DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC CHO HỌC SINH

GQVĐ được đề cập đến trong chương trình của nhiều nước, cụ thể: Chươngtrình toán phổ thông của bang Quebec, Canada; Chương trình New Zealand chú trọng đến các phương pháp tiếp cận để giả

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

THỊNH THỊ BẠCH TUYẾT

DẠY HỌC GIẢI TÍCH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

CHO HỌC SINH

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

HÀ NỘI, 2016

VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

THỊNH THỊ BẠCH TUYẾT

DẠY HỌC GIẢI TÍCH

Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG THEO HƯỚNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC

CHO HỌC SINHChuyên ngành: Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán

Mã số: 62.14.01.11

LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Người hướng dẫn khoa học: 1 TS TRẦN LUẬN

2 PGS.TS §µo Th¸i Lai

HÀ NỘI, 2016

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn và giúp đỡ tận tình của nhiều nhà khoa học Các kết quả nêu trongluận án là trung thực Những kết luận khoa học của luận án chưa từng được ai công bốtrong bất kì công trình nào khác.

Tác giả luận án

Thịnh Thị Bạch Tuyết

Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong và ngoài Viện khoa học giáo dục Việt Nam, Trung tâm đào tạo và bồi dưỡng Viện khoa học giáo dục Việt Nam

đã hỗ trợ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi trong thời gian tác giả làm nghiên cứu sinh cũng như đã đưa ra những góp ý quý báu trong quá trình tác giả thực hiện luận án.

Nhân dịp này, tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giáo TS Trần Luận và Thầy giáo PGS.TS Đào Thái Lai những người đã tận tình hướng dẫn, dìu dắt tác giả trong suốt thời gian qua.

Tác giả xin trân trọng cám ơn sự tạo điều kiện, giúp đỡ từ phía Ban Giám hiệu Trường Dự bị Đại học Dân tộc Sầm Sơn trong quá trình làm luận án.

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cám ơn bạn bè, đồng nghiệp và gia đình luôn động viên, giúp đỡ để tác giả hoàn thành luận án này.

Do điều kiện chủ quan và khách quan, bản luận án chắc chắn còn thiếu sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến phản hồi để tiếp tục hoàn thiện, nâng cao chất lượng luận án.

Hà Nội, ngày 25 tháng 7 năm 2016

Tác giả

Thịnh Thị Bạch Tuyết

TRANG BÌA PHỤ

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

DANH MỤC CÁC BẢNG

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu 4

3 Mục đích nghiên cứu 10

4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu 10

5 Giả thuyết khoa học 10

6 Nhiệm vụ nghiên cứu 10

7 Phương pháp nghiên cứu 11

8 Những đóng góp mới của luận án 11

9 Nội dung đưa ra bảo vệ 12

10 Cấu trúc của luận án 12

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 13

1.1 Về năng lực giải quyết vấn đề 13

1.1.1 Dạy học giải quyết vấn đề 13

1.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề 16

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề 18

1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức 23

1.2.1 Quan điểm hoạt động 23

1.2.2 Hoạt động nhận thức 24

1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động 25

1.2.4 Về cách hiểu quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức 26

1.2.5 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức Toán học cụ thể 29

1.2.6 Đặc điểm của thủ pháp hoạt động nhận thức 48

1.2.7 Mức độ biểu hiện thủ pháp hoạt động nhận thức của học sinh 50

học giải tích ở trường trung học phổ thông 51

1.3.1 Trang bị một số ý tưởng về vận dụng thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 51

1.3.2 Trang bị kiến thức về thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 51

1.3.3 Thiết kế hệ thống một số nội dung đặc biệt để trang bị thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh 52

1.4 Nội dung giải tích trong chương trình môn toán ở trường trung học phổ thông .53

1.4.1 Vài nét về giải tích cổ điển 53

1.4.2 Nội dung và đặc điểm giải tích trong chương trình toán ở trường trung học phổ thông hiện hành 54

1.4.3 Cơ hội hình thành và phát triển năng lực giải quyết vấn đề qua dạy học giải tích 56

1.4.4 Một số thủ pháp hoạt động nhận thức được sử dụng trong giải tích ở trường trung học phổ thông 60

1.4.5 Mối liên hệ giữa thủ pháp hoạt động nhận thức và năng lực giải quyết vấn đề trong dạy học giải tích 64

1.5 Thực trạng dạy học giải tích cho học sinh ở trường trung học phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức 66

1.5.1 Mục đính khảo sát 66

1.5.2 Đối tượng khảo sát 66

1.5.3 Phương pháp khảo sát 66

1.5.4 Kết quả khảo sát thực trạng 67

1.5.6 Nguyên nhân dẫn đến những hạn chế 70

1.6 Kết luận chương 1 71

Chương 2 MỘT SỐ BIỆN PHÁP DẠY HỌC GIẢI TÍCH Ở TRƯỜNG THPT THEO HƯỜNG BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC GQVĐ THÔNG QUA TRANG BỊ MỘT SỐ THỦ PHÁP HOẠT ĐỘNG NHẬN THỨC 72

thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số

thủ pháp hoạt động nhận thức 72

2.2 Một số biện pháp dạy học giải tích ở Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức 72

2.2.1 Biện pháp 1 Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh trong dạy học khái niệm, định lí, quy tắc, phương pháp 72

2.2.2 Biện pháp 2 Trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho HS trong dạy học một số tình huống vận dụng kiến thức giải tích thông qua tìm hiểu và nhận biết vấn đề, tìm giải pháp 91

2.2.3 Biện pháp 3 Lựa chọn tình huống ứng dụng kiến thức giải tích tập luyện cho HS sử dụng một số thủ pháp hoạt động nhận thức thực hiện hoạt động nghiên cứu sâu giải pháp 112

2.3 Kết luận chương 2 1412

Chương 3 THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 143

3.1 Mục đích và nhiệm vụ thực nghiệm 143

3.2 Tổ chức thực nghiệm 143

3.3 Nội dung thực nghiệm 145

3.4 Kết quả thực nghiệm 152

3.4.1 Đánh giá định tính 152

3.4.2 Đánh giá định lượng 159

3.5 Kết luận chương 3 164

KẾT LUẬN 167

CÁC CÔNG TRÌNH KHOA HỌC 169

TÀI LIỆU THAM KHẢO 170

Kí hiệu, viết tắt Viết đầy đủ

Bảng 3.3: Phân bố điểm của nhóm nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng sau

khi thực nghiệm vòng 1 161

Bảng 3.4: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng sau khi thực hiện vòng 1 161

Bảng 3.5: Phân bố điểm của nhóm nhóm lớp thực nghiệm và nhóm lớp đối chứng sau khi thực nghiệm vòng 2……….…… 163

Bảng 3.6: Phân bố tần số lũy tích hội tụ lùi của lớp thực nghiệm và lớp đối chứng sau khi thực hiện vòng 2……….….… 164

DANH MỤC CÁC BIỂU ĐỒ Biểu đồ 3.3: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi của nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 1 161

Biểu đồ 3.4: Đồ thị biểu diễn đường tần suất lũy tích hội tụ lùi của nhóm lớp đối chứng và lớp thực nghiệm sau thực nghiệm vòng 2 164

DANH MỤC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Các thành tố của năng lực GQVĐ 23

Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc chung của hoạt động 24

Hình 1.3 Biểu diễn dãy số u n ( 1)n n   , n 1……… ……… 41

Hình 1.4 Minh họa hình phẳng……….……… ……….43

Hình 2.1 Minh họa đồ thị hàm số……… … ………76

Hình 2.2 Minh họa đồ thị hàm số……….………77

Hình 2.3; Hình 2.4; Hình 2.5 Minh họa đồ thị hàm số……….……80

Hình 2.6 Minh họa đồ thị hàm số……… ……81

Hình 2.7; Hình 2.8; Hình 2.9; Hình 2.10; Hình 2.11; Hình 2.12 Minh họa đồ thị hàm số 84

Hình 2.13 Minh họa đồ thị hàm số 101

Hình 2.14; Hình 2.15; Hình 2.16 Minh họa đồ thị hàm số 102

Hình 2.17 Hình vẽ của tình huống trong ví dụ 2.18……… …………107

“Chuyển mạnh quá trình giáo dục chủ yếu từ trang bị kiến thức kĩ năng sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất của người học Tiếp tục đổi mới mạnh mẽ phương pháp dạy và học theo hướng hiện đại; phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo và vận dụng kiến thức, kĩ năng của người học; khắc phục lối truyền thụ một chiều ghi nhớ máy móc Tập trung dạy cách học, cách nghĩ, khuyến khích tự học, tạo cơ sở

để người học tự cập nhật và đổi mới tri thức, kĩ năng, phát triển năng lực” [18].

Ở nhiều nước trên thế giới, các nhà giáo dục toán học đã nhấn mạnh rằng giáodục toán học phải lấy việc nâng cao năng lực GQVĐ làm trọng tâm và được thể hiện

rõ trong quan điểm trình bày kiến thức và phương pháp dạy học thông qua chươngtrình và sách giáo khoa Cụ thể:

Năm 1980, Hội đồng Quốc gia GV toán (DT [114]) ở Mỹ đã đề nghị trong

chương trình nghị sự của họ “hoạt động GQVĐ phải là trọng tâm của toán học trong nhà trường” Chương trình giảng dạy và đánh giá Toán của Hội đồng Quốc gia GV

Toán Mỹ yêu cầu HS THPT được dạy xây dựng kiến thức toán học mới thông quaGQVĐ (DT [102]) Chuẩn môn Toán của Bang New Jersey - Mỹ khẳng định tất cả HS

sẽ phát triển khả năng đặt ra và GQVĐ trong toán học, trong ngành khác và trong cuộcsống hàng ngày (DT [67]) Báo cáo Cockerroft (DT [114]) của Anh nhìn nhận khảnăng GQVĐ là một mục tiêu có tính trọng điểm của giáo dục toán học và là yếu tốquan trọng trong việc dạy toán cho mọi lứa tuổi và mọi khả năng Chương trình giảngdạy lớp 11, 12 của Canada [120] coi GQVĐ là trung tâm của học tập Toán và nên trởthành trụ cột chính của giảng dạy Toán Năm 2001, Bộ Giáo dục Singapore (DT [102])khẳng định, mục tiêu chính của chương trình giảng dạy toán học là giúp HS phát triểnkhả năng GQVĐ Toán học (GQVĐ toán học bao gồm sử dụng và áp dụng toán họcvào các nhiệm vụ thực tế, các vấn đề thực tế cuộc sống và trong chính toán học) của

HS Sách giáo khoa Singapore tập trung vào GQVĐ, từng chủ đề được đi sâu và đưa

ra những phương pháp rất hữu ích để hiểu khái niệm toán học

GQVĐ được đề cập đến trong chương trình của nhiều nước, cụ thể: Chươngtrình toán phổ thông của bang Quebec, Canada; Chương trình New Zealand (chú trọng

