Hệ phương trình và ứng dụng trong chương trình THPT

Lý do chọn đề tài Hệ phương trình là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh từ bậcTrung học cơ sở, đồng thời nó cũng chiếm một vị trí quan trọng và đặc biệttrong chương trình Toán của

hướng dẫn trực tiếp của TS Lê Hải Trung.

b Mọi tham khảo dùng trong luận văn đều được trích dẫn rõ ràng và trung thực tên tác giả, tên công trình, thời gian, địa điểm công bố

c Mọi sao chép không hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo hay gian trá tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm

Tác giả luận văn

Nguyễn Tiến Cường

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hệ phương trình là một dạng toán quen thuộc đối với học sinh từ bậcTrung học cơ sở, đồng thời nó cũng chiếm một vị trí quan trọng và đặc biệttrong chương trình Toán của khối THPT bởi lẽ ngoài việc phát huy tính tưduy, suy luận và logic dạng toán trên còn có mặt tại hầu hết trong các kỳ thiđại học, cao đẳng và các kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, Olympic Nét quyến

rũ của hệ phương trình nằm ở tính đặc thù của mỗi dạng và phương pháptìm nghiệm tương ứng cho mỗi dạng đó Với mong muốn có thể hiểu kĩ hơn

về các dạng và phương pháp giải hệ phương trình và được sự gợi ý của giáo

viên hướng dẫn – TS Lê Hải Trung nên tôi lựa chọn đề tài: «Hệ phương

trình và ứng dụng trong chương trình THPT » cho luận văn thạc sĩ của

mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu của đề tài nghiên cứu các dạng toán về hệ phương trìnhtrong chương trình THPT và các phương pháp giải đồng thời sáng tạo một

số hệ phương trình Ngoài ra tác giả cũng cố gắng nghiên cứu và ứng dụngphần mềm Maple để giải các hệ phương trình và giải gần đúng một số hệphương trình phức tạp

3 Phương pháp nghiên cứu

Trong luận văn tác giả có sử dụng các kiến thức liên quan đến cáclĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

* Đối tượng nghiên cứu

Nghiên cứu các dạng hệ phương trình và phương pháp giải

* Phạm vi nghiên cứu:

Các dạng hệ phương trình trong chương trình Toán thuộc khốiTHPT, các bài toán trong các kỳ thi đại học, cao đẳng, học sinh giỏi quốcgia và Olympic

5 Đóng góp của đề tài

Đề tài có ý nghĩa về mặt lý thuyết, có thể sử dụng như là tài liệutham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy môn toánkhối Trung học Phổ Thông

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn bao gồm:

Phần mở đầu

Chương 1 Một số dạng toán về hệ phương trình

1.1 Các dạng toán cơ bản về hệ phương trình

1.2 Hệ phương trình chứa căn thức

1.3 Hệ phương trình chứa giá trị tuyệt đối

1.4 Hệ phương trình lượng giác

1.5 Hệ phương trình chứa hàm số mũ

1.6 Hệ phương trình chứa hàm logarit

1.7 Hệ phương trình không mẫu mực

1.8 Một số bài toán hệ phương trình

1.9 Hệ phương trình và một số đề thi Olimpic, học sinh giỏi

Chương 2 Sử dụng phần mềm Maple tìm nghiệm của hệ phương trình

Tài liệu tham khảo.

Quyết định giao đề tài luận văn thạc sĩ (bản sao)

CHƯƠNG 1 MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Nội dung chính của chương này nhằm giới thiệu một số dạng hệ phương trình và các phương pháp cơ bản để giải bài toán đồng thời cũng đưa ra những ví dụ điển hình cho các dạng hệ phương trình đó Giúp ta có cái nhìn khái quát về hệ phương trình và tìm hiểu về cách sáng tạo ra các hệ phương trình đó Các kiến thức có thể tham khảo tại các tài liệu [1], [2], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11].

vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng

Rõ ràng là hệ (1.1) có thể có một nghiệm, có thể vô nghiệm hoặc có vô

Vậy hệ phương trình trên có nghiệm duy nhất ( ; ) (1; 1)x y = − .

