SKKN MỘT SỐ CÁCH SUY LUẬN HỢP LÝ ĐỂ TÌM RA CÁCH VẼ ĐƯỜNG PHỤ

trờng THCS hoà hiếu II Đề tài một phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học Ngời thực hiện : Nguyễn Anh Tuấn Trờng THCS hoà

trờng THCS hoà hiếu II



Đề tài

một phơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ dùng trong chứng minh một số hệ thức hình học

Ngời thực hiện : Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS hoà hiếu II



I đặt vấn đề

Trong quá trình kiếm tìm lời giải cho các bài toán hình học, đôi khi việc

vẽ thêm các đờng phụ sẽ giúp cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợihơn Thậm chí có những bài toán nếu không vẽ thêm đờng phụ sẽ không giải đ-

ợc Vấn đề đặt ra là đờng phụ đợc vẽ nh thế nào? Có phơng pháp chung nào để

vẽ đợc đờng phụ hay không?Đó là điều khiến chúng ta cần phải đầu t suy nghĩ

Thực tế cho thấy rằng không có phơng pháp chung để vẽ đờng phụ khigiải các bài toán hình học Tuỳ vào từng bài toán cụ thể chúng ta sẽ có nhữngcách vẽ đờng phụ hợp lý để có đợc những lời giải hay và độc đáo.Tuy nhiên việc

vẽ thêm đờng phụ không thể tuỳ tiện, không phải do sự may mắn trong quá trìnhtìm kiếm lời giải mà nó phải bắt nguồn từ sự suy luận hợp lý trên cơ sở phân tíchcác giả thiết và kết luận của bài toán Sau đây tôi xin trình bày một ví dụ sử dụngphơng pháp suy luận hợp lý để tìm ra cách vẽ đờng phụ

II Nội dung

Ví dụ 1: Trên cung BC không chứa điểm A của đờng tròn ngoại tiếp ∆

đều ABC, lấy một điểm P tuỳ ý, các đoạn thẳng AP và BC cắt nhau tại Q, chứngminh rằng:

PC

1 PB

1 PQ

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 2

A

B

P Q

C

- ở cách giải thứ nhất ta đã chọn điểm phụ K thuộc đoạn PC, tơng tự nhvậy ta có thể chọn điểm K thuộc PB.

M

O

C

1 2

- Trên tia đối của tia PB ta lấy

điểm M sao cho PM = PC

ta có thể chứng minh đợc MB = BP+PM = BP + PC = AP Nh vậy ta cần phảichứng minh PQPC =PBAP Điều này có đợc nhờ ∆PCA S ∆PQB (g.g) Từ đó ta cólời giải nh sau:

* Cách 3:

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 4

A

B

P Q

M C

Trên tia đối của tia PB ta lấy điểm M sao cho PM = PC Ta có: MPC = BAC = 600

1

PC

1 (đpcm)

* Nhận xét:

+ ở cách 2 ta đã lấy điểm M trên tia đối của tia QP để tách PQ = PM - MQ.Tại sao ta không lấy M trên tia đối của tia PQ ? Nếu lấy M trên tia đối của tia PQthì ta tách PQ.PB = (QM - PM) PB = QM.PB - PM.PB Đến đây ta tìm tính chấtcủa điểm M bằng cách cho QM.PB = PC.BP => QM = PC, tuy nhiên đến đây takhông thể chứng minh đợc PM.PB = PC.PQ Vì không thể vận dụng đợc giả thiếtcủa bài toán đã cho là ∆ABC đều

+ ở cách 3 ta đã lấy điểm phụ M trên tia đối của tia PB để tách

PB PQ=(BM-MP).PQ Vậy ta có thể chọn điểm phụ M trên tia đối của tia PB đợckhông ? Nếu lấy M trên tia đối của tia BP thì ta có :

BP.PQ=(PM-BM).PQ=PM.PQ-BM.PQ

- Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho BM.PQ=PC.PQ => BM =PC Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh PB.PC = PM.PQ là đợc hay: PM PB =PQ PC

ở đây ta cần chú ý đến PM= PB+PM = PB+PC=PA Do đó ta cần chứngminh PB PA =PQ PC điều này có đợc nhờ ∆PAB S∆PCQ(g-g)

