Bài tập không gian vecto có lời giải

Muốn cho một họ gồm n vecto của không gian n là một cơ sở của n , điều kiện cần và đủ là nó ĐLTT.. Muốn cho một họ gồm n vecto của n là ĐLTT, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận

Chuyên đề Không gian vecto

Đối với các ẩn c chỉ có nghiệm tầm thường i c  i 0

Họ trên là phụ thuộc tuyến tính nếu phương trình (*) có nghiệm không tầm thường tức là nghiệm c c1, , ,2 c m với ít nhất một c  i 0

Đây là một hệ phương trình thuần nhất có số phương trình ít hơn số ẩn nên ta có vô

số nghiệm chẳng hạn xem  tùy ý ta tính được  và  theo  Do đó nó có

nghiệm không tầm thường

Vậy hệ đã cho là phụ thuộc tuyến tính

Bốn phương trình này tương đương phương trình đầu    0

Nên không có nghiệm tầm thường

Vậy họ vecto đã cho là PTTT

Hệ có nghiệm không tầm thường

331

  2 3

Hệ vecto  1, 2, ,m ĐLTT khi và chỉ khi hệ phương trình tuyến tính (*) có

nghiệm duy nhất (0, 0, …, 0) khi và chỉ khi ma trận các hệ số của hệ (*) không suy biến hay det A0

b d



 

Lời giải:

Muốn cho một họ gồm n vecto của không gian n là một cơ sở của n , điều kiện cần và đủ là nó ĐLTT Muốn cho một họ gồm n vecto của n là ĐLTT, điều kiện cần và đủ là định thức của ma trận có các hàng hay cột tạo bởi các vecto của họ viết thành hàng hay cột phải khác 0

M là không gian 4 chiều

Một họ 4 ma trận cấp hai A B C D là cơ sở của , , ,  M2 nếu A B C D độc lập , , , 

tuyến tính tức là nếu phương trình

Vậy hệ chỉ có nghiệm tầm thường x   y z 0

Do đó W0,0,0dim W  W không có cơ sở 0

Tức là điều kiện uv0,0,0,0chỉ thỏa mãn khi và chỉ khi    0

Vậy W có số chiều bằng 2 và nhận  u v làm một cơ sở ,

4 3 4

4 2 4

5 2

9

5 3 2 5

5 3 5 10

0000

x x x x

Bài 04.02.1.016.T171

Xác định cơ sở của các không gian con của 3

a) Mặt phẳng 3x2y5z 0

b) Mặt phẳng x y 0

c) Đường thẳng

2 -4

Vậy dimW 2 và  u v là một cơ sở ,

b) Xét phương trình x y 0

Ta có tập W  x y z, , | x y 0, tuy` y'z 

Vậy x y z, , Wx y z, ,   y y z, ,  y và z tùy ý

Nhưng x y z, ,   y y z, ,   y y, ,0  0,0,z y1,1,0 z 0,0,1 Vậy hai vecto u 1,1,0 , v0,0,1 sinh ra W

Vậy W là không gian 1 chiều và u 1,1,1,1 là cơ sở

Bây giờ thay x  2 2 8  0

Kết hợp với    khi 0 x 1 ta suy ra    0

     

) 1, 1, 2 , 2,1,3 , 1,5,0

1) 2, 4,1 , 3,6, 2 , 1, 2,

Nên hạng của chúng băng 3, ba vecto đó ĐLTT

Vậy chúng sinh ra cả không gian 3 và chúng tạo thành một cơ sở của 3b) Ta tính hạng của họ 3 vecto đã cho

Nên hạng của chúng băng 3, ba vecto đó ĐLTT

Vậy chúng sinh ra cả không gian 3 và chúng tạo thành một cơ sở của 3

Vậy hạng của chúng bằng 3 Ba vecto đó ĐLTT Chúng sinh ra không gian con của

4 Không gian con đó có số chiều bằng 3 và nhận 3 vecto đã cho làm 1 cơ sở b) Xét hạng của 3 vecto đã cho, ta có:

Vậy hạng của chúng bằng 3 Ba vecto đó ĐLTT Chúng sinh ra không gian con của

4 Không gian con đó có số chiều bằng 3 và nhận 3 vecto đã cho làm 1 cơ sở c) Xét hạng của 4 vecto đã cho, ta có:

và lập nên một cơ sở của 4 d) Xét hạng của 4 vecto đã cho, ta có:

Hạng của 4 vecto đã cho bằng 3

Bốn vecto này sinh ra một không gian con của 4 có số chiều bằng 3 và nhận 3 vecto 1,0,1, 2 , 0,1, 2,0 , 0,0,1,3      làm cơ sở

Bài 04.02.1.021.T172

a) Chứng minh rằng tập các hàm khả vi trên  a b thỏa mãn , f ' 4 f 0

tạo thành một không gian con của C a b  ,

b) Tìm số chiều và một cơ sở của nó

b) Nghiệm tổng quát của phương trình vi phân f ' 4 f 0 là

0, 2

u u u

w w

b a b

Hãy tìm ma trận tọa độ và vecto tọa độ của w đối với cơ sở S u u1, 2 của 3 , trong đó:

13

Trong 2, 3 xét tích vô hướng Euclid và một cơ sở trực chuẩn Hãy tìm vecto tọa

a) Chứng minh S là một cơ sở trực chuẩn của 2

b) Cho u v , 2 với       u s  1,1 , v s  1, 4  Hãy tính u d u v,  , , u v ,

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

b) Hãy tính ma trận tọa độ  w B trong đó w 3, 5 và tính   w B' c) Tính  w B' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B

Vì   1 1 4 3

1 211

Do đó ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B là

a) Hãy tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

b) Hãy tính ma trận tọa độ  w B trong đó w 3, 5 và tính   w B' c) Tính  w B' trực tiếp và kiểm tra lại kết quả trên

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B

2132

3 3 6

3 3 1 3 3

1

3 2 2 3

1 3 1 3

1 1

1 2 1

3 2

1

2 2 2

d) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B sang B’

Bài 04.02.1.033.T179

Gọi V là không gian sinh bởi f1 sin ,x f2 cosx

a) Chứng minh rằng g1 2sinxcos ,x g2 3cosx tạo thành một cơ sở của V b) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B'g g1, 2 sang Bf f1, 2

c) Tính ma trận tọa độ  h B với h2sinx5cosxvà suy ra  h B'

d) Tính trực tiếp  h B'và kiểm tra lại kết quả trên

e) Tìm ma trận chuyển cơ sở từ B’ sang B

Vậy B'g g1, 2 cũng là một cơ sở của V