đến các phương pháp tiếp cận để giải quyết các vấn đề liên quan đến toán học, phát

triển khả năng tư duy, suy luận hợp lý); Chương trình toán của Pháp (nhấn mạnh tới

yếu tố GQVĐ trong học toán); Chương trình toán của Úc (đề cập tới: Sự hiểu biết về

kiến ​ ​ thức, kĩ năng toán học; GQVĐ; Lập luận) (DT [39])

Vương Dương Minh [54] khẳng định phương pháp phát hiện và GQVĐ có giá trị tolớn và có khả năng vận dụng rộng rãi trong nhà trường để trở thành một phương pháp chủđạo Trần Luận [44] đã đề xuất: Nội dung toán ở nhà trường phổ thông phải là môitrường rèn luyện năng lực GQVĐ và ứng dụng toán học trong cuộc sống hằng ngày.Nghiên cứu về mối quan hệ giữa nội dung môn toán ở trường phổ thông Việt Nam vàcác năng lực chung cần hình thành và phát triển cho HS, Trần Kiều [35] xác định nănglực GQVĐ là một trong 6 năng lực đặc thù môn toán cần hình thành và phát triển choHS

Như vậy, GQVĐ có ý nghĩa quan trọng trong giảng dạy toán và được đưa vàochương trình giảng dạy toán của nhiều nước trên thế giới Năng lực GQVĐ là mộtnăng lực quan trọng cần hình thành và phát triển cho HS trong dạy học toán Do đó,bồi dưỡng năng lực GQVĐ là một nhiệm vụ quan trọng trong dạy học toán ở nhàtrường phổ thông nước ta hiện nay

1.2 Giải tích là một nội dung có nhiều tiềm năng để bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề

Giải tích là một ngành đóng vai trò chủ đạo trong toán học Nguồn gốc ra đờicủa giải tích là để giải quyết 4 bài toán lớn là tìm tiếp tuyến của một đường cong, tìm

độ dài của một đường cong, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một đại lượng, tìmvận tốc và gia tốc của chuyển động theo thời gian Giải tích ra đời trong quá trình tìmtòi, phát hiện, xây dựng các công cụ để giải quyết những tình huống có vấn đề, nhữngbài toán đặt ra trong vật lí, trong khoa học kĩ thuật và trong nội bộ toán học

Các kiến thức về giải tích có mối liên hệ chặt chẽ với nhau Kiến thức giải tíchđược xây dựng thông qua quá trình tìm tòi, phát hiện mối liên hệ giữa các kiến thức đã

có để biến đổi các đối tượng nhằm giải quyết tình huống có vấn đề được đặt ra Chẳng

hạn, khái niệm đạo hàm được định nghĩa thông qua khái niệm giới hạn, đạo hàm làcông cụ để khám phá các tính chất của hàm số, nguyên hàm được xây dựng thông quatình huống tìm giải pháp của bài toán ngược tìm hàm số khi biết đạo hàm Các tínhchất, định lí giải tích có thể được xây dựng thông qua giải quyết các tình huống có vấnđề.

Như vậy, nội dung giải tích chứa đựng nhiều bối cảnh nảy sinh tình huống cóvấn đề và có thể khai thác để bồi dưỡng năng lực GQVĐ

1.3 Thủ pháp hoạt động nhận thức có vai trò quan trọng đối với học sinh trong lĩnh hội kiến thức toán học, cũng như giải quyết các vấn đề đặt ra trong học toán

Trong bài nói chuyện của Polya (DT [10]), ông cho rằng: Việc học kết thúcbằng việc hình thành các thói quen suy nghĩ tích cực và mục đích chung cho giáo dụctoán học là phát triển càng nhiều càng tốt những thói quen suy nghĩ có giá trị trongviệc đương đầu với bất kì loại thử thách, vấn đề nào Ông nhận định, cần phải có mộtluật cơ bản các chiến thuật giải quyết mọi loại vấn đề khác nhau và điểm cốt yếu tronggiáo dục toán học là phải phát triển được những chiến thuật GQVĐ này Như vậy, cóthể nói rằng Polya đã khẳng định dạy chiến thuật (gọi là TPHĐNT) thì phát triển đượckhả năng GQVĐ cho HS

Thực tế dạy học toán, những cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng mang tínhđộc đáo, khéo léo để tìm kiếm giải pháp đúng đắn, tìm kiếm giải pháp tối ưu giúp HScảm nhận được vẻ đẹp của toán học, hình thành cho HS cảm xúc thẩm mỹ, khơi dạyniềm say mê và hứng thú học toán Những cách thức này có vai trò như là phương tiện,như là công cụ giúp HS chiếm lĩnh trọn vẹn tri thức toán học và giải quyết thành côngcác vấn đề trong học toán Và những cách thức này được xem là TPHĐNT Nếu HSđược trang bị TPHĐNT thì có thể giải quyết các vấn đề tốt hơn, HS sẽ thành côngtrong GQVĐ Tuy nhiên, hiện nay GV chưa quan tâm đến trang bị TPHĐNT cho HS.Trong dạy học toán, GV thường chú trọng cung cấp kiến thức cho HS mà chưa quantâm nhiều đến cung cấp cho HS cách thức hiệu quả để lĩnh hội và vận dụng các kiếnthức

Vì vậy, trang bị TPHĐNT cho HS là việc làm cần thiết và có thể xem là mộttrong những con đường góp phần hình thành và phát triển năng lực GQVĐ

Xuất phát từ những vấn đề trên chúng tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học Giải tích ở trường Trung học Phổ thông theo hướng bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhận thức cho học sinh”.

2 Tổng quan về vấn đề nghiên cứu

2.1 Một số nghiên cứu về thủ pháp và thủ pháp hoạt động nhận thức

*) Nghiên cứu ngoài nước

- Quan niệm về “tactic” trong tiếng Anh, về Pri-om trong tiếng Nga và một số nghiên cứu khác về thủ pháp

Những nghiên cứu ngoài nước hiện nay, có nhiều quan điểm khác nhau về thủpháp, TPHĐNT, cụ thể:

Shufelt và Smart (DT [2]) cho rằng thủ pháp liên quan đến GQVĐ LenFrobisher, Backhouse, Robert Mills Gragne (DT [3]) cho rằng thủ pháp là một kháiniệm thuộc lĩnh vực phương pháp, đó chính là cách thức mà con người ta làm, xử lí và

sử dụng hiệu quả các thông tin Việc xử lí và sử dụng hiệu quả thông tin đòi hỏi lối

suy nghĩ riêng biệt, linh hoạt, khéo léo, độc đáo Thủ pháp được vận dụng trongGQVĐ Hầu hết các thủ pháp đều độc lập với nội dung toán học và đều bổ ích đối vớicác vấn đề có liên quan đối với các lĩnh vực và các môn học

D.N.Perkins (DT [2]) cho rằng thủ pháp thuộc lĩnh vực phương pháp và nó làmột trong các thành tố của trí thông minh và có thể được biểu diễn bằng sơ đồ như sau:

Trí thông minh = Năng lực + Thủ pháp + Trình độ chuyên môn Thủ pháp được vận dụng khi người ta cần giải quyết một nhiệm vụ nào đó D.N Perkins [105] khẳng định thủ pháp (tactic) rất quan trọng nên cần phải xác định thuật ngữ này càng rõ càng tốt.

Và ông cho rằng thuật ngữ thủ pháp (tactic) thông thường được hiểu rất mơ hồ và có nghĩa hẹp ở những phạm vi nhất định khuyến khích việc giới thiệu một suy nghĩ mới

và thuật ngữ này được cải thiện hơn, được định nghĩa là cách hướng dẫn quy trình tổ chức và hỗ trợ quá trình suy nghĩ Ông cho rằng các phương pháp để nâng cao tư duy

phụ thuộc phần lớn vào bài tập để nâng cao tư duy, tìm kiếm cách dạy các thủ pháp vànội dung để nâng cao tư duy Khi được dạy những thủ pháp, chiến lược để thực hiệnmột nhiệm vụ, một người có trí tuệ phát triển chậm làm được gần như một người bìnhthường Việc hướng dẫn tỉ mỉ đối với những thủ pháp được lựa chọn kỹ lưỡng có thểnâng cao đáng kể hiệu quả Cơ hội tốt nhất đối với giáo dục là trang bị kiến thức có

tính thủ pháp cho HS Như vậy, thủ pháp hỗ trợ, nâng cao hiệu quả tư duy va mang lại

lợi ích về sự phát triển trí tuệ

TPHĐNT được các nhà Tâm lý học Xô viết nghiên cứu và phát triển, ứng dụngtrong Tâm lý học và được các nhà Sư phạm Liên bang Nga vận dụng và phát triểntrong giáo dục học các bộ môn trong đó bộ môn toán có Itova Irina Itova Irina [118]cho rằng trong hoạt động học tập của HS gồm: sự hình thành kiến thức và quá trìnhhình thành thủ pháp làm việc với các tài liệu học tập Itova Irina khẳng định rằng:

“TPHĐNT là những cách thức mà người học dùng để thực hiện (thủ pháp trừu tượng, tổng hợp,…) và là những cái mà có thể được thể hiện trong một loạt hành động”.

TPHĐNT thường có tính hướng dẫn hoặc quy định, khuyến cáo chỉ ra cách làm thếnào để tiến hành hoạt động nhận thức, quy trình nào cần có trong việc giải quyết một

số các nhiệm vụ cụ thể Việc nắm vững một thủ pháp thể hiện ở chỗ sử dụng thủ phápmột cách có ý thức khi giải quyết những nhiệm vụ mới Trong nghiên cứu về nhữngyêu cầu của giáo dục trong việc phát triển hoạt động nhận thức, cũng như trong việcphát triển trí tuệ của HS, bà cho rằng: Mục đích chính của hoạt động nhận thức của HS

là nắm bắt kiến thức; Để dạy trẻ em học một cách thông minh cần hình thành cáchthức suy nghĩ hợp lý hay các thủ pháp, nó trở thành “công cụ" độc lập chiếm lĩnh tàiliệu học tập TPHĐNT nên được dạy cho HS bởi vì nó giúp HS tiếp thu đầy đủ đượcnội dung học tập

L.M.Phơritman, E.N.Turetxki, V.Ia.Xtetxencô (DT [46]) cho rằng khi tìm kiếmlời giải các bài toán, nếu bài toán là không chuẩn thì hành động theo hai hướng: Tách

từ bài toán ra hoặc chia nhỏ nó ra thành những bài toán nhỏ dạng chuẩn (thủ pháp chianhỏ); Diễn đạt bài toán theo một cách khác, dẫn đến một bài toán dạng chuẩn (thủpháp mô hình hóa); Việc dẫn một bài toán dạng không chuẩn đến một bài toán dạng

chuẩn bằng các thủ pháp chia nhỏ hoặc mô hình hóa là một nghệ thuật, mà chỉ có thể lĩnh hội được trong kết quả của sự phân tích sâu sắc thường xuyên các hành động giải

toán và thường xuyên luyện tập giải các bài toán khác nhau Xét từ một phương diện

nào đó có thể xem thủ pháp có tính “nghệ thuật” nghĩa là nó đòi hỏi sự linh hoạt, sự tài tình và sự khéo léo riêng của người sử dụng và kết quả đạt được mang tính đặc biệt,

độc đáo

- Về đặc điểm của dạy học môn Toán

Toán học được hình thành là kết quả của sự suy diễn có hệ thống và là kết quả

của sự tìm tòi, sáng tạo thông qua thực nghiệm và quy nạp Toán học trong quá trình hình thành và phát triển, có quá trình tìm tòi phát minh, có cả thực nghiệm và quy nạp.