- Từ giả thiết: = + =>

PB PC PQ

1 1 1

PB1 =PQ1 +PC1 <=> PQ PC = PB.CP - PB PQ

Nh vậy chúng ta cũng có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia PC(Hoăctrên tia đối của tia CP)

AB = => ∆ ABM S ∆ADC (c.g.c) ( vì A1 = A2)

=> AMB = ACD => tứ giác ACMB nội tiếp

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ M nh sau:

Gọi M là giao điểm của AD với đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

Lời giải:

* Cách 1 (lớp 9):

Gọi M là giao điểm của AD với

đờng tròn ngoại tiếp ∆ABC

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Từ (1) và (2) => AB AC - BD CD = AD AM - AD MD

* Cách 2 (lớp 8):

Đối với học sinh lớp 8, các em cha học đến đờng tròn, do đó từ ∆ABM S

Mặt khác, ta có: C + A2 = D1

CBM + M = D1 => CBM = A2

Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ

M nh sau: Trên nửa mặt phẳng bờ

BC không chứa A vẽ tia Bx sao cho

CBx = A2, Gọi M là giao điểm của

Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao

cho ADK = C (K ∈ AB)

Lời giải:

Bên trong góc ADB vẽ tia DK sao

cho ADK = C (K ∈ AB) => ∆ ADK S ∆ ACD (g.g) => AKAD =ADAC

Lấy I trên tia đối của tia DB để tách DB DC = (BI - DI) DC

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách

cho BI DC = AB AC (Hoặc DI DC =

AD2)

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

AC =

Do đó

BD

AB AB

BI = => ∆ BIA S ∆ BAD) (c.g.c) => BIA = BAD

- Từ đó ta suy ra cách điểm phụ nh sau: Trên tia đối của tia DB lấy điểm I sao cho BIA = BAD

KB

tiếp đợc kết quả này mà phải sử dụng kết quả

AD

AB AC

AD

phân giác của tam giác

+ Sau khi học sinh giải xong bài tập này, giáo viên nên cho học sinh xét bàitoán trong trờng hợp AD là đờng phân giác ngoài của góc BAC (D thuộc đờngthẳng BC) để các em tự tìm ra đợc kết quả AD2 = DB DC - AB AC

+ Tơng tự nh cách 4 có thể chọn điểm phụ trên tia đối của tia DC.

Ví dụ 3: (Toán 8)

Cho hình bình hành ABCD, một

đờng thẳng d thay đổi cắt các đoạn

thẳng AB, AD, AC lần lợt tại M, N, P

AI AP

IC AI AP

Từ AMAB =APAI => ∆ ABI S AMP (c.g.c) => BIA = MPA => BI//d

-Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ I nh sau: Kẻ IB //d (I ∈ AC)

Lời giải:

Kẻ BI//d (I ∈ AC) =>AMAB =APAI (1) (định lý ta-let)

Xét ∆ CBI và ∆ ANP có: PAN = ICB (so le trong)

APN = CIB ( = CPM) => ∆ CBI S ∆ ANP (g.g)

=>

AP

IC AN

AD AP

AC AM

AB AP

AC AN

AD AM

- Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BA để tách AMAB =AIAM−BI

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho

AP

AC AM

Từ

AP

AC AM

Cách 3:

Ta có :

AM

AB AP

AC = +

AN

AD <=>

AP

AC AN

AD = -

AM

AB

- Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia DA để tách ANAD =AIAN−DI;

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho

AP

AC AN

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

Qua C kẻ đờng thẳng song song với d cắt

AD kéo dài tại I => ACAP =ANAI (1) (định lý ta-lét)

AN

AD <=>

AP

AC AM

AB

AN AD

<=>

AN

AD AP

AC AM

- Ta chọn điểm phụ I trên tia đối của tia DC để tách

AM

DI AM

CI AM

- Ta tìm tính chất của điểm phụ I bằng cách cho

AP

AC AM

AN

AD AM

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

Trên tia đối của tia DC ta lấy điểm I sao cho AIC = PMA (chú ý ta có thể chứngminh đợc AI //d)

Lời giải:

Trên tia đối của tia DC, lấy điểm I sao

cho AIC = PMA

CA − = CIAM−DI =AMDC =AMAB

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

(vì AB = CD) Hay

AN

AD AM

AB AP

Ví dụ 4 (Toán 9): Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đờng tròn (O) CMR:

AB.CD + AD.BC = AC.BC (*)

(định lí Ptô-lê-mê)

Phân tích :

Cách 1: - Chọn điểm phụ I trên đoạn AC để tách AC BD= (AI+IC).BD

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AI.BD = AB.CD ( Hoặc AI.BD = AD.BC )

AB

(vìAˆ 1=Dˆ 1) => IBA=CBD

-Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

Trên đoạn thẳng AC lấy điểm I sao cho

AB

AB.CD=AI.BD (1)Mặt khác ˆ 1= BCD (∆ABI S∆DBC) ; ˆ 1+ ˆ 2=1800;

- Chọn điểm phụ I trên tia đối của tia AB để tích AB.CD=(BI-AI).CD

- Tìm tính chất của điểm I bằng cách cho BI.CD= AC.BD

=>BD BI =CD CA

=>∆BID S∆CAD(c-g-c)

( vì Bˆ 1=Cˆ 1) => IDB=ADC

Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau :

Trên tia đối của tia AB lấy điểm I

sao cho IDB=ADC

Lời giải :

Trên tia đối của tia AB lấy điểm I sao cho

IDB=ADC =>∆BID S∆CAD(c-g-c)

-Chọn điểm phụ I trên tia đối của tia BA để tích :AB.CD=(AI-BI)CD

-Tìm tính chất của điểm I bằng cách cho AI.CD=AC.BD

Từ đó ta suy ra cách chọ điểm phụ nh sau:

Trên tia đối của tia BA lấy điểm I

sao cho AIC=DBC

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 14

B =ACD (cùng bù với ABC) I =A2 (=DBC).

=>∆BIC S∆DAC (g-g) =>BC BI = DC DA =>BC.DA=BI.DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra AC.BD-BC.AD=(AI-BI)DC=AB.DC

Hay :AB.CD+AD.BC=AC.BD(đpcm)

Nhận xét :

+Tơng tự nh cách 1 ta có thể chọn điểm phụ trên đờng chéo BD

+Tơng tự nh cách 2, cách 3 ta có thể chọn điểm phụ trên tia đối của các tia BC;CD;DA.hoặc trên tia đối của các tia :CB;DC;AD

Ví dụ 5 (Toán 9):

A Gọi H, L, K là chân đờng vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB Chứng minhrằng:

MK

AB ML

AC MH

BC = +

Cách 1:

- Lấy điểm phụ I thuộc cạnh BC để tách MHBC =MHBI +MHIC

-Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho

MK

AB MH

ML

AC MH

BI =

Từ MHBI = MKAB => ∆BIA S∆MHK (c.g.c) (vì HMK = ABI ) => BIA = MHK

Từ đó ta suy ra cách chọn điểm phụ nh sau: Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho BIA = MHK

Ta cần chú ý rằng 3 điểm K, H, L thẳng hàng (đờng thẳng sim - sơn)

Lời giải:

Trên cạnh BC lấy điểm I sao cho

BIA = MHK Vì tứ giác MHBK nội tiếp

BC ML

AC ML

AC MK

AB MH

AC = −

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho MLCI =MHBC (hoặc MLAI =MKAB )

=> ∆ CIB S ∆ MLH (c.g.c) ( vì HML = BCI) => CIB = MLH

- Ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh

sau: Trên tia đối của tia AC lấy

điểm I sao cho

CIB = MLH

Lời giải:

Trên tia đối của tia AC lấy

điểm I sao cho CIB = MLH (1)

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 16

A

B

K MM H

L

C I

A I

B

K M H

L C

tø gi¸c MHLC néi tiÕp =>

=> AMI=BMC

-Từ đó suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau : Trên tia đối của tia CA lấy điểm

I sao cho: AMI=BMC

MH

BC ML

CI AI MK

AB MH

AC MH

1 1 1

=

qua một điểm cố định

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 18

* Phân tích:

Rõ ràng bài tập này khó hơn các bài tập ở trên vì hệ thức

k

1 OB

1 OA

1 OA

- Ta lấy điểm phụ M thuộc OA để tách OA OB = (OM + MA) OB

- Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho

- Từ đó ta suy ra cách vẽ đờng phụ nh sau: Trên đoạn OA lấy điểm M saocho OM = k, từ M kẻ đờng thẳng song song với Oy cắt tia phân giác Oz của gócxOy tại I => I là điểm cố định

Phần còn lại ta chỉ cần chứng minh AB đi qua I

OM OA OA

k

=> OB1 '+OA1 =k1 (1)Mặt khác: Theo giả thiết ta có:

k

1 OA

1 OB

1 2

Vậy AB luôn đi qua điểm cố định I đợc các định nh trên.

* Nhận xét:

+ Nếu ban đầu ở bớc phân tích ta tìm tính chất của điểm M bằng cách chok.OB = MA OB => k = MA

Do đó từ (*) => k.OA = OM OB <=> MA OA = OB ; OM <=>OA

OB

=

Từ đó => OMAM = AIBI đến đây ta không suy ra đợc MI // Oy do đó khôngtìm đợc cách vẽ điểm phụ

+ Ta đã chọn điểm phụ trên OA, tơng tự ta cũng có thể chọn điểm phụtrên OB

Ví dụ 7 :

OC và m, D là giao điểm của 2 đờng thẳng OB và m' Xác định vị trí của m vàm' để tổng

CD AB

1 1

+ đạt giá trị lớn nhất

* Phân tích:

Đặt

k CD

AB

1 1

1 + = (k > o) <=> kAB + k.CD= AB.CD

- Lấy I trên AB để tách AB.CD = (AI + IB) CD = AI CD + IB CD

- Ta tìm tính chất của điểm I bằng cách cho IB.CD = k.CD (1) và kAB =AI.CD (2); Từ (1) => IB = k thay vào (2) ta đợc:

IB.AB = AI.CD =>

AB

CD IA

IB

OA

OC AB

CD

OA

OC IA

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 20

O

A I

Vì AB // CD =>

CD

AB OC

1 1

1 1

+ đạt giá trị lớn nhất

* Nhận xét:

- Tơng tự ta có thể chọn điểm phụ I trên CD

- Nếu kẻ OK //AB (K ∈ BC), vì IBKO là hình bình hành => IB = OK

=> AB1 +CD1 =IB1 =OK1 từ đó ta có lời giải đơn giản hơn nh sau:

Từ (1) và (2) =>

CD

OK AB

1 1 1

= +

Ví dụ 8:

O A

Cho góc nhọn xOy, M là điểm nằm bên trong góc đó Qua M kẻ đờng thẳng

d bất kỳ cắt tia Ox tại A, cắt tia Oy tại B Xác định vị trí của d để tổng

MB

1 MA

MB IA MB

DA = => DK //AB => DAIK là hình bình hành

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

Qua M kẻ đờng thẳng song song với Oy, cắt Ox tại D Qua D kẻ DK//d(K∈OM) Kẻ KI // Ox (I ∈ MA)

MA

OD

DA OK

KM

OK

KM IA

MI

= =>

IA

IM MB

1 MB

1 MA

Kẻ DH ⊥ OM (H ∈ OM)

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 22

DK MA DK

Hay

DK

1 MB

1 MA

- Lấy điểm phụ H trên BD để tách BD2 = (BH + HD) BD

- Tìm tính chất của điểm H bằng cáh cho BH.BD = DA DN

(Hoặc BH BD = DC DM) => DABH =DNBD => BCBH =DNBD (vì DA = BC)

=> ∆ BHC S ∆ DNB (c.g.c) Vì NDB = HBC (so le trong)

=> BHC = DNB = 900 => CH ⊥ BD

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

N

- Lấy điểm phụ H trên tia đối của tia CB để tách BC DN = (BH - CH) DN

DC DM) =>

DN

BD BD

BH = => ∆ BHD S ∆ DBN (c.g.c) Vì (D1 = B1)

=> HDB = BND = 900 => DH ⊥ BD

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau:

Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với BD, cắt BC kéo dài tại H

Lời giải:

Qua D kẻ đờng thẳng vuông góc với

BD cắt BC kéo dài tại H

Tứ giác DMBN nội tiếp => NBD = NMD;

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

- Lấy điểm phụ H trên tia đối của tia CD để tách DC.DM = (DH - CH).DM.

