Một số kết quả về ánh xạ nón pháp tuyến của tập lồi đa diện có nhiều tuyến tính

cõa mët tªp hñp... tû li¶n hñp cõa nâ... 1.1 Khæng gian Banach, khæng gian èi ng¨u v khæng gian Asplund Möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m cì b£n cõa c¡c khæng gian nh÷ khænggian metric, khæng

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

TR†N KIM THANH

MËT SÈ K˜T QUƒ V—

NH X„ NÂN PHP TUY˜N CÕA

TŠP LÇI A DI›N C NHI™U TUY˜N TNH

LUŠN V‹N TH„C Sž TON HÅC

H  Nëi - 2018

BË GIO DÖC V€ €O T„OTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M H€ NËI 2

TR†N KIM THANH

MËT SÈ K˜T QUƒ V—

NH X„ NÂN PHP TUY˜N CÕA

TŠP LÇI A DI›N C NHI™U TUY˜N TNH

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

LÍI CƒM ÌN

Líi ¦u ti¶n tæi xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh v  s¥u s­c nh§ttîi cæ gi¡o h÷îng d¨n TS Nguy¹n Thà To n, ng÷íi ¢ ành h÷îng chån

· t i v  tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh l m v 

ho n thi»n luªn v«n n y

Tæi công xin b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh tîi Pháng Sau ¤ihåc, c¡c th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y chuy¶n ng nh To¡n Gi£i t½ch, Tr÷íng

¤i håc S÷ ph¤m H  Nëi 2 ¢ gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªpt¤i tr÷íng

Nh¥n dàp n y tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n gia ¼nh, b¤n b±luæn cê vô, ëng vi¶n, gióp ï tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v  ho nthi»n luªn v«n n y

H  Nëi, ng y 23 th¡ng 10 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«n

Tr¦n Kim Thanh

LÍI CAM OAN

Tæi xin cam oan, d÷îi sü ch¿ b£o v  h÷îng d¨n cõa cæ gi¡o TS.Nguy¹n Thà To n, luªn v«n chuy¶n ng nh to¡n gi£i t½ch vîi · t i: "Mët

sè k¸t qu£ v· ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n cânhi¹u tuy¸n t½nh" ÷ñc ho n th nh bði sü nhªn thùc v  t¼m hiºu cõab£n th¥n t¡c gi£

Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu v  thüc hi»n luªn v«n, t¡c gi£ ¢ k¸thøa nhúng k¸t qu£ cõa c¡c nh  khoa håc vîi sü tr¥n trång v  bi¸t ìn

H  Nëi, ng y 23 th¡ng 10 n«m 2018

T¡c gi£ luªn v«n

Tr¦n Kim Thanh

cõa mët tªp hñp 111.4 èi ¤o h m Fr²chet v  èi ¤o h m Mordukhovich 12Ch÷ìng 2 Nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n 202.1 èi ¤o h m Fr²chet cõa ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n cõa tªp

lçi a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh 202.2 èi ¤o h m Mordukhovich cho ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n

cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh 28

Líi nâi ¦u

1 Lþ do chån · t i

Tèi ÷u hâa l  mët trong nhúng l¾nh vüc kinh iºn cõa to¡n håc

câ £nh h÷ðng ¸n h¦u h¸t c¡c l¾nh vüc khoa håc - cæng ngh» v  kinh t¸

- x¢ hëi Trong thüc t¸, vi»c t¼m gi£i ph¡p tèi ÷u cho mët v§n · n o

â chi¸m mët vai trá h¸t sùc quan trång Ph÷ìng ¡n tèi ÷u l  ph÷ìng

¡n hñp lþ nh§t, tèt nh§t, ti¸t ki»m chi ph½, t i nguy¶n, nguçn lüc m  l¤icho hi»u qu£ cao B i to¡n tèi ÷u cì b£n trong lþ thuy¸t tèi ÷u l  b ito¡n t¼m cüc tiºu cõa mët h m sè, d÷îi mët sè r ng buëc B i to¡n tèi

