Bài tập chuỗi số và chuỗi đan dấu có lời giải

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi đan dấu Dạng 1: Sử dụng các tiêu chuẩn so sánh I, tiêu chuẩn so sánh II, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy và tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của

Chuyên đề Chuỗi số và chuỗi đan dấu

Dạng 1: Sử dụng các tiêu chuẩn so sánh I, tiêu chuẩn so sánh II, tiêu chuẩn D’Alembert, tiêu chuẩn Cauchy và tiêu chuẩn tích phân để xét sự hội tụ của chuỗi số

sử dụng tiêu chuẩn tích phân để chứng minh chuỗi này hội tụ )

Do vậy, chuỗi ban đầu cũng hội tụ

Bài 03.04.2.002.B182 2

1

n n

n n n

n n

Bài 03.04.4.004.B184 2

1

2 1

n

n n

n



 ta đưa n về ẩn x và ta sử dụng tiêu chuẩn tích phân để

làm, mục đích là để chứng minh rằng hàm f(x) thu được liên tục đơn điệu giảm trên nửa trục dương:



 Xét chuỗi 1

1 1

n

n n

Theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu hội tụ

+) Giải theo tiêu chuẩn Cauchy, ta xét bất đẳng thức sau:

n n

e a

n n

- Là chuỗi điều hòa có n chạy từ 1 đến vô cùng

- Mọi hằng số nhân với chuỗi thì không làm thay đổi tính chất hội tụ của

chuỗi

Do vậy, chuỗi ban đầu phân kì

Bài 03.04.5.008.B185 Chứng minh rằng chuỗi

1

2 ( 1)

 thỏa mãn điều kiện cần

hội tụ nhưng chuỗi phân kì

Lời giải: ta xét hàm a n

~ ( 1)

Và do vậy:

1

1



 hội tụ khi p>1và phân kì khi 0<p 1

Nên từ đó, chuỗi hội tụ khi p>1 và phân kì khi 0<p 1

Như vậy, theo tiêu chuẩn so sánh II thì chuỗi trên hội tụ

Bài 03.04.7.012.T006 2

1

Sin 2

n



 Mà chuỗi

3 7 1

1

n

n n

Cos 1

Sin 1

Bài 03.04.7.018.T006

1 2

1

n n

n n

ln x

dx x



 đặt

5 4

ln x 1 x

u

dv d x



4

1 x

4

x v x

x



5 1 4 4

1

4 ln x

5 1 4

x

x x

ln( 1)

x

x d x

x v x

ln( 1)

x

x d x

x ( 1)

n nên ta áp dụng được VCB

n n

3

4 ln( 1)

n n

Bài 03.04.4.026.T008

2 2 1

7 ( !)n

n n

n n

2

5 ln( 1)

n n

n n

Bài 03.04.4.030.T008

1

(2 1)!!

n n

n n

n n

n n

n a

Theo tiêu chuẩn Cauchy thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ

Bài 03.04.4.033.T009

( 4)

1

2 3

n n

n

n n

n n

n

n n

n a

Bài 03.04.4.036.T009

3 ln 2

2 1

1 3 2

2 1

1 2 3

n

n n

x ( 2)

x d x

1 x ( 2)

x v x

1 x

n n

x d x

x v

x d n

x v x

Vậy theo tiêu chuẩn tích phân thì chuỗi hội tụ

Bài 03.04.2.040.ĐC001 2

110 1

n

n n





 là chuỗi điều hòa nhân với 1 hằng số nên phân kì

Từ đó chuỗi ban đầu cũng phân kì theo TCSS II

n n



1 2

n

    2 chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc phân kì

Vậy theo tiêu chuẩn so sánh I thì chuỗi ban đầu đã cho cũng là chuỗi phân kì

Bài 03.04.2.042.ĐC001

2

2 2

1 1

n

n n

Lời giải: Xét

2 2

11

n

n U

2

1 1

a n

a U

n

   Xét giới hạn sau:

lim lim Cos

n n

n

a U

2 2

2 lim

n n

1

n n

n n

 ta đem so sánh với tích phân suy rộng

 Sự hội tụ, phân kì phụ thuộc vào hằng số 

 Tích phân hội tụ khi 1       0  1 Chuỗi hội tụ

 Tích phân phân kì khi 1        0 0  1 Chuỗi phân kì

Lời giải:Xét 1 ln 1 1 ln 1 2

n

n U

 là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân nên theo tiêu chuẩn

so sánh II, chuỗi ban đầu cũng hội tụ

Bài 03.04.2.049.ĐC001

2

1ln





 Dựa vào tiêu chuẩn tích phân, ta xét tích

Theo tính chất bắc cầu và dựa vào tiêu chuẩn so sánh I cho ý (1)  Chuỗi ban đầu là chuỗi phân kì