Phương pháp toán học là sự thống nhất giữa suy đoán và suy diễn Descartes (DT [66])

đã thử tự mình tìm các phát minh tài tình mà không đọc công trình trình bày phát minh

đó và thấy các phát minh đều theo những quy tắc nhất định Như vậy, nếu HS nắm được các “quy tắc” tài tình của các phát minh các em có thể thực hiện hiệu quả hoạt

động nhận thức Toán học Đặc điểm môn Toán ở trường THPT cũng không nằm ngoàiđặc điểm của Toán học Khi dạy học các tình huống Toán học điển hình, GV cần chú ýcho HS nhìn thấy các kiến thức trong quá trình hình thành phát triển và phát sinh.Trong dạy học toán, cần trang bị cho HS các tri thức phương pháp, đặc biệt là các tri

thức phương pháp có tính chất tìm đoán Tùy thuộc vào tình huống dạy học, mà GV có thể trang bị cho HS các cách thức tìm hiểu, biến đổi linh hoạt phù hợp với từng tình huống cụ thể để lĩnh hội khái niệm, định lý, tính chất và giải bài tập toán Những cách thức biến đổi linh hoạt, tài tình hay những “quy tắc” tài tình giúp cho hoạt động nhận

thức đạt hiệu quả cao gọi là các TPHĐNT

- Về tư tưởng sư phạm của Polya

Shuard (DT [2]) khẳng định “mối quan tâm lớn nhất hiện nay về thủ pháp làxuất phát từ công trình của Polya về GQVĐ toán học” Công trình nghiên cứu củaPolya là một công trình nghiên cứu Ơritxtic, thể hiện mong muốn tìm cách lôi HS vào

giải toán, thôi thúc HS suy nghĩ về các phương pháp, cách thức sử dụng và dạy cho HS cách suy nghĩ có tính chất cơ động, linh hoạt, không theo một khuôn mẫu cứng nhắc.

Polya cho rằng: nhà trường không chỉ cung cấp cho HS các kiến thức toán học mà còn

phải rèn luyện cho họ kĩ năng vận dụng, tính độc lập, sự độc đáo và khả năng sáng tạo

[64] Cuốn sách “Giải một bài toán như thế nào” thể hiện phương pháp dạy học giảitoán thông qua bảng hệ thống các câu hỏi và lời khuyên để phát triển các kĩ năngƠritxtic cho HS Polya khẳng định phương pháp đưa đến lời giải các bài toán nóichung là phức tạp và có nhiều khía cạnh khác nhau Khi giải một bài toán, ta lần lượtxét các khía cạnh của nó, lật đi lật lại vấn đề trong trí óc, cần thiết phải biến đổi bài

toán Biến đổi bài toán bằng cách phân chia hoặc tổ hợp lại các yếu tố của bài toán,

cũng có thể sử dụng các phương tiện của phép tổng quát hóa, phép tương tự, Để

phân chia, tổ hợp bài toán cần phải có sự khéo léo để đạt hiệu quả

*) Nghiên cứu trong nước

- Về nghĩa của cụm từ “thủ pháp” và cách dùng trong tiếng Việt

Theo đại từ điển Tiếng Việt: “Thủ pháp là cách thức tiến hành việc gì, thực hiện ý định nào Thủ pháp làm việc phải kết hợp nhiều thủ pháp khác” [98] Theo [119]

đặt khái niệm thủ pháp dạy học trong mối quan hệ với phương pháp dạy học: “Phươngpháp dạy học là những cách thức làm việc giữa thầy giáo và HS, nhờ đó mà HS nắm

vững được kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo, hình thành được thế giới quan và năng lực Thủ pháp dạy học là cách thức giải quyết một vấn đề cụ thể nào đó thuộc một phương pháp nhất định hay nói khác đi, thủ pháp chính là thao tác bộ phận của một phương pháp” Nếu phương pháp chú ý tới cả quá trình thì thủ pháp là việc chú ý chủ yếu tới

một thời điểm nhất định nào đấy trong quá trình đó Trong văn học, các nhà vănthường sử dụng các hình ảnh, từ ngữ, các lối ví von,… một cách khéo léo, tài tình đểđạt được dụng ý nghệ thuật, các cách thức sử dụng đó gọi chung là thủ pháp nghệthuật (như so sánh, ẩn dụ, hoán dụ, nhân hóa, thậm xưng, …) Việc sử dụng thủ phápnghệ thuật ghi dấu ấn cá nhân của từng nhà văn Như vậy, từ nghĩa của từ “thủ pháp”trong tiếng Việt và cách sử dụng từ “thủ pháp” trong các tình huống của tiếng Việt, có

thể thấy rằng thủ pháp là cách thức thực hiện có tính chất khéo léo, độc đáo và khác biệt với cái thông thường để thực hiện một nhiệm vụ cụ thể.

- Về thủ pháp hoạt động nhận thức trong dạy học toán:

Có một số nghiên cứu đề cập đến TPHĐNT, trong đó đáng chú ý là kết quảnghiên cứu của Trần Luận Trần Luận [46] đưa ra một hướng dạy học sáng tạo thôngqua việc trang bị các TPHĐNT cho HS Ông liệt kê ra tên gọi một số thủ pháp nhưngkhông đưa ra khái niệm thủ pháp Ông chỉ ra một số thủ pháp quan trọng như thủ phápphân chia các dấu hiệu cơ bản và không cơ bản của khái niệm, thủ pháp xem xét đốitượng dưới nhiều góc độ khác nhau (cùng là một đoạn thẳng trong một tam giác cân cóthể được xem như là đường cao, như là đường phân giác hoặc trung tuyến), thủ pháptạo lập hình ảnh ghi nhớ hoặc tưởng tượng (khác với khái niệm các hình ảnh biểu thịcái mà HS hình dung trong đầu) Ông cho rằng thông qua việc bồi dưỡng cho HS mà

phát triển năng lực trí tuệ của HS Ông khẳng định “các thủ pháp cần thiết cho việc độc lập giải quyết các nhiệm vụ và lĩnh hội các kiến thức” Các thủ pháp đóng vai trò

chính yếu trong sự phát triển trí tuệ của HS Tác giả nhận định rằng để HS lĩnh hội tốtđẹp các tri thức, họ cần phải lĩnh hội các thủ pháp.

Như vậy, từ một số nghiên cứu về TPHĐNT cho thấy khi được trang bịTPHĐNT thì việc nắm bắt vấn đề hiệu quả hơn; TPHĐNT được vận dụng trong quátrình GQVĐ; TPHĐNT là một công cụ hiệu quả để đưa khái niệm, tri thức và kĩ năngvào GQVĐ; HS không chỉ cần phải “học” về TPHĐNT mà cần có khả năng chọn xemTPHĐNT nào là thích hợp nhất trong từng thời điểm của quá trình GQVĐ Nghiêncứu về trang bị TPHĐNT để bồi dưỡng năng lực GQVĐ là vấn đề cần thiết

2.2 Một số nghiên cứu về bồi dưỡng năng lực giải quyết vấn đề và về dạy học giải tích ở trường Trung học Phổ thông

- Trong những năm gần đây, ở nước ta có một số nghiên cứu [96], [91], [94], [99],

về dạy học toán theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ ở trường THPT, cụ thể:

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Anh Tuấn (2002), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS THCS trong dạy học khái niệm toán học (thể hiện qua một

số khái niệm mở đầu đại số ở THCS)” [96], trên quan điểm hoạt động dạy học gồm hai

hoạt động phát hiện vấn đề và GQVĐ, có thể xem năng lực phát hiện và GQVĐ gồm nhómnăng lực phát hiện vấn đề và nhóm năng lực GQVĐ, xác định quy trình dạy khái niệm mởđầu đại số để bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Thị Hương Trang (2002), với đề tài “Rèn luyện năng lực giải toán theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo cho HS khá giỏi trường Trung học phổ thông” [91], đã xây dựng một tiến trình giải toán, nhằm rèn luyện

năng lực giải toán cho HS khá giỏi theo hướng phát hiện và GQVĐ một cách sáng tạo

Luận án tiến sĩ của Từ Đức Thảo (2012), với đề tài “Bồi dưỡng năng lực phát hiện và GQVĐ cho HS Trung học phổ thông thông qua dạy học hình học” [94], xem

năng lực phát hiện và GQVĐ trong dạy học hình học gồm năng lực phát hiện vấn đề tronghọc hình học và năng lực GQVĐ trong học hình học, đưa ra các biện pháp bồi dưỡng cácthành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ

Luận án tiến sĩ của Phan Anh Tài (2015), với đề tài“Đánh giá năng lực GQVĐ của HS trong dạy học toán lớp 11 trung học phổ thông” [81], cho rằng năng lực

GQVĐ có bốn thành tố (năng lực hiểu vấn đề, năng lực phát hiện và triển khai giảipháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khácGQVĐ, phát hiện vấn đề mới)

- Ở nước ta đã có một số nghiên cứu về dạy học giải tích, dạy học khái niệmgiải tích, dạy học hàm số liên tục, cụ thể:

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Mạnh Chung (2001) với đề tài “Nâng cao hiệu quả dạy học khái niệm toán học bằng các biện pháp sư phạm theo hướng tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh (thông qua dạy học các khái niệm “hàm số” và “giới hạn” cho học sinh trường trung học phổ thông” [9], đã đưa ra quy trình dạy học khái

niệm “hàm số” và “giới hạn”

Luận án tiến sĩ của Nguyễn Phú Lộc (2006) với đề tài “Nâng cao hiệu quả dạy học môn Giải tích trong nhà trường trung học phổ thông theo hướng tiếp cận một số vấn đề của phương pháp luận toán học” [42], nghiên cứu áp dụng cơ sở nguyên lí về

mối liên hệ phổ biến của phép biện chứng duy vật, phạm trù cái riêng - cái chung,phương pháp phân tích và phép tương tự vào xây dựng các mô hình dạy học giải tích

Luận án tiến sĩ của Phạm Sĩ Nam (2013), “Nâng cao hiệu quả dạy học một số khái niệm giải tích cho học sinh trung học phổ thông chuyên Toán trên cơ sở vận dụng

lí thuyết kiến tạo” [55], đưa ra quy trình dạy học khái niệm giải tích cho học sinh

THPT chuyên toán trên cơ sở vận dụng lí thuyết kiến tạo

Luận án tiến sĩ của Trần Anh Dũng (2013), “Dạy học hàm số liên tục ở trường trung học phổ thông” [16], là một nghiên cứu chuyên biệt về hàm liên tục trên nền

tảng một số công cụ lý thuyết Didactic trong sự kết nối với quan điểm của lí thuyếtkiến tạo

Nhìn chung, các công trình nghiên cứu: Về GQVĐ đã tập trung vào mô tả cácthành tố của năng lực phát hiện và GQVĐ nhằm bồi dưỡng cho HS; Về giải tích khaithác về quy trình dạy học khái niệm giải tích, mô hình dạy học giải tích; Chưa có mộtcông trình nào đề cập đến dạy học giải tích theo hướng tiếp cận năng lực GQVĐ thôngqua trang bị TPHĐNT ở THPT

Như vậy, dạy học theo định hướng hình thành và phát triển năng lực là xuhướng trong giáo dục Việt Nam hiện nay Đã có các nghiên cứu thực sự ý nghĩa về dạyhọc toán nói chung, dạy học đại số, dạy học hình học nói riêng theo hướng bồi dưỡngnăng lực GQVĐ ở trường THPT Giải tích là một môn học khó đối với HS, quan trọng

và có nhiều ứng dụng, cũng đã có các công trình nghiên cứu dạy học giải tích ở trườngTHPT, nhưng chưa có nghiên cứu về dạy học giải tích theo định hướng phát triển nănglực GQVĐ TPHĐNT được sử dụng trong GQVĐ Vấn đề nghiên cứu về dạy học giải

tích theo hướng tiếp cận năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một sốTPHĐNT vẫn còn bỏ ngỏ, chưa có một công trình nào đề cập đến, vì vậy luận án sẽ đinghiên cứu vấn đề này.