Định lý 1.2 Nếu D= 0 và D x ≠ 0 hoặc D y≠ 0 thì hệ (1.1) vô nghiệm.

Lời giải Sử dụng công thức (1.2) ta được:

2 Định lý 1.2 và 1.3 có thể tham khảo tại tài liệu [9, tr 97].

2 2,

3

Nhận xét 1.1 Trong thực tế cho thấy ta thường gặp những hệ phương trình

không có dạng (1.1) mà có dạng phức tạp hơn dạng này Ta đưa hệ này vềdạng (1.1) bằng cách sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để tìm nghiệm của hệ

đã cho Nội dung cốt lõi của phương pháp bao gồm các bước sau đây:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ

+ Bước 3: Đưa về hệ dạng (1.1), giải hệ tìm ẩn phụ, đối chiếu điều kiện,chọn nghiệm

+ Bước 4: Quay về tìm nghiệm hệ ban đầu

Giải hệ nhận được cho ta u= 56;v= 20, Từ đây ta thu được: 163, 49

Trong (1.7) ta đưa vào điều kiện:

2 2 0; 2 2 0

A +B ≠ a + ≠c

Định nghĩa 1.4 Một bộ ( , )x y* * được gọi là nghiệm của hệ (1.7) nếu ta thay

vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng

Các phương pháp giải:

- Phương pháp thế: Từ một phương trình rút ra một ẩn rồi thế vào phương

trình còn lại

- Phương pháp đặt ẩn phụ:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt ẩn phụ, điều kiện cho ẩn phụ

+ Bước 3: Giải hệ tìm ẩn phụ, đối chiếu điều kiện, chọn nghiệm

+ Bước 4: Quay về tìm nghiệm hệ ban đầu

( ) ( )2

2

x y x y

Định nghĩa 1.6 Một bộ ( , )x y* * được gọi là nghiệm của hệ (1.10) nếu ta thayvào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng.

Phương pháp giải:

Phương pháp đặt ẩn phụ:

+ Giải hệ với y= 0

+ Xét y≠ 0 Đặt x ty= và đưa hệ (1.10) về hệ ẩn y Khử y trong hệ này

được phương trình bậc hai theo t.

Vậy hệ phương trình có 4 nghiệm:

vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng

Hệ quả 1.1 Nếu hệ có nghiệm (x o,y o)thì hệ cũng có nghiệm (y o,x o)

Phương pháp giải:

+ Bước 1: Đặt điều kiện (nếu có)

+ Bước 2: Đặt S =x+ y, P=xy Với điều kiện của S P, và S2 ≥ 4P.+ Bước 3: Thay x y, bởi S P, vào hệ phương trình Giải hệ tìm S P, rồi suy ra nghiệm x y,

Nhận xét 1.2 Trong thực tế ta thường gặp những hệ phương trình chưa có

dạng (1.13) khi đó ta sử dụng các đẳng thức:

P S xy y

Lời giải Điều kiện: x≠ 0 ,y≠ 0, hệ trên tương đương với:

Khi đó hệ (1.15) trở thành: 2 2

4, 8.

S P

x y

trong đó ta thay x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương

trình kia của hệ và ngược lại, được gọi là hệ phương trình đối xứng loại hai

Định nghĩa 1.10 Một bộ ( , )x y* * được gọi là nghiệm của hệ (1.16) nếu tathay vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:

+ Trừ từng vế hai phương trình cho nhau

+ Đưa phương trình về dạng tích (x y F x y− ) ( , ) 0 = , trong đó F x y( , )

thường là một hàm bậc nhất hai biến hoặc là một phương trình đối xứngloại một

Vậy hệ phương trình ban đầu có hai nghiệm ( ; )x y ={(0;0),( 3; 3) − − }.

