029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019

029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019 029 toán vào 10 chuyên thừa thiên huế 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THỪA THIÊN HUẾ

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN QUỐC HỌC

NĂM HỌC 2018-2019 Khóa ngày 02 tháng 6 năm 2018 Môn thi: TOÁN ( CHUYÊN TOÁN)

Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thởi gian phát đề)

Câu 1: ( 1,5 điểm)

a) Cho các biểu thức P x( ) 5x 12 16x 32

x

-=

- và Q x( ) = +x x+3

Tìm số nguyên x0 sao cho P x( )0

và Q x( )0

là các số nguyên, đồng thời P x( )0

là ước của Q x( )0

b) Cho 2

1

x t

x x

=

- + Tính giá trị biểu thức

2

x A

x x

= + + theo t

Câu 2: (2,0 điểm)

a) Cho parabol ( ) 1 2

: 4

và đường thẳng

d y= x

Gọi ,A B là các giao điểm của ( )P

và d Tìm tọa độ điểm C trên trục tung sao cho CA+CB có giá trị nhỏ nhất

b) Giải hệ phương trình

4 0

x xy y x y

x y x y

�

�

�

�

Câu 3: ( 1,5 điểm)

a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2- 2mx- 6m- 9= (x là ẩn số) có hai nghiệm phân 0

biệt x x1, 2 thỏa mãn điều kiện 1 2

b) Giải phương trình 33x2- x+ -1 33x2- 7x+ -2 36x- 3= 32

Câu 4: ( 3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC AB( <AC)

nội tiếp đường tròn tâm ,O có ba đường cao là AD BE CF và trực , , tâm là H Gọi M là giao điểm của AO với BC và , P Q lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ M

đến AB AC ,

a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

b) Chứng minh HE MQ =HF MP

c) Chứng minh

2

MB DB AB

MC DC AC

� ��

� �

= � �� ��� �

Câu 5: ( 2 điểm)

a) Cho , ,x y z là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

1 1 1 49.

16x+4y+ �z 16

b) Cho số tự nhiên z và các số nguyên x y, thỏa mãn x y xy+ + = Tìm giá trị của 1 x y z, , sao cho

(2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)

là số chính phương lớn nhất

HẾT

Thí sinh không được sử dụng tài liệu khi làm bài Giám thị không giải thích gì thêm

Họ và tên thí sinh:……… Số báo danh: ………

LỜI GIẢI THAM KHẢO CHO HỌC SINH GV: ĐỖ CAO LONG TP HUẾ

1a) Cho các biểu thức P x( ) 5x 12 16x 32

x

-=

- và Q x( ) = +x x+3

Tìm số nguyên x0 sao cho P x( )0

và Q x( )0

là các số nguyên, đồng thời P x( )0

là ước của Q x( )0

Giải:

P x

Suy ra P x( )0

nguyên � x0 +4

là các ước nguyên dương của 12

0 0

64

4 12

x x

=

�

�

�

Ta có

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Vậy x =0 4

1

x t

x x

=

- + Tính giá trị biểu thức

2

x A

x x

= + + theo t

Giải:

Lời giải 1:

1) Nếu x =0 thì t =0 và A =0.

2) Nếu x �0 thì

�+ - �= � + = + ��+ �= +� �

2

1 1 2 1.

x

t

x t

-Khi đó:

2

2

t A

t x

t

+

Từ hai trường hợp trên suy ra

2

1 2

t A

t

= +

Lời giải 2:

A

( )

2

1

1 2

t

+

2a) Cho parabol ( ) 1 2

: 4

và đường thẳng

d y= x

Gọi ,A B là các giao điểm của ( )P

và d Tìm tọa độ điểm C trên trục tung sao cho CA+CB có giá trị nhỏ nhất

Giải:

Hoành độ của A và B là nghiệm của phương trình:

2

Phương trình này có hai nghiệm: x = và 4

3. 2

x =

Suy ra ( )4;4 , 3 9;

2 16

A B���� ���

�

Dễ thấy hai điểm ,A B cùng nằm về một phía so với trục tung Lấy điểm A -' 4;4( )

đối xứng với A qua

trục tung Khi đó CA CB+ =CA'+CB �A B' , nên CA+CB đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi ', ,A C B thẳng hàng, tức là khi C là giao điểm của đường thẳng ' A B với trục tung.

Phương trình đường thẳng 'd đi qua ' A và B có dạng y=ax b+ .

Ta có hệ

5

8

a b a

a b b

�

� = - + �=

Suy ra

d y= - x+

Vậy

3

0;

2

C� �� �� �� ��

�

� �

2b) Giải hệ phương trình

4 0

x xy y x y

x y x y

�

�

�

�

Giải:

Ta có: 2x2+xy y- 2- 5x+ + = �y 2 0 y2- (x+1)y- 2x2+5x- 2=0

( )2

2

2

1 1

x x

� ��- � �� �- � + - + =���

�

1 3 3 1 3 3 0

 Trường hợp y=2x- 1, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

1

5

x

x

�=

�

�

�=

-�

Trường hợp này hệ đã cho có hai nghiệm: ( ) ( ) ( ); 1;1 , ; 4; 13

x y = x y = -����� - ����

�

 Trường hợp y= -2 x, thay vào phương trình thứ hai của hệ ta được:

( )2

x + - x + + -x x- = � x - x+ = � =x

Trường hợp này hệ đã cho có một nghiệm: ( ) ( )x y =; 1;1

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm: ( ) ( ) ( ); 1;1 , ; 4; 13

x y = x y = -����� - ����

�

3a) Xác định các giá trị của m để phương trình x2- 2mx- 6m- 9= (x là ẩn số) có hai nghiệm phân 0

biệt x x1, 2

thỏa mãn điều kiện 1 2

x + x =

Giải:

Điều kiện để phương trình x2- 2mx- 6m- 9= (x là ẩn số) có hai nghiệm phân biệt là:0

2

D=++>�+>۹-Khi đó

Trường hợp 1: x1=3,x2=2m+3, ta có:

0

, vô nghiệm

Trường hợp 2: x1=2m+3,x2=3, ta có:

Vậy

3.

2

m =

3b) Giải phương trình 33x2- x+ -1 33x2- 7x+ -2 36x- 3= 32

Giải:

Ta có 33x2- x+ -1 33x2- 7x+ -2 36x- 3= 32

Đặt a= 33x2- x+1,b= 36x- 3,c= 33x2- 7x+2,d= 32

Phương trình đã cho trở thành: ( )3 ( )3

a b c d- = + � a b- = c d+

(2)

Mà a3- b3=c3+d3=3x2- 7x+4 và a b- = +c d nên (2) trở thành:

�=

�

Trường hợp a= , ta có b

1

3

x

x

�=

�

�

�=

�

Trường hợp ab= - cd , ta có ( )3 ( )3 ( 2 ) ( ) ( 2 )

1

1 13 6

x x

�

�=

�

� �

�= �

�

�

Vậy phương trình đã cho có năm nghiệm:

1; 1; 4; 1 13.

x= x= x= x= �

4) Cho tam giác nhọn ABC AB( <AC)

nội tiếp đường tròn tâm ,O có ba đường cao là AD BE CF và , , trực tâm là H Gọi M là giao điểm của AO với BC và , P Q lần lượt là chân các đường vuông góc vẽ từ

M đến AB AC , .

4a) Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

Giải:

Ta có BFC� =BEC� =AFC� =ADC� =AEB� =ADB� =90 �

Suy ra các tứ giác BFEC AFDC AEDB nội tiếp., ,

Suy ra: ABE� =ADE�

(cùng chắn cung AE trong đường tròn � (AEDB)

) (1)

ADF =ACF (cùng chắn cung AF trong đường tròn � (AFDC)

) (2)

ABE =ACF (cùng chắn cung FE trong đường tròn � (BFEC)

) (3)

Từ (1), (2), (3) suy ra ADF� =ADE�

nên AD là đường phân giác trong góc EDF của tam giác � EDF (4)

Tương tự, ta chứng minh được: BE CF lần lượt là đường phân giác trong của các góc , DEF DFE� ,� của tam

giác DEF (5).

Từ (4), (5) suy ra H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF

4b) Chứng minh HE MQ =HF MP .

Gọi N là giao điểm của tia AO với đường tròn ( )O

Ta có: NC ^AC nên NC BH|| .

Tương tự, ta có NB CH ||

Suy ra BHCN là hình bình hành.