3 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu đề xuất các biện pháp trang bị một số TPHĐNT cho HS trong dạyhọc giải tích nhằm bồi dưỡng năng lực GQVĐ và góp phần nâng cao hiệu quả dạy họcmôn Giải tích trong nhà trường THPT

4 Khách thể, đối tượng nghiên cứu, phạm vi nghiên cứu

3.1 Khách thể nghiên cứu: Hoạt động dạy học môn giải tích ở trường THPT 3.2 Đối tượng nghiên cứu: Một số TPHĐNT trong dạy học toán giải tích để

bồi dưỡng năng lực GQVĐ cho HS THPT

3.3 Phạm vi nghiên cứu: Nội dung giải tích trong chương trình và sách giáo

khoa THPT

5 Giả thuyết khoa học

Nếu xác định và trang bị được một số TPHĐNT phù hợp cho HS trong dạy họcgiải tích thì sẽ bồi dưỡng được năng lực GQVĐ và góp phần nâng cao chất lượng họctập môn giải tích cho HS

6 Nhiệm vụ nghiên cứu

Luận án có nhiệm vụ nghiên cứu các vấn đề sau:

- Làm rõ hoạt động giải quyết vấn đề trong toán học; Làm rõ khái niệm nănglực GQVĐ; Các thành tố của năng lực GQVĐ; Mối quan hệ giữa hoạt động giải quyếtvấn đề và năng lực giải quyết vấn đề

- Tổng hợp một số nghiên cứu liên quan đến thủ pháp; Đề xuất quan niệm vềTPHĐNT toán học; Đề xuất một số TPHĐNT toán học cụ thể cần trang bị cho HS

- Nghiên cứu về nội dung và chương trình môn toán nói chung và giải tích nóiriêng ở THPT

- Nghiên cứu về thực trạng dạy học giải tích theo hướng trang bị một sốTPHĐNT cho HS ở THPT

- Đề xuất các biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng nănglực GQVĐ cho HS thông qua trang bị một số TPHĐNT

- Thực nghiệm sư phạm để bước đầu kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả củacác biện pháp sư phạm luận án đề xuất

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu lý luận:

Nghiên cứu các tài liệu về tâm lí học, giáo dục học và lí luận dạy học bộ môntoán có liên quan đến đề tài; Nghiên cứu chương trình, sách giáo khoa môn toán ởtrường THPT; Nghiên cứu các tài liệu tham khảo về nội dung toán ở trường THPT

7.2 Phương pháp điều tra và quan sát:

Sử dụng phiếu điều tra để tìm hiểu về mức độ hiểu biết và sự quan tâm của GVTHPT tới việc trang bị một số TPHĐNT cho HS Trao đổi với các chuyên gia, GV phổthông và dự một số giờ dạy ở trường THPT để tìm hiểu thực tế về việc dạy học giảitích theo hướng trang bị TPHĐNT cho HS THPT

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Tổ chức thực nghiệm sư phạm để xem xét tính khả thi và tính hiệu quả của cácbiện pháp sư phạm được đề xuất Đánh giá kết quả bằng phương pháp thống kê toánhọc trong khoa học giáo dục

7.4 Phương pháp thống kê toán học trong khoa học giáo dục

Phân tích định lượng các kết quả thực nghiệm, làm cơ sở để minh chứng chotính hiệu quả của đề tài

7.5 Phương pháp chuyên gia

Xin ý kiến chuyên gia nhằm làm sáng tỏ về mục đích trang bị TPHĐNT và tínhđúng đắn của các biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lựcGQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT

8 Những đóng góp mới của luận án

8.1 Về mặt lí luận

- Làm rõ những vấn đề về năng lực GQVĐ và các thành tố của năng lực GQVĐ

- Góp phần làm sáng tỏ quan niệm về TPHĐNT toán học, một số TPHĐNT cụthể trong giải tích Làm rõ ý tưởng trang bị TPHĐNT và những tình huống sử dụngTPHĐNT

- Làm rõ đặc điểm của nội dung giải tích ở THPT, cơ hội hình thành và pháttriển năng lực GQVĐ qua dạy học giải tích, mối quan hệ giữa trang bị TPHĐNT vànăng lực GQVĐ trong dạy học giải tích

- Đề xuất các biện pháp sư phạm làm sáng tỏ cách dạy học nội dung giải tíchtheo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT

- Góp phần đổi mới phương pháp dạy học môn Toán, chứng minh cho tính khảthi của dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lực GQVĐ thông qua trang bịmột số TPHĐNT.

9 Nội dung đưa ra bảo vệ

- Quan niệm về TPHĐNT, các nhóm TPHĐNT cụ thể cho môn toán và đặc thùcho giải tích, đặc điểm của TPHĐNT, mức độ biểu hiện của TPHĐNT và tình huống

sử dụng TPHĐNT

- Vấn đề trang bị TPHĐNT cho HS, cơ hội hình thành và phát triển năng lựcGQVĐ qua dạy học giải tích, mối quan hệ giữa trang bị TPHĐNT và năng lực GQVĐtrong dạy học giải tích

- Quá trình trang bị TPHĐNT đã bồi dưỡng được các thành tố của năng lựcGQVĐ thông qua các tình huống cụ thể như học khái niệm, học định lý, học quy tắc,học phương pháp và vận dụng kiến thức giải tích, đồng thời quan tâm hợp lí đến việcnâng cao hiệu quả dạy học giải tích

- Các biện pháp sư phạm dạy học giải tích theo hướng bồi dưỡng năng lựcGQVĐ thông qua trang bị một số TPHĐNT là khả thi và hiệu quả

10 Cấu trúc của luận án

Luận án gồm phần Mở đầu, Kết luận và 3 chương:

Chương 1 Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2 Một số biện pháp dạy học Giải tích ở trường THPT theo hướng bồidưỡng năng lực giải quyết vấn đề thông qua trang bị một số thủ pháp hoạt động nhậnthức

Chương 3 Thực nghiệm sư phạm

Chương 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Về năng lực giải quyết vấn đề

1.1.1 Dạy học giải quyết vấn đề

Ở Việt Nam, có nhiều công trình nghiên cứu về dạy học GQVĐ, như của Nguyễn

Bá Kim - Vũ Dương Thụy [37], Nguyễn Hữu Châu [6], Bùi Văn Nghị [58], Nguyễn VănCường [11], … Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [37] cho rằng trong dạy học GQVĐ,thầy giáo tạo ra những tình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tựgiác và tích cực để GQVĐ và thông qua đó mà lĩnh hội tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạtđược những mục đích học tập khác Trong dạy học GQVĐ cần phải làm rõ các khái niệm:Vấn đề, tình huống gợi vấn đề và dạy học GQVĐ

1.1.1.1 Vấn đề trong dạy học toán

Các nhà nghiên cứu Polya [109], Schoenfeld (DT [102]), Reys (DT [2]),Fanghaenel (DT [91]), Stoliar (DT [91]), Nguyễn Bá Kim [36], Nguyễn Văn Cường[11], Phan Anh Tài [81], đã đề cập đến các thuật ngữ “vấn đề”, “bài toán” và cónhiều định nghĩa khác nhau

Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng: “Một bài toán được gọi là một vấn đề nếu chủ thể chưa biết một thuật giải nào có thể áp dụng để tìm ra phần tử chưa biết của bài toán” Polya [64] cho rằng: “Bài toán đặt ra sự cần thiết phải tìm kiếm một cách ý thức phương tiện thích hợp để đạt tới một mục đích trông thấy rõ ràng nhưng không thể đạt được ngay” và giải bài toán tức là tìm ra phương tiện đó Từ những quan niệm này cho

thấy, bài toán là: Một yêu cầu đặt ra cho chủ thể; Chủ thể chưa có trong tay cách giải;Chủ thể nhận thức được sự cần thiết, ý nghĩa của nó và mong muốn tìm ra cách giảiquyết; Chủ thể tích cực suy nghĩ tìm kiếm phương tiện giải quyết nó

Nguyễn Văn Cường [11] khẳng định: “Vấn đề là những câu hỏi hay nhiệm vụ đặt ra mà việc giải quyết chúng chưa có quy luật sẵn cũng như những tri thức, kỹ năng sẵn có chưa đủ giải quyết mà còn khó khăn, cản trở cần vượt qua” và ông nêu ra ba

thành phần đặc trưng một vấn đề là “Trạng thái xuất phát: không mong muốn; Trạngthái đích: trạng thái mong muốn; Sự cản trở” Ông phân biệt vấn đề khác với nhiệm vụthông thường ở chỗ khi giải quyết một nhiệm vụ thì đã có sẵn trình tự và cách thứcgiải quyết, cũng như những kiến thức kỹ năng đã có đủ để giải quyết nhiệm vụ đó

Một số nhà nghiên cứu [2] cho rằng: Một vấn đề có liên quan đến một tình huống, trong đó người ta muốn đạt một cái gì đó và ngay lúc đó không biết cần phải

làm gì để có được nó Điều này có nghĩa, vấn đề được đặt vào một “tình huống” mà người GQVĐ “không biết phải làm gì” nghĩa là với những kiến thức hiện có chưa thể giải quyết được hay chưa có sẵn câu trả lời, nhưng người GQVĐ lại “muốn” nghĩa là

vấn đề thực sự thu hút, lôi cuốn và người GQVĐ thực sự có nguyện vọng, có tham

vọng “đạt một cái gì” nghĩa là tìm được một giải pháp Như vậy, vấn đề được đề cập

