PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

Từ hệ tiên đề này, hình học đã thoát ra khỏi những tính toán thuần túy để khoác lên mình những suy luận logic, chặt chẽ và chính xác.Qua hơn 2000 năm phát triển với nhiều loại hình học r

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HẠ THI GIANG

PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2014

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN HẠ THI GIANG

PHÉP BIẾN ĐỔI CO DÃN

VÀ ỨNG DỤNG TRONG

GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP

Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số : 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Trần Đạo Dõng

Đà Nẵng - Năm 2014

Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.

Các số liệu kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được

ai công bố trong bất kỳ công trình nào khác

Học viên

Nguyễn Hạ Thi Giang

MỞ ĐẦU 1

1 Tính cấp thiết của đề tài 1

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 1

4 Phương pháp nghiên cứu 1

5 Bố cục đề tài 1

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 1

CHƯƠNG 1 CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 3

1.1 SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI 3

1.1.1 Các định nghĩa ban đầu về phép biến đổi 3

1.1.2 Một số phép biến đổi thường gặp trong mặt phẳng 5

1.1.3 Một số phép biến đổi thường gặp trong không gian 7

1.1.4 Một số kiến thức liên quan về ellipse, ellipsoid 8

1.1.5 Một số định lý hình học cổ điển 10

1.2 PHÉP CO DÃN TRONG MẶT PHẲNG 10

1.2.1 Phép co dãn với hệ số dương 11

1.2.2 Tính chất 11

1.2.3 Phép co dãn với hệ số khác không 16

1.3 PHÉP CO DÃN TRONG KHÔNG GIAN 18

1.3.1 Phép co dãn với hệ số dương 18

1.3.2 Tính chất 18

1.3.3 Phép co dãn với hệ số khác không 23

1.4.1 Phép co dãn theo phương cho trước 24

1.4.2 Tính chất 25

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG PHÉP CO DÃN TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC SƠ CẤP 32

2.1 BÀI TOÁN KHẢO SÁT TÍNH CHẤT PHÉP CO DÃN 32

2.1.1 Các bài toán trong mặt phẳng 32

2.1.2 Các bài toán trong không gian 37

2.1.3 Các bài toán tương tự 42

2.2 BÀI TOÁN CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC 44

2.2.1 Các bài toán trong mặt phẳng 44

2.2.2 Các bài toán trong không gian 48

2.2.3 Các bài toán tương tự 50

2.3 BÀI TOÁN VỀ CỰC TRỊ HÌNH HỌC 52

2.3.1 Các bài toán trong mặt phẳng 52

2.3.2 Các bài toán trong không gian 57

2.3.3 Các bài toán tương tự 61

2.4 BÀI TOÁN TÌM TẬP HỢP ĐIỂM (QŨY TÍCH) 62

2.4.1 Các bài toán trong mặt phẳng 62

2.4.2 Các bài toán trong không gian 66

2.5 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN HỆ TỌA ĐỘ DESCARTES 69

2.5.1 Các bài toán trong mặt phẳng 69

2.5.2 Các bài toán trong không gian 72

2.5.3 Các bài toán tương tự 73

KẾT LUẬN 82DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 83QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Như chúng ta từng biết, hình học đã xuất hiện từ thời cổ đại

do nhu cầu đo đạc đất đai hay để xây những kim tự tháp khổng lồ

Từ đó, bằng những cảm nhận vật lý và nhu cầu xây dựng môn hìnhhọc của mình, nhà toán học Euclide đã đưa ra hệ tiên đề (thế kỷ IIItr.CN) trong tác phẩm "Cơ bản" nổi tiếng suốt 2300 năm qua Từ

hệ tiên đề này, hình học đã thoát ra khỏi những tính toán thuần túy

để khoác lên mình những suy luận logic, chặt chẽ và chính xác.Qua hơn 2000 năm phát triển với nhiều loại hình học ra đời, tạiĐại Hội "Erlangen 1872", nhà toán học người Đức Felix Klein (1849-1925) đã đưa ra quan điểm hình học của mình qua việc nghiên cứunhóm các phép biến đổi sao cho một số đối tượng hình học trở nênbất biến Khi đó, các mối liên hệ giữa các điểm, đường thẳng, góc có thể được xây dựng thông qua các phép biến đổi hình học