Khử bớt một ẩn để đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn bằng cáchdùng phương pháp cộng hay thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

Lời giải Rút zở phương trình thứ nhất của hệ ta được: z= − − 2 x y.

Thay z vào hai phương trình còn lại ta được:

Thay x, y vào phương trình thứ nhất ta được: z= − 2

Vậy hệ phương trình có một nghiệm ( ; ; ) (1;3; 2)x y z = − .

( , , , )x x x n được gọi là nghiệm của hệ (1.20) nếu

ta thay vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng

Định lý 1.4 Nếu hai hàm số f x g x( ), ( ) cùng tăng thực sự trên tập A và

1 2

( , , , )x x x n là nghiệm của hệ (trong đó x i∈A i, = 1;n) thì x1 =x2 = = x n.

Chứng minh Không giảm tổng quát giả sử x n =max( , , , )x x1 2 x n

Định lý 1.5 Nếu hàm số f x( ) giảm và g x( ) tăng trên tập A và ( , , , )x x1 2 x n

là nghiệm của hệ (trong đó x i∈A i, = 1;n) thì với n lẻ, x1 =x2 = = x n.

Chứng minh Không giảm tổng quát giả sử x n =max( , , , )x x1 2 x n

Định lý 1.6 Nếu hàm số f x( ) giảm và g x( ) tăng trên tập A và ( , , , )x x1 2 x n

là nghiệm của hệ (trong đó x i∈A i, = 1;n) thì với n chẵn, x1 = = =x3 x n−1,

Từ hệ (1.21) suy ra điều phải chứng minh

Trong giới hạn của luận văn ta chỉ xét hệ lặp ba ẩn và sử dụng phương phápgiải sau:

+ Bước 1 : Tìm tập các giá trị của hàm f t( ) và giả sử là tập I thì

mâu thuẫn.

Do đó: f x( ) =x Từ đó tìm được nghiệm của hệ

Ví dụ 1.10 Giải hệ phương trình sau:

f t đồng biến trên I Ta đi chứng minh f x( ) =x.

Thật vậy, từ hệ ta có : x f f f x = ( ( ( ) ) )và f x( ) đồng biến trên I

+ Với x= 0 ta có : g(0) 0 = ⇔ Phương trình (1.23) nghiệm đúng.

+ Với x> 0 ta có : g x( ) >g(0) 0 = ⇔ Phương trình (1.23) vô nghiệm.+ Với x< 0 ta có :  ( )g x <g(0) 0 = ⇔ Phương trình (1.23) vô nghiệm.Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất ( ; ; ) (0;0;0).x y z =

Ví dụ 1.11 Giải hệ phương trình:

z z y z

x x z x

Định nghĩa 1.16 Một bộ ( *, *)x y được gọi là nghiệm của hệ (1.25) nếu tathay vào vế phải thì ta nhận được các đẳng thức tương ứng.

Ta đưa và một số phương pháp giải sau:

A Phương pháp biến đổi tương đương

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Sử dụng các phép thế chuyển hệ ban đầu về hệ bậc hai đãbiết cách giải hoặc sử dụng các phép thế để nhận được từ một hệ phươngtrình theo ẩn x hoặc y (đôi khi có thể theo cả 2 ẩn x y, )

+ Bước 3: Giải phương trình hoặc hệ phương trình bằng phương pháp

đã biết

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm của hệ phương trình

Ví dụ 1.12 (ĐHCSND Khối G-2000) Giải hệ phương trình:

3 3

2, 26.

Nhận xét 1.3 Cách giải trên chúng ta đã sử dụng phương pháp thế để

chuyển việc giải hệ phương trình về giải một phương trình bậc ba Phươngpháp trên là phương pháp mở rộng tự nhiên từ phương pháp giải hệ gồm mộtphương trình bậc nhất và một phương trình bậc hai mà chúng ta đã biết

B Phương pháp đặt ẩn phụ

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số bậchai đã biết cách giải

+ Bước 3: Giải hệ nhận được.