÷u câ mèi quan h» mªt thi¸t vîi mët sè b i to¡n li¶n quan ¸n tèi ÷u:

tø b§t ¯ng thùc Ky Fan (cán ÷ñc bi¸t vîi t¶n gåi thæng döng hìn l 

b i to¡n c¥n b¬ng), b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n iºm y¶n ngüa,

b i to¡n bò, ¸n c¡c b i to¡n r§t thüc ti¹n l  trá chìi khæng hñp t¡c(công gåi l  b i to¡n c¥n b¬ng Nash), b i to¡n m¤ng giao thæng v  n·nkinh t¸ thu¦n tóy trao êi Kh¡i ni»m ¡nh x¤ a trà xu§t hi»n tø nhúngn«m 30 cõa th¸ k 20 tr¶n cì sð nhúng b i to¡n câ trong thüc t¸ C¡c

b i to¡n tèi ÷u a trà ch¿ mîi xu§t hi»n tø ¦u thªp ni¶n 80 cõa th¸ k

20, mð ¦u bði c¡c cæng tr¼nh cõa J M Borwein n«m 1981, V Postolic«n«m 1986 v  H W Corley n«m 1987 nh÷ng ¢ nhªn ÷ñc nhi·u sü quant¥m cõa c¡c nh  to¡n håc v  xu§t hi»n ng y c ng nhi·u tr¶n c¡c t¤p ch½chuy¶n ng nh C¡c b i to¡n kh¡c trong lþ thuy¸t tèi ÷u công d¦n d¦n

÷ñc mð rëng cho ¡nh x¤ a trà v  h¼nh th nh n¶n mët ng nh to¡n håckh¡ ho n ch¿nh â l  lþ thuy¸t tèi ÷u a trà

èi ¤o h m cõa mët ¡nh x¤ (èi ¤o h m Fr²chet, èi ¤o h mMordukhovich, ) l  c¡c kh¡i ni»m khæng thº thi¸u trong gi£i t½ch a trà

°c bi»t, èi ¤o h m cõa mët ¡nh x¤ tuy¸n t½nh t÷ìng ùng vîi to¡n

tû li¶n hñp cõa nâ B¶n c¤nh â, nh÷ chóng ta ¢ bi¸t, c¡ch ti¸p cªnkhæng gian èi ng¨u nhi·u khi r§t húu hi»u, câ nhúng tr÷íng hñp cánhúu hi»u hìn c£ c¡ch ti¸p cªn b¬ng khæng gian n·n.

Nh÷ vªy, b¶n c¤nh c¡c t½nh ch§t li¶n töc cõa ¡nh x¤ a trà (t½nh nûali¶n töc tr¶n, t½nh nûa li¶n töc d÷îi, t½nh gi£ Lipschitz, t½nh Lipschitz )

v  ¤o h m cõa ¡nh x¤ (theo ngh¾a cê iºn ho°c theo ngh¾a suy rëng),vi»c nghi¶n cùu èi ¤o h m cõa mët ¡nh x¤ a trà l  mët v§n · cì b£ntrong gi£i t½ch a trà ¢ câ nhi·u k¸t qu£ nghi¶n cùu v· èi ¤o h mcõa mët ¡nh x¤ a trà xem [1-9] v  nhúng t i li»u tr½ch d¨n trong â

Vîi nhúng l½ do tr¶n, chóng tæi chån · t i nghi¶n cùu "Mët sèk¸t qu£ v· ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹utuy¸n t½nh" cho luªn v«n n y

Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn v  Danh möc c¡c t i li»u tham kh£o,c§u tróc cõa luªn v«n gçm hai ch÷ìng nh÷ sau:

Ch÷ìng 1 "Ki¸n thùc chu©n bà" tr¼nh b y v· mët sè kh¡i ni»m v·khæng gian Banach, khæng gian èi ng¨u, khæng gian Aspund; tªp lçi adi»n; èi ¤o h m Fr²chet v  èi ¤o h m Mordukhovich

Ch÷ìng 2 "Nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n" tr¼nh b y c¡c ànhl½, m»nh ·, bê · v· èi ¤o h m Fr²chet v  èi ¤o h m Mordukhovich

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Mët m°t, ÷a ra cæng thùc cho nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n

câ nhi¹u tuy¸n t½nh M°t kh¡c, thi¸t lªp c¡c cæng thùc t½nh to¡n èi ¤o

h m Fr²chet v  èi ¤o h m Mordukhovich cho ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n

