Giao an ca nam lop 4 lop 5 lop 6 cho tất ca cac môn

danghoa949@gmail.com -1 111Equation Chapter 1 Section 1 Chuyên đề 1: CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Để góp phần tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề chứng minh bất đẳng thức trong ch

danghoa949@gmail.com -1 111Equation Chapter 1 Section 1

Chuyên đề 1:

CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để góp phần tìm hiểu nhiều hơn về vấn đề chứng minh bất đẳng thức trong chương trình Toán THPT , xin nêu ra đây một số phương pháp giải và các bài toán mang tính minh họa

I.-Phương pháp phản chứng.

-Phương pháp phản chứng được sử dụng nhiều trong các bài toán Logic, các bài toán đại số hoặc hình hình,về cơ bản gồm các bước: Tuy nhiên trng dạng

P Q ta có thể vận dụng :P Q - đúng, hay : B P - đúng

-Sau đây xin giới thiệu vài bài toán liên quan

1- Bài toán 1: Cho a  , 0 b  , 0 c  , thì : 0 3 3

a b c  a b c 



(1)

-Giải.

+Giả sử , nếu :

a b c  a b c



( dạng B P

+Ta có:



-Do (a b ) , (2 b c ) ,(2 c a )2  , nên (*) không thể xảy ra 0

hay :

a b c  a b c



không thể xảy ra

a b c  a b c 



2-Bài toán 2 : Chứng minh rằng, nếu (a b )2(b c )2(c a )2 0

thì :

a b c ab bc ca  -Giải

danghoa949@gmail.com -2 +Giả sử :

a b c ab bc ca 

+Ta có :

0 1

4

1

4

-Từ đẳng thức (*) dể thấy :

.Từ (i) : (a b )2(b c )2(c a )2 0 (mâu thuẫn với giả thiết)

.Từ (ii) : (a b )2(b c )2(c a )2 0

 a b b c c a     0

 a b c  0

(a b) (b c) (c a) 0

       ( mâu thuẫn với giả thiết) Vậy không thể :

a b c ab bc ca  Hay :

a b c ab bc ca 

II.-Phương pháp qui nạp.

-Phương pháp qui nạp được dùng nhiều trong các bài toán về dãy số, cấp số Thông thường có các bước : Kiểm tra mệnh đề đúng với P(n0) , Giả sử mệnh đề đúng với P(k),Chứng minh mệnh đề đúng ở bước P(k+1) tiếp theo Kết luận : Vậy mệnh đề đúng với mọi k

-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này

1-Bài toán 1: Chứng minh rằng : n n1 (n1)n với mọi n ≥ 3 (1)

-Giải.

+Khi n = 3 : (1) 33 1 (3 1) 3  34 81 4 364 -bất đẳng thức đúng khi n = 3

+Giả sử (1) đúng với n = k , là : k k1 (k 1) k (2)

+Ta chứng minh (1) đúng với n = k+1, là : (k 1)(k 1) 1 (k 1) 1k1

hay : (k1)k2 (k2)k1 (3)

danghoa949@gmail.com -3 Thật vậy : Từ (2):

1 (k 1)

k 

1

k



2( 1) 2

1 1 2 2

1 2

2

1

( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

1

k k

k k k

k k

k

k k

k k k

k

k

k

k



















Vậy : n n1 (n1)n với mọi n ≥ 3

2-Bài toán 2: Chứng minh rằng với mọi n nguyên dương ta luôn có:

n







-Giải.

+Khi n = 1 :

(1)

 - bất đẳng thức đúng khi n = 1

+Giả sử (1) dúng khi n = k , là :

k







+Ta chứng minh (1) đúng khi n = k +1, là :

.

k



hay :

k





Thật vậy , từ (2) :

.

k







Do : 4(k22k1) 4 k28k 4 4k27k(k4) 4 k27k 3 (2k1)(2k3)

Nên : 2

(3)

k k

danghoa949@gmail.com -4 Hay :

.

k





Vậy :

.

n





 - đúng với mọi n nguyên dương

3-Bài toán 3: Cho

4(n 1) n N n





 Chứng minh rằng: tann  ntan 0

-Giải.

