Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL.Giả sử ngoài ra còn có CM = kALA. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý nằm bêntro
Trang 1ATE
Dạng 1 Biểu diễn véc-tơ 2
Dạng 2 Ba điểm thẳng hàng 8
Dạng 3 Quỹ tích 10
Dạng 4 Tỷ lệ 12
Dạng 5 Min - Max 14
Dạng 6 Tích vô hướng 19
1
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 2| Dạng 1 Biểu diễn véc-tơ
Câu 1 Cho tam giác ABC biết AB = 3, BC = 4, AC = 6, I là tâm đường tròn nội tiếptam giác ABC Gọi x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x# »
Câu 2 Cho hình bình hành ABCD Gọi I là trung điểm của CD, G là trọng tâm của tamgiác BCI Đặt #»a = # »
#»
b (Nguyễn Thị Tiết Hạnh-tiethanh.78@gmail.com)
Câu 3 Cho tam giác ABC với các cạnh AB = c, BC = a, CA = b Gọi I là tâm đường trònnội tiếp tam giác ABC Đẳng thức nào sau đây đúng?
Câu 4 Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn, \ADC = 30◦ Biết DA = a, DC = b,hãy biểu diễn # »
DB theo hai véc-tơ # »
# »
DB = # »
DA + # »DC
Câu 6 Cho tứ giác ABCD, M là điểm tùy ý K là điểm cố định thỏa mãn đẳng thức # »
Câu 7 Cho tam giác ABC, trên cạnh AC, BC lần lượt lấy điểm M , N sao cho AM = 3M C,
N C = 2N B Gọi O là giao điểm của AN và BM Tính diện tích tam giác ABC biết diện tíchtam giác OBN bằng 1
(Nguyễn Thanh Hoài-ngthhoai1705@gmail.com)
Câu 8 Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên BC kéo dài sao cho IB = 3IC Gọi J , K lần lượt
là các điểm trên cạnh AC, AB sao cho J A = 2J C, KB = 3KA Khi đó, # »
BC = m# »
AI + n# »
J K.Tính tổng P = m + n
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 3Câu 11 Cho 4ABC có trọng tâm G và hai điểm M , N thỏa mãn 3# »
Câu 12 Cho tam giác ABC Gọi A0, B0, C0 là các điểm xác định bởi 2018# »
0 Khi đó, mệnh đề nào sau đây đúng?
A 4ABC và 4A0B0C0 có cùng trọng tâm B 4ABC = 4A0B0C0
C 4ABC ∼ 4A0B0C0 D 4ABC và 4A0B0C0 có cùng trực tâm
a√21
a√21
(Tran Quoc An)
Câu 15 Cho tam giác ABC có đường trung tuyến CM vuông góc với phân giác trong AL.Giả sử ngoài ra còn có CM = kAL Biết cos A = a + bk
2
c + dk2 Tính a + b + c + d
(Bùi Duy Nam)
Câu 16 Cho tam giác ABC Gọi M , N , P là các điểm lần lượt thỏa mãn # »
Trang 4Câu 19 Cho tam giác ABC bất kì, gọi M , N , P lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC,
CA H, H0 lần lượt là trực tâm các tam giác ABC, M N P Khẳng định nào đúng trong cáckhẳng định sau?
Câu 20 Cho tam giác đều ABC tâm O M là một điểm bất kì bên trong tam giác Gọi D,
E, F lần lượt là hình chiếu của M lên BC, CA, AB Với giá trị nào của k ta có hệ thức# »
Một giá đỡ hình tam giác được gắn vào tường (như hình vẽ) Tam giác
ABC vuông cân tại B Người ta treo vào điểm A một vật nặng 10 N
Tính độ lớn của các lực tác động vào tường tại B và C? (Bỏ qua khối
lượng của giá đỡ)
C
(Nguyễn Thanh Dũng-thanhdungtoan6@gmail.com)
Câu 22 Cho ba điểm A, B, C thuộc đường tròn tâm O, thỏa mãn # »
OA +# »
OB +# »
OC = #»0 Tínhgóc [AOB?