mà ta có thể gọi tắt là Phép biến đổi

Hiện nay, các phép biến đổi là một trong những nội dung quantrọng của chương trình Toán bậc phổ thông trung học (PTTH), đặcbiệt được sử dụng bồi dưỡng học sinh giỏi, lớp chuyên, lớp chọn, trongcác kì thi VMO, IMO Trong nhiều phép biến đổi đã được xây dựngthì phép biến đổi co dãn vẫn có nhiều ứng dụng quan trọng để giảinhững bài toán hình học sơ cấp Được sự định hướng của PGS.TSTrần Đạo Dõng và bản thân mong muốn tìm hiểu thêm về phépbiến đổi hình học này, tôi đã chọn đề tài : "PHÉP BIẾN ĐỔI CODÃN VÀ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN HÌNH HỌC

SƠ CẤP" làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là khai thác các tính chất, đặctrưng của phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và trong không gian

để khảo sát một số chủ đề hình học trong chương trình PTTH

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Khai thác phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng và trong khônggian để giải các dạng bài toán cơ bản trong hình học như : bài toánchứng minh các tính chất hình học, bài toán cực trị hình học, bàitoán quỹ tích và các bài toán liên quan trong hệ tọa độ Descartes

4 Phương pháp nghiên cứu

• Tham khảo tài liệu về phép biến đổi co dãn trong mặt phẳng vàkhông gian, hệ thống các kiến thức liên quan

• Trao đổi, tham khảo ý kiến của giáo viên hướng dẫn và đồngnghiệp

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

• Góp phần nâng cao hiệu quả dạy và học một số chủ đề cơ bảntrong hình học thuộc chương trình toán bậc PTTH

• Hệ thống phương pháp giải và ứng dụng phép biến đổi co dãn

• Phát huy tư duy, tính tự học và sáng tạo của học sinh

CHƯƠNG 1CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN

Ở chương 1, chúng tôi giới thiệu các kiến thức cơ sở sẽ được sử dụngtrong luận văn 1

1.1 SƠ LƯỢC VỀ CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI

Ở mục này ta nhắc lại một số định nghĩa về phép biến đổi hình học(gọi tắt là phép biến đổi) trong mặt phẳng và trong không gian

1.1.1 Các định nghĩa ban đầu về phép biến đổi

Giả sử P là một mặt phẳng (hoặc không gian)

Định nghĩa 1.1.1 (Phép biến đổi)

Phép biến đổi trong P là một quy tắc sao cho mỗi điểm M thuộc P xácđịnh được duy nhất một điểm M0 cũng thuộc P Kí hiệu:

f : P −→ P

M 7−→ M0 = f (M )

Khi đó:

• M0 được gọi là ảnh của M qua phép biến đổi f

• M được gọi là tạo ảnh của M0 qua phép biến đổi f

Định nghĩa 1.1.3 (Phép biến đổi 1-1) 2

Cho một phép biến đổi f trong P Nếu ứng với mỗi ảnh M0 chỉ có duynhất một tạo ảnh M thì f là một phép biến đổi 1 − 1 hay còn gọi là phépbiến hình

Định nghĩa 1.1.4 (Đại lượng bất biến)

Cho một phép biến đổi f trong P Giả sử (A ) một đại lượng hình học nào

đó (điểm, đoạn thẳng, đường thẳng, mặt phẳng, ) sao cho f (A ) = (A )

thì (A ) được gọi là đại lượng bất biến của f Trường hợp (A ) là một điểmthì điểm đó còn được gọi là điểm bất động của f

Định nghĩa 1.1.5 (Phép biến đổi đồng nhất)

Cho một phép biến đổi f trong P Nếu mọi điểm M trong P đều là điểmbất động thì f được gọi là phép biến đổi đồng nhất