đến ở đây có đặc điểm: Chưa có sẵn câu trả lời; Có mong muốn tìm giải pháp

Phan Anh Tài [81] quan niệm: “Vấn đề trong dạy học toán THPT là bài toán (theo nghĩa rộng) đặt ra cho người học, mà tại thời điểm đó người học chưa biết lời giải và thỏa mãn các điều kiện: i) Bài toán chưa có một thuật giải đã biết để giải

nó ii) Người học có sẵn những kiến thức, kĩ năng sử dụng thích hợp và có nhu cầu giải quyết” Quan niệm này chỉ ra vấn đề có 3 đặc điểm: Bài toán chưa có thuật giải,

HS có đủ kiến thức kĩ năng cần thiết để giải và có mong muốn giải quyết Như vậy,một bài toán đặt ra nếu đã có thuật giải, đã biết cách giải thì không được gọi là vấn đề;một bài toán đặt ra nếu HS chưa có sẵn một cách giải quyết và các kiến thức kĩ nănghiện có của HS không đủ để giải quyết bài toán này thì cũng không gọi là vấn đề; mộtbài toán đặt ra mà HS chưa có thuật giải và có đủ kiến thức kĩ năng để giải nhưng bảnthân HS không muốn giải quyết thì cũng không phải là vấn đề

Như vậy, vấn đề mang tính chất tương đối, cùng một bài toán có thể đối với HSnày là vấn đề nhưng HS khác lại không là vấn đề và trong tình huống này là vấn đềtrong tình huống khác lại không là vấn đề Vấn đề trong toán học, gồm: Vấn đề thuầntúy toán học; Vấn đề ứng dụng Các vấn đề khác nhau được giải quyết theo nhiều cách

khác nhau Ở nội dung toán THPT, vấn đề xuất hiện trong tất cả các tình huống dạy học điển hình: dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học quy tắc phương pháp, dạy

học giải bài tập dưới dạng những câu hỏi xây dựng khái niệm, câu hỏi chỉ ra thuộc tínhđặc trưng của khái niệm, yêu cầu thực hiện thao tác để phát hiện ra định lý và tính chất,bài toán có thuật toán, bài toán chưa có thuật giải, bài toán tìm tòi, bài toán chứngminh

Từ phân tích các quan niệm về “bài toán” và “vấn đề”, trong luận án quan niệm:

Bài toán trong dạy học toán THPT là một yêu cầu đặt ra, HS nhận thức được

sự cần thiết, mong muốn và tích cực suy nghĩ tìm cách thức để giải quyết.

Vấn đề trong dạy học toán THPT là một bài toán mà HS chưa biết cách giải quyết nhưng có đủ kiến thức và kĩ năng cần thiết để giải quyết.

1.1.1.2 Tình huống gợi vấn đề

Trong dạy học GQVĐ ta quan tâm đến tình huống có vấn đề (tình huống vấn đề),

theo Nguyễn Bá Kim [36]: “Tình huống gợi vấn đề là một tình huống gợi ra cho HS những khó khăn về lí luận hay thực tiễn mà họ thấy cần thiết và có khả năng vượt qua, nhưng không phải ngay tức khắc nhờ một quy tắc có tính chất thuật toán, mà phải trải qua một quá trình tích cực suy nghĩ, hoạt động để biến đổi đối tượng hoạt động hoặc điều chỉnh kiến thức sẵn có”

Trần Kiều [34] cho rằng: Tình huống có vấn đề là những lúng túng về lý thuyết vàthực hành để GQVĐ, tức là vào thời điểm đó vào tình huống đó thì những kiến thức và kĩnăng vốn có chưa đủ để tìm ra ngay lời giải; Tình huống có vấn đề luôn luôn chứa đựngmột nội dung cần xác định, một nhiệm vụ cần giải quyết, một vướng mắc cần tháo gỡ, vàkết quả của việc nghiên cứu và giải quyết sẽ là những tri thức mới, nhận thức mới, hoặcphương thức hành động mới đối với chủ thể; Tình huống có vấn đề được cấu thành bởi bathành phần (Nhu cầu nhận thức hoặc hành động của người học; Sự tìm kiếm những tri thức

và phương thức hành động chưa biết; Khả năng trí tuệ của chủ thể, thể hiện ở năng lực vàkinh nghiệm)

Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng tình huống gợi vấn đề phải thỏa mãn ba điều kiện:

Tồn tại một vấn đề, Gợi nhu cầu nhận thức, Gây niềm tin ở khả năng.

Từ những quan điểm trên, luận án quan niệm: Tình huống gợi vấn đề là tồn tại một vấn đề, HS mong muốn giải quyết và HS có niềm tin là sẽ giải quyết được Tình huống vấn

đề trong dạy học toán THPT có thể là tình huống xuất phát từ quá trình học tập của cá nhân HS, có thể xuất phát đời sống thường ngày của HS, gia đình, cộng đồng, tình huống khoa học mà ta dùng kiến thức toán THPT để giải quyết; việc hiểu và giải quyết các tình huống này sẽ đạt được kiến thức, kĩ năng và phương pháp.

1.1.1.3 Dạy học giải quyết vấn đề

Dạy học GQVĐ là một quan điểm dạy học tích cực được đặc biệt chú ý Quanđiểm dạy học này được hình thành dựa trên cơ sở nghiên cứu lý thuyết nhận thức vậndụng vào quá trình dạy học nhằm phát triển khả năng nhận thức của HS, đặc biệt làkhả năng tư duy và năng lực GQVĐ

Quá trình dạy học GQVĐ được tổ chức theo cấu trúc của quá trình GQVĐ và

sự tham gia của HS ở những mức độ tự lực khác nhau, ở mức độ cao nhất là tự lực

nhận biết và GQVĐ [11] Dạy học GQVĐ có thể được vận dụng trong dạy học cáctình huống điển hình như: dạy học khái niệm, dạy học định lí, dạy học giải bài tập.

Nghiên cứu [36] chỉ ra ba đặc trưng của dạy học GQVĐ: HS được đặt vào một tìnhhuống gợi vấn đề; HS hoạt động tích cực, tận lực huy động tri thức và khả năng của mình

để GQVĐ; Mục đích dạy học không phải chỉ là làm cho HS lĩnh hội kết quả của quá trìnhGQVĐ, mà còn ở chỗ làm cho họ phát triển khả năng tiến hành những quá trình như vậy,nghĩa là HS không chỉ học kết quả của việc học mà trước hết là học bản thân việc học

Theo Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [11] trong dạy học GQVĐ: HS đượcđặt trong một tình huống có vấn đề, đó là tình huống chứa đựng mâu thuẫn nhận thức,thông qua việc GQVĐ, giúp HS lĩnh hội tri thức, kỹ năng và phương pháp nhận thức

Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng: Trong dạy học GQVĐ, thầy giáo tạo ra nhữngtình huống gợi vấn đề, điều khiển HS phát hiện vấn đề, hoạt động tự giác, tích cực, chủđộng, sáng tạo để GQVĐ, thông qua đó mà kiến tạo tri thức, rèn luyện kĩ năng và đạt đượcnhững mục tiêu học tập khác

Như vậy, trong dạy học GQVĐ điều quan trọng nhất không phải là việc tìm

kiếm câu trả lời đúng, mà là việc làm thế nào một người đi đến được câu trả lời đúng GQVĐ tập trung vào quá trình chứ không phải là sản phẩm Dạy học GQVĐ có một

mục tiêu là hình thành năng lực GQVĐ, một năng lực có vị trí quan trọng để conngười có thể thích ứng với sự phát triển của xã hội tương lai

1.1.2 Quá trình giải quyết vấn đề

Nghiên cứu về quá trình GQVĐ có các tác giả nước ngoài như Polya [109],Schoenfeld (DT [112]), Krulik (DT [112]), Rudnick (DT [112]), Marshall (DT [112]),Carla Amoirudder [102], Johnson (DT [102]), Herr (DT [102]), Kysh (DT [102]),…Trong nước có các tác giả Trần Kiều [35], Nguyễn Văn Cường [11], Nguyễn Bá Kim,

Trần Kiều [34] chia quá trình GQVĐ thành ba giai đoạn: Sự xuất hiện của chínhvấn đề và những kích thích đầu tiên thúc đẩy chủ thể GQVĐ; Chủ thể nhận thức sâu

sắc và chấp nhận vấn đề để giải quyết; Quá trình tìm kiếm lời giải cho vấn đề đã đượcchấp nhận giải quyết, lý giải, chứng minh, kiểm tra.

Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thụy [37], chia quá trình GQVĐ thành ba bước:

Bước 1 Tri giác vấn đề: Tạo tình huống gợi vấn đề; Giải thích và chính xác hóa để

hiểu đúng tình huống có vấn đề; Phát biểu vấn đề và đặt mục đích GQVĐ đó

Bước 2 GQVĐ: Phân tích vấn đề, làm rõ những mối liên hệ giữa cái đã biết và cái

phải tìm; Đề xuất và thực hiện hướng giải quyết, có thể điều chỉnh, thậm chí bác bỏ vàchuyển hướng khi cần thiết Trình bày cách GQVĐ

Bước 3 Kiểm tra và nghiên cứu lời giải: Kiểm tra sự đúng đắn và phù hợp thực tế

của lời giải; Kiểm tra tính hợp lí hoặc tối ưu của lời giải; Tìm hiểu những khả năng ứngdụng kết quả; Đề xuất những vấn đề mới có liên quan nhờ xét tương tự, khái quát hóa, lậtngược vấn đề, và giải quyết nếu có thể

Nguyễn Văn Cường [11] mô tả cấu trúc của quá trình GQVĐ gồm ba bước sau:

Bước 1: Nhận biết vấn đề: Phân tích tình huống đặt ra, nhận biết được vấn đề.

Bước 2: Tìm các phương án giải quyết: Tìm các phương án khác nhau để GQVĐ, so

sánh, liên hệ với những cách GQVĐ tương tự đã biết cũng như tìm các phương án giảiquyết mới Khi có khó khăn hoặc không tìm ra phương án giải quyết thì cần trở lại việcnhận biết vấn đề để kiểm tra lại việc nhận biết và hiểu vấn đề

Bước 3: Quyết định phương án giải quyết: Các phương án giải quyết đã được tìm ra

cần được phân tích, so sánh và đánh giá xem có thể thực hiện được việc GQVĐ hay không.Nếu có nhiều phương án có thể giải quyết thì cần so sánh để xác định phương án tối ưu.Nếu việc kiểm tra các phương án đã đề xuất đưa đến kết quả là không giải quyết được vấn

đề thì cần trở lại giai đoạn tìm kiếm phương án giải quyết Khi đã quyết định được phương

án thích hợp, giải quyết được vấn đề tức là đã kết thúc việc GQVĐ

Theo Bùi Văn Nghị [58], quá trình dạy học phát hiện và GQVĐ có bốn bước sau:

- Phát hiện vấn đề: Tạo tình huống có vấn đề, phát hiện những dạng nảy sinh, pháthiện vấn đề cần giải quyết

- Tìm giải pháp: Đề xuất các giả thuyết, lập kế hoạch GQVĐ, thực hiện kế hoạchGQVĐ

- Trình bày giải pháp: Khẳng định hay bác bỏ giả thuyết đã nêu

- Nghiên cứu sâu giải pháp: Tìm hiểu những khả năng ứng dụng kết quả, đề xuấtnhững vấn đề mới có liên quan

Có nhiều cách phân chia song cách phân chia của Polya là chung nhất Polya[109, tr 5] cho rằng quá trình GQVĐ bốn giai đoạn không thể tách rời là: 1 Hiểu vấnđề; 2 Xây dựng kế hoạch; 3 Thực hiện kế hoạch; 4 Rà soát và kiểm tra GQVĐkhông đơn giản là thực hiện thứ tự bốn giai đoạn, ta có thể chuyển qua các giai đoạnnếu thích hợp Giai đoạn 1 và 2 được lặp đi lặp lại trong quá trình GQVĐ Khi thựchiện kế hoạch đưa ra, phải liên tục kiểm tra sự tiến triển của nó, để xác định xem việcthực hiện kế hoạch có hướng tới giải pháp đúng không Nếu kế hoạch đặt ra khôngthành công thì phải quyết định làm gì tiếp theo.