 Ta tính giới hạn sau:

   Do đó 2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm có cùng

tính chất hội tụ hoặc phân kì Mà 2

11

n n n

n n

Lời giải: Xét

( 1)11

n n n

n U

2 ( 1)

n

n

n n

n n n

chuẩn Cauchy thì chuỗi trên hội tụ

Bài 03.04.3.057.ĐC001

2 1

3 ( !)(2 )!

n n

n n

n n

n U

2

52

2

n n

n

n

n U

n V



   (1) 2 chuỗi được biểu diễn bởi 2 hàm sẽ có

cùng tính chất hội tụ hay phân kì như nhau Mà ta lại có:

2 1

   Nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thì cuỗi này

hội tụ, kết hợp với (1) thì chuỗi ban đầu sẽ hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II

Bài 03.04.3.059.ĐC002 2

1

1ln

n

n n







Lời giải: Bằng trực quan, ta có thể thấy , chuỗi này chưa thể xác định dương hay

âm được để sử dụng cái tiêu chuẩn, do vậy ta cần chứng minh xem chuỗi này dương hay âm

Nhận xét: ta thấy n 1 1 1 ln1 0

1ln

Do đó , tích phân trên hội tụ nên chuỗi ứng với tích phân đó cũng hội tụ

Vậy chuỗi ban đầu hội tụ theo tiêu chuẩn tích phân

Bài 03.04.3.089.ĐC002

1

!

n n n

e n n

n

 Có chứa dấu ‘’ !’’ là dấu hiệu của việc sử dụng tiêu

chuẩn D’Alembert Ta xét giới hạn sau:

1 1

Do vậy theo tiêu

chuẩn D’Alembert thông thường thì đến đây ta chưa có kết luận gì

Ta để ý :

1

( 1)! ( 1) ! !( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

n

 có mẫu hơn

kém nhau 1 đơn vị số nên khi khai mẫu thì kết quả của chúng chênh nhau không đáng kể, nhưng với U n1 thì có số e 2.1783không phải là con số nhỏ hơn 1 nên nó góp phần làm cho Un1tiến tới vô cùng nhanh hơn Un Do vậy U n1 U n và theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi này phân kì

Bài 03.04.3.060.ĐC001

2 2 1

7 ( !)n

n n

n n

7 ( !)n

n U

=0 nếu k lẻ hoặc = mN nếu k chẵn

Sin (2 3)n Sin Cos (2 3)n Cos Sin (2 3)n

 ( ta coi như  là 1 hằng số nên không ảnh hưởng đến tính hội tụ

hay phân kì của chuỗi ), do vậy chuỗi

1

n n

2

n n

n n

n n

2( 1)

n n

n U

n U

Do vậy, theo tiêu chuẩn Cauchy thì

chuỗi trên hội tụ

Do vậy nên theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi ban đầu phân kì

Lời giải: Đặt U n arcsin en Ta thấy n 0

n  e  Do vậy theo tinh chất

  Vậy nên chuỗi

ban đầu cũng hội tụ

Bài 03.04.4.064.ĐC002

2 1

1

1

n n

1

n n

 là chuỗi điều hòa nên nó phân kì

Vậy chuỗi ban đầu cũng phân kì

a



 Ta xét giới hạn sau:

2 1

Ta có hai trường hợp cần xét như sau:

Th1: nếu a     1 b 1 chuỗi phân kì

Th2: nếu a     1 b 1 chuỗi hội tụ

k k k

Lời giải: Đầu tiên ta để ý , tử và mẫu có cùng bậc 2 với nhau, do vậy ta nên thử bằng điều kiện cần và đủ trước Ta xét giới hạn sau:

n n n

n n n

n n

p   nên ta hoàn toàn tính được tổng của

chuỗi này Nhưng đối với chuỗi

1

32

1 ln

2 1

n

n n

Bài 03.04.36.077.A711 1

1 2 1 3

n n

1 02

 sẽ hội tụ nếu p     1 n và chỉ có trường hợp đó thì chuỗi mới hội tụ

được Mà ở trong bài tập này 1

Lời giải:  Xét sự hội tụ: do p  Cos1 0,540 1 nên theo tính chất của chuỗi

số thì chuỗi ban đầu hội tụ

    Mà theo điều kiện đủ để chuỗi phân kì là có giới hạn khi

n   là khác 0 Do vậy chuỗi trên phân kì theo điều kiện đủ

Tổng của 2 chuỗi hội tụ chắc chắn là một chuỗi hội tụ nên chuỗi ban đầu hội tụ

 Tính tổng của chuỗi trên:

và Cauchy, hay tích phân, đều không xuất hiện dấu hiệu gì cả, đó là lúc ta nghĩ đến xét sự phân kì bằng điều kiện đủ:

Ta xét giới hạn sau đây:

quyết bài toán một cách dễ dàng Vậy chuỗi ban đầu phân kì theo điều kiện đủ

Bài 03.04.43.091.A711 Tính tổng của chuỗi sau: 2

2

2 1

n n



 



Lời giải: Ta xét tổng riêng thứ n của chuỗi:

Chú ý: trong 1 số trường hợp , khi điều kiện đủ cũng không thể chứng minh chuỗi

là hội tụ hay phân kì thì ta có thể tính tổng của chuỗi số ra, nếu tổng đó bằng Const thì chuỗi đó hội tụ, nếu tổng đó không xác định thì chuỗi phân kì

Bài 03.04.45.093.A711 Tính tổng của chuỗi sau:

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

Vậy chuỗi hội tụ và có tổng S Cos1 1

Bài 03.04.47.095.A711 Tính tổng của chuỗi sau:

1 1

1 1

n n n

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

  Vậy chuỗi hội tụ và có Se

Bài 03.04.48.096.A711 Tính tổng của chuỗi sau: 3

Lời giải: Ta xét tổng riêng của chuỗi trên:

Vậy chuỗi trên hội tụ và có S  1

Bài 03.04.49.089.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi:

  Giống với điều kiện khi 1

chuỗi nào đó bất kì hội tụ

Mặt khác, ta xét trực tiếp tổng riêng của chuỗi:

Như vậy, chuỗi này rõ ràng phân kì và không xác định tổng của chuỗi

Nhận xét: Nếu giới hạn của 1 chuỗi số bất kì khi n tiến tới vô cùng bằng không thì

ta không kết luận được điều gì cả Nhưng nếu giới hạn của chuỗi đó khác không thì chuỗi đó chắc chắn là chuỗi phân kì

Bài 03.04.49.089.A711 Xét sự hội tụ và tính tổng của chuỗi: 5 3

Lời giải: Hàm này là hàm có bậc nằm ở mẫu là bậc cao và có thể tách ra được nên ta dùng phương pháp hệ số bất định để tách chuỗi ra:

Lời giải: Đầu tiên ta đánh giá hàm này như sau:

 Hàm 2

Sin n R với n   R

 Giới hạn của hàm không bằng không khi n   ( sở dĩ như vậy vì hàm SinU là

1 hàm liên tục và biến thiên trong (-1,1), như vậy với mỗi giá trị của n bất kì cho ta dấu của hàm là mag dấu âm hay dấu dương , do đó không lim Sin 2 0





Lời giải: Đặt 3

Sin

n

n U

n

 Do hàm Sinu là 1 hàm biến thiên tuần hoàn trong(-1,1)

nên ta không thể xác định chuỗi này dương hay âm Vậy ta cần lấy dấu giá trị tuyệt đối:

Tiêu chuẩn Leibnitz:

Tiêu chuẩn Leibnitz sử dụng cho chuỗi có dạng

 - chuỗi đan dấu

Nếu ta có đủ hai tính chất sau của hàm a n thì chuỗi lúc đó sẽ hội tụ

là một dạng cũng giống như chuỗi điều hòa, do vậy thì chuỗi này phân kì

Chuỗi vừa phân kì, vừa hội tụ thì sẽ là chuỗi bán hội tụ

=0 nếu k lẻ hoặc = mN nếu k chẵn

Sin (2 3)n Sin Cos (2 3)n Cos Sin (2 3)n

 ( ta coi như  là 1 hằng số nên không ảnh hưởng đến tính hội tụ

hay phân kì của chuỗi ), do vậy chuỗi

1

n n

Lời giải:

Đây là chuỗi đan dấu có

02

( 1)

6 5

n n

n n

Lời giải:

Đây là chuỗi đan dấu có

16 5

n n

n a

n n

n n









 ( do nếu n-1 là 1 số chẵn thì giới hạn sẽ tiến tới 1/6,

còn nếu n-1 là 1 số lẻ thì giới hạn tiến tới -1/6  Giới hạn tiến theo 2 hướng khác nhau nên không tòn tại giới hạn)

Vậy chuỗi ban đầu phân kì

Bài 03.04.02.097.T013   1

1

3.5.7 (2 1)1

2.5.8 (3 1)

n n

n n

n n

n U

Như vậy theo tiêu chuẩn D’Alembert thì chuỗi trên hội tụ

Mà chuỗi ban đầu là 1 chuỗi đan dấu nên chuỗi ban đầu sẽ hội tụ tuyệt đối

Bài 03.04.02.098.T013   1

1

1.4.7 (3 2)1

7.9.11 (2 5)

n n

n n

Lời giải: Đây là chuỗi đam dấu có:   1 1.4.7 (3 2)

17.9.11 (2 5)

n n

n U

1( 1)

n n

n n

 Hai chuỗi có cùng tính chất hội tụ hoặc

phân kì , mà chuỗi Vn là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz nên chuỗi bài cho

cũng hội tụ và hội tụ tuyệt đối

Bài 03.04.02.099.T013   1 2

1

21

!

n n

n n

2

n n

n

n n

n a

n a

n

n n

Lời giải: Đây là chuỗi đan dấu , đặt a n ln2 n 1





 là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân

Như vậy chuỗi trên bán hội tụ theo tiêu chuẩn Leibnitz

Lời giải: Đặt (3 1)Sin(27 3 )





 cũng hội tụ Vậy chuỗi ban đầu hội tụ tuyệt đối

Bài 03.04.02.104.T013

1

( 1)ln

0

n n

  là chuỗi phân kì nên chuỗi đang xét phân kì

Như vậy chuỗi ban đầu bán hội tụ

Bài 03.04.02.105.T013 1

1

ln( 1)n ln 1

n

n n

Lời giải: Do khi n   thì lnn 0

ln ( 1)n

n

n n





 là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân

Vậy cho nên chuỗi ban đầu cùng bán hội tụ

Bài 03.04.02.106.T013 1

1

ln( 1)n ln 1

n

n n

ln( 1)n

n

n n

n a





 là chuỗi phân kì theo tiêu chuẩn tích phân

Vậy cho nên chuỗi ban đầu cùng bán hội tụ

n n

n n

n

n n

Lời giải: Xét bộ phận 2 1 2

n

n a

  vì nếu n là một số chẵn thì ới hạn sẽ tiến dần

đến  , mà nếu n là một số lẻ thì giới hạn sẽ tiến dần đến   Không thể cùng tồn tại giới hạn của 1 điểm mà tiến tới 2 điểm khác nhau được Do đó chuỗi này phân kì

n n

n U

(Tổng của các con số khi n là chẵn , tổng sẽ tiến dần ra vô hạn )

Như vậy chuỗi này có tổng tiến ra vô hạn nên theo định nghĩa chuỗi này là chuỗi phân kì Do vậy chuỗi ban đầu cũng là chuỗi phân kì

n n

 là chuỗi hội tụ theo tiêu chuẩn so sánh II

Do vậy theo tiêu chuẩn Leibnitz thì chuỗi 2 2 2

 là chuỗi đan dấu hội

tụ tuyệt đối Mà chuỗi này là chuỗi tương đương của chuỗi ban đầu nên chuỗi ban

đầu cũng hội tụ tuyệt đối

Bài 03.04.04.112.CĐ002 3

2 3

, (ln )

Lời giải: Đặt 3

2

( 1) 2 Cos(ln )

n n

na U

 Qua trực quan, ta thấychuỗi này có tử

gồm tổng của hai thành phần, một thành phần là bộ phận xen dấu , một bộ phận thì làm chuỗi biến thiên dương âm bất kì Do vậy hàm này không xác định dấu ( chứ không phải dạng chuỗi giống như Leibnitz ) Ta tách thành 2 chuỗi riêng biệt:

1 (ln )

 Xét chuỗi 3

2 3

2 Cos(ln )

n

na a

1(ln )

d x

d d

x

 Chuỗi ứng với tích phân đó hội tụ theo

 Chuỗi 2

3

n n

U





 là chuỗi hội tụ tuyệt đối

Tổng của hai chuỗi hội tụ tuyệt đối là một chuỗi hội tụ tuyệt đối nên chuỗi ban đầu

là chuỗi hội tụ tuyệt đối