A [AOB = 120◦ B [AOB = 90◦ C [AOB = 150◦ D [AOB = 30◦
Câu 24 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O, M là một điểm tùy ý nằm bêntrong tam giác đã cho; gọi A0, B0, C0 theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của M lên các cạnh
BC, CA và AB Khi đó ta có đẳng thức vectơ k# »
A 2k2− l2 = 1 B 2k2− l2 = −1 C 2k2− l2 = 14 D 2k2− l2 = −5
(Cao Văn Tùng-FB: Cao Tung-cvtung.lg2@bacgiang.edu.vn)
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 5CF = −1
2
# »CD; AE ∩ BF = I
Câu 26 Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
AM = 3M C, N C = 2N B, gọi O là giao điểm của AN và BM Tính diện tích 4ABC biết diện
tích 4OBN bằng 1
(Nguyễn Thị Phương Thảo)
Câu 27 Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O
(Nguyễn Văn Quân-FB:Quân Nguyễn-Quanvan09@gmail.com)
Câu 28 Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD sao
cho AO = 4OD Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF Khẳng định nào
(Tác giả: Nguyễn Đặng)
Câu 29 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC
(K ∈ DC) Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
Câu 30 Cho 4ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho 2018 · S4ABM = 2019 · S4ACM Đẳng
thức nào sau đây sai?
Câu 31 Cho 4ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho S4ABC = 3 · S4ACM Một đường thẳng
cắt các cạnh AB, AM , AC lần lượt tại B0, M0, C0 phân biệt Biết rằng AB
AB0+ 2AC
AC0 = k · AM
AM0.Tìm số k
3.(Tác giả: Nguyễn Văn Phùng, gmail: nvpmaster0808@gmail.com)
Câu 32 Cho n điểm phân biệt trên mặt phẳng Bạn An kí hiệu chúng là A1, A2, , An
Bạn Bình kí hiệu chúng là B1, B2, , Bn (A1 6= Bn) Vectơ tổng # »
A1B1+# »
A2B2+ · · · +# »
AnBnbằng
Trang 6Câu 33 Trong đường tròn (O) với hai dây cung AB và CD cắt nhau tại M Qua trung điểm
S của BD kẻ SM cắt AC tại K sao cho AK
Câu 35 Cho tam giác ABC vuông tại C, có AC = b, BC = a và D là chân đường cao hạ tựđỉnh C Khẳng định nào sau đây là đúng?
Câu 36 Cho tam giác ABC có trọng tâm G Gọi I là điểm xác định bởi 5# »
IA − 7# »
IB −# »
IC = #»
0 Gọi E là giao điểm của AI và BG Tính tỷ số EA
Câu 37 Cho hai tia Ox, Oy vuông góc Trên tia Ox lấy các điểm A, B sao cho OA = OB = 1
C là điểm thuộc đoạn OA, N là một điểm thuộc đoạn OB và dựng hình vuông OCM N Trênđoạn CM lấy điểm Q và dựng hình vuông ACQP Gọi S là giao điểm của AM và P N Giả sử
Câu 38 Cho tam giác ABC Giả sử điểm M nằm trên cạnh BC thỏa mãn các tam giác M AB
và M AC lần lượt có diện tích là S1 và S2 Khẳng định nào sau đây đúng?
(Nguyễn Quang Huy)
Câu 40 Cho tam giác ABC có trọng tâm G, lấy các điểm I và J sao cho # »
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 7(Nguyễn Thị Trà My)
Câu 42 Cho tam giác ABC có D là trung điểm của BC, O là một điểm trên đoạn AD saocho AO = 4OD Gọi {E} = CO ∩ AB, {F } = BO ∩ AC, {M } = AD ∩ EF Khẳng định nàosau đây đúng?
(Nguyễn Đặng)
Câu 43 Cho hình thang ABCD có AB ∥ CD Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AC,
BD Kẻ N H ⊥ AD (H ∈ AD) và M E ⊥ BC (E ∈ BC) Gọi {I} = M E ∩ N H, kẻ IK ⊥ DC(K ∈ DC) Khi đó trong tam giác M N K hệ thức nào đúng?
