BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠMNGUYẾN THỊ NGỌC MỸ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.0113 N

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYẾN THỊ NGỌC MỸ

BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG

TRONG HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mã số: 60.46.0113

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU

ĐÀ NẴNG - NĂM 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các số liệu,kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bốtrong bất kỳ công trình nào khác.

Đà Nẵng, tháng 4 năm 2014

Học viênNguyễn Thị Ngọc Mỹ

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4 1.1 SỐ PHỨC 4

1.1.1 Định nghĩa số phức 4

1.1.2 Dạng đại số của số phức 7

1.1.3 Dạng lượng giác của số phức 10

1.2 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC SƠ CẤP 16

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác 16

1.2.2 Phép biến hình tuyến tính 17

1.2.3 Phép nghịch đảo 18

1.2.4 Phép biến hình phân tuyến tính 19

1.3 CÁC BẤT ĐẲNG THỨC CỐ ĐIỂN LIÊN QUAN 21

1.3.1 Bất đẳng thức Cauchy 21

1.3.2 Bất đẳng thức dạng nội suy 22

1.3.3 Bất đẳng thức Ostrowski 23

1.3.5 Tích trong 251.4 BIỂU DIỄN DẠNG PHỨC CỦA MỘT SỐ YẾU TỐ

HÌNH HỌC 261.4.1 Tích vô hướng, tích lệch, tỉ số đơn, tỉ số kép 261.4.2 Phương trình đường thẳng 301.5 MODUN, ARGUMENT VÀ CÁC HỆ THỨC LIÊN QUAN 321.5.1 Modun của số phức 321.5.2 Argument của số phức 34

CHƯƠNG 2 MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG SỐ PHỨC

VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC 372.1 MỞ RỘNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC TỪ DẠNG

THỰC SANG DẠNG PHỨC 372.1.1 Dạng phức của bất đẳng thức Cauchy 372.1.2 Mở rộng khác(dạng phức) của bất đẳng thức Cauchy 392.2 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC SỐ PHỨCVÀO CHỨNG MINH HÌNH HỌC 402.3 ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀ BẤT ĐẲNG THỨC TRONG

SỐ PHỨC VÀO CỰC TRỊ HÌNH HỌC 46

QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Ngay từ thời cổ đại, người nguyên thủy đã sử dụng phép đếm khởi đầucho sự ra đời của hệ thống số-tập các số tự nhiên Tiếp theo đó,để đápứng yêu cầu ngày càng cao của con người thì hệ thống số ngày càng được

mở rộng, từ tập hợp các số tự nhiên mở rộng lên tập các số nguyên rồiđến tập các số hữu tỉ rồi sau đó đến tập hợp các số thực Đến thế kỉ XIX

do nhu cầu phát triển của toán học về giải những phương trình đại số, sốphức đã ra đời nhằm hoàn thiện thêm hệ thống số Số phức đã thúc đẩynền toán học tiến lên mạnh mẽ và giải quyết những vấn đề của khoa học

và kĩ thuật đặt ra

Đối với học sinh bậc THPT thì số phức là một nội dung còn mới mẻ,học sinh được tiếp cận với số phức trong chương trình giải tích 12 với thờilượng không nhiều nên chỉ mới biết được những kiến thức cơ bản của sốphức Đặc biệt, về bất đẳng thức số phức thì SGK 12 chưa đề cập tới.Thưc chất nó là phần quan trọng trong toán học và những kiến thức đócũng làm phong phú thêm phạm vi ứng dụng của toán học

Nhằm giúp các em hoc sinh hiểu thêm về bất đẳng thức số phức, nângcao năng lực ứng dụng bất đẳng thức số phức trong hình học và giúp các

em có thêm phương tiện để chứng minh, tính toán, tìm cực trị của các bàitoán hình học nên nên tôi chọn đề tài “Bất đẳng thức trong số phức vàmột số ứng dụng trong hình học” làm luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Đề tài “Bất đẳng thức trong số phức và một số ứng dụng trong hìnhhọc” được nghiên cứu với mục đích trình bày đầy đủ các kiến thức tổngquan , các kĩ thuật cơ bản về phương pháp sử dụng số phức để tiếp cậncác bài toán giải các bài toán về bất đẳng thức và các dạng toán tronghình học

