ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN GMETRIC

MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC.... Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ …..trên không gian G-metric đầy đủ... Sau đó, Mustafa và các cộng sự đã đưa ra

LỜI CAM ĐOAN

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi

Những nội dung trình bày trong luận văn này là do tôi nghiên cứu thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Lương Quốc Tuyển

Mọi tài liệu tham khảo trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng, trung thực tên tác giả, tên đề tài, thời gian và địa điểm công bố

Nếu có sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Phạm Thị Thanh Nga

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 2

5 Đóng góp của đề tài 2

6 Cấu trúc của luận văn 2

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN 3

1.1 Một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian metric 3

1.2 Tập mở, tập đóng 7

1.3 Không gian metric đầy đủ và ánh xạ liên tục 12

1.4 Không gian compact 17

CHƯƠNG 2 KHÔNG GIAN G-METRIC 21

2.1 Không gian G-metric 21

2.2 Tính chất của không gian G-metric 23

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN G-METRIC 31

3.1 Một mở rộng của nguyên lý ánh xạ co của Banach 31

3.2 Một số định lý điểm bất động đối với các ánh xạ

… trên không gian G-metric đầy đủ 35

KẾT LUẬN .46

TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (BẢN SAO)

DANH MỤC CÁC QUY ƯỚC VÀ KÝ HIỆU

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đóng vai trò quan trọng trong toán học và khoa học ứng dụng Trong hai thập kỷ qua, sự phát triển của

lý thuyết điểm bất động trong không gian metric đã thu hút sự chú ý đáng kể

do nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực như lý thuyết tối ưu, lý thuyết xấp xỉ, bất đẳng thức tuyến tính Năm 2006, Mustafa và Sims đã đưa ra khái niệm không gian metric suy rộng, gọi là không gian G-metric (xem [4]) Sau đó, Mustafa và các cộng sự đã đưa ra nhiều định lý điểm bất động trên không gian G-metric và các không gian suy rộng của không gian G-metric (xem [4], [5]) Từ đó đến nay, bài toán điểm bất động trên không gian G-metric đã thu hút rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm nghiên cứu

Với các lý do như trên cũng như dưới sự định hướng của thầy giáo Lương Quốc Tuyển, chúng tôi đã quyết định chọn đề tài nghiên cứu: “Định lý

điểm bất động trong không gian G- metric” Chúng tôi mong muốn tạo được

một tài liệu tham khảo tốt cho những người quan tâm về lý thuyết điểm bất động cũng như mong muốn đưa ra được một số ứng dụng của nó nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả trong lĩnh vực này

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lý điểm bất động trong không gian G-metric

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

3.1 Đối tượng nghiên cứu là lý thuyết điểm bất động

3.2 Phạm vi nghiên cứu là các định lý điểm bất động trong không gian G-metric

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Tham khảo tài liệu và hệ thống hóa các kiến thức

4.2 Thu thập các bài báo khoa học của các tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động trong không gian G- metric”

4.3 Thể hiện tường minh các kết quả nghiên cứu trong đề tài

4.4 Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như tài liệu tham khảo dành cho những ai đang quan tâm nghiên cứu về điểm bất động trong không

gian G-metric

6 Cấu trúc của luận văn

Nội dung của luận văn ngoài phần mở đầu và kết luận gồm có ba chương

Chương 1 Giới thiệu các kiến thức cơ bản liên quan đến không gian

CHƯƠNG 1

CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất của không gian metric nhằm làm tiền đề cũng như phục vụ cho việc chứng minh Chương 2 và Chương 3 của luận văn

1.1 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA KHÔNG GIAN METRIC

1.1.1 Định nghĩa Cho X là tập hợp khác rỗng Ánh xạ d X: X   được

gọi là một metric trên X nếu nó thỏa các tiên đề sau

1.1.2 Định nghĩa Cho X là một tập con của  Số x X  được gọi là một

cận trên của X nếu y x với mọi y  X

1.1.3 Định nghĩa Cho X là một tập con của  Số x X  được gọi là một

cận dưới của X nếu x y với mọi y  X

1.1.4 Định nghĩa Giả sử X là tập hợp khác rỗng Khi đó, cận trên bé nhất

của X được gọi là supermum của tập X Ký hiệu là sup X

1.1.5 Định nghĩa Giả sử X là tập hợp khác rỗng Khi đó, cận dưới lớn nhất

của X được gọi là infimum của tập X Ký hiệu là inf X

1.1.6 Định nghĩa Giả sử X d,  là một không gian metric, xX và A X.