(Nguyễn Thi Tiết Hạnh)
Câu 44 Một đường thẳng cắt các cạnh DA, DC và đường chéo BD của hình bình hànhABCD lần lượt tại các điểm E, F và M Biết # »
DE = m# »
DA, # »
DF = n# »
DC với m, n > 0 Khẳngđịnh đúng là
Câu 46 Cho hình thang ABCD với O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD Qua O
vẽ đường thẳng song song với đáy hình thang, đường thẳng này cắt các cạnh bên AD và BCtheo thứ tự tại M và N Với AB = a, CD = b Tính # »
Câu 47 Cho tam giác ABC đều tâm O; điểm M thuộc miền trong tam giác OBC; D, E, Flần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên BC, CA, AB Khẳng định nào sau đây đúng?
Trang 8Câu 49 Cho tam giác ABC Gọi M là điểm thuộc cạnh AB, N là điểm thuộc cạnh AC saocho AM = 1
Câu 50 Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm BC; P là điểm đối xứng với A qua B; R làđiểm trên cạnh AC sao cho AR = 2
5AC Khi đó đường thẳng AR đi qua điểm nào trong cácđiểm sau đây?
A Trọng tâm tam giác ABC B Trọng tâm tam giác ABI
Câu 52 Cho tam giác ABC I là trung điểm của BC Gọi M , N , P lần lượt là các điểm xácđịnh bởi # »
Câu 53 Cho tam giác ABC Gọi G là trọng tâm của tam giác, I là trung điểm của BC, M và
3# »
M A + 4# »
M B = #»
0 Gọi P là giao điểm của AC và M N Tính tỉ số diện tích tam giác AN P
AE =1
Trang 9Câu 57 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm, I là trung điểm AG, lấy K thuộc cạnh ACsao cho # »
Câu 58 Cho tam giác ABC, M là điểm thuộc cạnh AC sao cho # »
Câu 59 Cho tam giác ABC Gọi M , N , P lần lượt nằm trên đường thẳng BC, CA, AB saocho # »
Câu 62 Cho tam giác ABC, trên cạnh AC lấy điểm M , trên cạnh BC lấy điểm N sao cho
AM = 3M C, N C = 2BN Gọi I là giao điểm của AN và BN Tính diện tích tam giác ABCbiết diện tích tam giác BN I bằng 4
A S4ABC = 110 B S4ABC = 115 C S4ABC = 125 D S4ABC = 120
(Vũ Thị Hằng)
Câu 63 Cho tam giác ABC, M thuộc cạnh AC sao cho # »
M A = −2# »
M C, N thuộc BM saocho # »
N B = −3# »
N M , P thuộc BC sao cho # »
P B = k# »
P C Tìm giá trị k để ba điểm A, N , P thẳnghàng
Trang 10(Lê Hồ Quang Minh)
Câu 66 Cho tam giác ABC Tập hợp những điểm M thỏa mãn 4# »
A đường thẳng đi qua A B đường thẳng qua B và C
(Ngô Lê Tạo)
Câu 68 Cho hai điểm A và B cố định Tìm giá trị k > 0 để tập hợp điểm M thỏa mãn điềukiện M A2+ M B2 = k là một đường tròn
4 .
D (S) là đường tròn tâm I bán kính R = 5
√2
4 .
(Trịnh Văn Thạch)
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 11D Tập hợp các điểm M chỉ là một điểm trùng với A.
Câu 73 Cho tam giác ABC đều, có cạnh bằng a Khi đó tập hợp những điểm M sao cho
3 . D đường tròn có bán kính R =
a√3
9 .(Vũ Thị Nga)
Câu 74 Cho 4ABC Tìm tập hợp các điểm M sao cho # »
M B · # »
M C = AM2
(Tô Quốc An)
Câu 75 Cho tam giác đều ABC cạnh bằng 3 Tập hợp các điểm M thỏa mãn đẳng thức
Câu 76 Cho tam giác ABC có là trọng tâm G Tìm tập hợp các điểm M thỏa mãn
A Đường tròn đường kính AB B Đường trung trực đoạn thẳng AB
C Đường tròn đường kính AC D Đường trung trực đoạn thẳng AC
(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)
Câu 77 Cho đoạn thẳng AB =√
5 Biết rằng tập hợp các điểm M thỏa mãn hệ thức
3
√3
2 .(Trần Văn Thông, Tên FB: Trần Thông)
Câu 78 Cho tam giác ABC, có bao nhiêu điểm M thỏa mãn # »
M A + # »
M B +# »
M C = 5?