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

− Đối tượng nghiên cứu: các tài liệu về số phức, về bất đẳng thức, một

số ứng dụng trong hình học

− Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu từ các tài liệu của giáo viên hướngdẫn, các bạn học viên trong lớp, và các tài liệu sưu tầm được, đồng thời

sử dụng các trang wed như: diendantoanhoc.net, math.vn,

4 Phương pháp nghiên cứu

Tổng hợp các tài liệu liên quan, nắm cốt lõi nội dung kiến thức từ đósắp xếp trình bày một cách có hệ thống và khai thác các ứng dụng theo

đề tài đã chọn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Làm rõ các nghiên cứu đã có, tìm hiểu sâu hơn về bất đẳng thức trong

1.2 Các phép biến hình bảo giác sơ cấp

1.3 Các bất đẳng thức cổ điển liên quan

1.4 Biểu diễn dạng phức của một số yếu tố hình học

1.5 Modun, argument và các hệ thức liên quan

Chương 2 Một số dạng bất đẳng thức trong số phức và ứng dụng tronghình học

2.1 Mở rộng một số bất đẳng thức từ dạng thực sang dạng phức.2.2 Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về chứng minh

2.3 Ứng dụng bất đẳng thức trong số phức để giải toán về cực trị hìnhhọc.

Kết luận

Định lý 1.1 (C, +, ) là một trường (nghĩa là trên C với các phép toán

đã định nghĩa có các tính chất tương tự như trên R với các phép toán cộngnhân thông thường)

(viii) Tồn tại phần tử nghịch đảo

(ix) Phép nhân phân phối với phép cộng

Đơn vị ảo

Đặt i = (0, 1) Ta có

i2 = (0, 1)(0, 1) = (0.0 − 1.1, 0.1 + 1.0) = (−1, 0)

Theo trên ta đã đồng nhất số phức (−1, 0) với số thực −1 Vậy i2 = −1

Hay số phức i là nghiệm của pt x2 + 1 = 0 Ta gọi i là đơn vị ảo

Mệnh đề 1.1 Mỗi số phức tùy ý ∀z = (a, b) có thể biểu diễn duy nhấtdưới dạngz = a + ib Với a, b là những số thực tùy ý và trong đói2 = −1.Biểu thức a + ib là dạng đại số của số phức ∀z = (a, b) Do đó

C = a + ib/a, b ∈ R, i2 = −1

Các khái niệm liên quan

a = Rez được gọi là phần thực của số phức z

b = Imz được gọi là phần ảo của số phức z

i được gọi là đơn vị ảo

Nếu số phức z có phần thực a = 0 gọi là thuần ảo

Số phức có phần ảo b = 0 gọi là số thực

Hai số phức z1 và z2 gọi là bằng nhau nếu

( Re(z1) = Re(z2)Im(z1) = Im(z2)

Số phức z ∈ R ⇔ Im(z) = 0

Số phức z ∈ C\R nếu Im(z) 6= 0

Các phép toán trên dạng đại số

Tương tự ta cũng có định nghĩa phép toán cộng và nhân như sau

C = a + ib/a, b ∈ R, i2 = −1 (i) Phép cộng: Tổng của hai số phức z1 = a1 + ib1; z2 = a2+ ib2 là một sốphức z được xác định

z = a1 + a2 + i(b1 + b2)

Kí hiệu

z = z1 + z2

(ii) Phép nhân: Tích của hai số z1 = a1+ ib1; z2 = a2+ ib2 là một số phức

4 Ta có

z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i = (a1 + a2) − (b1 + b2)i = (a1 − ib1) +(a2 − ib2) = z1 + z2

5 Ta có

Điểm gốc O là điểm duy nhất có r = 0 và α không xác định.

Mỗi điểm M trong mặt phẳng có duy nhất điểm (1, α) là giao điểm củatia OM với đường tròn đơn vị tâm O

Theo định nghĩa sin và cosin

( b > 0

b < 0

Biểu diễn lượng giác của số phức

Cho số phức z = a + ib Ta có thể viết z dưới dạng cực

z = r [cos (θ − 2kπ) + i sin (θ − 2kπ)] = r(cosθ + i sin θ)

Tức là số phức z bất kì có thể viết z = r(cosϕ + i sin ϕ), r ≥ 0, ϕ ∈ R.