(2) Nếu x n x0 thì mọi dãy con của  x cùng hội tụ về n x0.

0

( , )

k n

1

2 ( ) (0)

( ) (0)

lim víi mäi 1,2, ,

k n

1.1.12 Định nghĩa Giả sử X d,  là một không gian metric, x0X và r 0.Khi đó,

được gọi là hình cầu đóng tâm x0, bán kính r

Ngoài ra, ta ký hiệu

1.1.13 Định nghĩa Cho X d,  là một không gian metric Tập A X được

gọi là một lân cận của x nếu tồn tại r 0 sao cho B x r( 0, ) A

1.1.14 Nhận xét (1) Mỗi hình cầu mở ( , )B x r là một lân cận của x

(2) Nếu A A1, 2, ,A là những lân cận của n x, thì

1

n i i

A



 cũng là một lân cận của x

Chứng minh (1) Suy ra trực tiếp từ định nghĩa của lân cận

(2) Giả sử A A1, 2, ,A n là những lân cận của x Khi đó, với mỗi i1,n

tồn tại r  sao cho i 0 B x r( , )i  A i Ta đặt

Do vậy,

1

n

i i

(1) Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu A là một lân cận của x

(2) Điểm x được gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại lân cận V của x mà

1.2.1 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và A X. Khi đó, A được

gọi là tập hợp mở nếu A là lân cận của mỗi điểm thuộc A

1.2.2 Định nghĩa Giả sử X là không gian metric và A X. Khi đó, A được gọi là tập hợp đóng nếu X \A là tập hợp mở

1.2.3 Định lý Giả sử X d,  là không gian metric Khi đó,

(1) Hợp của một họ tùy ý những tập hợp mở là tập hợp mở

(2) Giao của một họ hữu hạn những tập hợp mở là tập hợp mở

(3) Giao của một họ tùy ý những tập hợp đóng là tập hợp đóng

  là tập hợp mở Thật vậy, giả sử x G Khi đó, 

tồn tại oI sao cho

Do vậy, G là tập hợp mở

(2) Giả sử G G1, 2,,G n là các tập hợp mở trong

1

n i i

1.2.4 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric và A là tập con của X.

Khi đó, tập mở lớn nhất nằm trong A được gọi là phần trong của tập A Ký .hiệu là int A 

1.2.5 Định lý Giả sử X d,  là không gian metric, A X và B X. Khi

đó,

(1) Nếu AB, thì int A int B  

(2) int int A  int A  

(3) int A Bint A int B  

(4) int A int B int A B 

Chứng minh (1) Giả sử AB Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.4 ta có

int AB int A int B

Mặt khác, vì int A  A và int B  B nên

(4) Bởi vì A AB và B AB nên theo (1) ta suy ra

Chứng minh (1) Giả sử A B. Khi đó, theo Định nghĩa 1.2.6 ta có B B

kéo theo AB Mặt khác, vì A là tập hợp đóng nhỏ nhất chứa A nên A B

(2) Bởi vì AB A và AB B nên theo (1) ta suy ra

AB A và AB B.Như vậy, ta có

Hơn nữa, vì AB là một tập hợp đóng và AB AB nên nhờ Định

1.2.8 Định lý Giả sử X là không gian metric, F X Khi đó, F là tập hợp

đóng trong X khi và chỉ khi với mọi dãy { } x n F x, n  ta đều có x xF.

Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử F là tập đóng trong X, { }x n F,

n

x  với mọi n F n0 Điều này mâu thuẫn với giả thiết điều kiện cần

(2) Điều kiện đủ Giả sử mọi dãy { }x n F, x n  ta đều có x xF Ta

chứng minh rằng F là tập hợp đóng trong X Thật vậy, giả sử ngược lại rằng

F không là tập hợp đóng trong X Khi đó, X \ F không là tập hợp mở Do

đó, tồn tại xX \ F sao cho

 ,   

Suy ra

1.3.1 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric Khi đó, dãy { }x n  X

