Đáp án chính thức đềToans khối D năm 2009

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m.

Trang 1 / 4



(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

ĐÁP ÁN − THANG ĐIỂM

I

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Khảo sát…

Khi m = 0, y = x4 − 2 x2

Tập xác định: D = \

Sự biến thiên:

- Chiều biến thiên: y ' = 4 x3 − 4 x; y ' = 0 ⇔x =±1 hoặc x = 0

0,25

Hàm số nghịch biến trên: (− ∞ ; − 1) và (0;1); đồng biến trên: (−1; 0) và (1; + ∞)

- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x =±1, y CT =−1; đạt cực đại tại x = 0, y CĐ = 0

- Giới hạn: lim y = lim y = +∞.

x→− ∞ x→+∞

0,25

- Bảng biến thiên:

x − ∞ −1 0 1 +∞

y' − 0 + 0 − 0 +

y

0,25

8

−1 O 1

−2

0,25

2 (1,0 điểm) Tìm m

Phương trình hoành độ giao điểm của (C ) và đường thẳng y = − 1: x4 − (3m + 2) x2 + 3m =

Đặt t = x2 , t ≥ 0; phương trình trở thành: t 2 − (3m + 2)t + 3m + 1 = 0

0,25

0 < 3m + 1 < 4 Yêu cầu của bài toán tương đương: 

3m + 1 ≠ 1

0,25

⇔ − 1 < m < 1, m ≠ 0

II

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Giải phương trình…

Phương trình đã cho tương đương: 3 cos 5x − (sin 5x + sin x) − sin x = 0

⇔ 3 cos 5x − 1 sin 5x = sin x

0,25

⇔ sin  − 5x  = sin

x

0,25

⇔ − 5x = x + k 2 hoặc − 5x = − x + k 2

Vậy: x = + k

hoặc x + k

( k ∈ ] )

= −

2 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình…

 x + y + 1 − 3 = 0

Hệ đã cho tương đương:  x

( x + y)2

− 5 + 1 = 0

0,25



x + y = 3 − 1  x

+ y =3 − 1

⇔  2 ⇔ 

  3 − 1 − 5 + 1 = 0  4 − 6 + 2 = 0

  x 

x2   x2 x

0,25

 1  1

=1

⇔ 



  x + y = 2  x + y = 1

0,25

 x = 1  x = 2

⇔  hoặc  3

 y = 1  y = − Nghiệm của hệ: ( x; y) = (1;1) và ( x; y)  =  2; 2 − 3 

0,25

III

(1,0 điểm)

Tính tích phân…

Đặt t = e x , dx = dt ; x = 1, t = e; x = 3, t = e3

e3

3

I = ∫ t (t − 1) = ∫  t − 1

−

t  dt

0,25

= ln | t − 1 | e − ln |

t | e e e

0,25

IV

(1,0 điểm)

Tính thể tích khối chóp

M Hạ IH ⊥ AC ( H ∈ AC ) ⇒ IH ⊥ ( ABC ) ; IH là đường cao

⇒ IH // AA ' ⇒ IH = CI = 2 ⇒ IH = 2 AA ' = 4a

2a

AC = A 'C 2 − A ' A2 = a 5, BC =AC 2 − AB2 = 2a.

Diện tích tam giác ABC : S =1 AB.BC = a2

Thể tích khối tứ diện IABC : V = IH S⊗ABC =

0,50



C I

K

B' 3a H

a

Hạ AK ⊥ A ' B (K ∈ A ' B) Vì BC ⊥ ( ABB ' A ') nên AK ⊥ BC ⇒ AK ⊥ (IBC ).