Từ các cách phân chia trên, trong luận án quan niệm: Quá trình GQVĐ gồmbốn bước sau:

Bước 1 Tìm hiểu và nhận biết vấn đề Trong bước này HS tìm hiểu tổng thể

vấn đề, xác định rõ thông tin đã cho và thông tin cần tìm Huy động các kiến thức vàthông tin mình có liên quan đến vấn đề, sử dụng các cách thăm dò để biến đổi thôngtin tìm ra các thông tin mới cần thiết

Bước 2 Tìm giải pháp Tổ chức và sử dụng các thông tin có được, đó chính là

sự tích hợp thông tin và các kiến thức đã có, đưa ra phán xét và quyết định sử dụngthông tin nào, đưa ra giả thuyết về cách GQVĐ dựa trên các thông tin này

Bước 3 Thực hiện giải pháp Quá trình này bao gồm xác định mục tiêu của vấn

đề, lập kế hoạch cho các mục tiêu và các bước cụ thể theo giả thuyết đã đưa ra từ trước

để đưa ra được một giải pháp

Bước 4 Nghiên cứu sâu giải pháp Rà soát lại giải pháp đã được thực hiện và

xem xét đánh giá liệu một cách tiếp cận khác có thể phù hợp hơn, hay liệu giải phápnhư thế có đúng hay không, hay có nên xem xét lại các giả thuyết ban đầu, hay có thểđưa ra các vấn đề mới

Hai bước đầu là quá trình hấp thụ kiến thức và hai bước sau là quá trình ứngdụng kiến thức

1.1.3 Năng lực giải quyết vấn đề

1.1.3.1 Năng lực

Năng lực được nhiều nhà tâm lý học, nhà triết học, nhà giáo dục học trong vàngoài nước quan tâm nghiên cứu Chương trình giáo dục phổ thông ở Việt Nam saunăm 2015 theo định hướng hình thành và phát triển năng lực Khái niệm năng lựcđược hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau:

Theo quan điểm di truyền học, năng lực phụ thuộc vào yếu tố bẩm sinh của ditruyền và yếu tố môi trường sống của con người và xem nhẹ yếu tố giáo dục Các nhàtâm lí học Mác xit không tuyệt đối hoá vai trò của yếu tố bẩm sinh di truyền đối vớinăng lực mà nhấn mạnh đến yếu tố hoạt động và học tập trong việc hình thành năng

lực Có thể hiểu, năng lực là những đặc trưng tâm lí của cá nhân thích hợp để hoàn thành có kết quả tốt hoạt động nào đó.

Nhấn mạnh đến tính mục đích của năng lực, Phạm Minh Hạc định nghĩa: “Năng lực chính là một tổ hợp các đặc điểm tâm lý của một con người (còn gọi là tổ hợp thuộc tính tâm lý của một nhân cách), tổ hợp đặc điểm này vận hành theo một mục đích nhất định tạo ra kết quả của một hoạt động nào đấy” [22].

Xavier Roegiers nghiên cứu năng lực theo hướng tích hợp [79]: “Năng lực là sự tích hợp các kỹ năng tác động một cách tự nhiên lên các nội dung trong một loạt tình huống cho trước để giải quyết những vấn đề do tình huống này đặt ra” Định nghĩa

này nêu nên ba thành phần nổi bật của năng lực: kĩ năng, nội dung và tình huống

Bernd Meier và Nguyễn Văn Cường [11] cho rằng: “Năng lực là khả năng thực hiện có trách nhiệm và hiệu quả các hành động, giải quyết các nhiệm vụ, vấn đề trong những tình huống khác nhau thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội hay cá nhân trên

cơ sở hiểu biết, kỹ năng, kỹ xảo và kinh nghiệm cũng như sự sẵn sàng hành động”.

Theo quan niệm này năng lực là khả năng kết hợp của các yếu tố tri thức, kĩ năng, kĩ

xảo, kinh nghiệm, thái độ tích cực, tinh thần trách nhiệm để thực hiện hoàn thành các nhiệm vụ, vấn đề trong các tình huống thuộc các lĩnh vực nghề nghiệp, xã hội và cá

Theo Dự thảo Chương trình giáo dục tổng thể của Bộ Giáo dục và Đào tạo [4]:

“Năng lực là khả năng thực hiện thành công hoạt động trong một bối cảnh nhất định nhờ sự huy động tổng hợp các kiến thức, kỹ năng và các thuộc tính cá nhân khác như hứng thú, niềm tin, ý chí, ”

Từ những nghiên cứu về năng lực, luận án quan niệm năng lực của HS trong

học toán như sau: Năng lực của HS trong học toán là khả năng huy động kiến thức, kĩ

năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác như ý chí, niềm tin… của HS đáp ứng các yêu cầu phức hợp và thực hiện thành công các nhiệm vụ trong hoạt động học tập toán.

Như vậy, năng lực có các đặc điểm sau:

- Năng lực là khả năng của mỗi HS, nên đặc thù tâm lí, sinh lí, yếu tố bẩm sinhcủa mỗi HS và yếu tố xã hội sẽ ảnh hưởng đến năng lực của HS Năng lực của mỗi HSđược hình thành và phát triển sẽ có sự khác biệt nhất định và phụ thuộc vào chươngtrình, phương pháp, hình thức dạy học,

- Năng lực gắn liền với hoạt động cụ thể Ví dụ trong lĩnh vực học tập năng lực

của HS được thể hiện thông qua việc vận dụng kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm, thái

độ để giải quyết các nhiệm vụ Năng lực của mỗi HS được bộc lộ thông qua các hoạtđộng nên để chứng minh năng lực của một HS trong một lĩnh vực nào đó phải xem xétcác hoạt động của HS trong lĩnh vực đó

1.1.3.2 Năng lực toán học

Năng lực toán học là một vấn đề mà ở nhiều nước trên thế giới đều có sự quan tâmđặc biệt cả trong lĩnh vực nghiên cứu và thực hiện, trong đó đặc biệt chú ý đến việc pháthiện và bồi dưỡng HS có năng khiếu về Toán Đến nay vẫn chưa có được định nghĩathống nhất về năng lực Toán Theo nghiên cứu của Trần Luận [45] về cấu trúc năng lực,khái niệm năng lực toán học được giải thích trên hai phương diện:

+ Như là năng lực sáng tạo (khoa học) - năng lực hoạt động khoa học toán học màhoạt động này tạo ra được những kết quả, thành tựu mới có ý nghĩa khách quan đối vớiloài người, sản phẩm quý giá trong quan hệ xã hội

+ Như là năng lực học tập - năng lực nghiên cứu (học tập, lĩnh hội) toán học (trongtrường hợp này là giáo trình toán phổ thông), lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao cáckiến thức, kỹ năng tương ứng

Trần Luận [45] đề xuất sơ đồ cấu trúc năng lực toán học của HS gồm hai nhóm:Năng lực trí tuệ chung và năng lực toán học đặc thù Theo ông, sơ đồ cấu trúc năng lựctoán học vừa nêu chỉ mới dừng ở nghĩa hẹp của năng lực Trên thực tế, năng lực cầnđược hiểu theo nghĩa rộng là có thể bao gồm cả nhóm thành phần trí tuệ, cảm xúc, ýchí và thể chất

Từ những nghiên cứu về năng lực toán học, có thể thấy:

- Năng lực toán học là những đặc điểm tâm lí về hoạt động trí tuệ của HS, giúp

họ nắm vững và vận dụng tương đối nhanh, dễ dàng, sâu sắc, những kiến thức, kĩnăng, kĩ xảo trong môn Toán

- Năng lực Toán học được hình thành, phát triển, thể hiện thông qua (và gắnliền với) các hoạt động của HS nhằm giải quyết những nhiệm vụ học tập trong mônToán: xây dựng và vận dụng khái niệm, chứng minh và vận dụng định lí, giải bàitoán,…

1.1.3.3 Năng lực giải quyết vấn đề

Tiếp cận GQVĐ từ góc độ năng lực GQVĐ ở nước ngoài có Polya, Schoenfeld,

Tổ chức Pisa, Marshall… Ở trong nước Nguyễn Thị Lan Phương [63], Nguyễn ThịHương Trang [91], Nguyễn Anh Tuấn [96], Từ Đức Thảo [94], Phan Anh Tài [81], …nghiên cứu dạy học phát hiện và GQVĐ được xem như là một cách tiếp cận, mà mụctiêu của nó là hình thành cho HS năng lực GQVĐ

Nguyễn Anh Tuấn [96], đưa ra quan niệm: “Năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong học toán là một tổ hợp năng lực bao gồm các kĩ năng (thao tác tư duy và hành động) trong hoạt động học tập nhằm phát hiện và giải quyết những nhiệm vụ của môn toán” Và

chỉ ra hai nhóm năng lực thành tố là: Nhóm năng lực phát hiện vấn đề trong toán học vàNhóm năng lực GQVĐ trong toán học

Nguyễn Thị Hương Trang [91], nghiên cứu năng lực giải toán theo hướng phát hiện

và GQVĐ một cách sáng tạo, đưa ra quan niệm về năng lực phát hiện và GQVĐ: “Đó là năng lực tập trung vào việc tìm kiếm và áp dụng chiến lược GQVĐ bằng con đường có mục tiêu, đòi hỏi tư duy phê phán và cách tiếp cận sáng tạo để đạt kết quả”.

Từ Đức Thảo [94], nghiên cứu về năng lực phát hiện và GQVĐ, vận dụng vào

thực tiễn dạy học Hình học ở trường THPT, cho rằng: “Năng lực phát hiện và GQVĐ của HS trong Hình học là một tổ hợp các năng lực thể hiện ở kĩ năng (thao tác tư duy

và hành động) trong hoạt động học tập nhằm giải quyết có hiệu quả những nhiệm vụ của Hình học”

Phan Anh Tài [81], cho rằng: “Năng lực GQVĐ của HS trong học toán là tổ hợp các năng lực được bộc lộ qua các hoạt động trong quá trình GQVĐ”.

