 3 loại phân số trung gian

Loại 1: Phân số trung gian có tử số bằng tử số của một trong hai phân số

đã cho, mẫu trùng với mẫu của phân số còn lại loại phân số trung gian này có hai cách chọn

Cách 1: Phân số trung gian có tử số là tử của phân số thứ nhất, mẫu là mẫu của phân số thứ hai

Cách 2: Phân số trung gian có mẫu số là mẫu của phân số thứ nhất, tử là tử của phân số thứ 2

Loại phân số trung gian này chỉ áp dụng với những bài toán so sánh hai phân số mà tử của phân số thứ nhất bé hơn tử của phân số thứ hai và mẫu của phân số thứ nhất lớn hơn mẫu của phân số thứ hai (nh ví dụ 7a)

Loại 2: Phân số trung gian thể hiện mối quan hệ giữa tử và mẫu của hai phân số (Ví dụ 7 phần b)

Loại 3: Phân số trung gian là đơn vị (Ví dụ 7 phần c) áp dụng với các bài toán so sánh hai phân số mà trong đó một phân số lớn hơn đơn vị, phân số còn lại nhỏ hơn đơn vị

6- So sánh hai phân số dựa vào so sánh phần bù đến 1 của mỗi phân số.

Ví dụ 8: So sánh hai phân số: 19991998 và 19992000

Bài giải: Ta thấy: 1-

1999

1998 = 1999

1 ; 1-

2000

1999 = 2000 1

mà

1999

1

>

2000

1 nên 1999

1998 <

2000 1999

* Kết luận: Trong hai phân số nếu phân số nào có phần bù đến 1 lớn

hơn thì phân số đó bé hơn và ngợc lại

1 - b a < 1 - d c thì b a > d c ; 1 - b a > 1 - d c thì b a < d c

Nhận xét: Cách này thờng áp dụng với những bài toán so sánh phân số mà

mẫu số 2 phân số cùng lớn hơn tử số hai phân số một lợng nh nhau

7- Dùng cách nhân tử số của phân số này với mẫu của phân số kia, rồi

so sánh hai tích.

Ví dụ 9: So sánh hai phân số: 1283 và 2075

Bài giải: Ta thấy: 3 x 207 = 621

5 x 128 = 640

mà 621 <640 nên 1283 < 2075

Kết luận: Muốn so sánh hai phân số ta có thể lấy tử số của phân số này

nhân với mẫu của phân số kia nếu tích nào lớn hơn thì phân số đó lớn hơn và ngợc lại

Thật vậy

b

a

=

bxd

axd

d

c

=

dxb

cxb

(Với b, d # 0)

b

a

< d c ⇔ bxd axd < dxb cxb ⇔ a x d < c x b

b

a

>

d

c ⇔

bxd

axd

>

dxb cxb ⇔ a x d > c x b

b

a

= d c ⇔

bxd

axd

= dxb cxb ⇔ a x d = c x b

Nhận xét: Cách so sánh này xây dựng trên cơ sở của việc so sánh 2 phân

số bằng cách quy đồng mẫu số Cách làm này đợc áp dụng với những bài so sánh phân số mà việc nhân hai mẫu số gặp phức tạp nhng tử số của hai phân số không lớn nó sẽ làm cho ta giảm đi một bớc là nhân hai mẫu số với nhau

8- So sánh bằng phơng pháp dùng sơ đồ đoạn thẳng.

Ví dụ 10: So sánh hai phân số 41 và

5 2 Bài giải: Ta có sơ đồ:

Từ sơ đồ trên ta thấy 41 < 52

*Chốt kiến thức: Ta có thể so sánh hai phân số bằng việc biểu diễn từng

phân số trên các đơn vị độ dài nh nhau rồi so sánh độ dài biểu thị từng phân số với nhau Phân số nào có độ dài biểu thị lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

Lu ý: Cách này chỉ dùng để so sánh các cặp phân số có tử và mẫu của mỗi

phân số đều nhỏ đủ để có thể biểu thị trên sơ đồ

9- So sánh nhiều phân số:

Có những bài toán không chỉ so sánh 2 phân số mà yêu cầu so sánh 3; 4;