Kí hiệu: f = Id

Định nghĩa 1.1.6 (Phép biến đổi trùng nhau)

Cho hai phép biến đổi f, g trong P Với mọi điểm M thuộc P, ta có

f (M ) = M0 = g(M ) thì f, g được gọi là hai phép biến đổi trùng nhau Kíhiệu: f = g

Định nghĩa 1.1.7 Cho hai phép biến đổi f, g trong P Giả sử X là mộttập hợp các điểm trong P Nếu f = g, ∀M ∈ X thì f, g được gọi là trùngnhau cục bộ

Từ định nghĩa 1.1.7, ta có nhận xét sau:

Nhận xét 1.1.1 Nếu f = g thì f, g trùng nhau cục bộ Điều ngược lạinói chung không đúng

Định nghĩa 1.1.8 (Tích các phép biến đổi)

Cho hai phép biến đổi f : M 7−→ M0, g : M0 7−→ M00 trong P Khi đó,

2 Định nghĩa 1.1.3 kết hợp từ hai tài liệu tham khảo [5] [9].

phép biến đổi biến M thành M00 được gọi là tích của hai phép biến đổi f, g.

Kí hiệu: g ◦ f : M 7−→ M00

Định nghĩa 1.1.9 Cho n phép biến đổi f1, f2, , fn trong P Tích của

n phép biến đổi đã cho là một phép biến đổi được thực hiện liên tiếp theomột thứ tự xác định Kí hiệu: F = fn ◦ fn−1 ◦ ◦ f1

Định nghĩa 1.1.10 (Phép biến đổi ngược)

Cho hai phép biến đổi f, g trong P Nếu g ◦ f là phép biến đổi đồng nhấtthì g được gọi là phép biến đổi ngược của f Kí hiệu : f−1

Định nghĩa 1.1.11 (Phép biến hình đối hợp)

Một phép biến hình f trong P có phép biến đổi ngược là chính nó thì f

được gọi là một phép biến hình đối hợp

1.1.2 Một số phép biến đổi thường gặp trong mặt phẳngTrong mặt phẳng, ta có hai lớp phép biến đổi quen thuộc ở bậc PTTH

là lớp các phép dời hình và lớp các phép đồng dạng Sau đây, chúngtôi nhắc lại các định nghĩa của một số phép biến đổi thuộc hai lớp này

3 Xem các định nghĩa 1.1.11, 1.1.12 ở tài liệu tham khảo [8].

a Lớp các phép dời hình phẳng

Định nghĩa 1.1.13 (Phép tịnh tiến)

Cho một vector −→u Phép tịnh tiến theo vector −→u là một phép biến hình

biến điểm M thành M0 sao cho −−−→

M M0 = −→u Kí hiệu: T−→

u.Định nghĩa 1.1.14 (Phép đối xứng trục)

Cho một đường thẳng ∆ Phép đối xứng trục ∆ là một phép biến hình biếnđiểm M thành M0 sao cho M M0 nhận ∆ làm đường trung trực

Kí hiệu: D∆

Định nghĩa 1.1.15 (Phép đối xứng trượt)

Cho đường thẳng ∆ và vector −→u có phương song song với ∆ Xét phép

Định nghĩa 1.1.17 (Phép đối xứng tâm)

Phép đối xứng tâm là phép biến hình biến điểm M thành điểm M0 sao cho

M M0 nhận O làm trung điểm Kí hiệu: DO

Từ các định nghĩa 1.1.16 và 1.1.17, ta có nhận xét

Nhận xét 1.1.3 Phép đối xứng tâm là phép quay tâm O, góc quay 180◦

b Lớp các phép đồng dạng phẳng

Cho một số thực k > 0 Phép đồng dạng là phép biến hình biến hai điểm

M, N thành hai điểm M0, N0 sao cho M0N0 = k.M N kí hiệu: Dk

Từ định nghĩa 1.1.19, ta đi đến nhận xét sau :