3 Nhi»m vö nghi¶n cùu

÷a ra cæng thùc cho èi ¤o h m Fr²chet v  ÷îc l÷ñng (¡nh gi¡tr¶n v  ¡nh gi¡ d÷îi) cho èi ¤o h m Mordukhovich cõa ¡nh x¤ nânph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh

4 èi t÷ñng v  ph¤m vi nghi¶n cùu

Luªn v«n tªp trung nghi¶n cùu cæng thùc cho nân ph¡p tuy¸n cõatªp lçi a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh v  c¡c èi ¤o h m cõa ¡nh x¤ nânph¡p tuy¸n â

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu trong gi£i t½ch bi¸n ph¥n v 

¤o h m suy rëng, ¤i sè tuy¸n t½nh, gi£i t½ch a trà, gi£i t½ch lçi v  lþthuy¸t tèi ÷u

6 âng gâp cõa luªn v«n

Tr¼nh b y câ h» thèng v  t÷ìng èi ¦y õ v· ¡nh x¤ nân ph¡ptuy¸n cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u tuy¹n t½nh Câ thº sû döng l m t ili»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao håc câ quan t¥m ¸n l¾nhvüc to¡n gi£i t½ch, gi£i t½ch a trà

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m cì b£n cõa c¡c khænggian nh÷ khæng gian metric, khæng gian ành chu©n, khæng gian èing¨u, khæng gian tæpæ, khæng gian Banach, khæng gian Asplund, ¡nh x¤nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u, nân ph¡p tuy¸n Fr²chet,nân ph¡p tuy¸n Mordukhovich cõa mët tªp hñp, èi ¤o h m cõa mët

¡nh x¤ a trà (èi ¤o h m Fr²chet, èi ¤o h m Mordukhovich)

1.1 Khæng gian Banach, khæng gian èi ng¨u v 

khæng gian Asplund

Möc n y tr¼nh b y kh¡i ni»m cì b£n cõa c¡c khæng gian nh÷ khænggian metric, khæng gian ành chu©n, khæng gian èi ng¨u, khæng giantæpæ, khæng gian Banach, khæng gian Asplund

ành ngh¾a 1.1 Ta gåi khæng gian metric l  mët tªp hñp X 6= ∅ còngvîi mët ¡nh x¤ d tø t½ch Descartes X × X v o tªp hñp sè thüc R thäam¢n c¡c ti¶n · sau ¥y:

1 d(x, y)> 0 ∀x, y ∈ X; d(x, y) = 0 ⇔ x = y (ti¶n · çng nh§t)

2 d(x, y) = d(y, x) ∀x, y ∈ X (ti¶n · èi xùng)

3 d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) ∀x, y, z ∈ X (ti¶n · tam gi¡c)

nh x¤ d ÷ñc gåi l  metric tr¶n X, sè d(x, y) gåi l  kho£ng c¡ch giúahai ph¦n tû x v  y C¡c ph¦n tû cõa X gåi l  c¡c iºm; c¡c ti¶n · 1),2), 3) gåi l  h» ti¶n · metric.

Khæng gian metric ÷ñc k½ hi»u l  M = (X, d)

V½ dö 1.1 Tªp hñp c¡c sè thüc R l  khæng gian metric, vîi metric

D¹ d ng th§y måi d¢y iºm (xn) ⊂ X hëi tö trong M ·u l  d¢y cì b£n

ành ngh¾a 1.3 Khæng gian metric M = (X, d) gåi l  khæng gian ¦yn¸u måi d¢y cì b£n trong khæng gian n y hëi tö

ành ngh¾a 1.4 Khæng gian ành chu©n (hay khæng gian tuy¸n t½nh

ành chu©n) l  khæng gian tuy¸n t½nh X tr¶n tr÷íng K (K = R ho°c K =

C) còng vîi mët ¡nh x¤ tø X v o tªp sè thüc R, k½ hi»u l  k.k v  åc l chu©n, thäa m¢n c¡c ti¶n · sau ¥y:

1) kxk > 0 ∀x ∈ X; kxk = 0 ⇐⇒ x = θ (k½ hi»u ph¦n tû khæng l  θ).2) kαxk = |α| kxk ∀x ∈ X, ∀α ∈ K