Chương trình Đánh giá HS Quốc tế của Tổ chức Hợp tác và Phát triển Kinh tế

đưa ra khái niệm [98, tr 22]: Năng lực GQVĐ là năng lực của một cá nhân để sử dụng các quá trình nhận thức để đối mặt và giải quyết các bối cảnh thực tế xuyên suốt các

môn học ở đó còn đường tìm ra lời giải là không rõ ràng ngay tức thì và ở đó các lĩnh vực hiểu biết hay chương trình có thể áp dụng được không chỉ nằm trong một lĩnh vực toán, khoa học hay đọc.

Trong luận án này chúng tôi quan niệm năng lực GQVĐ trong học toán của HS

như sau: Năng lực GQVĐ của HS là khả năng huy động kiến thức, kĩ năng, kinh nghiệm và các phẩm chất cá nhân khác của HS để thực hiện hoạt động GQVĐ khi phải đối mặt với các vấn đề trong học toán mà ở đó con đường tìm ra lời giải không

rõ ràng ngay lập tức.

1.1.3.4 Các thành tố của năng lực giải quyết vấn đề

Tiếp cận quá trình GQVĐ trong dạy học toán, Phan Anh Tài [81] cho rằng năng lực GQVĐ của HS trong dạy học toán THPT được cấu thành bởi các thành tố sau: Năng lực hiểu VĐ, năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ, năng lực trình bày giải pháp GQVĐ, năng lực phát hiện giải pháp khác để GQVĐ và năng lực phát hiện vấn đề mới.

Tiếp cận theo quá trình GQVĐ, luận án quan niệm năng lực GQVĐ gồm có 4thành tố sau:

*) Năng lực hiểu vấn đề: Là khả năng của cá nhân xác định và hiểu được vai trò

của các thông tin đưa ra, đưa ra các phán xét có cơ sở, gắn kết các thông tin và cáckiến thức đã biết Năng lực hiểu vấn đề gồm các thành phần: năng lực nhận dạng vàphát biểu vấn đề, Năng lực xác định và giải tích thông tin (bao gồm hiểu ngôn ngữdiễn đạt của vấn đề và toán học hóa vấn đề)

*) Năng lực tìm ra giải pháp: Là khả năng của cá nhân sử dụng các thông tin và

kiến thức đã biết để rút ra những kết luận và đưa ra những quyết định đi đến giải pháp.Năng lực tìm giải pháp gồm các thành phần: năng lực thu thập và đánh giá thông tin(là khả năng phân tích mối liên hệ giữa các đối tượng), năng lực xác định cách thứcGQVĐ (là khả năng định hướng kết nối các kiến thức, kĩ năng đã có với cái cần tìm)

*) Năng lực thực hiện giải pháp: Là khả năng của cá nhân sắp xếp các thông tin

và các kiến thức đã biết để triển khai giải pháp; năng lực này gồm hai thành phần lànăng lực xây dựng kế hoạch và năng lực trình bày giải pháp và điều chỉnh

*) Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp: Là khả năng của cá nhân xem xét, kiểm

nghiệm để đưa ra giải pháp mới và vấn đề mới trên cơ sở các thông tin có được từGQVĐ Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp gồm các thành phần: năng lực đề xuất giải

pháp mới, năng lực xây dựng vấn đề mới, năng lực vận dụng giải pháp vào tình huốngmới, năng lực phát triển giải pháp.

Sơ đồ sau đây mô tả các thành tố của năng lực GQVĐ:

Quá trình GQVĐ Thành tố năng lực GQVĐ

Tìm hiểu và nhận biết vấn đề Năng lực hiểu vấn đề

Thực hiện giải pháp Năng lực thực hiện giải pháp

Nghiên cứu sâu giải pháp Năng lực nghiên cứu sâu giải pháp

1.2 Thủ pháp hoạt động nhận thức

1.2.1 Quan điểm hoạt động

Nhà tâm lý học Leonchiev (DT [61]) cho rằng: “hoạt động là một quá trình thực hiện sự chuyển hóa lẫn nhau giữa hai cực chủ thể và khách thể” Phạm Minh Hạc [23] chỉ ra ba đặc điểm của hoạt động: Hoạt động có đối tượng là hoạt động luôn nhằm tác động vào cái gì đấy, để thay đổi nó hoặc để tiếp nhận nó chuyển vào đầu óc mình; Hoạt động có chủ thể là con người có ý thức tác động vào khách thể - đối tượng

của hoạt động, chủ thể hoạt động có thể do một hay nhiều người thực hiện; Hoạt động

có tính mục đích là tạo ra sản phẩm có liên quan trực tiếp hay gián tiếp với việc thỏa

mãn nhu cầu của con người và xã hội Tính mục đích là quy luật điều khiển mọi hoạtđộng.

Leonchiev (DT [61]) cho rằng đặc trưng cơ bản cấu thành hoạt động là tính đốitượng của nó Ông đã xác định và mô hình hóa được cấu trúc chung của một hoạt độngbất kì, gồm 6 thành tố và có mối quan hệ biện chứng với nhau

Hình 1.2 Sơ đồ cấu trúc chung của hoạt độngCấu trúc của hoạt động là cấu trúc chức năng và sự chuyển hóa chức năng củacác thành tố của hoạt động Đối tượng hoạt động là khách thể có đặc tính chức năng

kích thích, hướng dẫn hoạt động của chủ thể trong quá trình chiếm lĩnh nó Về phía đối tượng có thể là động cơ (có chức năng kích thích hoạt động của chủ thể), là mục đích (chức năng hướng dẫn chủ thể tới đối tượng thỏa mãn nhu cầu) hoặc phương tiện

(chức năng là cơ cấu kĩ thuật của hành động, là phương thức triển khai hành động) Về

phía chủ thể, các động tác cá nhân có thể trở thành hoạt động, hành động hoặc thao tác Việc phát hiện ra cấu trúc chung của hoạt động và mối liên hệ biện chứng giữa các

thành tố của nó có ý nghĩa rất lớn về lý luận và thực tiễn

1.2.2 Hoạt động nhận thức

Lênin (DT [30]) cho rằng nhận thức phát triển là do sự tác động của ba yếu tố:trực quan sinh động, tư duy trừu tượng và thực tiễn; Mỗi yếu tố đều cần thiết và manglại cái mà yếu tố khác không thể đem lại được; Sự tác động lẫn nhau đó quán xuyếntoàn bộ quá trình nhận thức, trong đó yếu tố thực tiễn là cơ sở và là yếu tố quyết định;nhận thức diễn ra theo con đường “Từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, rồi

từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn, đó là con đường biện chứng của sự nhận thức hiệnthực khách quan”

Tư duy là một hình thức nhận thức điển hình của con người Theo tâm lý học[97], tư duy là một quá trình tâm lí phản ánh những thuộc tính bản chất, những mốiliên hệ và quan hệ bên trong, có tính quy luật của sự vật và hiện tượng trong hiện thực

khách quan, mà trước đó ta chưa biết Trần Thúc Trình [92] cho rằng có ba loại hình tưduy: tư duy trực quan, tư duy trừu tượng, tư duy trực giác.

Nhận thức là hiểu được điều gì đó, tiếp thu được những kiến thức về điều nào

đó, hiểu biết những quy luật về những hiện tượng, quá trình nào đó Con người phảinhận thức, thông qua hoạt động nhận thức Hoạt động học tập là một hoạt động nhận

thức đặc biệt của con người Mà chủ thể là HS và đối tượng là tri thức, kĩ năng, kĩ xảo.

Trong học tập Toán, HS phải thực hiện các hoạt động nhận thức Toán học Đào Tam

-Trần Trung [84] cho rằng: “hoạt động nhận thức toán học là quá trình tư duy dẫn tới

lĩnh hội các tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức đó: Xác định được các mối liên hệ nhân quả và các mối liên hệ khác của các đối tượng toán học được nghiên cứu (khái niệm; quan hệ; quy luật toán học…); từ đó vận dụng được tri thức toán học giải quyết các vấn đề thực tiễn”.

Như vậy, hoạt động nhận thức toán học có đối tượng là tri thức toán học Mục đích là tư duy để lĩnh hội tri thức toán học, nắm được ý nghĩa của các tri thức Toán học và vận dụng các tri thức toán học Để nhận thức đầy đủ và sâu sắc một tri thức

Toán học nào đó, cần phải xem xét đặc điểm của tri thức đó, phải có lối tư duy phùhợp và cách thức suy nghĩ khéo léo

1.2.3 Tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động

Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng tri thức phương pháp liên hệ với hai loại phươngpháp khác nhau về bản chất: những phương pháp về thuật giải và những phương pháp

có tính chất tìm tòi Ông cũng khẳng định tri thức phương pháp định hướng trực tiếpcho hoạt động và ảnh hưởng quan trọng tới việc rèn luyện kĩ năng Ông đã chỉ ra một

số tri thức phương pháp thường gặp là:

- Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động tương ứng vớinhững nội dung cụ thể như cộng, trừ, nhân, chia, các số hữu tỉ, giải phương trình trùngphương, dựng tam giác biết độ dài ba cạnh của nó,…

- Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động toán học phức hợpnhư định nghĩa, chứng minh,…

- Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ phổ biếntrong môn Toán như hoạt động tư duy hàm, phân chia trường hợp,

- Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động trí tuệ chung như

so sánh, khái quát hóa, trừ tượng hóa, …

- Những tri thức về phương pháp thực hiện những hoạt động ngôn ngữ logicnhư thiết lập mệnh đề đảo của một mệnh đề cho trước, liên kết hai mệnh đề thànhtuyển hội của chúng,…

Như vậy, xét trên quan điểm hoạt động tri thức phương pháp trong dạy học môn

toán là những tri thức về phương pháp thực hiện các hoạt động nhận thức toán học.

Cụ thể đó là những tri thức về việc thực hiện hoạt động lĩnh hội tri thức toán học, hiểu tri thức toán học và vận dụng các tri thức toán học.

1.2.4 Về cách hiểu quan niệm thủ pháp hoạt động nhận thức

Trong quá trình giải bài tập toán, HS phải thực hiện các hoạt động tìm hiểu đốitượng và biến đổi đối tượng một cách hợp lí để tìm được giải pháp

Ví dụ 1.1 Bài toán: “Giải bất phương trình 2 3

4

log log 9 log 8xx x  0”

Dạng toán, giải bất phương trình dạng A B C  0 Nếu giải bài toán này theocách làm thông thường, HS sẽ thực hiện hoạt động phân chia trường hợp (hoạt động trítuệ phổ biến) Phân chia trường hợp để giải bất phương trình, HS sẽ tìm được nghiệmcủa bất phương trình Để đi đến đáp số, HS phải đi giải một phương trình và 4 hệ bấtphương trình một ẩn Việc giải bất phương trình này rất phức tạp, cồng kềnh, tốn thờigian, dễ bỏ sót các trường hợp và có thể gây tâm lý tiêu cực cho HS

Nếu HS linh hoạt hơn chuyển hướng suy nghĩ, không làm bài toán này theo lốithông thường nữa mà nghĩ theo chiều hướng khác, nhìn biểu thức vế trái là biểu thức

4

( ) log log 9 log 8x

f x  x x , hàm số f x( ) triệt tiêu tại các điểm

hiệu quả Nếu HS cứ biến đổi giản đơn theo cách thông thường có thể không đưa tìmđược lời giải hoặc có lời giải tương đối dài.