Nhận xét 1.1.4 Phép đồng dạng Dk là tích của một phép vị tự V(O,k)(k >0) và một phép dời hình

Thông thường, chúng ta hay xét đến phép đồng dạng có chứa một điểmkép O (điểm bất động) Khi đó, Dk là tích giao hoán của một phép vị tự

và một phép quay tâm O Kí hiệu:

Z(O,k,ϕ) = Q(O,ϕ) ◦ V(O,k) = V(O,k)◦ Q(O,ϕ)(k > 0)

1.1.3 Một số phép biến đổi thường gặp trong không gianTrong mục trên, ta đã nhắc lại một số phép biến đổi thường gặp trongmặt phẳng Trong không gian, chúng vẫn có định nghĩa hoàn toàn tương

tự Vì thế, để tiện cho việc trình bày, mục này chỉ giới thiệu những địnhnghĩa về các phép biến đổi đặc trưng trong không gian 4

Định nghĩa 1.1.20 (Phép đối xứng mặt)

Cho mặt phẳng (P ) Phép đối xứng qua mặt (P ) là một phép biến hìnhbiến điểm M thành điểm M0 sao cho (P ) là mặt phẳng trung trực của

M M0 Kí hiệu: D(P )

Định nghĩa 1.1.21 (Phép chiếu theo một phương cho trước)

Cho mặt phẳng (P ) và đường thẳng ∆ cắt (P ) Phép chiếu theo phương

4 Tham khảo chủ yếu từ tài liệu [10].

(∆) lên (P ) là phép biến đổi biến M thành M0 sao cho

Định nghĩa 1.1.22 (Phép chiếu xuyên tâm)

Cho một mặt phẳng (P ) và điểm O /∈ (P ) Phép chiếu xuyên tâm O làmột phép biến đổi biến M thành M0 ∈ (P ) sao cho M, O, M0 thẳng hàng

Kí hiệu: S(O,(P ))

1.1.4 Một số kiến thức liên quan về ellipse, ellipsoid

Ở mục này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức liên quan về ellipsetrong hệ tọa độ Oxy và ellipsoid trong hệ tọa độ Oxyz

Định nghĩa 1.1.23 (Định nghĩa ellipse) 5

Cho hai điểm cố định F1, F2 với F1F2 = 2c và đoạn thẳng A1A2 = 2a,

(a > c > 0) Tập hợp các điểm M trong mặt phẳng thỏa mãn

M F1 + M F2 = 2a

được gọi là một đường ellipse Trong đó, F1, F2 được gọi là tiêu điểm, 2c

được gọi là tiêu cự của ellipse

Từ định nghĩa này, ta có định lý sau:

Định lý 1.1.2 Mọi ellipse trong mặt phẳng tọa độ Oxy đều có phươngtrình chính tắc dưới dạng

Định lý 1.1.3 Mọi ellipse trong mặt phẳng tọa độ Oxy đều có phươngtrình tổng quát dưới dạng Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, với

B2 < 4AC

Định lý 1.1.4 Cho ellipse có độ dài hai trục là 2a và 2b thì diện tíchellipse là : S(E) = π.ab

Định nghĩa 1.1.24 (Định nghĩa mặt ellipsoid) 6

Cho hệ trục tọa độ Oxyz, cho nửa ellipse thuộc nửa mặt phẳng trên của

(Oxy) có phương trình là (E) : x

Tổng quát các trường hợp này, ta có định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.1.25 Cho hệ trục tọa độ Oxyz, mặt ellipsoid có phươngtrình

được gọi là mặt ellipsoid tổng quát (hay mặt ellipsoid lệch)