3) kx + yk 6 kxk + kyk ∀x, y ∈ X

Sè kxk gåi l  chu©n cõa vecto x Ta công k½ hi»u khæng gian ành chu©n

l  X C¡c ti¶n · 1), 2), 3) gåi l  h» ti¶n · chu©n

ành ngh¾a 1.5 Khæng gian ành chu©n X gåi l  khæng gian Banachn¸u måi d¢y cì b£n trong X ·u hëi tö

ành ngh¾a 1.6 Cho tªp X b§t ký Ta nâi mët hå τ nhúng tªp concõa X l  mët tæpæ tr¶n X, n¸u nâ thäa m¢n c¡c t½nh ch§t sau:

C°p (X, τ) khi â ÷ñc gåi l  mët khæng gian tæpæ Méi ph¦n tû x ∈ X

÷ñc gåi l  mët iºm C¡c tªp thuëc hå τ gåi l  tªp mð

V½ dö 1.2 èi vîi sè thüc b§t ký x ∈ R ta °t

kxk = |x|

Nhí c¡c t½nh ch§t v· gi¡ trà tuy»t èi cõa sè thüc, cæng thùc tr¶n chomët chu©n tr¶n R Khæng gian ành chu©n t÷ìng ùng k½ hi»u l  R1 l khæng gian Banach

V½ dö 1.3 Cho khæng gian vecto k chi·u Ek, trong â

Ek = {x = (x1, , xk) : xj ∈ R ho°c xj ∈ C}

èi vîi vecto b§t ký x = (x1, x2, xk) ∈ Ek ta °t

kxk =

vuut

ành ngh¾a 1.7 Cho X l  mët khæng gian ành chu©n Khæng gianli¶n hi»p (hay gåi l  khæng gian èi ng¨u) cõa X l  tªp hñp t§t c£ c¡cphi¸m h m tuy¸n t½nh li¶n töc tr¶n X K½ hi»u l  X∗

ành ngh¾a 1.8 Khæng gian Banach X ÷ñc gåi l  khæng gian Asplundn¸u måi h m lçi, li¶n töc ϕ : U → R x¡c ành tr¶n mët tªp con lçi mð

U cõa X l  kh£ vi Fr²chet tr¶n mët tªp con trò mªt cõa U

ành ngh¾a 1.9 Cho E l  mët khæng gian Banach v  f ∈ E∗ X²t h mtuy¸n t½nh ϕf : E → R; f → ϕf(x) = hf, xi Khi f ch¤y kh­p E∗ ta câ

hå ¡nh x¤ (ϕf)f ∈E∗, ϕf : E → R tæpæ y¸u l  tæpæ y¸u nh§t tr¶n E sinhbði hå ¡nh x¤ (ϕf)f ∈E ∗ K½ hi»u l  σ(E, E∗)

X²t phi¸m h m tuy¸n t½nh ϕx : E∗ → R; f → ϕx(f ) = hf, xi.Khi x ch¤y kh­p trong E ta câ hå ¡nh x¤ (ϕx)x∈E, ϕx : E∗ → R tæpæy¸u* l  tæpæ y¸u nh§t tr¶n E∗ sinh bði hå ¡nh x¤ (ϕx)x∈E K½ hi»u l σ(E∗, E)

1.2 Tªp lçi a di»n

ành ngh¾a 1.10 Mët tªp C ⊆Rn ÷ñc gåi l  mët tªp lçi n¸u C chùamåi o¤n th¯ng i qua hai iºm b§t k¼ cõa nâ Tùc l  C lçi khi v  ch¿khi

1.3 Nân ph¡p tuy¸n Fr²chet v  nân ph¡p tuy¸n

Mordukhovich cõa mët tªp hñp

ành ngh¾a 1.13 Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi khæng gian

èi ng¨u ÷ñc k½ hi»u bði X∗, h m a trà Ψ : X ⇒ X∗, k½ hi»uLim supx→¯ xΨ (x)l  giîi h¤n tr¶n theo d¢y Kuratowski-Painlev² vîi tæpætheo chu©n cõa X v  tæpæ y¸u∗ cõa X∗,