(Hoặc CH DM = DA.DN) =>

DM

BD BD

DH

=

=> ∆ DHB S ∆ DBM (c.g.c) => DBH = DMB = 900 => BD ⊥ BH

- Từ đó ta suy ra cách vẽ điểm phụ nh sau: Qua B kẻ đờng vuông góc với BD cắt

CD kéo dài tại H

- Ta tìm tính chất của điểm M bằng cách cho EA.ED = EM EF (hoặc EM.EF =FA.FB) => EMEA =EDEF => ∆ EAF S ∆ EMD (c.g.c)

=> EMD = EAF => tứ giác ADMF nội tiếp

- từ đó suy ra cách chọn điểm phụ M nh sau: Gọi M là giao điểm của đờng trònngoại tiếp ∆ ADF với EF

Lời giải

Gọi (O1) là đờng tròn ngoại tiếp ∆ ADF;

M là giao điểm thứ hai của EF với (O1)

=> EAF = DME (cùng bù với góc DMF)

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 26

M F

B O

(Phơng tích của điểm E đối với đờng

tròn (O1))

Tơng tự: ED.EA = EC.EB (2)

Từ (1) và (2) => EC.EB = EM.EF =>tứ giác BCMF nội tiếp => FMB = FCB (3)

Ta lại có: FAE = BCF (4) (vì tứ giác ABCD nội tiếp)

Từ (3) và (4) => ∆ FMB S ∆ FAE (g.g) => FMFA =FBEF

=> FA.FB = FE.FM (**)

Từ (*) và (**) => ED.EA + FB.FA = EF (EM + MF) = EF2 (đpcm)

* Nhân xét:

+) ở bớc phân tích EMEA =EDEF ta cũng có thể suy ra ∆ EAM S ∆ EFD (c.g.c)

=> EMA = EDF ; mà ta có: EDF = ABE (vì tứ giác ABCD nội tiếp)

Do đó: EMA = ABE => tứ giác ABME nội tiếp => M là giao điểm của EF với

đờng tròn ngoại tiếp ∆ ABE

+) nếu ban đầu ta cho MF.EF = FA.FB =>

FE

FB FA

MF = => ∆ FMB S ∆ FAE

=> FMB = FAE

Mặt khác : FAE = BCF (vì tứ giác ABCD nội tiếp) => FMB = FCB

=> tứ giác BCMF nội tiếp => M là giao điểm của EF với đờng tròn ngoại tiếp ∆

III- Bài học và các kết quả thu đợc.

Qua các ví dụ vừa nêu, tôi thấy rằng phơng pháp suy luận nh trên giúp họcsinh tiếp cận bài toán dễ dàng hơn, các em có hớng suy nghĩ đúng đắn và sángtạo hơn Đặc biệt là đã khơi dậy niềm đam mê học tập của học sinh

Trớc khi dạy cho học sinh phơng pháp suy luận này, tôi đã cho các em làmmột bài tập có dạng nh trên thì thấy rất ít học sinh giải đợc, mặc dù các em đã có

thời gian suy nghĩ rất lâu Nhng khi đợc học phơng pháp này rồi thì các em đãgiải đợc các bài toán đó không mấy khó khăn Đặc biệt là các em đã tìm ra đợcnhiều cách giải cho một bài toán bằng nhiều cách vẽ đờng phụ khác nhau Một

số học sinh khác còn tìm thêm đợc nhiều ứng dụng khác từ phơng pháp này Trên đây là một số kinh nghiệm nhỏ mà bản thân tôi đã đúc rút đợc trongquá trình dạy và học Rất mong các cấp chuyên môn và các đồng nghiệp góp ý,

bổ sung thêm để quá trình giảng dạy đợc nâng cao về chất lợng

Ngày tháng năm 2009

Ngời thực hiện

Nguyễn Anh Tuấn

Nguyễn Anh Tuấn

Trờng THCS Hoà Hiếu II - thị xã Thái Hoà

Trang 28