(Võ Khánh Huyền VânFb: Vân Võ)
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 12Câu 80 [Đề thi olympic 30/4 TPHCM khối không chuyên lần 2] Cho 4ABC gọi điểm D nằmtrên cạnh BC sao cho BD = 2DC, E là trung điểm của AD Một đường thẳng bất kì qua E
và cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại M, N Tính tỉ số AB
AM + 2
ACAN
Câu 81 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D sao cho AD = 2DB Trên cạnh AClấy điểm E sao cho CE = 3EA Gọi M là trung điểm của DE Tia AM cắt BC tại N Tỉ sốBN
Câu 82 [Bài toán tổng quát của bài toán79] Cho tam giác ABC Gọi I là điểm chia BC theo
tỉ số k Trên các tia AB và AC lấy các điểm M,N AI cắt M N tại P Đặt AB
Câu 83 [Hệ quả hay dùng của bài toán82] Cho tam giác ABC Gọi I là trung điểm của BC.Trên các tia AB và AC lấy các điểm M,N AI cắt M N tại P Đặt AB
AM = b,
AC
AN = c Tỷ sốAI
Câu 84 Cho tam giác ABC Gọi D, E lần lượt là các các điểm thỏa mãn # »
BD = 2
3
# »BC,
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 13Câu 86 Cho tam giác ABC và điểm I thỏa mãn 23# »
Câu 87 Cho tam giác ABC Điểm Kchia trung tuyến AD theo tỷ số 3 : 1 kể từ đỉnh Đườngthẳng BK chia diện tích tam giác ABC theo tỷ số k = SABF
Câu 88 Cho tam giác ABC với K là trung điểm BC Lấy các điểm M,N thỏa mãn # »
AM =3
Câu 89 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh BC lấy E, F sao choAD
Câu 90 Cho tam giác ABC Kéo dài AB một đoạn BE = AB, gọi F là trung điểm của AC
Vẽ hình bình hành EAF G Đường thẳng AG cắt BC tại K Tính tỉ số KB
Câu 91 Cho tam giác ABC có AB = 3, AC = 4 Phân giác trong AD của góc BAC cắttrung tuyến BM tại I Tính tỉ số AD
Câu 92 Cho hình bình hành ABCD, O là điểm bất kỳ trên đoạn AC, đường thẳng BO cắtcạnh CD tại E và đường thẳng AD tại F sao cho EF = 2BO Tính tỉ số AF
Trang 14(Nguyễn Văn Toản-FB: Dấu Vết Hát-nguyenvantoannbk@gmail.com )
Câu 93 Cho hai tam giác ABC và A1B1C1; gọi A2, B2 ,C2 lần lượt là trọng tâm các tamgiác BCA1, CAB1, ABC1 Gọi G, G1, G2 lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC, A1B1C1,
Câu 94 Cho ∆ABC đều cạnh bằng 3, M là điểm thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Đặt
P = M A2− M B2− M C2 Gọi a, b lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P Khi đó,giá trị biểu thức T = 4a + b là
(Phùng Hằng-phunghang10ph5s@gmail.com)
Câu 95 Cho ∆ABC và 3 số dương x, y, z thay đổi có tổng bình phương x2+ y2+ z2 = k2,
k ∈ R Giá trị lớn nhất của P = xy cos C + yz cos A + zx cos B là:
Câu 96 Cho hai điểm A, B ∈ (I; 6) và M ∈ (I; 3), thỏa mãn [AIB = 60◦ Khi A , B , M thayđổi tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = M A + 2M B?