Khi X l  mët khæng gian Asplund th¼ biºu thùc b¶n ph£i cõa (1.2)

câ thº rót gån Cö thº l , n¸u X l  mët khæng gian Asplund v  Ω l 

âng àa ph÷ìng quanh ¯x, theo [4, ành l½ 2.35],

Nh÷ vªy, nân ph¡p tuy¸n Fr²chet tròng vîi nân ph¡p tuy¸n Mordukhovich

v  tròng vîi nân ph¡p tuy¸n theo ngh¾a gi£i t½ch lçi

1.4 èi ¤o h m Fr²chet v  èi ¤o h m

Dε∗F (¯x, ¯y)(y∗) := nx∗ ∈ X∗ : (x∗, −y∗) ∈Nbε (¯x, ¯y); gph F
o (1.5)

Khi ε = 0, h m a trà trong (1.5) gåi l  èi ¤o h m Fr²chet cõa F t¤i(¯x, ¯y) v  ÷ñc k½ hi»u bði Db∗F (¯x, ¯y)

ành ngh¾a 1.16 H m a trà D∗F (¯x, ¯y) : Y∗ ⇒ X∗,

D∗F (¯x, ¯y)(y∗) := x∗ ∈ X∗ : (x∗, −y∗) ∈ N (¯x, ¯y); gph F
, (1.6)

÷ñc gåi l  èi ¤o h m Mordukhovich cõa F t¤i (¯x, ¯y)

Cho V l  mët khæng gian vecto v  J = {1, , r} Vîi mët h» vecto

{vj : j ∈ J } ⊂ V, nân lçi sinh bði {vj : j ∈ J }, k½ hi»u l  pos{vj : j ∈ J };tùc l 

pos{vj : j ∈ J } =





X

º gi£i quy¸t tr÷íng hñp J = ∅, chóng ta quy ÷îc pos ∅ = {0}

Nh­c l¤i, nân ti¸p tuy¸n cõa mët tªp lçi Ω t¤i ¯x ∈ Ω, k½ hi»u T (x; Ω),

l  bao âng tæpæ cõa nân {λ(x − ¯x) : x ∈ Ω, λ > 0}

ành ngh¾a 1.17 Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi khæng gian

èi ng¨u X∗, {a∗

i ∈ X∗ : i ∈ T } l  mët h» vecto vîi T = {1, 2, , m} l mët tªp húu h¤n c¡c ch¿ sè, ta x²t tªp lçi a di»n chùa tham sè

H m a trà F : X ×Rm ⇒ X∗ vîi

F (x, b) := N x; Θ(b)

∀(x, b) ∈ X ×Rm (1.10)gåi l  ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u Θ(b)

Ta thu ÷ñc k¸t qu£ nh÷ sau º t½nh to¡n nân ph¡p tuy¸n v  nânti¸p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n Θ(b)

M»nh · 1.1 Cho Θ(b) x¡c ành bði (1.7), x ∈ Θ(b), I(x, b) bði (1.9).Khi â,

N x; Θ(b)
= pos {a∗i : i ∈ I(x, b)} =





X

[a ∈ Θ(b)] ⇒ [ha∗, a − xi 6 0] (1.13)

Tø ha∗

i, xi < bi, vîi i 6∈ I(x, b), tçn t¤i mët l¥n cªn V cõa x sao cho

ha∗i, ai 6 bi,vîi a ∈ V v  i 6∈ I(x, b) Ta s³ i chùng minh k²o theo sau

[ha∗i, vi 6 0, ∀i ∈ I(x, b) ⇒

ha∗, vi6 0] (1.14)Thªt vªy, cè ành v ∈ X vîi ha∗

i, vi6 0 ∀i ∈ I(x, b) Khi â,

x + v

n ∈ V khi n õ lîn

Suy ra ha∗, a − xi 6 0.