Khi đó, ta nói z được biểu diễn dạng lượng giác

Tập arg z = {ϕ,ϕ+2kπ, k ∈ Z} gọi là argument mở rộng của z

Do đó hai số phức z1, z2 6= 0 biểu diễn dạng lượng giác

z1z2 = r1r2(cos α1 + i sin α1) (cos α2 + i sin α2)

= r1r2[(cos α1cos α2 − sin α1sin α2) + i (cos α1sin α2 + cos α2sin α1)]

• Công thức de Moivre

Cho z = r(cosα + i sin α) và n ∈R

Ta có zn = rn(cosnα + i sin nα)

Chứng minh

Dùng công thức nhân với z = z1 = z2 = = zn

zn = r.r r [cos(α + α + + α) + i sin (α + α + + α)] = rn(cos nα + i sin nα)

eiα = cos α + i sin α; e−iα = cos α − i sin α, ∀α ∈ R.

eiα = cosα + i sin α = cosα − i sin α = cos(−α) + i sin(−α) = e−iα

Căn bâc n của đơn vị và biểu diễn hình học của số phức

Căn bậc n của số phức

Định nghĩa 1.3 Cho số phức ω 6= 0 và số nguyên n ≥ 2 khi đó nghiệm

z của pt zn− ω = 0 là căn bậc n của số phức z

Mệnh đề 1.4 Cho số phức ω = r (cosα + i sin α), với r > 0, α ∈ [0, 2π).Khi đó căn bậc n của số phức ω gồm n số phân biệt xác định bởi pt

Chẳng hạn cho k lần lượt nhận các giá trị k = 0, 1, 2, , n − 1 ta sẽ được

n giá trị căn bậc n của Z

Bởi vì các cungMoM1, M1M2, , Mn−1Mo có số đo bằng nhau nên đa giác

M0M1 Mn−1 đều

Căn bậc n của đơn vị

Một nghiệm pt zn − 1 = 0 gọi là một căn bậc n của đơn vị

Biểu diễn 1dưới dạng lượng giác, 1 = cos 0 + i sin 0, từ công thức tìm cănbậc n của số phức, ta có căn bậc n của đơn vị là:

Số zk ∈ Un gọi là căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, nếu mọi số nguyêndương m < n ta có: zmk 6= 1

Biểu diễn hình học các căn bậc ncủa đơn vị(n ≥ 3) là các điểm tạo thànhmột n giác đều nội tiếp đường tròn tâm O bán kính 1

1.2 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH BẢO GIÁC SƠ CẤP

1.2.1 Định nghĩa phép biến hình bảo giác

Định nghĩa 1.4 Phép biến hình ω = f (z) được gọi là bảo giác tại z nếuthỏa mãn hai điều kiện sau:

i Bảo toàn góc giữa hai đường cong bất kì qua điểm z (kể cả độ lớn vàhướng)

ii Có hệ số co dãn không đổi tại z, nghĩa là mọi đường cong đi qua điểmnày đều có hệ số co dãn như nhau qua phép biến hình

Phép biến hình ω = f (z) được gọi là bảo giác trong miền D nếu nó bảogiác tại mọi điểm của miền này

Định lý sau đây cho điều kiện đủ của phép biến hình bảo giác

Định lý 1.2 Nếu hàm ω = f (z) khả vi tại z và f0(z) 6= 0 thì phép biếnhình thực hiện bởi hàm ω = f (z) bảo giác tại điểm z, đồng thời arg f0(z)

là góc quay và |f0(z)| là hệ số co dãn tại điểm z của phép biến hình đó

Từ định lý này suy ra rằng phép biến hình ω = f (z) giải tích trong miền

D và f0(z) 6= 0, ∀z ∈ D thì nó là một phép biến hình bảo giác trong D

Phép quay tâm O, góc quay ϕ

Phép tịnh tiến theo vecto b

Vậy phép biến hình tuyến tính là một phép biến hình đồng dạng (hợp củaphép vị tự, phép quay, phép tịnh tiến) Nó biến một hình bất kì thành mộthình đồng dạng với nó Đặc biệt, biến một đường tròn thành một đườngtròn, biến một đường thẳng thành một đường thẳng, một đa giác thànhmột đa giác đồng dạng

Ví dụ 1.1 Tìm hàm ω = f (z) biến hình tam giác vuông cân A(3 +2j), B(7+2j), C(5+4j)thành tam giác vuông cân tạiO1, B1(−2j), C1(1−j)