5 phân số Khi đó ta sẽ phối hợp nhiều phơng pháp để giải

Trên đây là một số phơng pháp so sánh phân số có thể dùng cho học sính lớp 4 mà tôi đã nghiên cứu đa vào thực nghiệm giảng dạy cho học sinh Tổng quát lại tôi da về các dạng điển hình sau:

chơng III- Bài tập áp dụng Dạng 1: Giải bài toán so sánh bằng nhiều cách

Học sinh đại trà

Bài toán 1: So sánh 2 phân số sau: 92 và

10 4

Bài giải:

Cách 1: Quy đồng mẫu số

Ta có : 92 = 92x x1010 = 9020 ; 104 = 104x x99 = 9036

mà 9020 < 9036 nên 92 < 104

Cách 2: Quy đồng tử số:

Ta thấy

9

2 = 4 9

4 2

x

x

= 36

8 ;

10

4 =

2 10

2 4

x

x

= 20 8

Vì

36

8 <

20

8 nên 9

2 <

10 4

Cách 3: Dùng tính chất cơ bản của phân số:

Ta có:

10

4 =

2 : 10

2 : 4 = 5

2

mà 9

2 <

5

2 nên 9

2 <

10 4

Cách 4: Dùng so sánh "phần bù" tới đơn vị.

Ta có 1- 92 = 97 và 1- 104 = 106

mà 97 > 107 và 107 > 106 nên97 > 107 > 106

Vậy 92 < 104

Học sinh khá giỏi làm thêm các cách:

Cách 5: Phân số trung gian:

Ta có:

9

2 <

9

3

mà 9

3 = 3

1 nên 9

2 < 3 1

10

4

=

30

12

mà 30

12 >

30

10

và 30

10 = 3

1 nên

30

12 > 3

1 hay 10

4 >

3

1

Vậy 92 < 3

1 < 104 nên 92 < 104

Cách 6: Dùng sơ đồ đoạn thẳng.

Ta có sơ đồ:

Từ sơ đồ trên ta thấy:

9

2 <

10 4

Nhận xét: Nh vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải nên yêu cầu học

sinh phải nhìn bài toán với nhiều góc độ để tìm đợc các cách giải nhanh và hợp

lí nhất

Dạng 2: So sánh bằng cách hợp lí nhất.

Bài toán 1: Hãy so sánh các cặp phân số sau bằng phơng pháp hợp lí nhất a,

1000

200

và 52 ; b, 77787772 và 8888988881 ; c, 10009999 và 80002222

Bài giải:

a, Ta có:

1000

200 =

100 10

100 2

x

x

= 10

2 Vì

10

2 <

5

2 nên 1000

200 <

5 2 (Dùng tính chất phân số)

b, Ta thấy: 1 -77787772 = 77786 ; 1 - 8888988881 = 888898 mà 77786 =

77780

60

nhng

77780

60 >

77780

8 >

88889

8 Vậy

7778

6 >

88889

8 nên

7778

7772 <

88889

88881

(Phơng pháp so sánh phần bù tới đơn vị)

c, Vì

9999

1000

<

8000

1000

và 8000

1000 <

8000

2222 nên 9999

1000 <

8000 2222

(Phơng pháp dùng phân số trung gian)

Bài toán 2: So sánh các phân số sau bằng các cách khác nhau.

a, 1113 và

333

5

b, 332333 và 997999 c, 315214; 214321; 321205 d, 104105; 1000705 ;

999 705

Bài giải:

a, 1113 = 3339 > 3335 vậy 1113 > 3335

b, 332333 = 996999 mà 996999 > 997999 vậy 332333 > 997999

c, Ta thấy 315214 > 214321 nhng 321214 > 321205 Vậy 315214 > 214321 > 205321

d, 1000705 < 999705 mà 1000705 và 999705 đều < 1

Mà 104105 > 1 Vậy 104105 > 999705 > 1000705

Nhận xét: Nh vậy một bài toán có thể có nhiều cách giải song ta cần phải

biết quan sát, phân tích để chọn cách giải dễ dàng, hợp lí nhất

Dạng 3: Phối hợp các phơng pháp ( Học sinh khá - giỏi)

Có những bài toán không chỉ sử dụng một phơng pháp để giải mà cần biết phối hợp , lựa chọn các phơng pháp để giải

Bài toán 1: Viết các phân số sau theo thứ tự từ lớn đến bé.

a,

2

1

;

5

2

;

7

4

; 8

9

; 9

5

b, 26

12

; 13

7

; 25

8

; 3

5

; 2006 2005

Bài giải: