048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019

048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019 048 toán vào 10 chuyên thanh hóa 2018 2019

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

Đề thi gồm 01 trang

KỲ THI VÀO LỚP 10 THPT CHUYÊN LAM SƠN

NĂM HỌC 2018 - 2019 Môn: TOÁN (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán)

Thời gian làm bài: 150 phút

(Không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 09 tháng 6 năm 2018

Câu I: (2,0 điểm)

1 Tính giá trị biểu thức: 1 1 1 1 1 1

2 Cho hai số thực a , b lần lượt thỏa mãn các hệ thức 3 2

a  a  a  và

b  b  b  Chứng minh a b  2

Câu II: (2,0 điểm)

1 Giải phương trình: x2  x 4 2 x1(1 x)

2 Giải hệ phương trình: 2 2

1

�  

�

�

�

Câu III: (2,0 điểm)

1 Tìm tất cả các cặp số nguyên x y;  thỏa mãn: 2019 2019 1346 673

2

x  y y y 

2 Cho n là số nguyên dương tùy ý, với mỗi số nguyên dương k đặt

1k 2k k

k

S     Chứng minh n S2019M S1

Câu IV: (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC có AB AC Gọi , ,D E F lần lượt là chân các đường cao kẻ

từ , ,A B C của tam giác, P là giao điểm của các đường thẳng BC và EF Đường thẳng qua

D song song với EF lần lượt cắt các đường thẳng AB AC CF tại , ,, , Q R S

1 Chứng minh tứ giác BQCR là tứ giác nội tiếp.

2 Chứng minh PB DB

PC  DC và D là trung điểm của QS

3 Khi ,B C cố định và điểm A thay đổi nhưng vẫn thỏa mãn các điều kiện trên, chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR luôn đi qua một điểm cố định.

Câu V: (1,0 điểm)

Một giải đấu bóng chuyền có n đội tham gia ( n �,n 2), luật đấu như sau: Mỗi đội đấu với tất cả các đội khác đúng một trận Sau một trận đấu, đội thắng được 2 điểm, đội thua được 0 điểm; còn nếu hai đội hòa nhau thì mỗi đội được 1 điểm

Sau giải đấu các đội xếp hạng theo điểm số từ cao xuống thấp (hai đội bằng điểm nhau xếp cùng hạng) Hỏi sự chênh lệch về điểm lớn nhất có thể giữa các đội xếp thứ hạng liền nhau là bao nhiêu?

Hết

-Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Chữ ký giám thị 1: Chữ ký giám thị 2:

ĐÁP ÁN CHI TIẾT

ĐỀ CHÍNH THỨC

Câu I.1.

Với n �,n 1, ta có: 1 2 3 ( 1)

2

n n

    

Từ đó suy ra: 1 1 ( 1)( 2),( , 1)

n n n

Cho n các giá trị từ 2,3, , 2018 rồi nhân các biểu thức ta được:

1.4 2.5 2017.2020 1.2.3 2017 4.5 2020

2.3 3.4 2018.2019 2.3.4 2018 3.4 2019

Vậy 2020 1010

3.2018 3027

Câu I.2.

Ta có:  3  

a  a   và  3  

b  b   Cộng từng vế của hai biểu thức trên ta được:   3 3    

a  b  a  b 

1

x a

y b

 

�

�  

� đẳng thức trở thành:

3 3

(x y x )(  xy y  2) 0

� 0

x y 

2 2

x  xy y  ��x ��  

Vậy (a   1) (b 1) 0�a b 2

Câu II.1.

Điều kiện xác định: x� 1

Ta có: x2  x 4 2 x1(1x) � x22x x   1 x 1 2(x x  1) 3 0

Đặt x x  (điều kiện 1 y y� ).1

Phương trình trở thành y22y 3 0 1

3

y y

 

�

� � � � y3 (do y� )1

Khi đó : x x 1 3� x  1 3 x 12 3

7 10 0

x

� �

�

� �

�

2 2

5

x

x x

x

� �

�

�

� � Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x2

Câu II.2.

Điều kiện xác định:

2 0

1 0; 1 0

x y xy

�  �

�

�

Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ:

2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

x y x y

�

�

�

2 2 2 2

2 2

(1)

2 0 (2)

x y x y

x y xy

�

� �

  

�

Từ (2) ta có: 2 2 2 0 1

2

xy

x y xy

xy

 

�

   � � � +Với xy , thay vào (1) suy ra 2 2 2

2

4

x

Từ đó suy ra hệ có các nghiệm: ( ; )x y  2; 2; ( ; )x y   2; 2 (thỏa mãn điều kiện)

+Với xy  , thay vào (1) suy ra 1 2

2

1 1

x x

  (vô nghiệm)

Vậy hệ có 2 nghiệm: ( ; )x y  2; 2; ( ; )x y   2; 2

Câu III.1.

Giả sử x y là cặp số nguyên thỏa mãn phương trình đã cho.; 

Đặt 673 673

,

a x b y ta có ,a b�� thỏa mãn a3     b3 b2 b 2

Ta thấy: 3  3  2  3

a  b  b   b và a3   b3 b 1 b2 

+) Nếu b1 hoặc b 2 thì b1 b  Suy ra:2 0

 3 3 3

b a b �b  a b điều này không thể xảy ra vì ,a b��

+) Nếu  � �2 b 1, vì b�� suy ra b� 2; 1;0;1

b  �y   � ��y

b �a �x  � ��x

Với

673 673

1 1

y x

�

  �  ����  ��  � (thỏa mãn)

Với

673 673

1 1

y x

�

 �  ����  �� � (thỏa mãn)

Vậy các cặp số nguyên thỏa mãn là x y;    1;1 và ( ; )x y   1; 1

Câu III.2.

Ta có 1

( 1)

1 2

2

n n

S     n 

Để chứng minh bài toán ta chỉ cần chứng tỏ 2S2019Mn n( 1)

Ta có nhận xét sau: Với ,a b nguyên dương bất kì thì  2019 2019

a b Ma b Thật vậy :

2019 2019 ( )( 2018 2017 2017 2018) ( )

a b  a b a a b ab b Ma b

Xét hai trường hợp:

+) Nếu n lẻ: Từ nhận xét trên ta có 2S20192n20192 1��2019 (n 1)2019� �� �2 22019 (n 2)2019��

2019 2019

2

n

�� � � � �

2019 2019 2019 2019

2019

2S 2(1 n ) 2 2 ��  (n 1) ��

2019 2019 2019 2019

n

�� � � � � �� � � � �

Mặt khác n và n1 nguyên tố cùng nhau nên 2S2019Mn n( 1)

+) Nếu n chẵn: Ta có

2019 2019 2019 2019 2019

2019

2S 2n 2 1��  (n 1) � �� �2 2  (n 2) ��

2019 2019 2019 2019

2

n

 �� � � � � � � � � � �

2019 2019 2019 2019

2019

2S 2(1 n ) 2 2 ��  (n 1) ��

2019 2019 2019 2019

n

Suy ra 2S2019 Mn n( 1).

Vậy S2019M S1

Câu IV.1.

một phía của đường thẳng BR.

Do tứ giác BCEF nội tiếp nên � AFE BCA�

Do QR song song với EF nên � AFE BQR�

Từ đó suy ra �BCA BQR� hay tứ giác BQCR nội tiếp.

Câu IV.2 Gọi H là trực tâm tam giác ABC Dễ thấy tứ giác AEHF nội tiếp Suy ra

FEH FAH BAD

Tương tự �DEH DCH� BCF� Mà �BAD BCF � (cùng phụ với �ABC ).

Suy ra �FEH DEH� , hay EB là đường phân giác trong góc E của tam giác DEP

Theo tính chất đường phân giác ta có : ED BD

EP  BP Mặt khác ACBE nên AC là phân giác ngoài của �DEP , nên ED CD

EP  CP Suy ra : CD BD

CP  BP PB DB

PC  DC

Chứng minh tương tự ta có FC là phân giác góc �DFE , hay � DFS SFE�

Mà �SFE FSD� (so le trong do QR EFP )

Vậy �DFS FSD� hay tam giác DFS cân tại D�DF DS

Ta lại có, do tính chất phân giác ngoài nên �DFQ�AFE

Mà �AFE FQD� (đồng vị) Suy ra tam giác DFQ cân tại D �DFDQ

Từ đó suy ra DS DQ , hay D là trung điểm QS

Câu IV.3.

Gọi M là trung điểm của BC Ta sẽ chứng minh DP DM DQ DR từ đó suy ra đường tròn ngoại tiếp

tam giác PQR đi qua M cố định.

Thật vậy, do tứ giác BQCR nội tiếp nên DQ DR DB DC  (4)

Theo câu 2) ta có PB DB DB PC DC PB

PC  DC �  �DB DP DC   DC DP DB  

2

DC DB

DB DCDP�  �

Do M là trung điểm BC và AB AC nên

2

DC DB

DM

Do đó DP DM DB DC (5)

Từ (4) và (5) ta được DP DM DQ DR

Suy ra tứ giác PQMR nội tiếp hay đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của BC cố

định

Câu V.

Kí hiệu D i i, 1,n là đội bóng thứ i và d là điểm số của đội i D sau giải đấu i

Không mất tính tổng quát, giả sử d1� � � d2 d n

Xét các hiệu d id i1, i1,n , ta có 1 d id i1�0, i 1,n1

Giả sử đội xếp hạng s và đội xếp hạng s có chênh lệch điểm lớn nhất, nghĩa là hiệu 1 d s d s1 lớn nhất trong số các hiệu trên

Ta có nhận xét: Sau mỗi trận đấu, dù kết quả thế nào, tổng số điểm của hai đội tham gia thi đấu đều bằng 2

Chia các đội bóng làm hai nhóm Nhóm 1 gồm các đội D1, ,D và nhóm 2 gồm các đội còn lại s

1, ,

D D

Khi đó s đội trong nhóm 1 đấu với nhau ( 1)

2

s s

trận và nhận (s s điểm Ngoài ra các đội thuộc 1) nhóm 1 đấu với các đội thuộc nhóm 2 tất cả (n s s ) trận và nhận không quá 2(n s s ) điểm (vì trong

số (n s s ) trận này có thể có các trận mà đội thuộc nhóm 1 thua) Do đó tổng điểm mà s đội nhóm 1

nhận được không quá (s s 1) 2(n s s ) (2n s 1)s

Từ đó suy ra d s (2n s 1)s 2n s 1

s

� (1) Lại có: Các đội thuộc nhóm 2 đấu với nhau ( )( 1)

2

n s n s  

trận và nhận (n s n s )(   điểm Do 1)

đó số điểm d s1 của đội D s1 sẽ lớn hơn hoặc bằng (n s n s)( 1) n s 1

n s

 , hay d s1 �n s 1 (2)

Từ (1) và (2) suy ra: d s d s1�(2n s     1) (n s 1) n

Dấu ‘=’ xảy ra khi đội vô địch thắng tất cả các đội và được 2(n điểm, tất cả các đội còn lại khác 1) đều hòa nhau (và thua đội vô địch), mỗi đội nhận n điểm Vậy 2 max(d id i1) n