+Khi n = 2 , với

0

4(2 1) 4



 thì (1) trở thành:

3

-Do

2

4



Nên

3 2

2 tan

0

1 tan



 

tan 2  2 tan 0 -bất đẳng thức đúng khi n = 2

+Giả sử (1) đúng khi n =k ( k >2) , là : tank  ktan 0 (2)

+Ta chứng minh (1) đúng khi : n = k+1 (k>2), là :





 

thì tan(k 1)  (k1) tan 0 (3) Thật vậy: Do

tan( 1)

1 tan tan

k k

k





- mặt khác do :tank k.tan 0 k 4 0 tank 1



 0 1 tan tank      1

Nên :

1 tan tan 1 tan tank

k

 tan(k1) (k 1) tan  0 (3)

Vậy: tan(n ) n tan    ,với0 0 4(n 1)







III.-Phương pháp dùng BĐT Cauchy

danghoa949@gmail.com -5 -Bất đẳng thức Cauchy –trong chương trình THPT , bao gồm một số dạng chính sau:

a b

- dấu = xảy ra khi a = b

3

3

a b c

a b c   a b c

- dấu = xảy ra khi a = b = c

n

- dấu = xảy ra khi a1 = a2 =………= an

-Xin giới thiệu một vài bài toán dạng này

1-Bài toán 1: Cho a,b,c là các số dương và a2 b2 c2  1

Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2

3 3

(1) 2

b c c a a b 

-Giải.

+Doa2 b2 c2  nên (1)1

3 3

+Do a>0 , b>0, c>0 và a2 b2 c2  ,nên 0 < a,b,c < 11

Gọi x (0;1) , ta chứng minh :  x (0;1) thì ta luôn có : 2

x  x 

Khi đó:

2

Đề chứng minh (*), áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số : 2x2 , (1- x)2, (1- x2)2 , được:

3

x  x          x  x  

Từ đó :

3 3

Hay :

3 3

b  a  a  b 

danghoa949@gmail.com -6

2-Bài toán 2: Cho a,b,c > 0 và a + b + c =1

Chứng minh : a b  b c  c a  6

-Giải

+Áp dụng 3 lần BĐT Chauchy cho 2 số, được:

2

a b

 



2

b c

 



2

(c a)

 



Cộng từng vế tương ứng, được:

a b c

2

Vậy : a b  b c  c a  6

3-Bài toán 3: Cho 3 số a,b,c > 0

Chứng minh :a3 b3 c3 a2 bc b 2 ca c 2 ba (1)

-Giải

+Áp dụng 3 lần BĐT Cauchy cho 2 số ,ta được:

.a abc2 a bc 2a bc

Cộng từng vế tương ứng, được:

a b c  abc a bc b ca c ab ,do a2 b2c2 3abc

Nên: 2(a3 b3 c3)a3 b3c3 3abc

2(a2 bc b 2 ca c 2 ab)

Vậy : a3b3 c3 a2 bc b 2 ca c 2 ba

danghoa949@gmail.com -7

IV.-Phương pháp dùng tam thức bậc hai.

-Tính chất của tam thức bậc hai : f(x) = ax2 + bx + c ,được ứng dụng khá rộng rãi trong các toán về bất đẳng thức; ta xem xét một vài trường hợp

a)- Vận dụng tính chất : b2 a c

b)-Vận dụng tính chất :





 c)-Vận dụng tính chất : f(x) có 2 nghiệm x1 < x2 thì  c : a.f(c) < 0

-Sau đây xin giới thiệu một vài bài toán dạng này

1-Bài toán 1: Cho các số a a a b b b ,sao cho :1, , , , ,2 3 1 2 3

f x  a a a x  a b a b a b x b b b 

(1)

Chứng minh rằng : 2  2 2 2  2 2 2

a b a b a b  a a a b b b

(2)

-Giải.