được gọi là dãy Côsi (hay dãy cơ bản) nếu

,lim ( n, m) 0

n m d x x

1.3.2 Nhận xét Mọi dãy hội tụ trong không gian metric đều là dãy Côsi

Chứng minh Giả sử { } x n  X x, n x X Khi đó, với mọi   tồn tại 0

Do vậy, { }x là một dãy Côsi n □

1.3.3 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric Khi đó, X được gọi là

không gian metric đầy đủ nếu mọi dãy Côsi trong X đều hội tụ

1.3.4 Định nghĩa Giả sử (X, d) là một không gian metric, Y là một tập con khác rỗng của X và : Y Y  là một ánh xạ được xác định bởi

   

 x y, d x y, với mọi x y, Y

Khi đó,  là một metric trên Y và không gian metric ( , )Y  được gọi là không

gian con của (X, d)

1.3.5 Định lý Giả sử X d,  là không gian metric và Y là một không gian

con của X Khi đó,

(1) Nếu Y là không gian con đầy đủ, thì Y là tập con đóng trong X

(2) Giả sử X là không gian đầy đủ và Y là tập hợp đóng trong X Khi

đó, Y là không gian con đầy đủ

Chứng minh (1) Giả sử { }x n Y và x n  x X Khi đó, theo Nhận xét

1.3.2, { }x n là một dãy Côsi trong Y Mặt khác, vì Y là không gian đầy đủ nên

n

x  x Y Hơn nữa, theo Nhận xét 1.1.10, giới hạn của một dãy là duy nhất

nên x  x' Do đó, x Y Bởi vậy, theo Định lý 1.2.8 ta suy ra Y là tập con

đóng trong X

(2) Giả sử { }x là một dãy Côsi bất kỳ trong n Y Khi đó, { }x cũng là một n

dãy Côsi trong X Bởi vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại xX sao cho

n

x  x Mặt khác, vì Y là tập hợp đóng và { } x n Y nên theo Định lý 1.2.8

ta suy ra x n xY Do vậy, Y là không gian con đầy đủ của X □

1.3.6 Định lý Giả sử X d,  là không gian metric đầy đủ Khi đó, mọi dãy

gồm các hình cầu đóng, lồng và thắt đều có chung một điểm duy nhất

Chứng minh Giả sử B x r n, n  là dãy gồm các hình cầu đóng, lồng và thắt

trong không gian đầy đủ X Khi đó, vì B x m,r mB x n,r n với mọi mn

nên

( n, m) n

d x x r với mọi mn Mặt khác, vì r  n 0 khi n   nên ta suy ra { }x là một dãy Côsi Hơn nữa, n

vì X là không gian đầy đủ nên x n  x X. Bây giờ, với mọi k , vì

n n n





Như vậy, x là điểm chung của mọi hình cầu

Cuối cùng, ta chứng minh rằng x là điểm chung duy nhất Thật vậy, giả sử





 gồm đúng một điểm □

1.3.7 Định nghĩa Giả sử X d,  và Y, là hai không gian metric Ta nói

rằng ánh xạ f X:  liên tục tại Y x0X nếu với mọi  0 tồn tại   0

sao cho với mọi xX mà d x x( , 0) , ta đều có  f x( ), f x( 0)

1.3.8 Định nghĩa Giả sử X d,  và Y, là hai không gian metric và

:

f X  là một ánh xạ Khi đó, f được gọi là liên tục trên X nếu f liên Y

tục tại mọi xX

1.3.9 Định lý Giả sử f X: Y là một ánh xạ và x0 X. Khi đó, ánh xạ f liên tục tại x0 nếu và chỉ nếu với mọi dãy { }x n  X mà x n x0 ta đều có

(2) Điều kiện đủ Giả sử với mọi dãy { }x n  X mà x n x0 ta đều có

0

Ta chứng minh rằng f liên tục liên tục tại x0. Thật vậy, giả sử ngược lại rằng

f không liên tục tại x0. Khi đó, tồn tại   sao cho với mọi 0  0, tồn tại

0

1( ,n )

d x x

n

 và d f x ( n), f x( 0)  .Suy ra x n  x0 và f x( n) f x( 0) Điều này mâu thuẫn với giả thiết điều kiện

đủ Do vậy, định lý được chứng minh □

1.3.10 Định nghĩa Giả sử X d,  và Y, là hai không gian metric và

:

f X Y là một ánh xạ Khi đó, f được gọi là liên tục đều trên X nếu với

mọi  0, tồn tại   sao cho với mọi 0 x x1, 2X mà d x x( ,1 2) ta đều

có  f x( ),1 f x( 2)  

1.3.11 Định lý Giả sử X và Y là hai không gian metric và f X:  là Y một ánh xạ Khi đó, các mệnh đề sau là tương đương