Ta suy ra i·u ph£i chùng minh

Chóng ta ch¿ ra r¬ng bê · d÷îi ¥y câ thº ph¡t biºu cho c¡c h»vecto trong mët khæng gian vecto b§t k¼ Vi»c chùng minh t÷ìng tü nh÷[6] Cho V l  mët khæng gian vecto v  J = {1, , r}

Bê · 1.1 (Xem [8, Bê · 2.1]) X²t {vj : j ∈ J } ⊂ V Vîi u ∈ pos{vj :

j ∈ J }, tçn t¤i mët tªp con J ⊂ Je sao cho {vj : j ∈ J }e l  ëc lªp tuy¸nt½nh v  u ∈ pos{vj : j ∈ J }.e

Chùng minh Sû döng ph÷ìng ph¡p ph£n chùng º chùng minh r¬ng{vj : j ∈ J } l  ëc lªp tuy¸n t½nh B¥y gií, ta x²t tr÷íng hñp {vj : j ∈ J }

l  phö thuëc tuy¸n t½nh Cho

J l  húu h¤n v  u 6= 0, tçn t¤i mët tªp hñp con ch¿ sè J ⊂ Je sao cho{vj : j ∈ J }e l  ëc lªp tuy¸n t½nh v  u ∈ pos{vj : j ∈ J }.e

Bê · sau cho ta bi¸t ç thà cõa ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n F(x, b)

l  âng trong khæng gian t½ch X ×Rm× X∗ T½nh ch§t n y cho ph²p tat½nh to¡n nân ph¡p tuy¸n Mordukhovich N((¯x, ¯b, ¯x∗); gph F ) bði cængthùc (1.3)

Bê · 1.2 (Xem [8, Bê · 2.2]) Cho F x¡c ành bði (1.10) th¼ gph F

l  âng trong tæpæ chu©n cõa khæng gian t½ch X ×Rm × X∗ Khi â,

Do â (¯x, ¯b, ¯x∗) ∈ gph F Ta chùng minh ÷ñc gph F l  âng.

K¸t luªn cõa Ch÷ìng 1

Sau khi nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v  k¸t qu£ cì b£n cõa gi£i t½chnh÷ khæng gian metric, khæng gian ành chu©n, khæng gian tæpæ, khænggian Banach, khæng gian Asplund Ph¦n cán l¤i cõa ch÷ìng n y tr¼nh

Ch֓ng 2

Nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi a di»n

Ch÷ìng n y tr¼nh b y cæng thùc t½nh to¡n èi ¤o h m Fr²chet

v  èi ¤o h m Mordukhovich cho ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n cõa tªp lçi

a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh

2.1 èi ¤o h m Fr²chet cõa ¡nh x¤ nân ph¡p tuy¸n

cõa tªp lçi a di»n câ nhi¹u tuy¸n t½nh

Cho X l  khæng gian Banach thüc vîi khæng gian èi ng¨u X∗,

Ω ⊂ X v  (¯x, ¯b, ¯x∗) ∈ gph F, trong â F ÷ñc ành ngh¾a bði (1.10)

Chùng minh Vîi (x∗, b∗, v) ∈ N (¯b x, ¯b, ¯x∗); gph F
.Theo ành ngh¾a nânph¡p tuy¸n Fr²chet trong cæng thùc (1.1), ta câ

lim sup

(x,b,u ∗ )−−−→gph F (¯ x,¯ b,¯ x ∗ )

hx∗, x − ¯xi + hb∗, b − ¯bi + hv, u∗ − ¯x∗i

kx − ¯xk + kb − ¯bk + ku∗ − ¯x∗k 6 0 (2.4)Chån b = ¯b v  tø [4, M»nh · 3.2], ta câ

(x∗, v) ∈ T ¯x; Θ(¯b)
∩ {¯x∗}⊥
∗

× T (¯x; Θ(¯b)) ∩
{¯x∗}⊥

.Vîi x ∈ X õ g¦n vîi ¯x sao cho hx∗

i, xi < ¯bi, i ∈ ¯I, ta ành ngh¾a

bi = ¯bi n¸u i ∈ ¯I, v  bi = hx∗i, xi n¸u i ∈ I,

th¼ u∗ = ¯x∗ Do â, (x, b, u∗) −−−→ (¯gph F x, ¯b, ¯x∗) khi x → ¯x Suy ra

i∈I

hx∗i, xi − hx∗i, ¯xi

i∈I

hx∗i, x − ¯xi

...

hx∗i, x − ¯xi

6

Bi vêy, vợi bĐt kẳ > 0, tỗn tÔi lƠn cên V cừa x v hơng số ` chobiu thực sau thọa mÂn vợi mồi x V

6 ε`kx − ¯xk

Tø â ta câ x∗