+Biến đổi tương đương (1), được:

Cho thấy :  x R f x: ( ) 0

-Đẳng thức xảy ra khi :

3

-Để chứng minh (2) ta xét  0 Do f x ( ) 0 nên  ' 0

a b a b a b  a a a b b b

2-Bài toán 2: Cho 2x3y5 (1) Chứng minh : 2x23y2 5 (2)

Giải.

+Từ (1) cho ta:

5 2 3

x

y 

+Thay vào (2), được :

2

3

x

x     

danghoa949@gmail.com -8

2 2

( 1) 0 (2')

x

Bất dẳng thức (2’) đúng , suy ra (2) đúng

3-Bài toán 3: Cho b > 0 và n số thực dương a1,a2,… an , sao cho:0a a k b

với k = 1,2,3,….,n Đặt 1 1

1 n

k

n

và

2 2

1

1 n

k

n

Chứng minh rằng :

2 2

1

4





Giải.

+Xét tam thức f x( )x2  (a b x a b )  , luôn có 2 nghiệm :x1a và x2 b

+Do a a k b , ta có : f a( )k a k2 (a b a ) k ab 0

 a k2ab(a b a ) k (*)

Cho k = 1,2,… ,n và cộng từng vế đẳng thức tương tự với (*) , được:

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số

2 1

n k a



và .n ab , lại được:

2

2

2

2

1

1

n

k

n

k

c

a





Vậy :

2 2

1

4





danghoa949@gmail.com -9

V.-Phương pháp giải tích

-Một số bất đẳng thức được chứng minh dựa theo các tính chất giải tích như sau:

. +Với 3 điểm A,B,C bất kỳ , luôn có: AB BC AC

+Với 2 vecto a  , b  bất kỳ , luôn có : a b a b

, Khi thay bằng biểu thức tọa

a b  a b  a a b b

-Vận dụng tính chất trên ta xét một số bài toán sau:

1-Bài toán 1: Cho x y R,  Chứng minh :

x2 xy y 2  x2 xz z 2  y2 yz z 2 (1)

Giải.

Biến đổi tương đương (1) , được:

         

-Đặt

2 2

;

a x  a  x   

2 2

b  x   b  x   

Ta được :

y z y z

a b      a b   y z  y z 

 y2 yz z 2

-Do tính chất a  b  a b

,ta suy ra :

Hay : x2 xy y 2  x2 xz z 2  y2 yz z 2

2-Bài toán 2: Cho a,b,c,d là 4 số thỏa mãn:

36 12( ) (**)







danghoa949@gmail.com -10 Chứng minh rằng : 3  2  2  3

2 1  a c  b d  2 1

(1)

Giải.

-Từ (*): Gọi M(a;b) thỏa mãn : a2 b2  2b 2c  thì M( C1 0 1) có phương trình x12y12 1 , có tâm I1(1;1) và R1 =1

-Từ (**): Gọi N(c;d) thỏa mãn : c2 d2 12c 12d36 0 thì N( C2) có phương trình : x 62 y 62 36 , có tâm I2(6;6) và R2 =36

-Khi đó bất đẳng thức (1) tương đương: 5 2 7 MN 5 2 7 (1’)

Cho biết đường thảng I1I2 cắt (C1) tại M1, M2 và cắt (C2) tại N1,N2

Xác định các độ dài như sau:

Và

.MN  a c 2b d 2

Khi đó M1N2 là độ dài lớn nhất của MN, M2N1 là độ dài lớn nhất của MN, nên:

M N2 1 MN M N1 2

16

14

12

10

8

6

4

2

M2 M1 I1

I2

N2

N1

danghoa949@gmail.com -11

Tù đó ta có : 5 2 7  a c 2 b d 2 5 2 7

 3  2  2  3

2 1  a c  b d  2 1 

Xin cảm ơn quí Thầy , Cô và các em học sinh quan tâm tìm hiểu chuyên đề này

danghoa949@gmail.com