AK = 2S⊗AA ' B = AA '.AB = 2a 5

V

(1,0 điểm)

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất…

Do x + y = 1, nên: S = 16 x2 y 2 + 12( x3 + y3 ) + 9 xy + 25xy

= 16x2 y 2 + 12 ( x  + y)3 − 3xy( x + y) + 34xy = 16 x2 y2 − 2 xy + 12 0,25

Đặt t = xy, ta được: S = 16t − 2t + 12; 0 ≤ xy ≤

4 =

4 ⇒ t ∈ 0;

4 

 

Xét hàm f ( t ) = 16t 2 − 2t + 12 trên đoạn 

0; 1 

 4 

f '(t ) = 32t − 2; f '(t ) = 0 ⇔ t = 1 ; f (0) = 12, f  1 

= 191 , f  1 

= 25

16  16   16   4  2

max f (t) = f  1  =25

; min f (t) = f  1  =191

0; 1   4  2 0; 1   16  16

0,25

 x + y =

1 Giá trị lớn nhất của S bằng 25 ; khi 

1 ⇔ ( x; y) = 1 ; 1 

0,25

191  x + y = 1

Giá trị nhỏ nhất của S bằng ; khi 

1

xy =



⇔ ( x; y) = 2 + 3 ; 2 − 3 

hoặc ( x; y) = 2 − 3 ; 2 + 3 

0,25

VI.a

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…

7 x − 2 y − 3 = 0

Toạ độ A thoả mãn hệ:  ⇒ A(1; 2).

6 x − y − 4 = 0

B đối xứng với A qua M , suy ra B = (3; −2)

0,25

Đường thẳng BC đi qua B và vuông góc với đường thẳng 6 x − y − 4 = 0

7 x − 2 y − 3 = 0  3  Toạ độ trung điểm N của đoạn thẳng BC thoả mãn hệ:  ⇒ N  0; − .

 x + 6 y + 9 = 0  2  0,25 JJJG JJJJG

⇒ AC = 2.MN =( −4; −3); phương trình đường thẳng AC : 3x − 4 y + 5 = 0 0,25

2 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm D

AB = (−1;1; 2), phương trình AB :  y

= 1 + t

 z = 2t

0,25

JJG

D thuộc đường thẳng AB ⇒ D(2 − t;1 + t; 2t ) ⇒ CD = (1 − t; t; 2t ) 0,25



Véc tơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) : n = (1;1;1).

C không thuộc mặt phẳng (P).

CD //(P) ⇔ n.CD = 0 ⇔ 1.(1 − t) + 1.t + 1.2t = 0 ⇔ t = − Vậy D  ; ; −

1

2 2 2 

0,50

VII.a

(1,0 điểm)

Tìm tập hợp các điểm…

Đặt z = x + yi ( x, y ∈ \); z − 3 + 4i =(x − 3)+(y + 4) i 0,25

Từ giả thiết, ta có: (x − 3)2

+(y + 4)2

= 2 ⇔(x − 3)2

+( y + 4)2

Tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường tròn tâm I (3; − 4) bán kính R = 2 0,25

VI.b

(2,0 điểm)

1 (1,0 điểm) Xác định toạ độ điểm M

Gọi điểm M ( a; b ) Do M (a; b ) thuộc (C) nên (a − 1)2

+ b2 = 1; O ∈ (C ) ⇒ IO = IM = 1 0,25

Tam giác IMO có OnIM = 120D nên OM 2 = IO 2 + IM 2 − 2IO.IM cos120D ⇔ a2 + b2 = 3 0,25

a =3

 ( a − 1) + b2 = 1  2  3

3  Toạ độ điểm M là nghiệm của hệ ⇔ Vậy M = ; ±

 a + b = 3 b = ± 3

 2 2 

  2

0,50

2 (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng…

 x + 2

= y − 2 = z Toạ độ giao điểm I của ⊗ với (P) thoả mãn hệ: 

1 1 −1 ⇒ I (−3;1;1)



  x + 2 y − 3z + 4 = 0 0,25

G Vectơ pháp tuyến của (P) : n = (1; 2; −3); vectơ chỉ phương của ⊗ : u = (1;1; −1) 0,25

G G G Đường thẳng d cần tìm qua I và có vectơ chỉ phương v = n, u  =(1; −2; −1) 0,25

 x =−3 + t

Phương trình d : 

y = 1 − 2t

 z = 1 − t.



0,25

VII.b

(1,0 điểm)

Tìm các giá trị của tham số m

x2 + x − 1 Phương trình hoành độ giao điểm: =−2 x + m ⇔ 3x2

+ (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0)

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 khác 0 với mọi m 0,25

Hoành độ trung điểm I của AB : x = x1 + x2

= m − 1

I

I ∈ Oy ⇔ x = 0 ⇔ m − 1

= 0 ⇔ m = 1

I