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu

Ví dụ 1.13 (ĐHSP Khối A-2000) Giải hệ phương trình:

2 2

2

1

6, 6,

u v

Vậy hệ phương trình có nghiệm khi và chỉ khi x y 1 1 x y 1,1.

Lời giải Lấy phương trình thứ nhất của hệ (1.29) nhân với 5 và phương trình

thứ hai nhân 9 ta được phương trình đồng bậc:

Lấy phương trình thứ hai hệ (1.31) nhân 3 kết hợp với phương trình thứ nhất

Vì t= 0 không phải là nghiệm của phương trình (1.33) chia hai vế phươngtrình (1.33) cho t2 ta được:

2 2

5 2

7, 9.

y x y

y x y

−

= +Đặt x ty= ta được:

t t

2

t= là nghiệm duy nhất Với t= 2 ta có x= 2y thế vào phương trình thứ nhất

của hệ ta được y4 = ⇔ = 1 y 1 (vì y> 0), suy ra x= 2 Vậy hệ đã cho có nghiệm

là ( ; )x y =( )2;1 .

1.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN THỨC

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệmcủa hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình có chứa căn thức

Về cơ bản để giải quyết các bài toán dạng này ta thực hiện một số phươngpháp sau đây:

A Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Sử dụng các phép thế để nhận được từ hệ một phương trìnhtheo ẩn x hoặc y (đôi khi có thể là theo cả hai ẩn x y, )

+ Bước 3: giải phương trình nhận được bằng các phương pháp đã biếnđổi với phương trình chứa căn thức

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ phương trình



Cộng tương ứng theo vế hai phương trình của hệ được:

x x y2 + + + 1 y2 + + + =x y 1 10 (1.38)Thay vào phương trình thứ nhất của hệ (1.37) ta được:

x y+ = ⇔ = − 8 y 8 x

Thay vào (1.38) ta được:

Vậy hệ ban đầu có nghiệm duy nhất ( ; ) (4; 4).x y =

Nhận xét 1.4 Như vậy bằng việc tạo ra phương trình hệ quả từ hệ ban đầu rồi

tiếp tục với các phép thế chúng ta đã tìm được nghiệm của hệ phương trình vô

tỉ có dạng ban đầu khá phức tạp Chúng ta sẽ tiếp tục sử dụng ý tưởng này cho

ví dụ tiếp theo

Ví dụ 1.19 Giải hệ phương trình:

7 1, 78.

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đãbiết cách giải (hệ đối xứng loại một, loại hai và hệ đẳng cấp bậc hai).+ Bước 3: Giải hệ nhận được.

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu

Ví dụ 1.20 Giải hệ phương trình:

2 2

α β

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Từ hệ ban đầu chúng ta xác định được một phương trình hệquả theo một ẩn hoặc cả hai ẩn, giải phương trình này bằng phương pháphàm số đã biết

+ Bước 3: Giải hệ mới nhận được

Ví dụ 1.21 Giải hệ phương trình:

2 2

Đạo hàm: ( ) 2 3 0,

2 3

t

t t

Vậy phương trình thứ nhất của hệ (1.42) tương đương với:

1.3 PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệmcủa hệ hai phương trình hai ẩn, đó là các hệ phương trình có chứa dấu giátrị tuyệt đối Về cơ bản để giải quyết các bài toán dạng này ta thực hiện một

số phương pháp sau đây:

A Giải bằng định nghĩa và phương pháp chia khoảng

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi bằng định nghĩa hoặc chia khoảng

x x

+ Bước 2 Lựa chọn ẩn phụ để đưa hệ ban đầu về hệ đại số đã biết cáchgiải.