Câu 98 Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi α là góc giữa hai đường trung tuyến BD và
CK Giá trị nhỏ nhất của cos α bằng
3a
2 .(Nguyễn Văn Công-nguyencongkm2@gmail.com)
www.facebook.com/Thich.Hoc.Chui.Ver2/
Trang 15Câu 102 Cho ABC đều có cạnh bằng 2a Gọi d là đường thẳng qua A và song song BC,
điểm M di động trên d Tìm giá trị nhỏ nhất của # »
a√3
2 .(Phạm Khắc Thành-phamkhacthanhkt@gmail.com)
Câu 103 Trong mặt phẳng cho tam giác ABC và một điểm M bất kỳ Đặt a = BC, b =
CA, c = AB Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T = M A
√3
2 .(thuytrangmn@gmail.com)
Câu 104 Cho tam giác ABC có trung tuyến AA0và CC0vuông góc với nhau (A0 ∈ BC,C0 ∈ AB).Tìm giá trị nhỏ nhất của cos B
Câu 105 Cho tam giác ABC có các cạnh AB = c, AC = b, BC = a Tìm điểm M để véctơ
a# »
M A + b# »
M B + c# »
M C có độ dài nhỏ nhất
A M trùng với trọng tâm G của tam giác ABC
B M trùng với tâm đường tròn nội tiếp I của tam giác ABC
C M trùng với trực tâm H của tam giác ABC
D M trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC
(Ngô Gia Khánh-ngkhanh4283@gmail.com)
Câu 106 Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a, M là điểm di động trên đường
thẳng AC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 . C min T = a
√
3 D min T = 5a
√3
2 .(vntip3@gmail.com)
Câu 107 Cho 4ABC và 4A0B0C0 có các trọng tâm G và G0 cố định và GG0 = a Khi đó giá
trị nhỏ nhất của T = AA0 + BB0+ CC0 là
(Phạm văn Tài-thongbui1987@gmail.com)
Câu 108 Cho tam giác ABC với các cạnh AB = x,AC = y; (x > y > 0) Gọi AD là đường
phân giác trong của góc A Biết biểu thị vectơ # »
Trang 16Câu 110 Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB, AB = 8, AD = a,
BC = b Gọi E là một điểm thuộc cạnh CD Biết [AEB = 90◦, giá trị lớn nhất của T = ablà
Câu 111 Cho tứ giác ABCD có AD và BC cùng vuông góc với AB, AB = h, AD = a,
BC = b Cho k là số thực dương thuộc (0; 1) và điểm E thỏa mãn k# »
EC + (1 − k)# »
ED = #»
0 Tìm hệ thức liên hệ giữa a, b, h, k, để góc [AEB = 90◦ ?
Câu 113 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Gọi H là chân đường cao hạ từ A sao cho
Câu 114 Cho tam giác ABC đều cạnh 2√
3, d là đường thẳng qua B và tạo với AB mộtgóc 60◦ Biết C /∈ d Khi M thay đổi trên d, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức T =
Câu 115 Cho tam giác ABC đều cạnh 1 nội tiếp đường tròn (O) và điểm M thay đổi trên
O Gọi s, i lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức ...
Câu 81 Cho tam giác ABC Trên cạnh AB lấy điểm D cho AD = 2DB Trên cạnh AClấy điểm E cho CE = 3EA Gọi M trung điểm DE Tia AM cắt BC N Tỉ sốBN
Câu 82 [Bài toán tổng quát toán7 9]... Gọi I điểm chia BC theo
tỉ số k Trên tia AB AC lấy điểm M,N AI cắt M N P Đặt AB
Câu 83 [Hệ hay dùng toán8 2] Cho tam giác ABC Gọi I trung điểm BC.Trên tia AB AC lấy điểm. .. class="page_container" data-page="13">
Câu 86 Cho tam giác ABC điểm I thỏa mãn 23# »
Câu 87 Cho tam giác ABC Điểm Kchia trung tuyến AD theo tỷ số : kể từ đỉnh Đườngthẳng BK chia diện tích tam giác ABC