Ví dụ này đã thể hiện cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng dẫn đến sản phẩm

là một lời giải mang tính độc đáo, khác biệt Lời giải này là một thể hiện cụ thể củaphương pháp sử dụng tính liên tục của hàm số để giải bất phương trình dạng A 0.Hay là tri thức phương pháp về cách thức giải bất phương trình A 0 Cách thức tìmhiểu, biến đổi đối tượng mang tính độc đáo để giải bài toán trên được xem như là mộtTPHĐNT

Như vậy, từ phân tích trên cho thấy: TPHĐNT có biểu hiện là độc đáo hoặc khéo léo (hay gọi là tính “thủ pháp”) để biến đổi các thông tin; Kết quả của việc thực hiện TPHĐNT là mang lại hiệu quả trong quá trình lĩnh hội tri thức, hiểu tri thức và

vận dụng tri thức

Xét trên bình diện tri thức phương pháp thì TPHĐNT thuộc lĩnh vực tri thứcphương pháp có tính chất tìm đoán Xét trên bình diện quan điểm hoạt động thìTPHĐNT là tri thức về phương pháp thực hiện các hoạt động nhận thức toán học Xéttrên bình diện tri thức phương pháp theo quan điểm hoạt động, có thể hiểu TPHĐNTnhư sau:

TPHĐNT toán học là tri thức về cách thức tìm hiểu, biến đổi đối tượng (mang tính độc đáo hoặc khéo léo) để giải quyết những tình huống cụ thể trong hoạt động nhận thức toán học.

Điều này có nghĩa là TPHĐNT có đặc điểm là thuộc về cách thức thực hiện của

HS, nó là cái riêng, là sản phẩm của HS do trải nghiệm mà có được, sản phẩm này mangtính độc đáo hoặc khéo léo Tri thức phương pháp là sản phẩm đằng sau là kết quả củathực hiện TPHĐNT Kết quả này được vận hành trên một lớp đối tượng nó trở thành trithức phương pháp TPHĐNT được triển khai, thực hiện trên một lớp vấn đề nó trở thànhtri thức phương pháp Tri thức này được sử dụng để giải quyết một tình huống cụ thểtrong quá trình thực hiện hoạt động nhận thức toán học TPHĐNT vừa là tri thức vềcách thức thực hiện hoạt động tìm hiểu đối tượng để hiểu những thuộc tính của đốitượng, những mối quan hệ mang tính “quy luật” của các đối tượng trong trình huống

cụ thể; Đồng thời vừa là tri thức về cách thức thực hiện hoạt động biến đổi đối tượng

về dạng hợp lí, có lợi cho giải quyết tình huống cụ thể

Ví dụ 1.2 Sử dụng cách thức suy nghĩ khéo léo để giải hệ phương trình:

- Tình huống cụ thể 1: Hệ phương trình có dạng không quen thuộc, chứa cả đa

thức bậc cao và căn thức Khó khăn, chướng ngại gặp phải lựa chọn phương trìnhtrong hệ để biến đổi

Tìm hiểu đối tượng: Tìm hiểu 2 phương trình trong hệ Phương trình (2), không thể rút x theo y, còn nếu rút y theo x sẽ rất cồng kềnh, vì chứa hai lần căn bậc 2 Từ đặc

điểm này sẽ lựa chọn biến đổi phương trình (1) Phương trình (1) có đặc điểm, chiađược hai phần, một phần chứa x và một phần chứa y và có thể đưa về dạng giá trị của

cùng một hàm số Nảy sinh suy nghĩ sử dụng tính đơn điệu của hàm số.

Biến đổi đối tượng: (1)  2x( 4x2  1 )  5  2y( 5  2y 1 )(3)

Hàm số f(t)=t(t 2 +1) là hàm số đồng biến trên trên 

Nên (3)  f( 2x)  f( 5  2y)  2x 5  2y  2

0

5 4 2

x

x y

- Tình huống cụ thể 2: Giải phương trình (4) Đây là phương trình phức tạp,

không quen thuộc, chưa có phương pháp giải Chướng ngại gặp phải là: Phương trìnhnày có chứa căn bậc 2 và đa thức bậc 4; Nếu đưa về đa thức bằng cách “cô lập” cănthức bằng một ẩn mới thì dẫn đến phương trình bậc tám, khó có thể giải được

Tìm hiểu đối tượng: Như vậy không thể quy lạ về quen được Tuy nhiên, sử

dụng máy tính cho thấy phương trình có 1 nghiệm duy nhất

Biến đổi đối tượng: Xét hàm số 2 2 3 4 7

2

5 4

2

1



x là nghiệm duy nhất của hệ đã cho

Trong ví dụ trên, để giải hệ phương trình HS phải vận dụng kiến thức giải tích.Quá trình tìm lời giải, xuất hiện hai tình huống cụ thể với những chướng ngại, khó

khăn, HS muốn vượt qua phải tìm hiểu và biến đổi phương trình một cách khéo léo.Với cách thức biến đổi khéo léo, nhìn biểu thức trong phương trình là một biểu thứccủa hàm số đơn điệu đã giúp việc giải hệ tương đối hiệu quả Cách thức biến đổi khéoléo để giải hệ phương trình hiệu quả được nảy sinh là kết quả của quá trình tìm tòi đểhiểu đặc điểm của các phương trình và thực hiện các hoạt động biến đổi phương trình.Như vậy, TPHĐNT vừa là tri thức về quá trình tìm tòi đặc điểm của đối tượng, pháthiện ra mối liên hệ của các đối tượng, lại vừa là tri thức về hoạt động biến đổi đốitượng để giải quyết một tình huống cụ thể Các cách thức tìm tòi, biến đổi mang tínhchất hoặc độc đáo, hoặc khéo léo, có vai trò quan trọng trong nhận thức toán học vàđược tổng hợp lại thành tri thức để trang bị cho HS.

Kết quả của hoạt động nhận thức toán học là lĩnh hội được tri thức Toán học,hiểu được ý nghĩa của các tri thức đó và vận dụng được tri thức Toán học vào giải cácbài toán TPHĐNT là tri thức về cách thức tìm tòi, biến đổi đối tượng giúp cho HS lĩnhhội tri thức, hiểu ý nghĩa của tri thức và vận dụng tri thức đạt hiệu quả cao TPHĐNTnảy sinh khi HS gặp những khó khăn, chướng ngại và giúp HS giải quyết những khókhăn chướng ngại trong thực hiện hoạt động nhận thức Toán học

a) Thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp

*) Nguyễn Bá Kim [36] cho rằng: quá trình tư duy được diễn ra bằng cách chủthể tiến hành các thao tác trí tuệ Khi lĩnh hội và tìm hiểu ý nghĩa của một tri thức toánhọc nào đó, ta tiến hành phân chia thành các phần nhỏ, để hiểu và lĩnh hội từng phầnnhỏ, từ đó hiểu cái tổng thể Trong vận dụng kiến thức Toán học vào giải quyết mộtvấn đề phức tạp, nên chia nhỏ vấn đề đó ra thành các vấn đề đơn giản để giải quyết

Có nhiều cách “chia nhỏ” và nhưng cách chia nhỏ mang tính khéo léo đạt hiệu quả

trúc gồm các bước: Tìm hiểu thu thập các kiến thức liên quan đến vấn đề cần giảiquyết; Phân chia vấn đề cần giải quyết thành các vấn đề đơn giản hơn; Đưa ra giảipháp giải quyết từng vấn đề đơn giản.

Trong lời phát biểu của thủ pháp chia nhỏ không chỉ ra chia như thế nào, tùythuộc vào các đối tượng trong từng tình huống cụ thể, mà HS có thể lựa chọn cáchchia phù hợp Thủ pháp chia nhỏ đem lại nhiều lợi ích cho HS, cụ thể như: Giúp HSthay vì giải quyết một vấn đề rộng có tính khái quát bằng giải quyết một vấn đề hẹp cótính cụ thể hơn; Giúp HS luyện tập khả năng liên tưởng, trí tưởng tượng và linh độnghơn trong nhìn nhận và giải quyết các vấn đề Cho HS luyện tập với thủ pháp chia nhỏgiúp HS ghi nhớ, tái hiện, hiểu, nắm vững và vận dụng kiến thức tốt hơn Khi dạy kháiniệm, việc chia nhỏ các thuộc tính bản chất của khái niệm giúp HS nắm vững nội hàmcủa khái niệm hơn

Trong chia nhỏ đối tượng đòi hỏi sự khéo léo của người phân chia nếu chia quánhiều và quá nhỏ sẽ làm cản trở suy nghĩ, không tập trung được vào điểm mấu chốt vànhìn ra được điểm mấu chốt Theo Polya [64] đó chính là trường hợp người thấy cây

mà không thấy rừng Khi chia nhỏ vấn đề, điều quan trọng là phải nhận ra chi tiết nào

là hữu ích và cần thiết Để làm được điều này ta phải xem xét vấn đề một cách tổng thể,phải nghiên cứu thật sát, thật hiểu vấn đề, phân chia từng bước và không đi quá xa khichưa cần thiết

Ví dụ 1.3 Sử dụng thủ pháp chia nhỏ đối tượng phức hợp trong tính giới hạn

Tình huống cụ thể: Tính giới hạn của hàm số chứa biểu thức x 2 3 x 3

x x



dạng phức tạp (chứa ẩn ở cả căn bậc 2 và căn bậc 3) Chướng ngại gặp phải là hàm số

cần tính giới hạn chứa ẩn ở căn thức nhưng chưa thể sử dụng phương pháp nhân liênhợp để tính

Tìm hiểu đối tượng: Cần tìm đặc điểm của hàm số dưới dấu giới hạn để phân

chia thành những giới hạn đơn giản hơn Giới hạn chứa biểu thức x 2 3 x 3

- Phải chia thành các biểu thức cùng dạng, đơn giản hơn (chỉ chứa ẩn ở một loại

căn bậc 2 hoặc căn bậc 3) sao cho “khử” được với thành phần vô cùng lớn bậc hai x2

Biến đổi đối tượng :

có những thế mạnh và nét độc đáo riêng Thủ pháp chia nhỏ nó chính là một “nghệthuật”, mà mục tiêu của nó là thay vì GQVĐ phức tạp ta đi giải quyết những vấn đềđơn giản

*) Tình huống sử dụng: Thủ pháp chia nhỏ được sử dụng trong trường hợp khi

gặp vấn đề phức tạp, mà các cách giải quyết đã biết không thực hiện được, nhưng từngthông tin trong vấn đề là quen thuộc Khi đó, căn cứ vào các thông tin đã cho và kiếnthức đã có suy nghĩ cách phân chia thành những vấn đề đơn giản hơn có thể giải quyết