+ Bước 3: Giải hệ nhận được

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm cho hệ ban đầu

S

uv S

x y xy

Từ hệ (*) ta có x y, là nghiệm của phương trình: 2

1 ,

3 4

2

3 4

2

Phương trình (1.46) tương đương : 0 = − + ⇔ = −x 1 x 1, không thỏa mãn

D Sử dụng các tính chất của giá trị tuyệt đối

+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa (nếu cần) cho các biểu thức trongphương trình

+ Bước 2: Biến đổi phương trình để sử dụng tính chất đã biết

+ Bước 3: Giải phương trình đại số nhận được

+ Bước 4: Kết luận về nghiệm của hệ phương trình

1.

x y

1, 1,

0.

0.

x y

0, 0.

2 2 3 2 0,

1, ,

F Sử dụng phối hợp nhiều phương pháp

Trong mục này sẽ minh họa ví dụ được giải bằng nhiều phương phápkhác nhau

Cách 2: Sử dụng phương pháp chia khoảng

2

không thỏa mãn điều kiện x< 0 Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ; ) (1;1).x y =

1.4 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Nội dung cơ bản của phần này nói về các phương pháp đi tìm nghiệmcủa các dạng hệ phương trình lượng giác cơ bản:

a Với các hệ phương trình lượng giác dạng:

2 2

x y y

b Với hệ phương trình lượng giác có dạng:

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:

Chuyển tích f x g y( ) ( ) =m thành tổng bằng một trong các công thức:

2 1

2 1

4

trong đó f x( ) là một hàm số lượng giác theo biến x

Ta đưa vào phương pháp giải như sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho f y( ) 0 ≠

+ Bước 2: Biến đổi phương trình thứ nhất dựa vào phương pháp luận hệ

số để làm xuất hiện phương trình thứ hai và biểu thức còn lại của hệ (1.54).+ Bước 3: Tìm nghiệm của hệ

Ví dụ 1.32 Giải hệ phương trình:

sinx

2, sin

Phương trình trên kết hợp với phương trình thứ hai của hệ (1.55) ta có:

x y

Lời giải Điều kiện:

Nhận xét 1.6 Nếu ta chỉ dùng phương trình thứ nhất hoặc thứ hai để tính x,

ta có thể thu được nghiệm ngoại lai, vì ở bước thứ nhất ta đã thực hiện mộtphép biến đổi không tương đương

e Với hệ phương trình lượng giác dạng:

( ), cos

f y x

ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Bình phương phương trình thứ nhất và thứ hai rồi trừ theo vế

để thu được phương trình hệ quả:

Thay (1.61) vào hệ (1.60) ta được:

+ Bằng phép đặt ẩn phụ thích hợp ta sẽ chuyển hệ phương trình lượng

giác về hệ đại số quen thuộc

Ví dụ 1.35 Giải hệ phương trình:

2 2

x

k l y

Ta thực hiện theo các bước:

+ Bước 1: Đặt điều kiện có nghĩa cho hệ

+ Bước 2: Xét một phương trình nhận được từ hệ (có thể là phương trình

hệ quả), sử dụng phương pháp hàm số giải phương trình này

+ Bước 3: Chuyển hệ về dạng mới để xác định nghiệm.

x

k l y

y y

A Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ

+ Phương pháp được sử dụng nhiều nhất để giải hệ phương trình mũ làviệc sử dụng các ẩn phụ Tùy theo dạng hệ mà lựa chọn phép đặt ẩn phụ thíchhợp Ta thực hiện theo các bước sau:

+ Bước 1: Đặt điều kiện cho các biểu thức trong hệ có nghĩa

+ Bước 2: Lựa chọn ẩn phụ để biến đổi hệ ban đầu về các hệ đại số đãbiết cách giải (hệ bậc nhất hai ẩn, hệ đối xứng loại một, hệ đối xứng loại hai

và hệ đẳng cấp bậc hai)

+ Bước 3: Giải hệ nhận được

+ Bước 4: Kết luận nghiệm cho hệ ban đầu