Ta có: FEH� =BCH�

(cùng chắn cung FB ), �� FBH =ECH� (cùng chắn cung FE ) nên hai tam giác�

,

HFE HBC đồng dạng Do đó, hai tam giác HFE NCB đồng dạng.,

Suy ra HE NB

HF =NC (6)

Mặt khác: MQ NC (cùng vuông góc với AC ), || MP NB (cùng vuông góc với AB ), suy ra||

MQ AM MP NB MP

NC = AN = NB �NC =MQ (7)

Từ (6), (7) suy ra HE MP HE MQ HF MP

HF =MQ � =

4c) Chứng minh

2

MB DB AB

MC DC AC

� ��

� �

= � �� ��� �

Hai tam giác vuông ADB và MPB đồng dạng nên ta có

Hai tam giác vuông ADC và MQC đồng dạng nên ta có

Từ (8), (9) suy ra:

MB AB MP

MC =AC MQ (10)

Ta có AMQ� =ANC� =ABD�

suy ra hai tam giác vuông ADB và AQM đồng dạng nên ta có

DB

QM =AM � = AM (11)

Tương tự: AMP� =ANB� =ACD�

suy ra hai tam giác vuông ADC và APM đồng dạng nên ta có

PM =AM � = AM (12)

Từ (11), (12) suy ra DB AB MQ

Từ (10), (13) suy ra:

2

MB DB AB

MC DC AC

� ��

� �

= � �� ��

� � 5a) Cho , ,x y z là các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng

16x+4y+ �z 16

Giải:

Ta có

16x+4y+ �z 16� x+ +y z �

Với hai số thực không âm ,a b ta có ( )2

a- b � � + �a b ab

Dấu "=" xảy ra khi a= b� = a b

Áp dụng kết quả trên, ta có:

1 49x 2 1.49x 1 49x 14.

x+ � x �x+ � (1)

Dấu "=" xảy ra khi

7

Trương tư, ta có:

4 49y 28.

y+ � (2)

Dấu "=" xảy ra khi

7

y y

y = � =

Và

z + � (3)

Dấu "=" xảy ra khi

7

Cộng (1), (2), (3) theo vế ta được: 1 4 16 49(x y z) 98

x+ +y z + + + �

1 4 16 49.

x y z

Dấu "=" xảy ra khi

Vậy bất đẳng thức đã cho được chứng minh

5b) Cho số tự nhiên z và các số nguyên x y, thỏa mãn x y xy+ + = Tìm giá trị của 1 x y z, , sao cho

(2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)

là số chính phương lớn nhất

Giải:

Ta có: (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2) =2 2( z +21 1) ( +x2) (1+y2)

Với: 1+x2= + +x y xy x+ 2=(x y+ )(1+x),1+y2= + +x y xy y+ 2=(x y+ )(1+y),

Suy ra ( 1 ) ( 2 2 2 2) ( ) ( ) (2 ) (2 )2

Do đó, (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2)

là số chính phương khi và chỉ khi 2z +21 là số chính phương.

Nghĩa là tồn tại số tự nhiên n sao cho 2z +21=n2

Ta có 2--�1 mod3( ) 2z ( )1 mod3 z( )

Nếu z lẻ thì 2z �- 1 mod3( ) (�2 mod3 )

Khi đó n �2 2 mod3( )

vô lí (vì số chính phương khi chia cho 3 chỉ dư 0 hoặc 1)

Từ đó suy ra z là số chẵn.

Đặt z=2 ,k k( ��*)

Vì 21 1.21= =3.7 và n- 2k < + nên ta có hai trường hợp sau:n 2k

Trường hợp 1:

2 10,

2 21

k

k k

n n

�

� - =

�

� không có giá trị của k thỏa mãn trường hợp này.

Trường hợp 2:

k

k k

n

k n

�

�

�

Từ giả thiết, ta có 2=(1+x)(1+y)

Không mất tổng quát, giả sử x+ � +1 y 1,

suy ra

1 1

1 2

x y

�

� + =

�

�

� + =

�

Giải hệ ta được

0 1

x y

�

� =

�

�

� =

� hoặc

2 3

x y

�

� =

-�

�

� =

-� Nếu x=0,y= thì 1 (2z+ 1+42)(x2+y2+ +1 x y2 2) =100 10 = 2

Nếu x= - 2,y= - thì 3 (2z+ 1+42) (x2+y2+ +1 x y2 2) =2500=50 2

Vậy x= - 2,y= - 3,z=2

HẾT