Nếu a = b > c thì (E) được gọi là phỏng cầu dẹt

Nếu a = b < c thì (E) được gọi là phỏng cầu dài

Để đơn giản, chúng ta có thể viết tắt mặt ellipsoid là ellipsoid

6 Tham khảo ở tài liệu [10].

7 Xem chứng minh diện tích ellipse, thể tích khối ellipsoid ở các bài toán 2.6.1, 2.6.8.

8 Xem các định lý Menelaus và Ceva ở tài liệu [3], [5], công thức Heron ở tài liệu [12].

9 Tham khảo chủ yếu ở tài liệu [9].

1.2.1 Phép co dãn với hệ số dương

Định nghĩa 1.2.1 Cho một đường thẳng d và một số k > 0 Với điểm

M bất kỳ không thuộc đường thẳng d, ta dựng điểm M0 sao cho

Chứng minh Giả sử Γ(d,k)(M1) = Γ(d,k)(M2) = M0 và H là chân đườngvuông góc hạ từ M1 xuống d Theo định nghĩa 1.2.1, ta có M, M1, M2, H

k ) là phép biến đổi ngược của Γ(d,k).Chứng minh Giả sử P là mặt phẳng đang khảo sát, ta có sơ đồ sau:

với H0 là chân đường vuông góc hạ từ M0, M00 xuống d Vậy H, H0 cùng

là chân đường vuông góc hạ từ M0 xuống d Suy ra, H ≡ H0

Viết lại (1.2) dưới dạng

Chứng minh Giả sử A, B, C là ba

điểm thẳng hàng với B nằm giữa

A, C Đặt hệ trục Oxy sao cho

Ox luôn trùng với trục co d Gọi

Từ tính chất quan trọng này, ta có hệ quả sau:

Hệ quả 1.2.1 Phép biến đổi Γ(d,k) biến:

• Đường thẳng thành đường thẳng

• Hai vector cùng phương có tỷ số độ dàik thành hai vector cùng phươngcũng có tỷ số độ dài k

Tính chất 1.2.5 Giả sử 4ABC có diện tích S và 4A0B0C0 là ảnh của

nó qua phép biến đổi Γ(k,d) có diện tích S0 thì S0 = kS 10

10 Tham khảo cách chứng minh khác ở tài liệu [9].

Chứng minh Ta chọn hệ tọa độ Oxy có trục d trùng với Ox.

• Phần thuận:

Giả sử ta có phương trình đường tròn là:

Với mỗi điểm M (x; y) ∈ (C), gọi M0(x0; y0) = Γ(d,k)(M ) thì

• Phần đảo:

Với mỗiM0thuộc ellipse có phương

trình dạng(1.8), biến đổi ngược lại

ta sẽ có M ∈ (C) là tạo ảnh của

M0 qua phép biến đổi Γ(d,k)

Hình 1.4

• Kết luận: Quỹ tích điểm M0 là một Ellipse có trục là 2R và 2kR

Tính chất 1.2.7 Nếu trục d của phép biến đổi Γ(d,k) trùng với trục đốixứng của Ellipse (E) và hệ số k bằng tỷ số hai trục của (E) thì ảnh của

Vậy điểm M0 thuộc một đường tròn.

• Phần đảo:

Với mỗi M0 thuộc đường tròn (1.10), biến đổi ngược lại ta cũng có M

thuộc (E) và M0 = Γ(d,k)(M )

• Kết luận: Quỹ tích M0 là một đường tròn (O, a)

Tính chất 1.2.8 Phép biến đổi Γ(d,k) biến đường tròn có diện tích S

Nhận xét 1.2.1 Đối với trường hợp Γ(d,k) biến ellipse thành đường tròn,

ta cũng có kết quả như trên

1.2.3 Phép co dãn với hệ số khác không

Ở mục trên, chúng tôi đã giới thiệu định nghĩa và tính chất của phép

co dãn với hệ số dương Ở mục này, chúng ta sẽ khảo sát phép co dãn với

hệ số khác 0, được xét như là sự mở rộng của phép co dãn với hệ số dương.Cho một đường thẳng∆và số thực

k > 0 Khi đó, tồn tại một phép đối

xứng trục D∆ và một phép co dãn

Γ(∆,k) Xét phép biến hình

F = Γ(∆,k) ◦ D∆,

với mọi điểm M trong mặt phẳng,

gọi H là hình chiếu của M lên ∆

Hình 1.5

Điều này dẫn đến định nghĩa tổng quát hơn về phép co dãn :