Giải

Vì các tam giác ABC và OB1C1 đồng dạng nên phép biến hình được thựchiên bằng một hàm bậc nhấtω = az + b Phép biến hình này có thể phântích thành các phép biến hình liên tiếp sau đây

Phép tịnh tiến từ A về gốc , xác định bằng vecto (−3 − 2j) Phép tịnhtiến này được xác định bởi hàm ξ = z − (3 + 2j)

Phép quay quanh một góc −π

2 , ứng với hàm ω = ξe

−jπ2

Hai điểm A, B nằm trên một tia xuất phát từ tâm I của đường tròn(C)

bán kính R được gọi là liên hợp hay đối xứng qua (C) nếu

1

¯z

= 1,

do đó

z và ω =¯ 1

¯

z đối xứng nhau qua đường tròn đơn vị.

Vậy phép biến hình nghịch đảo ω = 1

z là hợp của phép đối xứng qua đường

tròn đơn vị và phép đối xứng qua trục thực Phép biến hình này biến: Một đường tròn đi qua O thành một đường thẳng

Một đường tròn không đi qua O thành một đường tròn

Một đường thẳng đi qua O thành một đường thẳng qua Oxy

Một đường thẳng không đi qua O thành một đường tròn đi qua O

Nếu ta xem một đường thẳng là một đường tròn (có bán kính vô hạn) thìphép biến hình ω = 1

z biến một đường tròn thành một đường tròn

Ảnh của đường tròn |z| = R là đường tròn |ω| = R1, ảnh của đường tròn

|z| < R là phần ngoài hình tròn |ω| > 1

R Ảnh của điểm M trên tia OB

là N trên tia OB0, B0 đối xứng với B qua trục thực và ON.OM = 1

Ví dụ 1.2 Tìm ảnh của hình tròn |z| < 1 qua phép biến hình ω = 1

z

Giải

Dễ dàng thấy rằng ảnh của đường tròn |z| = a, (0 < a < 1) là đường tròn

|w| = 1

a .

Khi a biến thiên từ 0 đến 1 , thì 1

a giảm từ +∞ → 1 Trong khi đường

tròn |z| = a quét nên hình tròn |z| < 1 thì ảnh của nó quét trên miền

|w| > 1

Tóm lại ảnh của miền |z| < 1 là miền |w| > 1

1.2.4 Phép biến hình phân tuyến tính

c ; ∞ nên phép biến hình bảo

giác tại mọi điểm z 6= −d

c ; ∞.

ω = az + b

cz + d =

acz + bcc(cz + d) =

a(cz + d) + bc − adc(cz + d) =

Vì các phép biến hình tuyến tính và nghịch đảo biến một đường tròn thànhmột đường tròn và bảo toàn tính đối xứng của 2 điểm đối xứng qua đườngtròn , nên phép biến hình phân tuyến tính cũng có tính chất đó

Phép biến hình phân tuyến tính ω = az + b

z + cd

Vì vậy chỉ phụ thuộc 3 tham số Do đó một hàm phân tuyến tính được hoàntoàn xác định khi biết ω1, ω2, ω3 của 3 điểm khác nhau bất kìz1, z2, z3 Đểxác định 3 tham số a1, b1, d1 ta giải hệ phương trình sau đây:

tính bảo toàn vị trí điểm đối xứng thì điểm z = a phải chuyển thành điểm

w = ∞ Vậy phép biến hình phải tìm có dạng

Theo tính bảo toàn vị trí đối xứng thì điểm b = 1

a nằm đối xứng với a qua

đường tròn |z| = 1 phải chuyển thành điểm w = ∞.Phép biến hình cầntìm có dạng

Vì z = 1 và |w| = 1 nên ta có

K1 − a

1 − a

... rộng bất đẳng thức Cauchy cho bốn số< /p>

Sử dụng kỹ thuật bất đẳng thức Cauchy

Dấu đẳng thức. .. biến hình tuyến tính nghịch đảo biến đường trịn thànhmột đường trịn bảo tồn tính đối xứng điểm đối xứng qua đườngtrịn , nên phép biến hình phân tuyến tính có tính chất

Phép biến hình phân... thực Phép biến hình biến: Một đường trịn qua O thành đường thẳng

Một đường trịn khơng qua O thành đường tròn

Một đường thẳng qua O thành đường thẳng qua Oxy

Một đường thẳng