Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC.. Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q.. Chứng minh tứ giác AOQM ;
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 CHUYÊN CỦA HẢI PHÒNG
NĂM HỌC 2009-2010
Bài 1 : ( 1 điểm )
Cho
3
5 2 17 5 38 2
1
Bài 2 : ( 1, 5 điểm ) : cho hai phương trình x2 + b.x + c = 0 ( 1 )
và x2 - b2 x + bc = 0 (2 )
biết phương trình ( 1 ) có hai nghiệm x1 ; x2 và phương trình ( 2 ) có hai nghiệm x x3 ; 4 thoả mãn điều kiện x3 x1 x4 x2 1 xác định b và c
Bài 3 : ( 2 điểm )
1 Cho các số dương a; b; c Chứng minh rằng a b c 1 1 1 9
a b c
2 Cho các số dương a; b; c thoả mãn a + b + c 3 Chứng ming rằng
2 2 2
670
a b c ab bc ca
Bài 4 : ( 3, 5 điểm )
Cho tam giác ABC với BC = a ; CA = b ; AB = c( c < a ; c< b ) Gọi M ; N lần lượt là các tiếp điểm của đường tròn tâm ( O) nội tiếp tam giác ABC với các cạnh AC và BC Đường thẳng MN cắt các tia AO : BO lần lượt tại P và Q Gọi E; F lần lượt là trung điểm của AB ; AC
1 Chứng minh tứ giác AOQM ; BOPN ; AQPB nội tiếp
2 Chứng minh Q; E; F thẳng hàng
3 Chứng minh MP NQ PQ OM
Bài 5 : ( 2 điểm )
1 Giải phương trình nghiệm nguyên 3x - y3 = 1
2 Cho bảng ô vuông kích thước 2009 2010, trong mỗi ô lúc đầu đặt một viên sỏi Gọi T là thao tác lấy 2 ô bất kì có sỏi và chuyển từ mỗi ô đó một viên sỏi đưa sang
ô bên cạnh ( là ô có chung cạnh với ô có chứa sỏi ) Hỏi sau một số hữu hạn phép thực hiện các thao tác trên ta có thể đưa hết sỏi ở trên bảng về cùng một ô không
Lời giải
Bài 1 :
3 3
3
3
1
1 2
vậy P = 1
Bài 2 : vì x3 x1 x4 x2 1=> x3 x1 1;x4 x2 1
Theo hệ thức Vi ét ta có
1 2
1 2
2
(1)
Từ (1 ) và ( 3 ) => b2 + b - 2 = 0 b = 1 ; b = -2
Trang 2từ ( 4 ) => x x1 2 x1 x2 1 bc => c - b + 1 = bc ( 5 )
+) với b = 1 thì ( 5 ) luôn đúng , phương trình x2 + +b x + c = 0 trở thành
X2 + x + 1 = 0 có nghiệm nếu 1 4 0 1
4
+) với b = -2 ( 5 ) trở thành c + 3 = -2 c => c = -1 ; phương trình x2 + b x + c = 0 trở thành x2 - 2 x - 1 = 0 có nghiệm là x = 1 2
vậy b= 1; c 1
4
b = -2 ; c = -1
Bài 3 :
1 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 3 số dương
3
3
=> a b c 1 1 1 9
dấu “=” sảy ra a = b = c
2
3
a b c
2007
669
ab bc ca
=>
1
vậy 2 2 2
670
Bài 4 : a) ta có
0
1 2
C
BOP PNC
=> tứ giác BOPN nội tiếp
+) tương tự tứ giác AOQM nội tiếp
+) do tứ giác AOQM nội tiếp=> AQO AMO 90 0
tứ giác BOPN nội tiếp => BPO BNO 90 0
=> AQB APB 90 0 => tứ giác AQPB nội tiếp
b ) tam giác AQB vuông tại Qcó QE là trung tuyến nên QE = EB = EA
=> 1
2
Mà E F là đường trung bình của tam giác ABC nên E F //BC
Q; E; F thẳng hàng
c)
Trang 3~ ( )
Bài 5 :
1) 3x - y3 = 1
=> tồn tại m; n sao cho 2
+) nếu m = 0 thì y = 0 và x = 0
+) nếu m > 0 thì 9 3.3 3 3 3 3 1
=> 9m 3.3m 3 3 3 3m m 3 0
vậy p/ trình có hai nghiệm là ( 0 ; 0 0 ; ( 2 ; 2 )
2.Ta tô màu các ô vuông của bảng bằng hai màu đen trắng như bàn cờ vua
Lúc đầu tổng số sỏi ở các ô đen bằng 1005 2009 là một số lẻ
sau mối phép thực hiện thao tác T tổng số sỏi ở các ô đen luôn là số lẻ
vậy không thể chuyển tất cả viên sỏi trên bẳng ô vuông về cùng một ô sau một số hữu hạn các phép thưc hiện thao tác T