(1) Ánh xạ f là liên tục

(2)f 1( )G là mở trong X với mọi tập G mở trong Y

(3)f 1( )F là đóng trong X với mọi tập F đóng trong Y

Chứng minh (1) (2) Giả sử f là ánh xạ liên tục, G là một tập hợp mở

trong Y và x0 f1( ).G Khi đó, vì f x( 0) G và G mở nên tồn tại   sao 0cho

(2) (3) Giả sử F là tập hợp đóng trong Y Khi đó, Y \ F là tập hợp

(3) (2) Giả sử G là tập hợp mở trong Y Khi đó, Y \ G là tập hợp

đóng trong Y Mặt khác, vì khẳng định (3) thỏa mãn nên f ( Y \ G )1 là tập

con đóng trong X Hơn nữa, từ đẳng thức

1.4 KHÔNG GIAN COMPACT

1.4.1 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric và K  X Khi đó, tập

con K được gọi là tập compact nếu mọi dãy  x n K đều có một dãy con

hội tụ tới một phần tử của K

1.4.2 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric và K  X Khi đó, tập

K được gọi là compact tương đối nếu bao đóng K là tập compact

1.4.3 Mệnh đề Mỗi tập con đóng của tập compact trong không gian metric

là tập compact

Chứng minh Giả sử A là tập con compact trong không gian metric X và B

là tập con đóng của A Ta chứng minh rằng B là tập compact Thật vậy, giả

sử  x n  B Khi đó, vì B A nên  x n  A. Mặt khác, vì A là compact nên

tồn tại dãy con { } { }

k

k n

k n

x B và B là

đóng nên theo Định lý 1.2.8 ta suy ra x0B Do đó, B là tập compact □

1.4.4 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric và A X. Khi đó, A

được gọi là tập hợp bị chặn nếu nó là một tập hợp con của một hình cầu nào

đó

1.4.5 Định nghĩa Giả sử X d,  là không gian metric Khi đó, X được gọi

là không gian compact nếu bản thân nó là tập compact

1.4.6 Định lý Giả sử X d,  là không gian metric và A X là tập compact

Khi đó, A là tập hợp đóng và bị chặn

Chứng minh (1) Trước tiên ta chứng minh rằng A là tập hợp đóng trong X

Thật vậy, giả sử  x n  A và lim n

   Khi đó, vì A là một tập compact

nên tồn tại một dãy con { }

k n

x của dãy  x n sao cho

(2) Bây giờ, ta chứng minh A là một tập hợp bị chặn Thật vậy, giả sử

ngược lại rằng A không bị chặn Lấy x1A, suy ra AB x 1,1  Do đó, tồn

tại x2 sao cho A d x x ( , ) 1.2 1 Mặt khác, vì A không bị chặn nên

1.4.8 Định nghĩa Giả sử X d,  là một không gian metric và f X: X là

một ánh xạ Khi đó, f được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại hằng số  [0,1) sao cho

 ( ), ( ) ( , )

d f x f y d x y với mọi ,x yX

1.4.9 Nhận xét Mọi ánh xạ co đều là ánh xạ liên tục

1.4.10 Định lý Giả sử X d,  là một không gian metric đầy đủ và

:

f X  X là một ánh xạ co Khi đó, f có duy nhất một điểm bất động

Chứng minh Giả sử x0 bất kỳ thuộc X và đặt

Do đó, { }x n là một dãy Côsi trong X Hơn nữa, vì X là một không gian metric

đầy đủ nên x n  x X. Từ đẳng thức x n1 f x( n) và f là liên tục ta suy ra

( )

f x x Do vậy, x là một điểm bất động của f

Bây giờ, ta chứng minh rằng x duy nhất Thật vậy, giả sử y cũng là

một điểm bất động của f Khi đó, ta có

d x y d f x f y  d x y

Suy ra (1) ( , )d x y 0, kéo theo ( , )d x y 0 Bởi thế x y

Do vậy, x là điểm bất động duy nhất của f □

CHƯƠNG 2

KHÔNG GIAN G-METRIC

Trong chương này, chúng tôi trình bày các khái niệm và tính chất của

không gian G-metric

2.1 KHÔNG GIAN G-METRIC

Tập hợp X cùng với một G-metric G xác định trên nó được gọi là không

Do đó, áp dụng tiên đề (G5) của Định nghĩa 2.1.1 cho trường hợp a ta x