Định nghĩa 1.2.2 Cho đường thẳng ∆ và một số thực k 6= 0 Với mọiđiểm M trong mặt phẳng, gọi H là hình chiếu của M lên ∆ Phép co dãn

là phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M0 sao cho

• Nếu |k| < 1 thì Γ(∆,k) được gọi là phép co

• Nếu |k| > 1 thì Γ(∆,k) được gọi là phép dãn

Nhận xét 1.2.3 Từ nhận xét 1.1.2, ta có D∆ là một phép dời hình nênphép co dãn với hệ số âm bảo toàn các tính chất của phép co dãn với hệ sốdương Do đó, các tính chất của phép co dãn hệ số khác không hoàn toàngiống với các tính chất của phép co dãn hệ số dương đã được chứng minh

ở trên Để chính xác hơn, khi sử dụng các tính chất 1.2.5, 1.2.8 và hệ quả

1.2.2, ta chỉ cần thay k thành |k|

Vậy từ đây, trong luận văn này, chúng tôi chỉ sử dụng đến phép co dãn

Γ(d,k) với k 6= 0

1.3 PHÉP CO DÃN TRONG KHÔNG GIAN

Mục này giới thiệu về phép biến đổi co dãn trong không gian (gọi tắt

là phép co dãn) 11

1.3.1 Phép co dãn với hệ số dương

Định nghĩa 1.3.1 Cho một mặt phẳng (P ) và một số k > 0 Với mỗiđiểm M trong không gian, H là chân đường vuông góc hạ từ M xuống mặtphẳng (P ), ta xác định một điểm M0 sao cho −−−→

• Nếu k > 1 thì C(P,k) được gọi là phép dãn

• Nếu 0 < k < 1 thì C(P,k) được gọi là phép co

1.3.2 Tính chất

Tính chất 1.3.1 (P ) là một mặt phẳng bất động của phép co dãn C(P,k).Chứng minh Tương tự tính chất 1.2.1

Tính chất 1.3.2 C(P,k) là phép biến đổi 1 − 1 và có phép biến đổi ngược

Tính chất 1.3.3 Phép biến đổiC(P,k) biến 3 điểm thẳng hàng A, B, C (B

nằm giữa A, C) thành 3 điểm thẳng hàng A0, B0, C0 (B0 nằm giữa A0, C0).Chứng minh Chứng minh tương tự tính chất 1.2.4

Hệ quả 1.3.1 Phép biến đổi C(P,k) biến đường thẳng thành đường thẳng.Tính chất 1.3.4 Cho bốn điểm A, B, C, D sao cho AB k CD hoặc

AB, CD cùng thuộc một đường thẳng Giả sử A0B0, C0D0 là ảnh của AB, CD

qua phép biến đổi C(P,k) Khi đó A0B0 k C0D0 và AB

Hệ quả 1.3.2 Phép biến đổi C(P,k) biến hai đường thẳng song song thànhhai đường thẳng song song.

Tính chất 1.3.5 Phép biến đổi C(P,k) biến bốn điểm đồng phẳng thànhbốn điểm đồng phẳng

Chứng minh Tương tự như hình 1.7, đặt hệ trục Oxyz sao cho (Oxy)

trùng với (P ), Oz đi qua A và Oyz chứa B Gọi A0, B0, C0, D0 là ảnh của

A, B, C, D qua phép biến đổi C(P,k)

Khi đó, ta có tọa độ các điểm:

+ y4

z2 − z1 0

z3 − z1 x3

... đồng phẳng

Hệ 1.3.3 Phép biến đổi C(P,k) biến:

• Mặt phẳng thành mặt phẳng... mặt phẳng song song

Tính chất 1.3.6 Phép biến đổi C(P,k) biến tứ diện tích V

thành tứ diện tích V0 = k.V

Chứng minh Chọn hệ tọa độ Oxyz tính chất 1.3.5